VGasp_LowDimensionalGeometryAndTopology_2013 (новое

Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Маломерная геометрия и топология
Low-dimensional Geometry and Topology
Язык обучения
русский
Трудоемкость в зачетных единицах: 1
Регистрационный номер рабочей программы:
Санкт-Петербург
2013
Раздел 1.
Характеристики учебных занятий
1.1. Цели и задачи учебных занятий.
Дать аспирантам общее представление о некоторых важных результатах теории узлов, и
теории трехмерных многообразий, позволяющее знакомиться с последними достижениями в
данной области.
1.2. Требования подготовленности обучающегося к освоению содержания учебных
занятий (пререквизиты).
Обучающиеся должны обладать знаниями по геометрии, топологии и алгебре в объеме
стандартных университетских курсов. Более конкретно необходимо знание общей топологии,
основ теории многообразий, основных понятий римановой геометрии, линейной алгебры,
теории групп и алгебр.
1.3. Перечень результатов обучения (learning outcomes).
Слушатели курса должны овладеть некоторыми из современных математических концепции
в теории трехмерных многообразий и навыками их использования.
Формируемые компетенции.
ОКА-1: готовность применять научный подход в своей профессиональной деятельности,
разделять ценности научно-педагогического сообщества;
ОКА-2: готовность работать с текстами профессиональной направленности и сообщать о
результатах своей учебной и научной работы на английском/иностранном и русском языках.
1.4.
Перечень и объём активных и интерактивных форм учебных занятий.
Раздел 2.
Организация, структура и содержание учебных занятий
2.1. Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
Трудоёмкость
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация (сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
консультации
практические
занятия
семинары
Период
обучения
(модуль)
лекции
Контактная работа обучающихся с преподавателем
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
1 год
обучения
18
18
1
ИТОГО
18
18
1
Виды, формы и сроки текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Виды итоговой
аттестации
Формы текущего
(только для программ
Виды промежуточной
контроля
итоговой аттестации и
Код модуля в
аттестации
успеваемости
дополнительных
составе
образовательных
дисциплины,
программ)
практики и
Формы Сроки
Виды
Сроки
Виды
Сроки
т.п.
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
текущий
по графику
контроль
промежуто
1 год обучения
чной
аттестации
2.2. Структура и содержание учебных занятий
№
п/п
1
2
3
Наименование темы (раздела, части)
Тема 1. Классическая теория узлов.
Тема 2. Трехмерные многообразия и
гомеоморфизмы поверхностей.
Тема 3. Перестройки трехмерных
многообразий.
4
Тема 4. Разветвленные накрытия.
5
Тема 5. Некоторые представления
трехмерных многообразий.
6
Тема 6. Многообразия Зейферта.
7
Тема 7. Некоторые многообразия
постоянной кривизны.
8
Тема 8. Гиперболическая геометрия.
Количество
часов
Вид учебных занятий
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Тема 1. Классическая теория узлов.
Узлы и зацепления. Движения Радемейстера. Группа узла. Представление Виртингера. Лемма
Дена и теорема о петле. Следствия: критерий незаузленности; теорема о тривиальности
узлов, дающих тривиальную связную сумму; теорема о том, что вложенный в сферу тор
ограничивает полноторие. Теорема Папакирякопулоса о сфере. Группа узла определяет
гомотопический тип его дополнения. Поверхность Зейферта и род узла. Циклические
накрытия дополнения узла. Коэффициент зацепления. Квадратичная форма узла. Сигнатура
узла, ее свойства. Срезанные узлы. Полином Джонса. Инварианты Васильева. Теорема
Концевича. Группа кос. Теоремы Александера и Маркова. Крашенные косы.
Тема 2. Трехмерные многообразия и гомеоморфизмы поверхностей.
Разбиение Хегора трехмерного многообразия. Диаграмма Хегора. Трехмерные линзовые
многообразия. Теорема Дена–Ликориша о группе гомеоморфизмов замкнутой
ориентированной поверхности.
Тема 3. Перестройки трехмерных многообразий.
Перестройка трехмерного многообразия вдоль оснащенного зацепления. Рациональные
перестройки сферы по тривиальному узлу. Коэффициент зацепления. Целочисленные
перестройки. Линзовые пространства. Гомологические сферы. Исчисление Кирби и теорема
Кирби. Теорема Рохлина о том, что ориентируемые трехмерные многообразия ограничивают.
Тема 4. Разветвленные накрытия.
Разветвленные накрытия двумерных поверхностей. Формула Римана—Гурвица.
Разветвленные накрытия трехмерных многообразий. Трехмерные многообразия как
разветвленные накрытия сферы. Разветвленные накрытия и крашенные диаграммы
зацеплений. Кольца Борромео – универсальное зацепление.
Тема 5. Некоторые представления трехмерных многообразий.
Разложение трехмерного многообразия на ручки. Теория нормальных поверхностей.
Разложение ориентируемого трехмерного многообразия в связную сумму примарных.
Тема 6. Многообразия Зейферта.
Многообразия Зейферта. Послойная классификация многообразий Зейферта.
Фундаментальная группа многообразия Зейферта. Большие и малые многообразия Зейферта.
Тема 7. Некоторые многообразия постоянной кривизны.
Гиперболическая плоскость, ее изометрии. Гиперболические поверхности. Триангуляции
двумерных поверхностей. Векторные поля на поверхности. Теорема Пуанкаре об индексе.
Связное суммирование и классификация поверхностей. Примеры трехмерных многообразий.
Тема 8. Гиперболическая геометрия.
Поверхности отрицательной кривизны в пространстве. Модель Пуанкаре в шаре.
Преобразования Мебиуса. Модель на гиперболоиде и модель Клейна. Некоторые вычисления
в гиперболической геометрии. Изометрии гиперболического пространства. Комплексные
координаты на трехмерном гиперболическом пространстве. Геометрия трехмерной сферы.
Раздел 3.
Обеспечение учебных занятий
3.1. Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций.
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература.
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения зачета
Зачет проводятся в устной форме. Билет состоит из двух вопросов. Один из вопросов может
быть задачей. Время подготовки ответа на вопросы билета составляет 60 минут.
Использование конспектов и учебников, а также электронных устройств хранения, обработки
или передачи информации при подготовке и ответе на вопросы экзамена категорически
запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов
(устройств) составляется акт и студент удаляется с зачета. После ответа на вопросы билета
преподаватель задает несколько дополнительных вопросов или задач, на основании оценки
ответов на которые решение о выставлении зачета может быть скорректировано.
Критерии выставления зачета
Зачет ставится за верно изложенный теоретический материал билета, и правильно решенные
задачи (возможно с помощью наводящих подсказок преподавателя).
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные
средства)
Список вопросов к зачету
1. Узлы и зацепления. Движения Радемейстера.
2. Группа узла. Представление Виртингера.
3. Лемма Дена.
4. Теорема о петле.
5. Следствия теоремы о петле: критерий незаузленности; теорема о тривиальности узлов,
дающих тривиальную связную сумму; теорема о том, что вложенный в сферу тор
ограничивает полноторие.
6. Теорема Папакирякопулоса о сфере. Группа узла определяет гомотопический тип его
дополнения.
7. Поверхность Зейферта и род узла. Циклические накрытия дополнения узла.
8. Коэффициент зацепления. Квадратичная форма узла. Сигнатура узла, ее свойства.
Срезанные узлы.
9. Полином Джонса.
10. Инварианты Васильева. Теорема Концевича.
11. Группа кос. Теоремы Александера и Маркова. Крашенные косы.
12. Разбиение Хегора трехмерного многообразия. Диаграмма Хегора. Трехмерные линзовые
многообразия.
13. Теорема Дена–Ликориша о группе гомеоморфизмов замкнутой ориентированной
поверхности.
14. Перестройка трехмерного многообразия вдоль оснащенного зацепления. Исчисление
Кирби и теорема Кирби.
15. Теорема Рохлина о том, что ориентируемые трехмерные многообразия ограничивают.
16. Разветвленные накрытия двумерных поверхностей. Формула Римана—Гурвица.
Вычисление рода алгебраической кривой.
17. Разветвленные накрытия трехмерных многообразий. Трехмерные многообразия как
разветвленные накрытия сферы.
18. Разветвленные накрытия и крашенные диаграммы зацеплений. Кольца Борромео –
универсальное зацепление.
19. Разложение трехмерного многообразия на ручки.
20. Теория нормальных поверхностей. Разложение ориентируемого трехмерного
многообразия в связную сумму примарных.
21. Многообразия Зейферта. Послойная классификация многообразий Зейферта.
22. Фундаментальная группа многообразия Зейферта. Большие и малые многообразия
Зейферта.
23. Гиперболическая плоскость, ее изометрии. Гиперболические поверхности.
24. Триангуляции двумерных поверхностей. Векторные поля на поверхности. Теорема
Пуанкаре об индексе.
25. Связное суммирование и классификация поверхностей.
26. Поверхности отрицательной кривизны в пространстве. Модель Пуанкаре в шаре.
27. Преобразования Мебиуса. Модель на гиперболоиде и модель Клейна.
28. Некоторые вычисления в гиперболической геометрии. Изометрии гиперболического
пространства.
29. Комплексные координаты на трехмерном гиперболическом пространстве. Геометрия
трехмерной сферы.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2. Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация штатных преподавателей и иных лиц,
допущенных к проведению учебных занятий
К проведению занятий должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень
доктора или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную
процедуру признания и установления эквивалентности) или ученое звание профессора или
доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не требуется.
3.3. Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории с возможностью электронной
презентации курса.
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
Доска для письма мелом или фломастером, мультимедийный проектор.
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
Не требуется.
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
Не требуется.
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел, фломастеры для доски, губка.
3.4. Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. S. Matveev, Algorithmic Topology and Classification of 3-Manifolds, электронный ресурс,
https://find.library.spbu.ru/vufind/Record/978-3-540-45899-9
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия,
http://www.mccme.ru/prasolov/
2. У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология, М., МЦНМО, 2001.
3. С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко, Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной
топологии, Москва, МГУ, 1991.
4. В. Масси, Дж. Столлингс, Алгебраическое топология. Введение, Москва, Мир, 1977.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
Звагельский Михаил Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
высшей геометрии, zvag@pdmi.ras.ru