Модель SIR

1
Модель SIR
В 1927 г. У. Кермак (W. O. Kermack) и А. Маккендрик (A. G. McKendrick) предложили модель
эпидемии для населения неизменной численности [1]. Пусть все население (N индивидов)
делится на три группы: индивиды, которые восприимчивы к данной болезни, но здоровы
(«восприимчивые», susceptible) — S(t); зараженные индивиды (infected) — I(t) (они больны
сами и являются носителями болезни) и здоровые индивиды, обладающие иммунитетом к
данной болезни («выздоровевшие», recovered) — R(t) (в зависимости от моделируемого
заболевания, эти индивиды могут быть также умершими, изолированными — т.е. не
способными более заболеть по тем или иным причинам.
Предположим, что население перемешивается однородно, т.е. не существует мест,
предпочтительных для контактов между индивидами, а также особых индивидов, контакт с
которыми наиболее предпочтителен. Предположим, что частота контактов между индивидами
равна β. Число контактов, при которых возможно заражении пропорционально численностям
восприимчивых и зараженных индивидов. Тогда можно сказать, что за время t численность
восприимчивых к болезни людей уменьшиться на βSIt, т.е.
S  SI t .
Разделив это выражения на t и перейдя от конечных разностей к бесконечно малым, получим
скорость изменения числа восприимчивых к болезни людей
dS
 SI
dt
.
(1)
Соответственно, число заболевших пополнится на ту же величину и скорость заболеваемости
будет равна
dI
 SI
dt
. (2)
Т.е. β можно назвать скоростью инфицирования.
Кроме того, люди могут и выздоравливать и т.о., покидать группу инфицированных.
Обозначим скорость выздоровления через . Эта скорость пропорциональна численности
инфицированных людей, поэтому в (2) нужно добавить еще один член
dI
 SI  I
dt
.
(3)
Индивиды, покинувшие группу инфицированных оказываются среди выздоровевших, а значит
скорость прироста выздоровевших равна
dR
 I
dt
(4)
Вместе, уравнения (1), (3), (4) образуют систему обыкновенных дифференциальных
уравнений, называемую моделью SIR
Начальные условия для этой
dS
  SI ,
dt
dI
  SI  I , (5)
dt
dR
 I .
dt
системы равны ( S0 , I 0 ,0 ) ,
где
S0 , I 0 — количество
восприимчивых к болезни и инфицированных индивидов при t  0 соответственно. Если
исходное число инфицированных I 0 очень мало, можно считать, что S0  N .
2
Из второго уравнения системы (5), можно получить условие распространения эпидемии.
Действительно, эпидемия не начнется, если dI dt  0 , т.е. численность заболевших не будет
увеличиваться. Принимая
dI dt  0 , получим из этого уравнения

S
0.

Величина  носит название эпидемического порога. Подставив ее во второе уравнение системы
(5), получим
dI
  (  1) I
dt
.
dt  0 ), то первичные случаи заболевания быстро иссякнут и эпидемия
сможет. Если  > 1 ( dI dt  0 ), то каждый заболевший передает инфекцию
Т.е., если  < 1 ( dI
возникнуть не
более чем одному восприимчивому к инфекции индивиду и начинается эпидемия. Т.о. ,
вероятно, самая важная величина в эпидемиологии.
Отметим, что работа Кермака и Маккендрика была забыта на многие десятилетия, и появилась
вновь в 1979 г., в работе Андерсона (R. M. Anderson) и Мэя (R. M. May) [2, 3]. В настоящее время в
эпидемиологии используются более сложные версии модели SIR, которые лучше отражают
фактическую биологию исследуемого заболевания.
Вообще говоря, для системы уравнений (5) можно найти точное решение [4], но мы
воспользуемся численными методами.
Для расчетов нам необходимо задать начальные условия
(S0 , I 0 ,0)
и параметры системы β и
. Поскольку, данных экспериментов или статистики прошлых эпидемий для определения β и 
у нас нет, определим их «с потолка».
Для расчетов воспользуемся методом Рунге-Кутта 4-го порядка, реализованы в MATLABфункции ode45. Файлы основной программы (sirmain.m) и функции, реализующей модель SIR
(sirfun.m) прилагаются.
1 Kermack, W. O. and McKendrick, A. G. "A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics."
Proc. Roy. Soc. Lond. A 115, 700-721, 1927.
2 Anderson, R. M. and May, R. M. "Population Biology of Infectious Diseases: Part I." Nature 280, 361367, 1979.
3 Kermack-McKendrick Model // http://mathworld.wolfram.com/Kermack-McKendrickModel.html
4 Бейли Н. Математика в биологии и медицине. — М.: Мир, 1970. — 326 с.