Теоретико-множественное основание дискретной математики

Занятие № 1
Тема: «Теоретико-множественное основание дискретной математики»
Цели:
1) Способствовать формированию представления о науке дискретная математика.
2) Содействовать восприятию и осмыслению основных понятий из теории множеств, развитию навыков
выполнения операций над множествами.
Основные положения лекции:
1. Введение
2. Элементы теории множеств
3. Операции над множествами.
4. Свойства операций над множествами.
5. Упорядоченные множества.
6. Решение задач.
Введение
С задачами, в которых приходится выбирать те или иные предметы, располагать их в
определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди
столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшие расположения охотников во
время охоты, воинов во время битвы, инструментов во время работы. Определенным образом
располагались украшения на одежде, узоры на керамике, перья в оперении стрелы. По мере
усложнения производственных и общественных отношений все шире приходилось
пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии, группировании. В том же направлении
действовало развитие ремесел и торговли.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда
наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие в первую
очередь умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Среди
предметов, положенных в пирамиду, где 35 веков тому назад был похоронен египетский фараон
Тутанхамон, нашли разграфленную доску с тремя горизонталями и 10 вертикалями и фигурки
для древней игры «сенет», правила которой мы, вероятно, никогда не узнаем. Позже появились
нарды, шашки и шахматы, а также их различные варианты (китайские и японские шахматы,
японские облавные шашки «го» и т.д.).В каждой из этих игр приходилось рассматривать
различные сочетания передвигаемых фигур и выигрывал тот, кто их лучше заучил.
Д и с к р е т н а я м а т е м а т и к а представляет собой область математики, в которой
изучаются свойства структур конечного характера.
К о м б и н а т о р и к а – раздел математики, посвященный решению задач выбора и
расположения элементов в соответствии с заданными правилами.
П е р е ч и с л и т е л ь н ы е з а д а ч и решают вопрос о числе предметов, составляемых
из заданного набора элементов при соблюдении определенных правил.
Введение в теорию множеств
Решая такие задачи, мы столкнемся с теорией множеств.
Def║
М н о ж е с т в о - совокупность объектов, обладающих определенным свойством,
объединенных в единое целое.
Вот что сказано о множестве у самого Кантора:
Под множеством мы понимаем любое объединение в единое целое M определенных вполне
различаемых объектов m из нашего восприятия или мысли.
Обозначения:
xM
{xAx обладает свойством Р}
Преподаватель
Авдеева Е.В.
х является элементом множества М
Множество элементов, обладающих свойством Р
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 1
d e f ║ Множество А называется п о д м н о ж е с т в о м множества В, если все элементы
множества А принадлежат В.
Обозначения:
xM
{xAx обладает свойством Р}
{xx=2k+1 для k Z}
А Вх( х А х В)
х является элементом множества М
Множество элементов, обладающих свойством Р.
Множество нечетных чисел.
Подмножество
d e f ║ Множество, не содержащее ни одного элемента, называется п у с т ы м .
d e f ║ Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется
универсальным.
Операции над множествами
Рассмотрим операции, определенные над множествами.
d e f ║ П е р е с е ч е н и е м двух множеств A и B называется множество, составленное из тех
элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству B.
A B  x x A и xB 

Пересечение множеств еще называют произведением.
d e f ║ О б ъ е д и н е н и е м двух множеств A и B называется множество, элементами
которого являются все элементы как множества A, так и множества B.
A  B  x x  A или x  B 

Объединение множеств еще называют суммой.
d e f ║ Р а з н о с т ь ю двух множеств A и B называется множество, все элементы которого
являются элементами множества А, но не являются элементами множества B.
A \ B= x x  A и x  B 

d e f ║ Д о п о л н е н и е м множества А называется множество, элементы которого не
являются элементами множества А.
А   x x  A  U \ A, где U – универсальное
U
Свойства операций над множествами.
Ассоциативность операций

Преподаватель
Авдеева Е.В.
и

Белгородский педагогический колледж
Занятие № 1
A  ( B  C )  ( A  B)  C
A  ( B  C )  ( A  B)  C
1. Коммутативность операций  и  .
A B  B  A
A B  B  A
2. Законы идемпотентности
A A  A
A A  A
3. Законы дистрибутивности
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
4. Законы поглощения
A  ( A  B)  A
A  ( A  B)  A
5. Законы де Моргана
A B  A  B
A B  A  B
6. Законы нуля и единицы (1=U, 0=)
A 1  1
A0  A
A A 1
7. Закон двойного отрицания :
A 1  A
A0  0
A A  0
АА
Упорядоченные множества
Иногда, решая задачи, возникает необходимость расположить элементы по порядку.
Располагая элементы множества по порядку номеров, мы получаем кортежи.
def║
Упорядоченная последовательность (допускающая повторения) из n элементов,
называется к о р т е ж е м .
Компонентами кортежей могут быть кортежи, множества.
Кортежи по 2 элемента называются парами, по три – тройками.
Два кортежа (x1, x2, … xn) и (y1, y2, … , ym) считаются равными, если n=m и xi = yi для
любого значения i.
Правило суммы:
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно
выбрать n способами, то выбор "либо А, либо В" можно сделать (m+n) способами.
Правило суммы на языке теории множеств:
Если пересечение конечных множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении
равно сумме чисел элементов множеств А и В.
Введем обозначение числа элементов множества А через n(A). Тогда правило суммы
можно записать так:
n(A  B)=n(A)+n(B)
В случае, когда пересечение конечных множеств А и В не пусто, т.е. A  B, правило
суммы выглядит так:
n(A  B)=n(A)+n(B) - n (A  B)
Решение задач
Задача1.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 1
Сколько человек участвовало в прогулке, если известно, что 16 из них взяли бутерброды
с ветчиной, 24 – с колбасой, 15 – с сыром, 11 – с ветчиной и колбасой, 8 – с ветчиной и сыром,
12 – с колбасой и сыром, 6 – бутерброды всех видов, а пятеро вместо бутербродов взяли
пирожки.
Решение.
Пусть А – множество участников прогулки, взявших бутерброды с ветчиной,
В – с колбасой,
С – с сыром,
D – взявших порожки.
Тогда, n(A)=16,
n(B)=24,
n(C)=15,
n(D)=5,
n(A  B)=11,
n(B  C)=12,
n(A  C)=8,
n(A  B  C)=6.
Чтобы посчитать число участников, необходимо вычислить количество элементов множества А
A  B  С и добавить пятерых, взявших пирожки. Как видно из условия, различные
пересечения этих множеств не пустые, поэтому
n(A  B  С) =n(A)+n(B)+n(C) – n(A  ( B  С) – n(B  С)= n(A) + n(B) + n(C) –
– n((A  B)  (A  С)) – n(B  С)=16+24+15 – 12 – n(A  B) – n (A  С)+n(A  B  A  С)=
= 43-8-11+6=30
Итак, число участников прогулки составило 35 человек.
Решить задачи:
1. Пусть U={1, 2, 3, 4, 5}. Выписать элементы множества М=(А\В)  ( A  B), если
A={1, 3, 5}, B={3, 4, 5};
A={2, 4, 5}, B={1, 4};
A={1}, B=.
Ответ: М={1, 3, 5}; {2, 4, 5}; {1}
2. Пусть универсальное множество состоит из целых чисел. Из каких элементов состоит
множество М= A  B, если A={a a=4n, nN}, B={ b b=3n, nN}
Ответ: числа кратные 12.
3. Пусть универсальное множество U={a, b, c}. Выписать все его подмножества.
Ответ: , U, { a}, { b}, { c}, {a, b }, {a, c}, { b, c}.
4. Каждый ученик класса - либо девочка, либо мальчик, либо любит математику. В классе
20 девочек, из них 12 блондинок, и одна блондинка любит математику. Всего в классе 24
ученика-блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек),
которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?
Решение: Если А - множество девочек, В - блондинов, С - учеников, которые любят
математику, то n(A  B  С) - искомое число.
- множество блондинок,
множество девочек, которые любят математику,
- множество всех блондинов
(мальчиков и девочек), которые любят математику,
множество блондинок,
которые любят математику.
Тогда
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 1
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж