Материалы к городскому обучающему семинару для учителей

Материалы к городскому обучающему семинару для учителей математики
по подготовке обучающихся к ГИА и ЕГЭ. 20 февраля 2012 года
Решение рациональных неравенств
Решите неравенство:
1) ( х  3)( х  2) х( х  1)  0 ;
2) ( х  2) 3 ( х  1)( х  1) 2 ( х 2  2 х  5)  0 ;
3)
( х  3) 2 ( х  2) х
0;
( х  1) 4 ( х  5)
7 х  12  х 2
 0;
2х 2  х  3
х3
 2.
5)
х2
4)
2) Решение. ( х  2) 3 ( х  1)( х  1) 2 ( х 2  2 х  5)  0 .
Трехчлен х 2  2 х  5 при всех х  R принимает положительные значения, т.к.
D  2 2  4  5  16 <0. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству
( х  2) 3 ( х  1)( х  1) 2  0 . Многочлен обращается в нуль в точках
х  2; х  1; х  1. Эти точки разбивают координатную прямую на промежутки
Итак, получаем х  (1;1)  (1;2)
5) Решение.
х3
 2.
х2
Данное неравенство равносильно двум системам:
а),
x3
 0,
x2
x3
 2;
x2
x3
 0,
x2
б)

x3
 2.
x2
Из первой системы получаем 0 
из второй -
2
x3
 2,
x2
х3
 0.
х2
Объединяя полученные результаты, заключаем, что  2 
х3
 2.
х2
Итак, данное неравенство равносильно системе
x3
 2,
x2
x3
 2 ;
x2
x7
 0,
x2
3х  1
 0.
x2
Решая первое неравенство, находим что х  2 или x  7;
из второго неравенства имеем x 
x
1
или x  7 .
3
Ответ:
1
или x  2. окончательно получаем, что
3
1
х  (;   7 :  
3
Решение иррациональных неравенств
Решение иррациональных неравенств требует от учащихся хороших
теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания,
трудолюбия, сообразительности.
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод
равносильных преобразований .
Пример 1
Решите неравенство
Решение.
Сразу перейдём к равносильной системе:
Ответ:
Пример 2 Решите неравенство
Решение:
Перейдём к равносильной системе:
Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем:
Ответ:
13) Найдите сумму и число целых решений неравенства
3
12  x  x 2  4 x  3  0 ;
Решение:
Перейдем к равносильной системе
3
12  x  x 2  4 x  3  0  х  3  0 ,
12  x  x 2  0 ;

х  3 ,
 3 x  3
 4  x  3;
Сумма -2-1+0+1+2=0;
Ответ: 0; 5.
"Сборник задач по алгебре, 8-9", авт. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И.
Звавич
Данная книга представляет собой сборник задач по курсу алгебры,
предназначенный для учащихся 8-9 классов с углубленным изучением
математики.
В начале параграфа "Степень с рациональным показателем" помещен
справочный материал теоретического характера, посвященный иррациональным
уравнениям и неравенствам. Описаны такие пути решения иррациональных
уравнений, как:
возведение обеих частей уравнения в натуральную степень с последующей
проверкой найденных корней;
переход к равносильным системам, в которых учитывается область
определения уравнения и требование неотрицательности обеих частей
уравнения, возводимых в четную степень.
При решении иррациональных неравенств либо используется метод
интервалов, либо с помощью равносильных преобразований заменяется данное
иррациональное неравенство системой (или совокупностью систем)
рациональных неравенств.
В параграфе рассмотрено три способа решения иррационального уравнения
вида
:
переход к равносильной системе;
введение новой переменной;
использование свойства монотонности функций.
Среди упражнений, помещенных в данном параграфе, есть упражнения для
закрепления умений и навыков решать иррациональные уравнения и
неравенства. В №№115-117 необходимо доказать, что уравнение не имеет
решения, в №№118-119 - ответить на вопрос: равносильны ли уравнения.
№№120-144 предлагаются для решения иррациональных уравнений, №№145-155
- для решения неравенств описанными выше способами.
Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для
учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1999. - 271с.
Неравенства в ГИА
Решите неравенство:
6) ( х  3)( х  2) х( х  1)  0 ;
7) ( х  2) 3 ( х  1)( х  1) 2 ( х 2  2 х  5)  0 ;
8)
( х  3) 2 ( х  2) х
0;
( х  1) 4 ( х  5)
7 х  12  х 2
 0;
2х 2  х  3
х3
 2.
10)
х2
9)
11) x  1  3 ;
12) x  1  2  x ;
13) x  2  x  2 ;
14) x 2  2 x  8  0 .
15) 2 x 2  7 x  x  2 ;
16) x  15  5  x .
17)Найдите сумму и число целых решений неравенства
3
 x2  x  6  6  x  0 ;
18)Найдите сумму и число целых решений неравенства
3
12  x  x 2  4 x  3  0 ;