Карамов С.
advertisement
305 МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ПРОНИ ДЛЯ СОПРОВОЖДЕНИЯ ТРОХОИДАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ С.В. Карамов1 1 ООО "Вакарис", 141607, Московская обл., г. Клин, Волоколамское шоссе, 44, стр. 28, sergkar@mail.ru Рассматривается модифицированный метод наименьших квадратов Прони для распознавания, сопровождения и прогнозирования трохоидальных траекторий, получаемых при наблюдении за вращающимися и произвольно перемещающимися в пространстве объектами. Приводится сравнение с другими методами обработки подобных траекторий. Введение В различных приложениях существует необходимость в осуществлении обнаружения, сопровождения и управления объектами, в движении которых присутствует вращательная составляющая. К таким объектам, к примеру, относятся летательные аппараты (ЛА), вращающиеся вокруг своей продольной оси и произвольно перемещающиеся в пространстве преимущественно в заданном направлении [1]. При наблюдении за подобным ЛА, на плоскость перпендикулярную оси визирования проецируется траектория, имеющая две составляющие, поступательную и вращательную. Предполагается, что на ЛА существует источник излучения, координаты центра которого можно принять за реперную точку, по которой проводится наблюдение. В случае отсутствия источника излучения, за реперную точку можно взять любой малый участок ЛА, максимально удаленный от оси вращения. Под наблюдением подразумевается измерение двумерных координат реперной точки в дискретные моменты времени. Получаемую в результате наблюдения двумерную траекторию условимся называть трохоидальной, поскольку на плоскости она приближается функцией – обобщенной трохоидой. Для слежения за ЛА необходимо выделение составляющих параметров траектории, таких как: координаты центра вращения, частоты вращения, текущей фаза вращения, радиуса вращения. По этим параметрам возможно решение задачи распознавания ЛА, прогнозирования движения в случае пропадания координат, формирования модельной сглаженной траектории и др. Также, процесс измерения координат подвержен воздействию пассивных и активных помех, в результате действия которых появляются ошибки в измерениях либо отсутствие достоверных измеренных координат. На рисунке показан пример идеальной трохоидальной траектории, зашумленной траектории, а также траектории поступательного движения центра вращения. 306 В [2,3] описываются восемь методов обработки трохоидальных траекторий. Условно их можно разделить на две группы. К первой группе относятся методы использующие расчет параметров на локальном участке с последующей фильтрацией этих параметров и их прогнозировании в случае пропадания фильтром Калмана. Ко второму методу относится квазиоптимальная обработка, при которой расчет параметров происходит одновременно с их Калмановской фильтрацией. В настоящей статье представлен дополнительный метод обработки траектории, основанный на модифицированном методе Прони [4]. Оценка параметров методом Прони В параметрическом виде модель измеренного двумерного сигнала можно представить в виде уравнений M x(t ) xс (t ) Rm (t ) cos m (t ) x (t ) m 1 M y (t ) yс (t ) Rm (t ) sin m (t ) y (t ) (1) m 1 xс (t ), yс (t ) где: – координаты поступательной составляющей (центра вращения); R (t ) – радиус вращения; (t ) – фаза вращения. x (t ), y (t ) – шумы измерения. Нестационарные параметры сигнала (1) в общем случае могут изменяться произвольно. Будем рассматривать локальный участок траектории, на котором измерено какоелибо количество координат за время T. Интервал дискретизации – τ. Соответственно число равноотстоящих отсчетов: n=T/τ. Введем признак наличия достоверных координат ek. Отсчеты, содержащие информацию с достоверными координатами, имеют ek=1, в противном случае ek=0, где k=1,...,n – номер отсчета в текущем анализируемом временном интервале. Основу алгоритма составляет вычисление оценки параметров сигнала по методу Прони с последующей фильтрацией Калмана по каждому параметру. Примем гипотезу о меньшей динамике поступательной составляющей центра вращения перед вращательной составляющей. В общем случае, вращательных составляющих может быть произвольное количество. Применительно к реальным объектам подлежащих распознаванию и сопровождению, например ЛА, обычно бывает достаточно всего двух гармонических членов. Первый отвечает за основное вращение по углу крена, тогда как второй отражает наличие какой-либо дополнительной составляющей второго порядка малости. Подобной гармоникой может быть описано, к примеру, явление флаттера – высокочастотного колебания вращающейся консоли стабилизатора или крыла ЛА. Для упрощения дальнейших выкладок будем использовать комплексную форму записи параметрических уравнений (1) M z (t ) zс (t ) Rm (t )ei m (t ) z (t ) (2) m 1 Траекторию центра вращения, на локальном участке можно приблизить выражением zс (t ) R1ei1 R2ei 2 t 2 R3ei 3t 3 (3) Возможное изменение радиуса вращения на локальном участке, можно приблизить экспонентой. Таким образом, добавляя к (3) члены, отвечающие за основное вращение и флаттер, получим сумму пяти комплексных экспонент с изменяющейся амплитудой. M z (t ) Rm e mt ei mt m , (4) m1 где M=5 – порядок метода. Для применения метода Прони перепишем (4) в виде M M m 1 m 1 zk Rmei m e m i m k 1 hm Emk 1 (5) Для того, чтобы учесть отсутствующие отсчеты входного сигнала, введем новый весовой параметр, определяемый через признаки пропадания входных данных. В общем случае для порядка M весовой параметр определяется как: ek ek ek 1 ... ek M , (6) k M 1,..., N . при Необходимые комплексные коэффициенты характеристического многочлена находятся 307 n 2 M P ek a0 zk M , min k 3 (7) m 0 где a0=1. Решение (7) представляется в виде S1 a S2 (8) n T где: S1i , j ek zki zk j , ai ai , k 3 n S 2i , j ek zki zk , i, j 1,2,..., M , "*" – k 3 операция комплексного сопряжения. Отсюда легко находятся am. Комплексные значения Em вычисляются как корни M a E M m 0 0 m 0 (9) любым из известных способов. Для поиска hm запишем: n min e k 1 k M 2 zk hm E m1 k 1 m Решение находится из уравнения В1 h В2 (10) (11) k 1 T В1i , j ek Ei E j , hi hi , k 1 n k 1 В 2i , j ek Ei zk , i, j 1,2,..., M k 1 Оценки искомых параметров гармоник в (4) находятся из следующих уравнений m 1 arg Em , m 1 ln Em (12) m arg hm , Rm hm , n где: Оценка параметров методом Прони с удалением тренда Чем выше задается порядок метода Прони, тем больше проявляется неустойчивость оценок параметров к ошибкам измерения. Понизить порядок до минимально возможного и увеличить точность расчета параметров возможно удалением постоянной составляющей и тренда в измерениях. Исходя из гипотезы о динамике перемещения центра вращения, достаточно выбрать полиномиальную модель невысокого порядка P M p 1 m 1 z (t ) c pt p 1 Rm (t )ei m (t ) . (13) Для равномерных отсчетов запишем: zk ek c p k p 1 p 1 M hm Emk 1 (14) m1 Для нахождения коэффициентов минимизируем выражение cp, 2 P p 1 (15) min ek z k ek c p k k 1 p 1 что легко можно сделать любыми из известных методов, например, методом наименьших квадратов с весами. Вычислив необходимые коэффициенты полинома, вычитаем его из входного сигнала, компенсируя тем самым возможные тренды. В этом случае порядок экспоненциальной модели M=2, что значительно повышает устойчивость решения. Необходимо учитывать, что при обработке сигнала длительностью в пределах одного периода, следует использовать полином с P=1. При длительности соизмеримой с несколькими оборотами, оптимально использование P=2. При увеличении n растет точность экспоненциальной аппроксимации вращения но уменьшается точность полиномиальной аппроксимации перемещения центра вращения. Далее, вычисленные локальные параметры поступают на фильтр Калмана, где сглаживаются и прогнозируются в случае пропадания сигнала. Все расчеты при поступлении следующего измерения повторяются. Размер временного окна для оценки параметров должен адаптивно перестраиваться в соответствии со значениями сглаженных оцениваемых параметров. n Результаты Приведенные алгоритмы исследовались на модельных траекториях и реальных данных с объекта управления в условиях наличия шума и пропадания сигнала. В первом случае использовался обычный метод Прони. Во втором случае использовался метод с удалением тренда. Оценки производились по среднеквадратической ошибке аппроксимации 1 n 2 (16) ek zk zˆk n k 1 308 Для различных совокупностей параметров второй метод оказался более точным. Однако при больших величинах СКО шума, оба метода дали недопустимые расчетные погрешности гармонических составляющих. Впрочем, известно [4], что метод Прони обеспечивает приемлемую точность только при малых соотношениях сигнал-шум. Если флаттер явно не выражен, то соответствующий экспоненциальный член можно опустить, понизив порядок M. В противном случае возможно паразитное влияние вычисленной ложной гармоники на основное вращение. Необходимо также отметить, что при наличии одного недостоверного измерения сигнала, в первом методе при расчетах необходимо исключать шесть измерений, а во втором только три. Для приведенных методов по сравнению с методом полной аппроксимации траектории нелинейными параметрическими уравнениями [1], ошибка (16) более чем на два порядка выше. Заключение Алгоритмы на основе метода Прони, в особенности с удалением тренда, обладают преимуществом над методом полной нелинейной аппроксимацией в скорости вычисления. С другой стороны, в приложениях, где ошибки измерения координат велики, они становятся неработоспособными. Большим недостатком подходов основанных на методе аппроксимации Прони, является прямая зависимость числа не учитываемых отсчетов сигнала находящихся после недостоверного от порядка модели. В некоторых практически важных случаях, при частых потерях сигнала, эта зависимость может оказаться совершенно неприемлемой. Это общая закономерность методов на основе линейного предсказания. Достоинством предлагаемого подхода, особенно при P=2 и M=2, является низкая вычислительная сложность. В этом случае нет необходимости проводить ресурсоемкую процедуру факторизации многочлена и одновременно малы числа обусловленности в получаемых матрицах. Полученные алгоритмы могут быть применены, в частности, в оптикоэлектронных системах построенных на фотоприемниках изображения матричного типа, выдающие последовательность изображений. Список литературы 1. Карамов С.В., Тикменов В.Н. Построение оптико-электронных систем управления безгироскопной вращающейся ракетой // XXXII военно-научная конференция 2ЦНИИ МО РФ «Актуальные проблемы организации комплексного противодействия силам и средствам воздушно-космического нападения», Тверь, 2007. Ч.2, Кн.3, –С. 173-176. 2. Карамов С.В. Методы идентификации параметров трохоидальной траектории летательного аппарата // VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Труды. –М.: ИПУ РАН, 2007. –С. 293-323. 3. Карамов С.В. Оценка параметров и прогноз движения вращающегося объекта имеющего трохоидальную траекторию по видеоизображению // XVI Международная конференция по компьютерной графике и ее приложениям «Графикон’2006». Труды. Новосибирск, 2006. –С. 347-350. 4. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.
