12984 Методы оптимизации
advertisement
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Рабочая программа учебной дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Рабочая программа учебной дисциплины по специальности 230200.65 Информационные системы и технологии Владивосток Издательство ВГУЭС 2014 ББК Рабочая программа по дисциплине «Методы оптимизации» составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО. Предназначена для студентов специальности 230200.65 Информационные системы и технологии. Составитель: В.П. Кривошеев д-р. техн. наук, профессор кафедры ИСПИ. Утверждена на заседании кафедры Информационных систем и прикладной информатики от 19.03.14г., протокол № 9. Утверждена на заседании Ученого совета института ИИБС от 29.04.14г., протокол № 7. © Издательство Владивостокского государственного университета экономики и сервиса, 2014 Введение Любые действия, любые решения предполагают достижение наилучшего значения выбранного показателя эффективности этих действий и этих решений. При этом, как правило, имеют место условия в виде математических связей и ограничений. Дисциплина «Методы оптимизации» предусматривает решение задач по определению оптимальных управлений (решений), доставляющих наилучшее значение (максимальное или минимальное) критерию оптимальности. Критерием оптимальности может служить количественная оценка минимизации затрат, максимизации прибыли, максимизации производительности и т.д. Задача оптимизации практически имеет место всегда и везде. В дисциплине «Методы оптимизации» рассматриваются методы статической и динамической оптимизации. Учебная задача. Научить студентов корректно формулировать задачи статической и динамической оптимизации, раскрыть содержание и особенности методов решения задач статической и динамической оптимизации и область их применения, использовать эти методы при решении практических задач. Изучение дисциплины «Методы оптимизации» тесно связано с такими дисциплинами, как «Высшая математика», «Экономика», «Физика», «Основы теории управления» Для изучения дисциплины необходимы знания математики в объеме университетского курса. Знания и навыки, получаемые студентами в результате изучения дисциплины, необходимы для таких дисциплин как, «Моделирование систем», «Экономика», «Технологии программирования». Особенность изучаемой дисциплины состоит в том, что для ее изучения студенты должны получить хорошую математическую подготовку. Студенты получают как теоретические знания, так и практические навыки в области статической и динамической оптимизации. Преподавание дисциплины ведется с использованием новейших мультимедийных средств. 1. Организационно-методические указания 1.1 Цели и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины «Методы оптимизации» состоит в том, чтобы студент получил знания по решению задач статической и динамической оптимизации. Основные задачи изучения дисциплины: При теоретической подготовке: - освоить постановку задач статической и динамической оптимизации; - освоить аналитическое решение и численные методы решения задач статической и динамической оптимизации. На практических занятиях и при выполнении курсовой работы студент должен для заданных условий и исходных данных решить поставленные задачи оптимизации. 1.2 Перечень компетенций, приобретаемых при изучении дисциплины Изучение дисциплины формирует следующие профессиональные компетенции: умение ставить и решать практические задачи статической и динамической оптимизации, знать методы решения задач статической и динамической оптимизации, правильно их формулировать и применять в конкретно поставленных задачах 1.3. Основные виды занятий и особенности их проведения Дисциплина "Методы оптимизации" изучается студентами очной формы обучения в седьмом семестре. Общее количество часов, которое отводится для изучения дисциплины, - 133. Для студентов очной формы обучения количество аудиторных часов – 51. На самостоятельную работу отводится 82 часов, из них: 20 часов на подготовку к экзамену, 10 часов на выполнение двух контрольных работ, 32 часа на оформление отчетов и подготовку к защите по индивидуальным заданиям и 20 часа на самостоятельное изучение материала и консультации. В ходе изучения дисциплины студент слушает лекции по теоретическому материалу, ряд вопросов выносится на самостоятельное изучение. Контроль усвоения материала проводится по результатам выполнения индивидуальных заданий. Для помощи студенту в освоении теоретического материала лекционных занятий и самостоятельной работы предусматриваются консультации ведущего преподавателя. Для защиты выполненных заданий в рамках самостоятельной работы студента предусмотрено время для оформления отчета и освоения теоретического материала для ответов на контрольные вопросы. Наряду с посещением лекций и выполнением индивидуальных заданий `учебным планом предусматривается выполнение курсовой работы. Для подготовки к экзамену студенту отводится время для самостоятельной работы и консультация ведущего преподавателя перед экзаменом. 1.4. Виды контроля и отчетности по дисциплине В ходе изучения дисциплины предусматриваются: текущий контроль знаний студентов и промежуточная аттестация. Текущий включает: - защиту отчетов по выполняемым индивидуальным практическим занятиям и защиту разделов курсовой работы, - оценку знаний и умений студентов на консультациях по лекционным и практическим занятиям. Текущая аттестация проводится в соответствии с Положением о рейтинговой системе оценки успеваемости студентов во Владивостокском государственном университете экономики и сервиса. Текущая аттестация проводится в форме письменного опроса по разделам дисциплины, изученным студентом в период между аттестациями. При этом учитывается количество выполненных и защищенных заданий за отчетный период. Дисциплина завершается промежуточной аттестацией в седьмом семестре. Условием допуска студента к экзамену является успешное прохождение двух текущих аттестаций в соответствии с требованиями Положения о рейтинговой системе оценки успеваемости студентов во ВГУЭС. Кроме того, студент должен выполнить и защитить отчёты по индивидуальным заданиям и курсовую работу. Итоговая оценка определяется в соответствии с требованиями Положения о рейтинговой системе оценки успеваемости студентов во ВГУЭС на основе результатов текущих и промежуточной аттестаций. 1.5. Техническое и программное обеспечение дисциплины Лекционные занятия проводятся в мультимедийных классах, практические занятия проводятся в компьютерных классах, оснащенных также мультимедийными средствами. Для проведения практических занятий используются программные пакеты: “Extremum-1”, “Extremum-2”, ”Simplex”, “Принцип максимума”. 2. Содержание курса 2.1 Перечень тем лекционных занятий Тема 1.Основные определения. Оптимизация. Критерий оптимальности. Необходимые условия для оптимизации. Тема 2. Постановка задач статической и динамической оптимизации. Содержание задачи статической оптимизации. Содержание задачи динамической оптимизации. Область применения задач статической и динамической оптимизации. Тема 3. Методы решения одномерных задач статической оптимизации. Классический метод исследования функций на экстремум. Численные методы решения одномерных задач статической оптимизации: сканирования, половинного деления, “золотого” сечения, с использованием чисел Фибоначчи. Тема 4. Методы решения многомерных задач статической оптимизации. Kлассический метод исследования функций на экстремум. Метод множителей Лагранжа. Условия КунаТаккера. Численные методы решения многомерных задач статической оптимизации: методы Гаусса-Зайделя, релаксаций, градиента, наискорейшего спуска, слепого поиска, случайных направлений. Овражный метод. Метод штрафных функций. Тема 5. Решение задач линейного программирования. Особенности задач линейного программирования. Симплекс метод решения задач линейного программирования. Симплекс метод в форме таблиц. Тема 6. Решение задач статической оптимизации большой размерности. Декомпозиционные методы решения задач статической оптимизации большой размерности. Динамическое программирование в дискретной форме. Функциональные уравнения динамического программирования. Алгоритм решения задач методом динамического программирования в дискретной форме. Тема 7. Методы решения задач динамической оптимизации Классическое вариационное исчисление. Условия применения классического вариационного исчисления. Уравнение Эйлера для простейшего функционала. Необходимые условия для функционала, зависящего от функции и её m производных. Необходимые условия экстремума для функционала, зависящего от n функции и от их первых производных. Необходимые условия экстремума для функционала, зависящего от n функций и от m производных этих функций. Решение вариационных задач на условный экстремум Принцип максимума. Область применения принципа максимума. Алгоритм решения задач с использованием принципа максимума. Особенности решения задач на максимальное быстродействие. Связь принципа максимума и классического вариационного исчисления. Динамическое программирование в непрерывной форме. Уравнение Беллмана. Алгоритм решения уравнения Беллмана. Связь динамического программирования и классического вариационного исчисления. 2.2 Перечень тем практических занятий Тема 1. Аналитическое определение экстремума функции одной и нескольких переменных. Для заданного вида функций выполняется их исследование на экстремум. Тема 2. Решение одномерной задачи статической оптимизации численными методами. Описываются методы половинного деления, “золотого ” сечения, с использованием чисел Фибоначчи и демонстрируется пошаговый поиск экстремума заданной функции каждым из указанных методов. Тема 3. Решение многомерной задачи статической оптимизации численными методами. Описываются методы релаксаций, градиента, наискорейшего спуска и демонстрируется пошаговый поиск экстремума заданной функции каждым из указанных методов. Тема 4. Решение задачи выбора оптимального пути на сетевом графе. Составляются функциональные уравнения динамического программирования для каждого шага принятия решений. Рассчитываются условно-оптимальные траектории и отыскивается оптимальная траектория перехода из исходной вершины графа в конечную вершину. Тема 5. Решение задачи синтеза оптимального управления с использованием принципа максимума. Для системы второго порядка определяется оптимальное управление для перевода системы из исходного состояния в конечное за минимальное время. 3. Методические рекомендации по изучению курса 3.1 Перечень и тематика самостоятельных работ студентов, методические указания и формы отчетности В рамках общего объема часов, отведенных для изучения дисциплины, предусматривается выполнение следующих видов самостоятельных работ студентов (СРС): контрольные работы (индивидуальные домашние задания), самостоятельное изучение теоретического материала с самоконтролем по приведенным ниже вопросам, изучение теоретического материала при подготовке к защите отчётов по индивидуальным практическим заданиям и курсовой работы, итоговое повторение теоретического материала. Для самостоятельного изучения дисциплины выносится часть материала по всем темам дисциплины с самоконтролем по контрольным вопросам и возможностью консультации у ведущего преподавателя общим объемом 112 часов СРС. 3.2 Перечень тем курсовых работ: Для выполнения курсовой работы каждый студент получает индивидуальное задание и решает следующие задачи. 1 Определение оптимальной долговечности изделия аналитическим методом. Здесь формируются общие затраты на проектные и исследовательские работы, на изготовление и эксплуатацию заданного числа изделий с искомой долговечностью на рассматриваемом интервале времени. Вычисляют время эксплуатации изделия, при котором общие затраты принимают минимальное значение. 1. Определение оптимального объема производства продукции разных видов при заданных запасах сырья симплекс методом. Решается задача максимизации прибыли при производстве продукции разных видов при заданных запасах сырья и нормах его расходования для каждого вида продукции. Используется симплекс метод в форме таблиц, а для двумерной задачи приводится также геометрическая интерпретация (графический метод). 2. Оптимизация вложения инвестиций с использованием метода динамического программирования в дискретной форме. Из общего объема определяется такой объем инвестиций, вкладываемых в каждое из заданного числа мероприятий, при котором максимизируется прибыль. 3.3 Методические рекомендации по работе с литературой Для изучения теоретического материала по дисциплине предлагаются учебные пособия [1]. При выполнении индивидуальных заданий по практическим занятиям и контрольной работы рекомендуется учебно-методическое пособие [2]. Для более глубокой проработки теоретического материала можно обратиться к источникам [4,6]. Для повышения практической подготовки рекомендуются сборники задач [3,7]. 3.4 Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества освоения дисциплины Что входит в состав системы управления? Что является содержанием оптимального управления? Что характеризует критерий оптимальности? Какова математическая форма критерия оптимальности в задачах динамической оптимизации? 5. Каково содержание постановки задачи статической оптимизации? 6. Каково содержание постановки задачи динамической оптимизации? 1. 2. 3. 4. 7. Какой из экстремумов называется локальным? 8. Какой из экстремумов называется глобальным? 9. Что составляет содержание необходимого и достаточного условий экстремума целевой функции одной переменной? 10. Что составляет содержание необходимого и достаточного условий экстремума целевой функции многих переменных? 11. Какой аналитический метод применяется для решения задач статической оптимизации при условиях типа равенства? 12. Какой аналитический метод применяется для решения задач статической оптимизации при условиях типа неравенства? 13. Каково содержание метода сканирования при поиске экстремума функции многих переменных? 14. Каково содержание метода Гаусса-Зейделя? 15. В чем отличие метода релаксаций от метода ГауссаЗейделя? 16. Каково содержание метода градиента? 17. Какое свойство градиента обеспечивает эффективность поиска? 18. В чем состоит отличие метода наискорейшего спуска от метода градиента? 19. В каком случае метод градиента эффективнее метода наискорейшего спуска? 20. В каком случае метод наискорейшего спуска эффективнее метода градиента? 21. Каково содержание метода движения по дну оврага? 22. Каково содержание метода штрафных функций при решении задачи статической оптимизации при ограничениях типа равенства? 23. Каково содержание метода штрафных функций при решении задачи статической оптимизации при ограничениях типа неравенства? 24. Какие поисковые методы используются в методе штрафных функций при решении задачи статической оптимизации при ограничениях типа равенства? 25. Какие поисковые методы используются в методе штрафных функций при решении задачи статической оптимизации при ограничениях типа неравенства? 26. В чем сущность декомпозиционных методов оптимизации? 27. Каково содержание принципа оптимальности – основе динамического программирования? 28. Какова структура функциональных уравнений в динамическом программировании? 29. Каков алгоритм решения задачи методом динамического программирования? 30. На чем базируется классическое вариационное исчисление? 31. Каково содержание уравнения Эйлера для простейшего функционала? 32. Каково содержание необходимых условий экстремума функционала, зависящего от п функций и их первых производных? 33. Каково содержание необходимых условий экстремума функционала, зависящего от функции и ее m производных? 34. Каково содержание необходимых условий экстремума функционала, зависящего от п функций и m производных от каждой из этих функций? 35. Каков алгоритм решения вариационной задачи при условиях в виде периметрических (интегральных) связей? 36. Каков алгоритм решения вариационной задачи при условиях в виде голономных и не голономных связей? 37. В чем заключается особенность вариационных задач оптимального управления. 38. Каково содержание принципа максимума? 39. Каков общий алгоритм решения задачи с использованием принципа максимума? 40. В чем заключается особенность решения задачи на максимальное быстродействие? 41. Каков алгоритм решения задачи с использованием принципа максимума численными методами? 42. Каково содержание уравнения Беллмана в задачах динамической оптимизации? 43. Каков алгоритм решения задачи с использованием уравнения Беллмана? 44. Можно ли доказать связь между классическим вариационным исчислением, принципом максимума и динамическим программированием в непрерывной форме? 4. Список рекомендованной литературы Основная 1. Кривошеев В.П. Теория оптимального управления экономическими системами. Учебное пособие.Владивосток: Издательство ВГУЭС, 2009. 2. Кривошеев В.П. Теория оптимального управления экономическими системами. Практикум. Владивосток: Издательство ВГУЭС, 2005. Дополнительная 3. Сборник задач по оптимизации: Теория. Примеры. Задачи : учебное пособие для студ. вузов, обучающихся по математическим спец.. / В. М. Алексеев, Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. 4. Шимко П.Д. Оптимальное управление экономическими системами. Учебное пособие СПб.: Изд. Дом «Бизнес-пресса», 2004. 5. Рубан А.И. Методы оптимизации: Учеб. Пособие. 3-е изд., испр. и доп. Красноярск: ИПЦ КГТУ. 2004. 6. Интрилигатор М, Математические методы оптимизации и математическая экономика. - М.: АЙРИС ПРЕСС. 2002. 7. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособия для студ. высш. техн. учебных заведений / А.В.Пантелеев, Т.А.Летова.—М.: Высш. шк.: 2002.
