Тема: Сечение многогранников

Тема урока: Сечение многогранников
Урок проведен в 10 «А» классе средней школы № 4 имени М. Горького г.Брянска (2007
г.).
Класс работает по учебнику Е.В.Потоскуева и Л.И.Звавича.
Урок провела: студентка 5 курса Методист: кандидат педагогических наук,
физико-математического факультета доцент кафедры методики обучения
Брянского
государственного математике и информационных технологий
университета им. И.Г.Петровского Брянского государственного университета
Светлана Николаевна Сергеенко.
им. Петровского И.Е.Малова.
Учитель: учитель высшей категории, почетный работник образования
Александровна Шатковская.
Елена
Цели:
1. Научиться строить точку пересечения данной прямой с заданной плоскостью.
2. Научиться строить сечение многогранника плоскостью, если секущая плоскость
задана тремя точками, среди которых есть две, лежащие в одной грани.
Тип урока: изучение нового материала.
План урока.
1. Введение способа рассуждений при построении точки пересечения данной прямой с
заданной плоскостью (на примере призмы).
2. Усвоение алгоритма построения точки пересечения данной прямой с заданной
плоскостью через решение задачи с пирамидой.
3. Введение способа рассуждений при построении сечения многогранника плоскостью,
если плоскость задана тремя точками, среди которых есть две, лежащие в одной грани.
4. Усвоение способа построения сечения многогранника плоскостью через решение
задачи, где в процессе построения возникает ситуация: в грани, где требуется построить
сторону сечения, нет ни одной точки секущей плоскости.
5. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.
Ход урока.
1. Введение способа рассуждений при построении точки пересечения данной
прямой с заданной плоскостью (на примере призмы).
Учитель: Сегодняшний и последующие уроки будут посвящены построению сечений
многогранников плоскостью. Вы уже знаете, что называется сечением, знаете, что это
многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны – на его
гранях.
Первая задача урока: научиться строить точку пересечения данной прямой с заданной
плоскостью (учащиеся записывают поставленную задачу в свои тетради).
Решим задачу № 1 (Она есть у каждого ученика на раздаточных материалах, рис.1, а).
Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Построить точки пересечения прямой МN с
1, б
плоскостями а) нижнего и б) верхнего оснований призмы, если точка М принадлежит
ребру СС1, а точка N принадлежит ребру ВВ1.
А1
В1
С1
А
М
С
Рис.1, а
N
В
1. Учитель: В какой плоскости лежит прямая?
Учащиеся: В плоскости правой грани призмы – (СВВ1)
2. Учитель: С какой плоскостью надо найти точку
пересечения?
Учащиеся: С плоскостью нижней грани призмы – (АВС)
3. Учитель: По какой линии пересекаются эти плоскости?
Учащиеся: По прямой ВС.
4. Учитель: Какой вывод о расположении искомой точки
можно сделать?
Учащиеся: Точка пересечения этих прямых – искомая
точка:
К = МN ∩ ВС; К = МN ∩ (АВС) (Рис. 1, б).
Рис.1, в
Рис.1, б
С верхним основанием рассуждения проводятся аналогично.
К1 = МN ∩ В1С1; К1= МN ∩ (А1В1С1) (Рис.1, в).
Учитель: Давайте повторим, какие задавались вопросы при построении точки
пересечения прямой МN с плоскостью нижнего основания призмы, и как мы на них
отвечали.
По мере ответов учащихся учитель все рассуждения для построения точки
пересечения данной прямой с заданной плоскостью представляет с помощью следующего
шаблона:
3)
1) Прямая …
МN
…лежит в плоскостиПрГ
…
2) Нужна точка пересечения с пл-тьюНижГ
…
Плоскости
пересекаются
по прямой
…
ВС
4) Искомая точка – точка пересечения прямых ……
МN и …….
ВС
Или для другой задачи получаем шаблон:
3)
1) Прямая … …лежит в плоскости …
2) Нужна точка пересечения с пл-тью …
Плоскости
пересекаются
по прямой
…
4) Искомая точка – точка пересечения прямых …… и …….
Учитель: Итак, какая ставилась задача урока?
Учащиеся: Научиться строить точку пересечения прямой с заданной плоскостью.
Учитель: Как мы рассуждаем, чтобы построить искомую точку?
Учащиеся: 1) определяем плоскость, в которой лежит данная прямая; 2) определяем
плоскость, с которой нужно найти точку пересечения; 3) находим линию пересечения этих
плоскостей; 4) строим точку пересечения этой линии с заданной прямой (учитель
помогает учащимся, указывая на соответствующий шаг в шаблоне).
Комментарий. Учитель выделяет задачу-цель: научиться строить точку пересечения
заданной прямой с заданной плоскостью. Эта задача является ключевой задачей при
построении сечений, поэтому от сформированности соответствующего умения зависит
успех в построении сечений. Решение данной задачи сопровождается определенными
рассуждениями. Эти рассуждения осваиваются в несколько этапов: сначала учащиеся
отвечают на вопросы учителя, затем по тем же вопросам решают аналогичную задачу; на
этапе обобщения составляется схематическая запись, на основе которой конструируется
трафарет рассуждений. Данный трафарет отражает последовательность рассуждений, дает
возможность конкретизировать рассуждения для любой другой задачи, имеет графическое
сопровождение. Все это обеспечивает будущую успешность учащихся.
2. Усвоение алгоритма построения точки пересечения данной прямой с заданной
плоскостью через решение задачи с пирамидой.
Задача № 2. Дана четырёхугольная пирамида РАВСD (Рис. 2, а). Найти точку пересечения
прямой NК с плоскостью основания, если точка N принадлежит ребру АР, а точка К
принадлежитРребру РВ.
К
N
А
В
D
Рис. 2, а
С
Рис. 2, б
Организация работы с задачей
Один из учащихся у доски проводит рассуждения с заполнением трафарета:
1. Прямая NК лежит в плоскости задней грани пирамиды – (РАВ).
2. Нужна точка пересечения с плоскостью нижней грани – (АВС).
3. (АВС) ∩ (РАВ) = АВ.
4. Т; Т =АВ ∩ NК.
Т – искомая точка: NК ∩ (АВС) = Т. (Рис. 2, б)
Комментарий. Усвоение алгоритма построения точки пересечения заданной прямой с
заданной плоскостью осуществляется на примере пирамиды, что позволяет сделать
перенос рассуждений на иную ситуацию. Организована работа с задачей таким образом,
что один из учащихся дает подробный комментарий, демонстрируя образец рассуждений,
поскольку при первоначальном формировании умения каждый выделенный этап следует
проговаривать вслух.
3. Введение способа рассуждений при построении сечения многогранника
плоскостью, если плоскость задана тремя точками, среди которых есть две, лежащие
в одной грани
Учитель: Вторая задача урока: научиться строить сечение многогранника плоскостью,
если плоскость задана тремя точками.
Задача №3. Построить сечение призмы АВСА1В1С1 плоскостью, которая задана тремя
точками Т, Р и Q, если точка Т принадлежит ребру АА1, точка Q принадлежит ребру ВВ1, а
точка Р стороне АС. (Рис. 3, а)
Рис. 3, б
Рис. 3, а
Заранее на доске записана схема решения задач на построение сечений в виде вопросов,
по которым затем учитель организует диалог с учащимися:
1. Можете ли сразу построить сторону сечения в какой-нибудь грани? Почему? Как
построить сторону сечения в выбранной грани?
2. Выберите, в какой грани дальше будете строить сторону сечения.
а) Сколько общих точек выбранной плоскости и секущей надо знать, чтобы построить
прямую их пересечения? Есть ли их общие точки?
Есть одна общая точка
Пока нет общих точек
б) Какая прямая секущей плоскости поможет найти вторую точку? (Какие прямые
секущей плоскости помогут найти общие точки?).
в) Сформулируйте задачу, которую теперь надо решить, чтобы найти общую точку
секущей плоскости и плоскости выбранной грани.
г) Можем ли мы теперь построить сторону сечения в выбранной грани?
3. В какой грани дальше будете строить сторону сечения?
Учитель: Можем ли мы сразу построить сторону сечения в какой-нибудь грани?
Учащиеся: Да, в левой и в задней грани.
Учитель: Почему?
Учащиеся: В этих гранях есть две точки, принадлежащие секущей плоскости, значит,
прямая, проходящая через них, лежит в секущей плоскости.
Учитель: Как построить сторону сечения в выбранных гранях?
Учащиеся: Надо соединить точки Т и Р, Т и Q. (рис.3, б)
Учитель: Представьте, плоскости каких граней будет пересекать секущая плоскость.
Учащиеся: Нижнюю грань, боковую грань.
Учитель: Выберите, в какой грани дальше будем строить сторону сечения?
Учащиеся: В нижней грани.
Учитель: Сколько общих точек выбранной плоскости и секущей надо знать, чтобы
построить прямую их пересечения?
Учащиеся: Две.
Учитель: Есть ли их общие точки?
Учащиеся: Есть общая точка Р.
Учитель: Какая прямая секущей плоскости поможет найти вторую точку?
Учащиеся: Прямая ТQ.
Учитель: Сформулируйте задачу, которую теперь надо решить, чтобы найти вторую
общую точку секущей плоскости и плоскости выбранной грани.
Учащиеся: Найти точку пересечения прямой ТQ с плоскостью нижнего основания
(учитель записывает задачу на доске).
Организация дальнейшей работы:
Один из учащихся выходит к доске и проводит рассуждения по построению точки F (рис.
3, в), а затем отвечает на вопросы учителя.
Учитель: Можем ли мы теперь построить сторону сечения в выбранной грани?
Учащийся: Теперь в плоскости нижнего основания получились две точки,
принадлежащие секущей плоскости, можно построить прямую их пересечения (строит
прямую РF).
Учитель: Является ли РF стороной сечения?
Учащийся: Нет, вершины сечения должны лежать на ребрах призмы, поэтому мы
находим точку S– точку пересечения прямой РF с ребром ВС.
Учитель: В какой грани дальше будем строить сторону сечения?
Учащийся: В правой грани, так как в ней есть две вершины сечения . Это будет сторона
SQ.
Учитель: Сделай вывод, какой многоугольник будет сечением?
Учащийся: ТРSQ – искомое сечение.
F
S
Рис. 3, в
Рис. 3, г
Учитель: Вернемся к ситуации, отраженной на рисунке 3, б. Дальше мы искали сторону
сечения в нижнем основании. Попробуйте найти сторону сечения в правой грани.
Организация дальнейшей работы:
Учащиеся самостоятельно выполняют построение сечения, а затем сверяют свое решение
с рисунком 3, г, а также сравнивают два сечения (рис.3, в и 3, г).
Учитель: Подведем итоги. Что полезного из работы с задачей № 3 можно запомнить на
будущее?
Учащиеся: Список вопросов, которые помогают строить сечение. Могут быть несколько
вариантов в построении сечений. Если построить сечение двумя способами, то можно
себя проверить.
Учитель: Есть ли у кого-то вопросы?
Учащиеся: Что делать, если не будет общих точек секущей плоскости и какой-то грани,
как это написано в схеме?
Учитель: Хороший вопрос. Постараемся на него ответить, решив задачу № 4.
Комментарий. Учитель использует еще один прием, отражающий последовательность
действий при выполнении заданий определенного типа: заранее на доске записываются
вопросы, которые полезно задавать себе по ходу решения. Поскольку построение сечения
вариативно, учитель на том же самом примере рассматривает второй вариант построения
сечения. При подведении итогов учитель выводит учащихся на позицию субъектов
обучения и собственного развития, предоставляя им возможность выделить все то, что, по
их мнению, им может пригодиться в дальнейшем. Использование раздаточного материала
с заранее заготовленными рисунками многогранников позволяет экономить время,
добиваться единства в построении, что не отвлекает на возможные ситуации различного
расположения заданных точек секущей плоскости.
4. Усвоение способа построения сечения многогранника плоскостью через решение
задачи, где в процессе построения возникает ситуация: в грани, где требуется
построить сторону сечения, нет ни одной точки секущей плоскости.
Задача № 4. Построить сечение пирамиды РАВСD плоскостью, которая задана тремя
точками К, М, Н, если точка К принадлежит ребру РD, точка М принадлежит ребру РС, а
точка Н – ребру РВ. (Рис. 4, а)
Рис. 4, а
Рис. 4, б
Учитель: Наметьте план построения.
Учащиеся:
1.
Так как точки К, М лежат в одной плоскости – в задней грани, то можно провести
сторону сечения КМ. (Учитель пишет: 1. КМ.)
2.
Аналогично можно провести сторону МН – в правой грани. (Учитель пишет: 2.
МН.)
3.
Прямые КМ и МН помогут найти две общие точки секущей плоскости и плоскости
основания (Учитель пишет: КМ и МН с Пл.Осн.)
Организация дальнейшей работы:
Один учащийся выходит к доске и с подробным комментированием реализует
намеченный план. Учитель помогает оформить запись построения:
1. КМ.
2. МН.
3. Q; Q =МК ∩ СD.
4. Т; Т =МН ∩ СВ.
5. QT; U; U = QТ ∩ DА; I; I =QТ ∩ АВ;
6. IН;
7. UК.
KMHUI – искомое сечение. (Рис. 4, б)
Комментарий. Мотивом к решению задачи № 4 послужил вопрос учащихся на
предыдущем этапе «Что делать, если не будет общих точек секущей плоскости и какой-то
грани, как это написано в схеме?». Учитель демонстрирует еще прием работы: совместно
с классом намечается план решения, затем ученик, вызванный к доске, реализует данный
план с подробным комментарием, учитель берет на себя функцию оформления записи
построения. В случае учебных затруднений учащихся можно обращаться к шаблону
рассуждений и схеме построения сечений.
5. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.
Учитель: Какой вопрос помогает начать строить?
Учащиеся: Можем ли мы построить сторону сечения в какой-нибудь грани?
Учитель: Как поступаем, если есть две точки, лежащие в одной грани?
Учащиеся: Строим в этой грани сторону сечения.
Учитель: Какая фигура помогает продолжить построение, если в нужной грани точек
сечения нет (или есть только одна точка)?
Учащиеся: Прямая.
Учитель: Какому условию должна удовлетворять выбранная прямая?
Учащиеся: Прямая должна принадлежать секущей плоскости.
Учитель: К какой задаче сводится построение?
Учащиеся: К нахождению точки пересечения прямой и плоскости.
Учитель: Что будете делать, если возникнут затруднения в построении сечений?
Учащиеся: Использовать трафарет рассуждений и схему построения сечений.
Учитель: Попробуйте дома выполнить построение сечений в тех задачах, которые
указаны у вас на карточках. Если все-таки будут затруднения, то прямо в тетрадях
записывайте те моменты, где вы не смогли что-то сделать. Например: Знаю, что надо
искать… , но не смог…
Комментарий. Подведение итогов касается ключевых моментов в решении задач на
построение сечений. Учитель ставит вопрос, который выводят учащихся на рефлексию:
«Что будете делать, если возникнут затруднения в построении сечений?». Оценивать свои
затруднения предложено и в домашней работе.