Динамика распространения эпидемий

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.В.Ломоносова
Презентацию подготовила Лопатухина Е.В.
Учебная группа №218
Факультет Биологический
Москва, 2014г.
Крупнейшие эпидемии в
истории человечества
• Юстинианская чума, 541 г. н. э.
• Антонианская чума, 165-180 г.г.
• «Черная смерть», XIV-XV века, последующие
вспышки вплоть до XVIII в.
• Эпидемия ветряной оспы среди коренного
населения Америки, 1492-1900 гг.
• Первая пандемия холеры, 1817-1823 гг.
• Азиатский (российский) грипп, 1889-1890 гг.
• Эпидемия сальмонеллеза, 1906
• Грипп «испанка», 1918 - 1919 гг.
Современные
эпидемии
• Малярия
• СПИД, 1981
• Грипп
• Эпидемии сыпного тифа
Страны мира с
наиболее высокой
степенью
распространения
ВИЧ/СПИДа среди
взрослого населения,
2005 год, доля
населения 15-49 лет
с выявленным
вирусом ВИЧ
Чумная палочка при
флюоресцентной микроскопии
Эритроциты,
зараженные P.vivax
ВИЧ (зеленый) на поверхности
лимфоцита
Вирионы оспы
Вирус гриппа
Сальмонелла
Прикладные задачи
• Нахождение пороговых значений
• Оценка степени тяжести эпидемии
• Прогнозирование динамики развитие
эпидемии
• Моделирование развития ситуации при
борьбе с эпидемией
Цель данной работы –
рассмотреть классическую модель динамики
эпидемий
Классическая модель Кермака-МакКендрика,
1927г.
S
I
R
S – восприимчивые
особи
I–
инфицированные
особи
R – устраненные
особи
• Скорость прироста инфицированных особей
пропорциональна произведению количества
восприимчивых и инфицированных особей
• Число восприимчивых особей убывает с такой же
скоростью
• Скорость перехода инфицированных особей в
устраненный класса пропорциональна количеству
инфицированных особей
• Инкубационный период мал, так что им можно
пренебречь, то есть заболевшая особь сразу же
переходит в класс инфицированных
• Постоянство численности популяции
𝜕𝑆
= −𝑟𝑆𝐼
𝜕𝑡
𝜕𝐼
= 𝑟𝑆𝐼 − 𝑎𝐼
𝜕𝑡
𝜕𝑅
= 𝑎𝐼
𝜕𝑡
S
I
S(t)+I(t)+R(t)=N
или
𝝏𝑺
𝝏𝑰
𝝏𝑹
+ +
𝝏𝒕
𝝏𝒕
𝝏𝒕
= 𝟎 − условие
постоянства численности, где
N – общая численность популяции
r>0, скорость инфицирования
а>0, скорость убыли инфицированных
1
- время пребывания в инфицированном
𝑎
классе
Начальные условия:
• S(0)=So>0
• I(0)=Io>0
• R(0)=0
R
𝜕𝑆
𝜕𝑡
≤ 0 см. модель ⇒ S(t) ≤ 𝑆𝑜
𝑎 𝜕𝐼
𝑆𝑜 < :
𝑟
𝜕𝑡
При
эпидемии
При
𝑎 𝜕𝐼
𝑆𝑜 > :
𝑟
𝜕𝑡
= 𝐼𝑟(𝑆
𝑎
−
𝑟
≤ 0 для ∀𝑡 ≥ 0 ⇒ 𝐼𝑜 > 𝐼(𝑡) → нет
= 𝐼𝑟(𝑆
𝑎
−
𝑟
≥ 0 для ∀𝑡 ≥ 0 ⇒ 𝐼𝑜 < 𝐼(𝑡) → эпидемия!
Пороговый эффект
𝑎
𝑆𝑜 > ;
𝑟
𝑎
ρ= ;
𝑟
относительная
интенсивность устранения
𝑟
σ=
𝑎
интенсивность контактов
𝑟𝑆𝑜
𝑅𝑜 =
𝑎
базовое репродуктивное
число
количество вторичных заболеваний,
появившихся в результате передачи первичного
заболевания в популяции, полностью состоящей
из восприимчивых особей
при 𝑅𝑜 > 1→ эпидемия
• Уменьшение 𝑅𝑜 – вакцинация;
• «Коллективный иммунитет» – защита
всего сообщества, вакцинация чужих
детей
𝜕𝐼
𝐼 𝑟𝑆 − 𝑎
𝑟𝑆𝐼 − 𝑎𝐼 𝑎𝐼 − 𝑟𝑆𝐼
𝑎 1
𝜌
=−
=−
=
= −1 + × = −1 +
𝜕𝑆
𝑟𝑆𝐼
𝑟𝑆𝐼
𝑟𝑆𝐼
𝑟 𝑆
𝑆
𝐼≠0
𝜕𝐼
𝜌
= −1 +
𝜕𝑆
𝑆
ⅆ𝐼 =
𝜌
(−1 + ) ⅆ𝑆
𝑆
𝐼 = −𝑆 + 𝜌 ln 𝑆 + 𝒸
𝑰 + 𝑺 − 𝝆 𝒍𝒏 𝑺 = 𝓬 = 𝑰𝒐 + 𝑺𝒐 − 𝝆 𝐥𝐧 𝑺𝒐
Ro = 0 ⇒ 𝐼𝑜 + 𝑆𝑜 = 𝑁 ⇒ при t > 𝟎 𝟎 ≤ 𝑺 + 𝑰 < 𝑵
Imax достигается при S =
𝑎
𝑟
=𝜌
Imax = 𝜌 ln 𝜌 − 𝜌 + 𝐼𝑜 + 𝑆𝑜 − 𝜌 ln 𝑆o= 𝐼𝑜 + 𝑆𝑜 − 𝜌 +
𝜌
ln
𝑆𝑜
=𝑁−𝜌+
𝜌
ln
𝑆𝑜
𝐼 + 𝑆 − 𝜌 𝑙𝑛 𝑆 = 𝒸 = 𝐼𝑜 + 𝑆𝑜 − 𝜌 ln 𝑆𝑜
𝑎
𝑆𝑜 <
𝑟
нет эпидемии
𝑎
𝑆𝑜 >
𝑟
эпидемия
r=2, a=1, N=1
𝜕𝑆
= −𝑟𝑆𝐼
𝜕𝑡
𝜕𝐼
= 𝑟𝑆𝐼 − 𝑎𝐼
𝜕𝑡
𝜕𝑆
𝜕𝑅
=
𝑟𝑆𝐼
−
𝑎𝐼
⇒ 𝑆 = 𝑆𝑜𝑒
≥ 𝑆 = 𝑆𝑜𝑒
𝜕𝐼
𝜕𝑡
= 𝐼𝑟(𝑆 −
𝑎
𝑟
≤ 0 для ∀𝑡 ≥ 0 𝐼 ∞ = 0 ⇒
𝑅 ∞ = 𝑁 − 𝑆(∞)
I = Io + So - 𝑆(∞)
𝐥𝐢𝐦 𝑰 = 𝟎
𝒕→∞
𝐥𝐢𝐦 𝑺 = 𝑺(∞)
𝒕→∞
=
𝑆
−
𝜌
𝑁
−𝜌
0< 𝑆 ∞ ≤ 𝑁
0< 𝑆 ∞ ≤ 𝜌
Так как
𝜕𝑅
= 𝑎𝐼
𝜕𝑡
=
𝑟
− 𝑆
𝑎
−𝑅(𝑡)
𝜌
Эпидемия угасает из-за уменьшения
числа инфицированных особей, а не
восприимчивых
≥0
𝜕𝑅
= 𝑎𝐼
𝜕𝑡
𝜕𝑅
𝜕𝑡
𝜕𝑅
𝜕𝑡
= 𝑎𝐼 = 𝑎 𝑁 − 𝑅 − 𝑆 = 𝑎(𝑁 − 𝑅 − 𝑆𝑜𝑒
= 𝑎(𝑁 − 𝑆𝑜 +
𝑆𝑜
𝜌
−1 𝑅−
𝑆𝑜𝑅2
),
2𝜌2
−𝑅(𝑡)
𝜌
𝑥
), R(0) = 0;
так как 𝑒 = 1 +
𝑥
1!
𝑥2
+
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯ , −∞ < 𝑥 < ∞
(разложение в ряд Тейлора)
Гиперболические функции
Скорость устранения
𝑑𝑅
𝑑𝑡
=
𝛼=
𝑎𝛼2𝜌2
𝛼𝑎𝑡
2
𝑠𝑒𝑐ℎ
2So
2
𝑟
2
So
So
𝜌
−1 2+
− 𝜙 , где
2So(N−So)
𝜌2
𝑎𝛼 2 𝜌2
𝛼𝑎𝑡
2
𝑅 𝑡 =
𝑠𝑒𝑐ℎ
−𝜙
2𝑆0
2
, 𝜙 = 𝑡𝑎𝑛ℎ
−1
So−1
𝜌
𝛼
Пример. Бомбейская чума 1905-1906 гг.
𝜕𝑅
= 890𝑠𝑒𝑐ℎ2 0,2𝑡 − 3,4
𝜕𝑡
1000
Скорость устранения
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
Недели
25
30
35
40
Перекрестные инфекции
• Шистосоматоз –
перекрест между
людьми и
определенным видом
улиток
• Бычий туберкулез –
перекрест между
барсуками и крупным
рогатым скотом
• Венерические
заболевания
Яйца Schistosoma sp.
Mycobacterium bovis –
возбудитель бычьего туберкулеза
Гонококк
Моделирование венерических
заболеваний
S
I
R
S
I
R
S
I
*
S
I*
*
R
*
S
*
I
R*
S*
I*
S, I, R – группы мужчин
S*, I*, R* - группы женщин
отсутствие иммунитета
𝝏𝑺
= −𝒓𝑺𝑰∗ + 𝒂𝑰
𝝏𝒕
𝝏𝑰
𝝏𝒕
𝑆 𝑡 +𝐼 𝑡 =𝑁
𝑆 ∗ (𝑡) + 𝐼 ∗ (𝑡) = 𝑁 ∗
= 𝒓𝑺𝑰∗ − 𝒂𝑰
𝝏𝑺∗
= −𝒓∗ 𝑰 𝑺∗ + 𝒂∗ 𝑰∗
𝝏𝒕
𝝏𝑰∗
= 𝒓∗ 𝑺∗ 𝑰 − 𝒂∗ 𝑰∗
𝝏𝒕
Начальные
условия:
𝑆 0 = 𝑆𝑜
I 0 = 𝐼𝑜
𝑆 ∗ 0 = 𝑆𝑜∗
𝐼 ∗ 0 = 𝐼𝑜∗
Стационарные состояния:
1). I = 0
𝐼∗ = 0
S
𝜕𝐼
= 𝑟𝐼 ∗ 𝑁 − 𝐼 − 𝑎𝐼
𝜕𝑡
2). 𝐼𝑠 =
𝜕𝐼 ∗
= 𝑟 ∗ 𝐼 𝑁 ∗ − 𝐼∗ − 𝑎∗ 𝐼∗
𝜕𝑡
𝐼𝑠∗
=
𝑁𝑁∗ −𝜌𝜌∗
𝜌+𝑁 ∗
𝑁𝑁 ∗ −𝜌𝜌∗
,
𝜌∗ +𝑁
где 𝜌 =
𝑎
;
𝑟
𝜌∗
=
𝑎∗
𝑟∗
S*
Ненулевые стационарные состояния при 𝑵𝑵∗ > 𝝆𝝆∗ - пороговое условие
NN∗
ρρ∗
=
𝑟𝑁
𝑎
×
𝑟 ∗ 𝑁∗
𝑟𝑁
, где
𝑎∗
𝑎
− среднее число мужчин,
зараженных одной женщиной; для
𝑟 ∗ 𝑁∗
𝑎∗
аналогично.
Линеаризация системы и отыскание
характеристических значений
𝑃𝐼′
=
−𝑟𝐼 ∗
−𝑎
𝑃𝐼′∗ = 𝑟𝑁 − 𝑟𝐼
Для I= 𝐼 ∗ = 0
−(𝑎+𝑎∗ )±
𝜆1,2 =
𝑄𝐼′ = 𝑟 ∗ 𝑁 ∗ − 𝑟 ∗ 𝐼 ∗
𝑁𝑁∗
∗
2
∗
(𝑎+𝑎 ) +4𝑎𝑎 𝜌𝜌∗ −1
2
𝑄𝐼′∗ = −𝑟 ∗ 𝐼 − 𝑎∗
Для ненулевых корней
𝜆2 + 𝜆 𝑎 +𝑎∗ +𝑟𝐼𝑠∗ + 𝑟 𝑎𝑟𝐼𝑠∗ + 𝑎𝑟 ∗ 𝐼𝑠 + 𝑟𝑟 ∗ 𝐼∗ 𝑁 + 𝐼𝑁 ∗ + 𝑎𝑎∗ − 𝑟𝑟 ∗ 𝑁𝑁 ∗ = 0
Re𝜆 < 0 ⇒ устойчивый фокус
Модель гонореи
Четные номера –
мужчины
Нечетные номера
- женщины
Активные Неактивные
Тяжелая форма N1, N2
(симптомы)
Легкая форма
N5, N6
(нет симптомов)
N3, N4
N7, N8
N1 + N3 + N5 + N7 = 1
N2 + N4 + N6 + N8 = 1
Ii(t), где i=1, 2, …, 8 – доля
инфицированных
1-Ii(t) – доля восприимчивых
• Di – среднее время (в
мес.)
инфицирования для
группы
𝟏
•
- вероятность
𝑫𝒊
излечения за каждый
месяц
𝑰𝒊
•
- интенсивность
Активные Неактивные
Тяжелая форма N1, N2
(симптомы)
Легкая форма
N5, N6
(нет симптомов)
устранения в месяц
𝜕 𝑁𝑖 𝐼𝑖
=
𝜕𝑡
𝑗=1
скорость инфицирования
𝑁𝑖 𝐼𝑖
𝐿𝑖𝑗 (1−Ii) 𝑁𝑗 𝐼𝑗 −
𝐷𝑖
заболеваемость
N7, N8
𝑳𝒊𝒋 - матрица контактов 8×8;
𝐿𝑖𝑗 = 0 при i + j − четное
𝑫𝒊
8
N3, N4
𝐿𝑖𝑗 (1-Ii) – восприимчивый
из группы i заразился от
кого-то из j
выздоровление
Географическое распространение эпидемий
• S (x, t) – восприимчивые
• I (x, t) – инфицированные
𝝏𝑺
𝝏𝟐𝑺
= −𝒓𝑰𝑺 + 𝑫 𝟐
𝝏𝒕
𝝏𝒙
Безразмерные переменные:
𝐼
∗
𝐼 =
𝑆𝑜
𝑆
𝑆 =
𝑆𝑜
∗
𝝏𝑰
𝝏𝟐𝑰
= 𝒓𝑰𝑺 − 𝒂𝑰 + 𝑫 𝟐
𝝏𝒕
𝝏𝒙
𝑥∗
𝑟𝑆𝑜
=𝑥
𝐷
𝑡 ∗ = r𝑆𝑜 𝑡
𝑎
𝜆=
𝑟𝑆𝑜
𝝏𝑺
𝝏𝟐𝑺
= −𝑰𝑺 + 𝟐
𝝏𝒕
𝝏𝒙
𝝏𝑰
𝝏𝟐𝑰
= 𝑰𝑺 − 𝝀𝑰 + 𝟐
𝝏𝒕
𝝏𝒙
𝜆=
𝑎
𝑟𝑆𝑜
1
𝜆
⇒ - базовое
репродукционное число
При поиске решений в виде
бегущей волны получаем солитон
- уединенную волну в средах
различной физической природы,
сохраняющую неизменной свою
форму и скорость при
распространении.
Заключение
Анализирование данных моделей позволяет:
• предсказать эволюцию эпидемического процесса
• оценить потребность в вакцинации, если вакцина от данного
заболевания существует
• планировать профилактических и противоэпидемических
мероприятий
Использованная литература
• Дж.Мюррей «Математическая биология», изд. УдГУ, 2011
• Andrew J Black and Alan J McKanе «WKB calculation of an epidemic
outbreak distribution». Journal of Statistical Mechanics: Theory and
Experiment 10.1088/1742-5468/2011/12/P12006
• С.Л.Плавинский «Моделирование ВИЧ-инфекции и других
заразных заболеваний человека и оценка численности групп
риска. Введение в математическую эпидемиологию». Москва,
2009