«Математика

АНООВО Севастопольская морская академия
Кафедра «Фундаментальных дисциплин»
Методические указания к проведению практических занятий
по учебной дисциплине
«Математика»
для студентов заочной формы обучения
направления/специальности
26.05.05 Судовождение;
26.05.06 Эксплуатация судовых энергетических установок;
26.05.07 Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики
Севастополь-2014 г.
Практическое занятие 1.
Тема: Определители 2 и 3-го порядка. Свойства определителей.
Цель:
1. Научить студентов вычислять определители 2-го ,3-го и последующих порядков с помощью
формулы Лапласа.
2. Научить находить минор определителя и алгебраические дополнения к элементам исходного
определителя
Время: 2 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1.
2.
3.
4.
5.
Понятие определителя.
Основные свойства определителей.
Вычисление определителей 2-го порядка.
Определение минора.
Определение алгебраического дополнения.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
1. Определитель 2 порядка – число, которое обозначается символом:
Примеры.
1 2
1)
;
3 1
3 2
a1
b1
a2
b2
 a1b2  b1a2 .
sin 2 
cos 2 
sin 2 
a
a
2. Определитель 3 порядка – число, которое обозначается символом:
a1 b1 c1
a2 b2 c2  a1b2c3  a2b3c1  a3b1c2  a3b2c 1  a1b3c2  a2b1c3 .
cos 2 
2)
a3 b3 c3
Примеры.
1 0 2
6)  3 2 1 ;
4 1 3
4 2
4
6
;
3)
2
3
6 5
2
отв. -17.
;
3
4)
a
1
3
7) 4  2 1 ; отв. -19.
1 2 3
;
5)
x
8) 0
x
1
x
1
.
x
 1 ; отв. -2х.
x
1
9) 5 3  2 ; отв. 1.
3 2 1
3. Разложение определителя по элементам строки или столбца.
Минором Мij называется определитель, полученный вычеркиванием в исходном определителе i –
ой строки и j – го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента аij называется минор, умноженный на (-1)i+j, где i+j –
сумма номеров строки и столбца для элемента аij.
  a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n - разложение определителя по элементам первой строки.
Примеры. Вычислить определители 6-9 разложением определителя по элементам строки или
столбика.
4. Свойства определителей
1) при замене столбиков строчками значение определителя не изменится;
2) при перестановке двух строчек (столбиков) местами, определитель меняет знак на
противоположный;
3) определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными строчками (столбиками) равен
нулю;
4) общий множитель элементов столбика (строчки) можно вынести за знак определителя;
5) значение определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы
другой строки, умноженного на произвольное число.
Примеры.
Упростить и вычислить определители:
I III
2 1 0
0 0 3
3 2
1) 3
2 1
 3 2 1  3
 21.
2 1
2 1
3
2 1 3
2 1 3
3 2 1
2) 5 3 2 ;
1 4 3
4 2
1
4) 5 3  2 .
3 2 1
3) 2 5 3 ;
3 4 2
Практическое занятие 2.
Тема: Определители п-го порядка. Правило Крамера для решения систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Жордано-Гаусса
Цель:
3. Научить студентов вычислять определители п-го.
4. Научить решать СЛАУ методом Крамера, Жордано-Гаусса.
Время: 2 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Определение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
2. Решение СЛАУ методом Крамера.
3. Решение СЛАУ методом жордано-Гаусса.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
1. Определитель 4-го порядка, n-го порядка.
0
1 2
1
 2 1 3 1
1 0 4
3
0
1
2 1
2 III  II

0
1
0
1 5 7
3
4
3
0
1
1
x
 1 = 0 (Отв. х=3)
2 1 5
4
1
1 0
3. Решить уравнение:
1
2
5
3.Рассмотрим систему уравнений
2
1
2
1
 (1) 1  5  7  (5  28  1  10  2  7)  17.
2
1
1
 a1 x  b1 y  c1 z  h1 ,

(1)
a2 x  b2 y  c2 z  h2 ,
a x  b y  c z  h ,
3
3
3
 3
с неизвестными х, у, z (коэффициенты a1…, b1 ..., с2 и свободные члены h1, h2, h3 предположим
данными).
Введём обозначения:
a1 b1 c1
h1 b1 c1
a1 h1 c1
a1 b1 h1
 = a2 b2 c2 , х = h2 b2 c2 , y = a2 h2 c2 , z = a2 b2 h2 .
a3
b3
c3
h3
b3
c3
a3
h3
c3
a3
b3
h3
Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется
определителем данной системы.
Полезно заметить, что определители x, y, z получаются из определителя  при помощи
замены соответственно его первого, второго и, наконец, третьего столбца — столбцом свободных
членов данной системы. Если   0, то система (1) имеет единственное решение; оно определяется
формулами



x= x, y= y, z= z.



Предположим теперь, что определитель системы равен нулю ( = 0), то
1) Если хотя бы один из определителей x, y, z отличен от нуля, то система (1) не имеет решений;
2) Если все дополнительные определители x, y, z равны нулю, то система уравнений имеет
множество решений.
Пример решения системы уравнений с помощью формул Крамера:
 x  2y  3z  9

Дана СЛАУ  2x  4y  z  11 . Найти неизвестные x, y и z.
3x  4y  2z  18

Решение.
Вычислим определители:
1 2
3
9
2
3
det A    2 4 1  14;
D x   x  11 4 1  56;
3 4
2
18 4
1
3
1 2
9
D y   y  2 11 1  14;
3 18
2
9
D z   z  2 4 11  14.
2
3 4 18
Находим неизвестные по формулам Крамера
x 
x
56

 4;

14
y 
y


14
 1;
14
z 
z
14

 1.

14
После нахождения решения СЛАУ рекомендуется выполнить проверку, подставив найденные
величины неизвестных во все уравнения системы, и убедиться, что все уравнения обращаются в тождества.
 x  y  z  36,
 x  2 y  z  4,


1.  x  z  y  13, (отв. 24,5; 21,5; 10) 2. 3x  5 y  3z  1, (отв. 1;1;1)
 y  z  x  7,
 2 x  7 y  z  8,


 2 x  y  5,
 x  y  z  36,


3.  x  3z  16,
4. 2 x  3 z  17,
(отв. 13 1 ;8 1 ;14 1 )
4 4
2
5 y  z  10,
 6 x  5 z  7,


(отв. 1; 3; 5)
 x  y  z  a,
1
1
1

5.  x  y  z  b,
(отв. (b  c); ( a  b); (a  c) .)
2
2
2
 x  y  z  c,

 2 x  y  z  2,

6. x  2 y  3 z  1,
 x  3 y  2 z  3.

(отв.не имеет решений )
 x  2 y  4 z  1,

7. 2 x  y  5 z  1,
 x  y  z  2.

(бесконечно много решений)
Практическое занятие 3.
Тема: Матрицы и действия над ними.
Цель:
Выработать необходимые умения и практические навыки при:
 сложении и умножении матриц;
 при нахождении матрицы, обратной к данной.
Время: 3 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Определение матрицы. Их обозначения.
Произведение матрицы на число.
Сумма (разность) матриц.
Определение единичной матрицы.
Определение диагональной матрицы.
Определение присоединенной матрицы.
Запись СЛАУ в матричной форме.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
Основные типы матриц:
1) Скаляр – это матрица порядка (1,1).
2) Вектор-столбец - матрица порядка (m,1).
3) Вектор-строка - матрица порядка (1,n).
4) Диагональная матрица – это квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условиям aij
=0 при i ≠ j, т.е. все элементы, не стоящие на главной диагонали равны 0.
5) Единичная матрица (Е)
6) Транспонированная матрица (МТ) .
7) Вырожденная (особая) матрица – это такая квадратная матрица, детерминант которой равен 0.
8) Обратная матрица. Нахождение элементов и свойства этой матрицы приведем ниже.
Примеры некоторых матриц:
4
A   3 ;
C   0  ;
B   sin x  ;
 
 2 
D   5 4 1 ;
5 0 0
F   0 2 0  ;
0 0 3


1 0 0 
E   0 1 0 
0 0 1 


Основные алгебраические операции с матрицами
Равенство двух матриц. Две матрицы считают равными, если эти матрицы имеют одинаковые
размерности и равны все их соответствующие элементы.
Сложение двух матриц. Сложить можно только матрицы одинаковой размерности. Суммой
матриц А и В называют матрицу С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов
складываемых матриц. Например,
 2 5 4
 4 2 4 
 2  4 5  2 4  4  6 3 8
A
; B  
; A  B  


 3 1 1 
 5 9 1 
 3  5 1  9 1  (1)   2 10 0 
Умножение матрицы на число. Все элементы исходной матрицы умножаются на заданное число.
6
3
8
18
9
24 
A
3A  
;
.
 2 10 0 
 6 30 0 
Умножение матриц. Две матрицы могут быть перемножены только тогда, когда число столбцов в
первой из них равно числу строк во второй (такие матрицы называются согласованными).
Результирующая матрица будет иметь столько же строк, как первая, и столбцов, как у второй
матрицы.
То есть, если матрица А имеет размер [n,p], а матрица В - размер [p,m], то результирующая
матрица будет иметь размер [n,m]
Символически это правило может быть выражено в следующем виде:
(n,p) х (p,m) = (n,m)
Для вычисления элементов результирующей матрицы существует следующее правило: элементы,
стоящие в i-ой строке и j- ом столбце, равны сумме произведений элементов первой матрицы,
стоящих в i-ой строке на элементы второй матрицы, стоящие в j- ом столбце.
Рассмотрим вначале умножение матрицы-строки А на матрицу-столбец В. Так как размерности
матриц равны [1,p] и [p,1], то размер результирующей матрицы будет равным [1,1], т.е. получаем
матрицу-скаляр. Например,
A  (2 5 1);
4
B   6  ;
3
 
A  B  C   2  4  5  6  1  3    41
Примеры умножения матриц произвольного порядка:
 2 4 3
1)
6 1


A
;
 2 3
B 0
2 5;
 1 1 7 


A B C  ?
Данные матрицы перемножить невозможно, так как они не являются согласованными –
количество столбцов в первой матрице равно 2, а количество строк во второй матрице равно 3.
2)
4 2 
 4 2 4 
A   1 3  ; B  
;
 5 9 1 
3 5 


A B C  ?
Очевидно, что размеры результирующей матрицы С - [3,3].
Данные вычисления могут быть записаны и в таком виде
4 2 
 4 2 4 
A  B  C   1 3   

 3 5   5 9 1 


4  (2)  2  9
4  4  2  (1)   26 10 14 
 4  4  25

 

 1  4  (3)  5 1  (2)  (3)  9 1  4  ( 3)  ( 1)    11 29 7 
 3 4  55
3  (2)  5  9
3  4  5  (1)   37 39 7 

3) Выполним теперь умножение матриц В х А. Получаем
 4 2 4 
B 
;
 5 9 1 
4 2 
A   1 3  ;
3 5 


Очевидно, что размеры результирующей матрицы D - [2,2].
B A D ?
 4  4  (2)  1  4  3
4  2  (2)  (3)  4  5   26 34 


5  2  9  (3)  (1)  5   26 22 
D B A 
 5  4  9  1  (1)  3
Из примеров 2 и 3 видно, что произведение матриц не коммутативно (в общем случае), т.е.
A B  B  A .
Умножение матрицы-столбца на матрицу-строку. Проиллюстрируем данную операцию на
примере:
24
22   6
8
4
2
 23
 

 

C  A  B   1   3 4 2   1  3
14
12    3
4
2
 1 
 (1)  3 (1)  4 (1)  2   3 4 2 
 

 

Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец. Покажем выполнение данной операции для
матриц, заданных в общем виде:
 a11 a12 a13   x   a11 x  a12 y  a13z 

   

 a 21 a 22 a 23    y    a 21 x  a 22 y  a 23z 
a
   

 31 a 32 a 33   z   a 31 x  a 32 y  a 33z 
Сравнивая с системой линейных алгебраических уравнений
 a11 x  a12 y  a13 z  b1

a 21 x  a 22 y  a 23 z  b2
a x  a y  a z  b
32
33
3
 31
и обозначив
 a11 a12 a13 
A   a 21 a 22 a 23  ;
a

 31 a 32 a 33 
x
X   y
z



;


 b1  ,
B   b2 
b 
 3
можно получить следующую компактную запись (не только для данной системы из трех
уравнений, но и для любой другой)
AX B .
Замечание. Операция деления в линейной алгебре не определена. Деление на матрицу заменяется
умножением на обратную ей.
Обратная матрица
Квадратная матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А с такими же
размерами, если
А А-1 = А-1 А = Е
 A11

1  A12
1
A  
 ...

A
 1n
An1 

... An 2 
... ... 

... Ann 
A21 ...
A22
...
A2 n
Пример. Найти матрицу, обратную заданной матрице А:
5 4 1 


A   3 2 2  ;
2 2 1 


Решение.
2 2
A 11 
 6;
2 1
A 21  
A 31 
4
4 1
2 1
1
2 2
A 12  
5 4
det A  3 2 2  4;
2 2
3 2
2
5 1
 2;
A 22 
 10;
A 32  
1
2 1
5
1
 7;
 3;
1
3 2
 13;
A 13 
3 2
2 2
A 23  
A 33 
1
 2;
5 4
2 2
5 4
3 2
 2;
 2;
 A11

A   A 12
A
 13
*
A 21
A 22
A 23
A 31 

A 32  ;
A 33 
A
1
 6 2 10   3 / 2 1 / 2 5 / 2 
1
 

  7 3 13    7 / 4 3 / 4 13 / 4 
4
 

 2 2 2   1 / 2 1 / 2 1 / 2 
Проверку правильности нахождения обратной матрицы легко выполнить, учитывая, что
произведение исходной матрицы на обратную должно дать единичную матрицу, т.е.
A  A 1  A  A 1  E .
Замечание. Нахождение обратной матрицы второго порядка (и только второго порядка) можно
выполнить следующим простым способом:
1) найти определитель исходной матрицы А;
2) в исходной матрице А поменять местами элементы, стоящие на главной диагонали,
изменить знаки на противоположные у элементов побочной диагонали, т.е. получить
вспомогательную матрицу;
3) разделить элементы вспомогательной матрицы на величину определителя.
4 1
1  2 1   2 / 5 1 / 5 
1
Например, если A  
 , то det A  5 и A  

.
5  3 4   3 / 5 4 / 5 
 3 2
Примеры.
1.Найти произведение матриц:
 3  2  3 4 
 2  3  9  6 

 ;

 .
А) 
б) 
 5  4  2 5 
 4  6  6  4 
2. Найти А-1 .
 2 7 3
 3 1 1 




 3  2
 ;
1) A   3 9 4  ;
2) A   2 2  1 ;
3) A  
4
6


 1 5 3
3 2 2 




 2 3 3
 2 1 3




4) A   4  2 1  ;
5) A   5 3 2  .
 1 2 3
 1 4 3




Практическое занятие 4.
Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений тремя способами
Цель:
Научить студентов решать системы т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными.
Время: 3 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Общее решение СЛАУ.
Что такое расширенная матрица?
Определение ранга матрицы.
Смысл теоремы Кронекера-Капелли.
Опишите последовательность решения СЛАУ по методу Гаусса.
Суть метода Жордана-Гаусса.
Матричный метод решения СЛАУ.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
1. Найти произведение матриц:
 3  2  3 4 

 ;
А) 
 5  4  2 5 
 2  3  9  6 

 .
б) 
 4  6  6  4 
2. Найти А-1 .
 2 7 3


2)
A   3 9 4 ;
 1 5 3


 2 3 3


A   4  2 1
 1 2 3


 3 1 1 


 3  2
 ;
2) A   2 2  1 ;
3) A  
4
6


3 2 2 


 2 1 3


A   5 3 2
 1 4 3

.
3.Система алгебраических уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения
A  X  B , если представить коэффициенты при неизвестных величинах матрицей А размером
[n,n], неизвестные величины матрицей-столбцом Х размером [n,1], а свободные члены матрицейстолбцом В размером [n,1]:
 a11

A
a
 n1
a1n 
 x1 

 
; X   ;
x 
ann 
 n
 b1 
 
B  
b 
 n
Тогда решение системы уравнений будет иметь вид:
X  A 1  B
Пример 1.
Пусть дана система уравнений
Обозначив
3x  2y  z  3

.
3x  y  3z  8
5x  4y  z  3

3 2 1
x 


 
A   3 1 3 ; X   y  ;
5 4 1
z 


 
 3
 
B   8  , получаем
 3
 
1
X  A 1
Вычислив A 1
3 2 1


 3 1 3
5 4 1


1
3 2 1  3

  .
 B   3 1 3   8
5 4 1  3

  
 11 / 2 1 5 / 2 


  6
1
3 ,
 7 / 2 1 3 / 2 


получаем
 x   11 / 2 1 5 / 2   3   1 
  
    
X   y    6
1
3    8    1  .
 z   7 / 2 1
3 / 2   3   2 
  
Отсюда имеем решение СЛАУ: x = 1; y = -1; z = 2.
Пример 2. Найти решение системы уравнений матричным методом
 x  2 y  2,

 2 x  y  1.
 1 2
 ,
A  
 2 1
x
X    ,
 y
 2
B    .
1 
X  A1  B
  1 4  5
1
1  1  2  5

A  
5  2 1   2

5
1
х=0,
2
1
   2  0

5     
X 5
   
 2 1   1   1 
5 5 
2
 
5,
1 

5 
у=1.
Ответ: (0;1).
Пример 3. Найти решение системы линейных уравнений
 2x  y  z  5

x  3y  2z  5
x y z  4

матричным методом, с помощью формул Крамера и методом Гаусса.
Решение.
Матричный метод.
Записав систему уравнений в матричном виде A  X  B ,
где
x

X  y
z

2 1 1 


A   1 3 2  ;
 1 1 1 



5

 ,
 : B  5

4

 
получаем X  A 1  B .
Находим
2
1
1
det A  1 3 2  13;
1
X A
1
1
A
1
1
2 1 1 


  1 3 2 
 1 1 1 


1
5 2 1 
1 
;

  1 3 5 
13 

 4 1 7 
 5 2 1  5
 39   3 
1 
   1 
  .
B 
  1 3 5    5  
 0    0 
13 
   13  13   1 
 4 1 7   4 

  
Ответ: x  3;
y  0; z  1.
Решение с помощью формул Крамера.
Находим определитель системы и дополнительные определители
5
det A    13 ;   5
x
4
1
1
2 5
3 2  39;
1
1
y  1 5 2  0;
1
1 4 1
2
z

1
5
1 3 5  13 .
1
1
4
Используя формулы Крамера, получаем

x  x  3;


y  x  0;


z  z  1.

Ответ: x  3; y  0; z  1.
Решение методом Гаусса. Используем преобразования в расширенной матрице
2 1 1

 1 3 2

 1 1 1
Получаем
 1 3 2
5


5   2 1 1


4 
 1 1 1
 x  3y  2z  5
,

 7y  5z  5
  13 / 7z  13 / 7

 1 3 2
5


5   0 7 5


4 
0 4 1
 1 3

5 
2
5



5    0 7
5
5  .



1 
 0 0 13 / 7 13 / 7 
откуда сразу находим z  1 . Последовательно (снизу вверх)
подставляя известные значения неизвестных, получаем
7y  5  5 :
Ответ: x  3;
y  0:
x  2  5;
x  3.
y  0; z  1.
Решить системы уравнений матричным методом:
 x  y  z  36,
 x  2 y  z  4,


1.  x  z  y  13, (отв. 24,5; 21,5; 10)
2. 3x  5 y  3z  1, (отв. 1;1;1)
 y  z  x  7,
 2 x  7 y  z  8,


 2 x  y  5,
 x  y  z  36,


3.  x  3z  16,
4. 2 x  3z  17,
(отв. 13 1 ;8 1 ;14 1 )
4 4
2
5 y  z  10,
 6 x  5 z  7,


(отв. 1; 3; 5)
Практическое занятие 5.
Тема: Прямая линия на плоскости. Линии первого и второго порядков.
Цель:
Научить студентов пользоваться основными формулами аналитической геометрии на плоскости в
приложении к прямой линии.
Научить студентов идентифицировать кривые второго порядка (эллипс, окружность, гиперболу,
параболу).
Время: 1 часов.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Семь форм записи уравнения прямой.
2. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
3. Угол между двумя прямыми.
4. Условие перпендикулярности двух прямых.
5. Условие параллельности двух прямых.
6. Расстояние от точки до прямой.
7. Как найти координаты пересечения двух прямых?
8. Как найти координаты пересечения трех плоскостей?
9. Декартова и полярная системы координат.
10. Расстояние между двумя точками.
11. Уравнение окружности.
12. Уравнение эллипса.
13. Уравнение гиперболы.
14. Уравнение параболы.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
1)
Уравнение вида Ах + Ву + С = 0
(1) - называется общим уравнением прямой.
2)
А(х-х0) + В(у-у0) = 0 – уравнение прямой, что проходит через точку М0(х0;у0)

перпендикулярно до нормального вектора n  ( A; B) ;
x  x0 y  y 0
- уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0;у0) параллельно

m
n

направляющему вектору s  ( m; n) (каноническое уравнение прямой);
x  x1
y  y1
4)

x2  x1 y 2  y1 уравнение прямой , проходящей через две заданные точки М (х ;у ),
3)
1
1
1
М2(х2;у2).
5)
x y
 1
a b
- уравнение прямой в отрезках, что отсекает прямая на координатных
осях.
6)
Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом; k — угловой коэффициент (k = tg α), b —
величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от
начала координат.
Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то её угловой
A
коэффициент определяется по формуле k =  .
B
7) Уравнение у — y0 = k(x—хо) является уравнением прямой, которая проходит
через точку М0 (х0; у0) и имеет угловой коэффициент k.
Если известны угловые коэффициенты двух прямых k1 и k2, то один из углов φ
между этими прямыми определяется по формуле
k k
tg  2 1
1  k1k2
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов
k1 =k2
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение
1
k1k2= —1 или k2= —
k1
Расстояние от точки М0(х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0 вычисляется по формуле:
d
Ax0  By 0  C
A2  B 2
.
Плоскость в пространстве.
Ax  By  Cz  D  0 - общее уравнение плоскости;

n  ( A, B, C ) - нормальный вектор (перпендикулярный плоскости);
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 - уравнение плоскости Р, что проходит через точку

М0(х0;у0;z0) и имеет нормальный вектор n  ( A, B, C ) .
Плоскость в декартовой системе координат может быть задана уравнением:
1)
x y z
   1 - уравнение плоскости в отрезках на осях;
a b c
x  x1
y  y1
z  z1
2) x2  x1
y2  y1
z 2  z1  0 - уравнение плоскости, что проходит через три точки (которые
x3  x1
y3  y1
z3  z1
не лежат в одной плоскости) М1, М2, М3.
Расстояние от точки М0(х0;у0;z0) до плоскости Ax  By  Cz  D  0 вычисляют по формуле
d
Ax0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
.
РЕШЕНИЕ задач:
1. Привести к общему уравнению прямой следующие:
y  2  3 x,
y  4  3 x,
x  y  1.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(3;1), М2(5;4). Записать это
уравнение с угловым коэффициентом.
3. Дано прямую y  2 x  1  0 и точка М(-1;2). Написать уравнение прямой, что проходит через
точку М:
А) перпендикулярно заданной прямой;
Б) параллельно заданной прямой;
В) под углом 450 до прямой.
Решение: а) к1=2, к2=-1/2 (к1*к2=-1), по формуле
у — y0 = k(x—хо):
У-2=-1/2(х+1), х+2у-3=0.
Б) к1=к2=2, У-2=2(х+1), 2х-у+4=0.
В) по формуле: tg 
tg 450 
k2  2
1  2k 2 ,
k2  k1
1  k1k2 найдем к :
2
1  2k2  k2  2
,
k2  3
y  2  3( x  1)
,
y  3 x  1
4. Дано две точки М1(3;-1;2) и М2(4;-2;-1). Составить уравнение прямой, что проходит через
точку М1, перпендикулярно M 1M 2 .
M1M 2  1;1;3, имеем 1  ( x  3)  1  ( y  1)  3  ( z  2)  0 , или x  y  3z  2  0 .
5. Составить уравнение плоскости, что проходит через три точки М1(1;2;0), М2(2;1;1) и
М3(3;0;1). Вычислить расстояние от начала координат до плоскости.
x  x1
y  y1
z  z1
По формуле x2  x1
y2  y1
z 2  z1  0 , имеем:
x3  x1
y3  y1
z3  z1
x 1 y  2 z
1
1
1  0,
2
2
1
(х-1)
1 1
2 1
 ( y  2)
1 1`
2 1
z
1
1
2 2
0,
х-1+у-2=0, х+у-3=0.

n (1;1;0) .
d
003
2

3
3 2
.

2
2
6. Составить уравнение плоскости, что проходит через три точки, записать уравнение плоскости
в отрезках:
1) (1;2;0), (2;1;1), (3;0;1);
2) (1;1;1), (0;-1;2), (2;3;-1).
Кривые 2 порядка
1. Эллипс
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
x2 y 2

1,
a 2 b2
(1)
a 2  c2 ; очевидно, a  b.
c
Число   , где a – большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, 
a
< 1 (для окружности  = 0). Если М (х; у) — произвольная точка эллипса, то отрезки F1М =
г1 и F2М = r2 (черт. 12) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы
могут быть вычислены по формулам r1 = а + х,
r 2 = а – x.
Если эллипс определён уравнением (1) и a  b, то
a
a
прямые x   и x  , называются директрисами


эллипса (если b > а, то директрисы определяются
b
b
y  ). Каждая директриса
уравнениями y  


обладает следующим свойством: если r – расстояние
произвольной точки эллипса до некоторого фокуса,
d—расстояние от той же точки до односторонней с
r
этим фокусом директрисы, то отношение
есть
d
постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса
r
 .
d
Решение задач
1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично
относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) его полуоси равны 5 и 2;
2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;
3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с =10;
3
4) расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцентриситет   ;
5
3
5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет   ;
5
где b =
12
;
13
7) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4;
8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
2. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:
x2 y 2
x2
1)
2)
3)х2 + 25у2 = 25;

 1;
 y2  1;
16 9
4
4) х2 + 5y2 = 15;
5) 4х2 + 9у2 = 25;
6) 9х2 + 25у2 = 1;
7) х2 + 4у2 = 1;
8) 16х2 + у2 = 16;
9) 25х2 + 9у2 = 1;
10) 9х2 + у2 = 1.
3. Дан эллипс 9х2 + 25у2 = 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) ексцентриситет.
4. Дан эллипс 9х2 + 5у2 = 45. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) ексцентриситет.
6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет  
2. Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
x2 y2

 1 , а>0, b>0.
a2 b2
Параметры 2а, 2b – оси гиперболы; a, b – полуоси гиперболы; А1(-а;0), А2(а;0) – вершины
гиперболы.
b
Прямые y=  x - асимптоты гиперболы.
a
Точки F1 (-с;0) и F2(с;0), где c  a 2  b 2 , - фокусы гиперболы.
c
a
Число   - эксцентриситет гиперболы (1<    ). Прямые x   - директрисы гиперболы.
a

Решение задач
1. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс,
симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) её оси 2а = 10 и 2b = 8;
2) расстояние между фокусами 2с =10 и ось 2b = 8;
3
3) расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = ;
2
5
4) ось 2a = 16 и эксцентриситет ε = ;
4
5) уравнения асимптот
4
y=± x
3
и расстояние между фокусами 2с = 20;
6) расстояние между директрисами равно 22 — и расстояние между фокусами 2с = 26;
32
и ось 2b = 6;
5
2. Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:
x2 y 2
x2
;


1
 y 2  1 3) х2— 4у2 = 16; 4) х2 —у2 = 1; 5) 4х2 — 9у2 = 25;
1)
2)
9
4
16
6) 25х2 — 16у2 = 1;
7) 9х2 —16у2=1.
4. Дана гипербола 16х2 — 9у2=144. Найти:
1) полуоси а и b;
2) фокусы;
3) эксцентриситет;
4) уравнения асимптот;
5) уравнения директрис.
7) расстояние между директрисами равно
3. Парабола
Каноническое уравнение параболы имеет вид: y2 = 2рx, р>0 – параметр параболы,
p
О(0;0) – вершина параболы, ось Ох – ось параболы, точка F( ;0) – фокус параболы.
2
Директриса данной параболы имеет уравнение
p
х=— .
2
Фокальный радиус произвольной точки М(х; у) параболы (т. е. длина отрезка FM) может
быть вычислен по формуле
p
r=x+
2
Число   1 - эксцентриситет параболы.
Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она
пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы
Черт. 19.
Черт. 20.
с осью называется её вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось
параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся
парабола лежит в правой полуплоскости.
Черт. 21.
Черт. 22.
Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы,
начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (черт. 20), то
её уравнение будет иметь вид
y2 = —2рx.
(2)
В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат,
парабола будет иметь уравнение
x2 = 2ру,
(3)
если она лежит в верхней полуплоскости (черт. 21), и
х2 = —2ру
(4)
— если в нижней полуплоскости (черт. 22).
Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.
Решение задач
1. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная,
что:
1) парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох, и
её параметр р = 3;
2) парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох, и её
параметр р = 0,5;
3) парабола расположена в верхней полуплоскости, симметрично относительно оси Оу, и
1
её параметр p = ;
4
4) парабола расположена в нижней полуплоскости, симметрично относительно оси Оу, и
её параметр р =3.
3. Составить уравнение параболы, которая имеет фокус F(0; —3) и проходит через начало
координат, зная, что её осью служит ось Оу.
Практическое занятие 6.
Тема: Вычисление пределов.
Цель:
Научить студентов вычислять пределы функций, используя первый и второй замечательные
пределы высшей математики.
Время: 2 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Способы задания функции.
2. Что называется областью определения функции.
3. Пределы функции справа и слева.
4. Бесконечно малая и бесконечно большая величины.
5. Дать определение функции, непрерывной в точке и на отрезке.
6. Какие виды разрыва функции вы знаете?
7. Первый замечательный предел высшей математики и его применение.
8. Второй замечательный предел.
9. Сформулируйте основные теоремы о пределах.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
1. Функция – зависимость при которой каждому числу х поставлено в соответствие
единственное число у.
Функция f(x) – четная, если f(-x)=f(x), и нечетная, если f(-x)=-f(x).
Числовая последовательность - множество чисел, в котором каждому натуральному числу х
ставится в соответствие число хп :
{х1;х2; …хп, …}, где хп – общий член последовательности.
Число х0 называется пределом последовательности {хп}, если для любого числа   0 существует
номер N=N(  ), что для всех n>N выполняется неравенство xn  x0   .
Если число х0 есть пределом последовательности {xn}, то пишут
lim xn  x0 .
n 
Число А называется пределом функции f(x) в точке х0, если для любого числа   0 существует
число    ( )  0 такое, что для всех хєХ , что удовлетворяют неравенство 0  x  x0  
выполняется неравенство
f ( x)  A   .
lim f ( x)  A .
Обозначается:
n 
Функция y=f(x) называется бесконечно малой, если lim f ( x)  0 , и бесконечно большой, если
n 
lim f ( x)   .
n 
Свойства пределов функций:
1. lim cf ( x)  c lim f ( x) ;
2. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x) ;
3. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x) ;
4. lim
f ( x) lim f ( x)
, lim g ( x)  0 .

g ( x) lim g ( x)
lim
x 0
x
sin x
 1 - первый замечательный предел.
x
 1
lim 1    e ,
x 
x

lim 1     e - второй замечательный предел.
1
 0
Решение примеров.
Дано: f(x)=x2-4x+3. Найти f(0), f(-1), f(1/2), f(1), f(2), f(3).
Дано f(x)= 3x4+x2-3. Доказать, что F(a)=F(-a).
Дано g(x)= 2x5-3x3+x. Доказать, что g(-x)=-g(x).
Написать пять первых членов последовательности:
1
n  1

1) {xn=(-1)n+1 n  1 };
2)  xn  2  (1) n
;
n 

2n  1 

3)  xn 
.
2n  1

5. Написать формулу общего члена последовательности
1.
2.
3.
4.
1 3 5 7
; ; ; ;...
2 4 6 8
6. Найти пределы:
3n  1
;
n  2 n  5
1) lim
1  2n
;
n  4 n  3
2) lim
n 4  100n 2  5n  1
(беск.)
n
27n 3  91n 2  5
5) lim
x2  3
;
x1 3 x  1
x2  4x  3
9) lim
;
x1
x4
7) lim
11) lim 
x0
2x  x  1
 2 ;
x3
2
n 2  3n  4
;
n n(2  5n)
3) lim
6n 2  n  1
;
n 2n 2  9n  3
4) lim
n 4  8n 3  3
(0).
n 2  6n 4  n 5
6) lim
x 3  8x 2  1
;
x 2
x3
1  tgx
10) lim
4
 2  cos 2 x
x
8) lim
4
12) lim 
x 2
1
2x
 3
x  2 x 1
2
;
Практическое занятие 7.
Тема: Вычисление производных элементарных функций
Цель:
Научить студентов вычислять производные элементарных функций.
Показать на конкретных экономических задачах необходимость изучения дифференциального
исчисления.
Время: 1 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Производная степенной функции.
Производная логарифмической функции.
Производная тригонометрических функций.
Производная обратных тригонометрических функций.
Физический, математический и экономический смысл производной.
Основные правила дифференцирования.
Основные элементы теории:
Производной функции y=f(x) в точке x называется предел:
y
lim
,
x  0  x
где x - приращение аргумента, y  f ( x  x)  f ( x) - приращение функции.
dy
Обозначение: y; ; f ( x) .
dx
Значение производной функции f(x) при х=х0, равняется угловому коэффициенту касательной,
проведённой до графика функции в точке с абсциссой х=х0, т.е. f ( x0 )  k .
Решение задач.
1. Найти f ( x0 , x) , если f ( x)  1  x 2 , x0  3, x  0,3 .
y
2. Найти соотношение
для функции y  3x 2  2 x  1 при х=1, x  0,5 .
x
3. Пользуясь определением производной, вычислить f (x ) , если f ( x)  x5 в точке х=1.
Основные правила дифференцирования функций:
1. (u  v)  u   v
2. (uv)  u v  uv

 u  uv  uv
3.   
v2
v
Таблица производных
Решение примеров
Найти производные функций:
1) y  4 x 2  3x  5 ;
f ( x) 
3)
x7 2x6

 3x  5 ;
7
3
 x3  1 
;
y   3
x  1 

5)
2) y  x5  4 x 4  3x3  x 2  1 ;
4)
y
9
;
x4
6)
y
3
2
 ;
3x  5 x
Практическое занятие 8.
Тема: Вычисление производных сложных функций, функций заданных параметрически, неявно
Цель:
Научить студентов вычислять
параметрически, неявно
производные
сложной
функции,
функций
заданных
Показать на конкретных экономических задачах необходимость изучения дифференциального
исчисления.
Время: 2 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Производная сложной функции.
2. Производная обратной функции.
3. Производная неявной функции.
4. Производные параметрических функций.
5. Гиперболические функции и их производные.
6. Правило Лопиталя и его применение.
Практическое занятие 9.
Тема: Применение дифференциального исчисления для исследования функции и построения ее
графика.
Цель:
Научить студентов анализировать функции и строить их графики.
Время: 1 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Что такое экстремум функции?
2. Суть теоремы Ферма.
3. Теоремы Ролля и Лагранжа.
4. Сформулируйте достаточные признаки существования экстремума.
5. Нахождение вертикальных асимптот.
6. Нахождение горизонтальных асимптот.
7. Нахождение наклонных асимптот.
8. Нахождение точек перегиба.
9. Как установить выпуклость (вогнутость) функции.
10. Опишите общий ход построения графика функции.
Основные элементы теории:
(см. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. –
М.: Высш. шк., 1999. – 304 с.)
стр. 78 – 80.
Задачи, решаемые преподавателем:
(см. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. –
М.: Высш. шк., 1999. – 304 с.)
№№ 282, 283, 284, 285, 296.
Задачи, решаемые студентами под руководством преподавателя:
(см. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. –
М.: Высш. шк., 1999. – 304 с.)
№№ 286, 287, 288, 292, 297, 307, 327, 316.
Практическое занятие 10.
Тема: Интегрирование по частям. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен
Цель:
Научить студентов вычислять неопределенные интегралы.
Время: 2 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Какая функция называется первообразной?
2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции.
3. Свойства неопределенного интеграла.
4. Интеграл от постоянной величины.
5. Интеграл от степенной функции.
6. Интеграл от показательной функции.
7. Интегралы от тригонометрических функций.
8. Замена переменных в неопределенном интеграле.
9. Интегрирование по частям.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
1. Летучка 1.
2. Задание 1. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.
1.  x 2 e x dx
2.
 x sin 2 xdx
3.
x
4.
2
sin xdx
 ln xdx
5.
 ln( x
6.
e
x
2
 1)dx
sin xdx
Задание 2. Вычислить интегралы, содержащие квадратный трёхчлен.
4x  3
dx
1.  2
x  2x  2
2.

4x  3
x 2  2x  6
dx
Практическое занятие 11.
Тема: Интегрирование рациональных и иррациональных функций
Цель:
Научить студентов вычислять неопределенные интегралы.
Время: 1 час
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Какая функция называется рациональной, иррациональной?
2. Вычисление интеграла способом разложения.
3. Метод неопределенных коэффициентов.
4. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
1. Летучка 2.
2. Дробно-рациональной функцией R(x) называется функция, что равна отношению двух
многочленов:
Q (x)
, где Q(x), P(x)- многочлены степени m,n.
R( x )  m
Pп ( x )
Q (x)
Q (x)
Если m<n, то R( x )  m
называется правильной дробью, если m  n, то R( x )  m
Pп ( x )
Pп ( x )
неправильная дробь.
Любая неправильная дробь делением числителя на знаменатель представляется в виде суммы
некоторого многочлена и правильной дроби.
х4  4
Например, 2
- неправильная дробь. Разделив числитель на знаменатель (по правилу
х  3х  1
деления многочленов), получаем
х4  4
 33х  14
.
 х 2  3х  10  2
2
х  3х  1
х  3х  1
Так как любой многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функцій
сводится к интегрированию правильних дробей.
Простейшей дробью называется дробь одного из типов:
А
А
Мх  N
Мх  N
.
1)
;2 )
;3 ) 2
;4 ) 2
к
ха
(ха)
х  рх  q
( х  рх  q ) к
Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов вычисляются легко,
третий вид уже рассмотрели на прошлом занятии.
Q (x)
Теорема: Каждую правильную рациональную дробь R( x )  m
можна разложить на
Pп ( x )
сумму простейших рациональных дробей:
А1
А2
Ак
, где х0- корень многочлена.

 ... 
2
х  х0 ( х  х0 )
( х  х0 ) к
Для вычисления значений А1, А2, …, Ак в разложении функции на простейшие дроби часто
используют метод неопределенных коэффициентов.
Алгоритм вычисления интегралов дробно-рациональных функций:
1. (для неправильних дробей) Выделить целую часть.
2. Разложить правильную рациональную функцію на сумму простейших дробей.
3. Вичислить интегралы от целой части и от каждого из простейших дробей.
Задание 1. Вычислить интегралы правильных рациональных функций
xdx
dx
( x 2  1)dx
 x 2 x 1
 x  12 x  1
 xx  1x  1
 x  2  dx
  x  1  x
2
3х 2  8
 х 3  4 х 2  4 х dx
5 х  18
 ( х  4 )( х  3 ) dx
Задание 2. Вычислить интегралы неправильных рациональных функций
x5  x4  8
x 3  3x 2  5
dx
 x3  4x
 x 2  5x dx
Практическое занятие 12.
Тема: Методы вычисления определенных интегралов и приложение
Цель:
Научить студентов вычислять определенный интеграл и применять его для определения:
 площадей плоских фигур;
 нахождении длины кривой линии;
 площади поверхности тел вращения;
 центров тяжестей плоских фигур.
Время: 1 час.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Свойства определенного интеграла.
3. Замена переменных в определенном интеграле.
4. Интегрирование по частям.
5. Физический и математический смысл определенного интеграла.
6. Нахождение площадей, образованных пересечением кривых линий.
7. Нахождение длины кривой линии.
8. Нахождение площади поверхности и объема тел вращения.
9. Теоремы Гульдена.
10. Нахождение центров тяжести плоских фигур.
11. Экономический смысл определенного интеграла.
Основные элементы теории:
Устный опрос студентов
1. Какие задачи приводят до определённого интеграла?
b
2. Чему равняется  ( f ( x)  g ( x)) dx  ?
a
3. Можно ли менять местами пределы интегрирования?
4. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
b
 f ( x)dx F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
Задание 1. Вычислить определенные интегралы:
8
1.

e3
dx
3
1
x
6.
x
1
dx
1  ln x

2.

2


cos
2
x


0  4 dx
8
9
3
x  1dx
7.

4
13
3.

2
dx
5
8.
(3  x) 4
2
d
0
1
4.
 sin
5
x
4 x
 (e  1) e dx
9.
x
2
2
0
dx
 2x  10
(
x
2
dx
1
x
 arctg )
2
a
a
a
3
5.
ex
2 x 2 dx
Задание 2. Вычислить среднее значение функции y 
1
x x
2
на промежутке (1; 3/2).
b
1
Число f (c) 
f ( x)dx называется средним значением функции на отрезке (а;в).
b  a a
Практическое занятие 13.
Тема: Функции многих переменных. Условный экстремум по Лагранжу.
Цель:
Научить студентов:
1. Вычислять частные производные.
2. Находить экстремум функции двух переменных.
3. Пользоваться алгоритмом Лагранжа по нахождению условного экстремума.
4. Использовать понятие дифференциала для приближенных вычислений.
Время: 1 час.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Что такое частная производная?
2. Дифференциал функции одной переменной.
3. Дифференциал функции нескольких переменных.
4. Теорема о равенстве смешанных вторых производных.
5. Определитель Гессе.
6. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
7. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
8. Линии уровня. Их суть.
9. Градиент функции. Его нахождение.
10. Условный экстремум. Формула Лагранжа.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
1. Необходимое условие экстремума функции двух переменных: если функция имеет
экстремум в точке, то все частные производные равняются нулю в этой точке или не
существуют в этой точке
2. Достаточное условие экстремуму функции двух переменных:
Если
2z
x 2
M
 A,
2z
y 2
M
C,
2 z
xy
- АС-В2 >0, A<0, то в т.М – максимум;
M
B и
- АС-В2 >0, A>0, то в т.М – минимум;
- АС-В2 <0, A-любое, то в т.М нет экстремума;
- АС-В2 =, A-любое, то требуется дополнительное исследование.)
Алгоритм исследования функции двух переменных:
1) найти частные производные функции первого порядка;
2) приравнять их к нулю, и найти критические точки;
3) найти частные производные второго порядка и сделать вывод на основании теоремы о
достаточном условии экстремума функции.
Решение задач
Найти экстремумы функций двух переменных
1) z  x 2  2 xy  4 y 3 ;
2) z  x 2  y 2  xy  2 x  y ;
3) z  2 xy  3x  2 y 2  10 ;
4) z  x 3  8 y 3  6 xy  1 ;
5) z  x 2  y 2  2 xy  4 x  8 y  1;
6) z  4( x  y )  x 2  y 2 .

Пусть скалярное поле задано функцией u  u( x , y , z ) , а l - вектор, направляющие косинусы
которого есть cos  , cos , cos . Тогда производная функции u  u( x , y , z ) по направлению вектора

l вычисляется по формуле
u u
u
u

cos   cos   cos  ,
l x
y
z
cos  
lx
l
,
cos  
ly
l
,
cos  
lz
l
.
Градиентом grad u функции u  u( x , y , z ) есть вектор
gradu 
u  u  u 
i
j
k.
x
y
z
Решение примеров.
Задача 1. Найти градиент функции и производную скалярного поля u  u( x , y , z ) в точке М

по направлению вектора l :
   
1. u  x 2  y 2  z 2 , l  i  2 j - 2k; M(2;3;6) .




l  3 i  4 j - 12k; M(1;2;3) .
2. u  sin x  sin y  sin z ,



3. u  x 2 yz  arctgz ,l  3i  4 j ; M ( 1,1,1 ).
4. u 
x y
 ,
y z

  
l  4i  j  k ,
M(2,-1,1/2).
Задача 2. Найти производную функции z  x x  y y в точке М(3;1) по направлению l, что
образует угол   30 0 с положительным направлением оси Ох.
Задача 3. Найти производную функции z  arctgxy в точке М(1;1) по направлению
биссектрисы первого угла.
Задача 4. Найти производную функции z  x 2 y 2  xy3  3 y  1 в точке (2;1) по направлению
от этой точки к началу координат.
Задача 5. Найти производную функции u 
x
8y
в точке М(4;1;4) по направлению

y
2 z

вектора MN , где N(7;-3;4).
Практическое занятие 14.
Тема: Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными.
Цель: Научить студентов решать дифференциальные уравнения первого порядка.
Время: 2 часа.
Контрольные вопросы:
1. Определение дифференциальных уравнений.
2. Составление дифференциальных уравнений.
3. Уравнения с разделяющимися переменными.
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
Дифференциальным
называется уравнение, связывающее независимую переменную х,
неизвестную функцию у и производные неизвестной функции у' y'', y(n).
Общий вид дифференциального уравнения:
(1)
Порядком
дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной,
входящей в уравнение. Например, у" + 4у' -5у = х - это уравнение второго порядка.
Решением дифференциального уравнения называется функция у = φ(х), которая, будучи
подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Например, если у = φ(х)
есть решение уравнения (1), то
Дифференциальное уравнение первого порядка содержит у', его общий вид:
F(x,y,y') = 0
Решение уравнения 1-го порядка отыскивается путем интегрирования, поэтому оно содержит
произвольную постоянную С и называется в этом случае общим решением. Если произвольной
постоянной С задать конкретное числовое значение, то решение, полученное из общего, называется
частным решением.
Определение частного решения из общего с использованием дополнительных начальных условий
называется задачей Коши для данного уравнения.
Существует несколько типов уравнений первого порядка, решение которых можно определить
интегрированием. Для этого вначале нужно выявить тип уравнения, а затем применить
соответствующий данному типу метод решения.
Уравнения с разделяющимися переменными
Если в дифференциальном уравнении M ( x; y )dx  N ( x; y )dy  0 функции M ( x; y ) и
N ( x; y ) можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых зависит
только от x , а другой только от y , то уравнение будет иметь вид f1 ( x) F1 ( y)dx  f 2 ( x) F2 ( y)dy  0 ,
и называется уравнение с разделяющими переменными. Умножив обе его части на
f ( x)
F ( y)
1
функцию  ( x; y ) 
, получим уравнение 1
dx  2
dy  0 . Его общий интеграл
F1 ( y ) f 2 ( x)
f 2 ( x)
F1 ( y)
f 1 ( x)
F2 ( y)
 f 2 ( x) dx   F1 ( y) dy  C .
Разделяя на F1 ( y) f 2 ( x) , отбрасываем решения уравнений F1 ( y)  0, f 2 ( x)  0 ; через это
теряем некоторые решения исходного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение yy' = sinx
РЕШЕНИЕ
Уравнение приводится к виду (2) делением обеих частей на у, поэтому это уравнение с
разделяющимися переменными. Записав производную через отношение дифференциалов, разделим
переменные:
Последнее выражение - общее решение уравнения в неявной форме
Пример 2. Проинтегрировать уравнение: x 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0 .
1
Умножив на функцию  ( x; y ) 
, имеем уравнение с разделяющими
1 y2 1 x2
xdx
ydy
переменными:

 0 ; 1  x 2  1  y 2  C - его общий интеграл. При разделении
2
2
1 x
1 y
переменных допускалось, что y  1 . Общий интеграл не имеет решений y  1 и y  1 ; их
потеряли.
2
2
1. 4 xdx  3 ydy  3x ydy  2 xy dx.
4  y 2 dx  ydy  x 2 ydy
2.
.
3  y 2 dx  ydy  x 2 ydy .
3.
4. 6 xdx  6 ydy  2 x 2 ydy  3xy 2 dx. .
5.
6.
e
2x

 5 dy  ye 2 x dx  0 .
x 5  y 2 dx  y 4  x 2 dy  0
.
7. y(4  e x )dy  e x dx  0 .
8. x 4  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0 .
Практическое занятие 15.
Тема: Решение однородных уравнений
Цель: Научить студентов решать дифференциальные уравнения первого порядка.
Время: 1 час.
1.
Определение дифференциальных уравнений первого порядка.
Если для правой части f(x, у) уравнения
y'=f(x, у)
выполняется тождество
(1)
(2)
f(x,y)=f(tх,ty)
где t ≠ 0 , то уравнение (1) называется однородным.
Путем замены неизвестной у и ее производной (у = их, у' = и'х + и) уравнение (1) приводится
к уравнению с разделяющимися переменными относительно неизвестной и.
Пример 1. Решить уравнение
РЕШЕНИЕ
Проверим выполнение условия (5)
Следовательно f(x,y)=f(tх,ty) и данное уравнение однородное. Пусть
Подставим замену в уравнение:
Получим уравнение с разделяющимися переменными, которое затем решаем:
Переходим к переменной у:
Последнее выражение - общее решение уравнения.
Решение примеров:
1. ( x  y )dx  xdy  0 ,
2. ( x  y )dx  ( y  x )dy  0 ,
3. xy   y(ln y  ln x ) ,
4. x 2 dy  ( y 2  xy  x 2 )dx ,
5. xy   y  y 2  x 2 ,
Практическое занятие 16
Тема: Линейные уравнения первого порядка.
Цель: Научить решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Время: 1 час.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
1. Определение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
2. Метод Бернулли
3. Метод Лагранжа
Основные элементы теории и закрепление учебного материала:
Линейные уравнения имеют вид:
Они отличаются от других тем, что у и у' входят в уравнение в первой степени (
линейно).
Уравнения Бернулли имеют вид:
где n ≠0, п ≠ 1.
Левые части уравнений одинаковой структуры, правая часть содержит множителем n-ю степень
неизвестной у. Эти уравнения можно решать одним методом, при котором делается замена
y=u(x)v(x)
Одну из двух новых неизвестных можно выбирать произвольно. Решение линейного уравнения
рассмотрим на примере.
Пример: Решить уравнение
xy'+y=sinx
РЕШЕНИЕ
Разделив уравнение на х, получим уравнение вида (6), поэтому оно линейное. Пусть y = u·v, y' =
u'v + uv'. Подставим в уравнение
Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части xu'v+u(xv' +v) = sinx. Выберем
неизвестную v так, чтобы выражение в скобках превращалось в нуль: xv'+v = 0. Это уравнение с
разделяющимися переменными. Решаем его относительно неизвестной v.
При определении v считаем, что произвольная С=0. Подставим значение v в уравнение
u' = sinx, du=sinxdx, u=∫sinxdx+C, u = C - cosx
Окончательно,
Решение примеров:
1.
ху   у  sin x
2.
y   2 xy  2 xe x
3. y  
y
 x 2 , y(1)  0
x
2
Практическое занятие 17
Тема: Уравнения в полных дифференциалах
Цель: Научить решать дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Время: 1 час.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
4. Определение дифференциальных уравнений
Основные элементы теории:
Уравнение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0
называется уравнением в полных дифференциалах, если
дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение
Р(х,у),
Q(x,y)
-
непрерывные
Чтобы найти решение уравнения, определяются интегралы:
Произвольные постоянные, зависящие от х, у, опускаются.
Затем к слагаемым из результата решения интеграла 1 нужно прибавить слагаемые из
результата решения интеграла 2, зависящие только от у и эту сумму приравнять произвольной
постоянной. Полученное выражение - общее решение (общий интеграл) уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
(х2 + у2 + x)dx + (2ху + ln у+1 )dy = 0
РЕШЕНИЕ
2
Проверяем выполнение условия (9): (х + у2 + х)'у = 2у;
(2ху+lnу + 1)'х = 2у. Условие выполняется, следовательно, данное уравнение - в полных
дифференциалах. Вычисляем интегралы:
Общее решение:
Примечание - Общее решение можно получить, прибавляя к результату 2-го интеграла
слагаемые из результата 1-го интеграла, зависящие только от х.
Решить: Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах.
2) ( x 3  3xy 2 )dx  ( y 3  3x 2 y )dy  0 ,
3) (3x 2 6 xy 2 )dx  ( 6 x 2 y  4 y 3 )dy  0 ,


x
1 1
y
1 x 
4) 
  dx  
  2 dy  0 ,
 x2  y2 x y 
 x2  y2 y y 





х2  у2 
x2  y2

5)  2 х 
dx

dy ,
х 2 у 
xy 2


 sin 2 x

sin 2 x 

dy  0 ,


6) 
 x dx   y 
2
y
y




Практическое занятие 18
Тема: Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными
коэффициентами.
Цель: Научить решать дифференциальные уравнения второго порядка.
Время: 2 часа.
Вопросы, рассматриваемые на занятии:
Определение дифференциальных уравнений второго порядка..
Привести пример составления дифференциального уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Суть задачи Коши.
Общие и частные решения.
Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Теорема Коши.
Разностные уравнения второго порядка.
Основные элементы теории:
Все дифференциальные уравнения, порядок которых выше первого, считаются уравнениями
высших порядков. Некоторые из них можно решить интегрированием.
1. Уравнения вида у(n) = f(x)
Решение уравнения сводится к повторному интегрированию уравнения п раз. При этом общее
решение будет содержать п произвольных постоянных.
Пример 6. Решить уравнение
.
РЕШЕНИЕ
Интегрируем левую и правую части уравнения:
Интегрируем повторно ещё два раза:
Последняя формула - общее решение уравнения
2. Уравнения 2 порядка, не содержащие явным образом искомой функции у
Уравнение вида у''=f(x,y') решается введением новой переменной р(х) = у' . Тогда у''= р'(x) и
исходное уравнение преобразуется в уравнение 1-го порядка относительно неизвестной р(х): р' =f
(х,у). Решив это уравнение, получим р = р(х,С1), затем решаем уравнение у' =р(х,С1),
Пример 7. Решить уравнение
РЕШЕНИЕ
Обозначим у' = р, у''= р' Подставляя эти обозначения в уравнение, получаем линейное
уравнение 1-го порядка
Пусть р = и(х)∙v(x) р'= u'v + uv'. Тогда уравнение принимает вид:
Подставляя
в уравнение, находим вторую функцию u, а вместе с ней – и общее решение уравнения
Общее решение:
3. Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка
называется уравнение вида:
Общее решение уравнения можно найти с помощью характеристического уравнения. Оно
составляется для ЛОДУ по следующему правилу: сохраняя коэффициенты а 1 ,...,а п , нужно
заменить функцию у единицей, а все её производные - соответствующими степенями k.
Характеристическое уравнение для ЛОДУ (10) имеет вид
и является алгебраическим уравнением n-й степени.
Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид:
Для него характеристическое уравнение является квадратным
вида:
алгебраическим уравнением
В зависимости от корней характеристического уравнения ЛОДУ второго порядка его решения
представлены в таблице 1.
Таблица 1. Общее решение ЛОДУ второго порядка
Корни
характеристического
уравнения
1. действительные
2. действительные
3. комплексные
4. мнимые
Пример 1.
а) Найти общее решение уравнения
б) Найти частный интеграл уравнения
,
удовлетворяющий начальным условиям
Общее решение ЛОДУ
у(0) = 1, у'(0) = 1
а)
РЕШЕНИЕ
По указанному правилу составляем характеристическое уравнение
Его корни
что соответствует
пункту 1. таблицы 1 общих решений. Общее решение
б) Корни характеристического уравнения
действительные, кратные
Согласно пункту 2 таблицы 1 общее решение имеет вид:
Производная общего решения имеет вид:
Согласно начальным условиям, при х=0 функция у=1, её производная равна -1:
Запишем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
у = ех(1-2х).
Решить дифференциальные уравнения:
1) y   х  cos x ,
2)
3)
4)
5)
6)
y   xe x ;
у   5 у   6 у  0,
у   6 у   9 у  0,
у   6 у   13 у  0,
у   16 у  0 , у(0)=1, у ( 0 )  2
Практическое занятие 19
Тема: Вычисление двойного интеграла в декартовой и полярной системах координат.
Цель: Научить вычислять двойные интегралы в декартовых и полярных координатах.
Время: 2 часа.
Основные элементы теории:
Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси,
проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках.
Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.
Рисунок 2.
Рисунок 3.
Рисунок 2 - Область, правильная, относительно оси Оу
относительно оси Ох
Рисунок 3 - Область, правильная,
Область D, правильную относительно как Ох, так и Оу, называют просто правильной областью.
Если область D - правильная относительно Оу (рисунок 2), двойной интеграл вычисляется по
формуле:
(8)
Правую часть формулы (8) называют повторным (двукратным) интегралом. Вычисление
повторного интеграла начинаем с вычисления внутреннего интеграла.
в котором переменную х надо принять при интегрировании за постоянную величину. После
подстановки пределов интегрирования в первообразную получаем некоторую функцию,
зависящую от х, которую затем интегрируем на отрезке [a,b].
Если область D является правильной относительно оси Ох (рисунок 3), двойной интеграл
вычисляется по формуле:
(9)
Если область D - просто правильная, можно применять как формулу (8), так и формулу (9). При
этом переход от одной формулы к другой называют изменением порядка интегрирования.
Сам процесс перехода от двойного интеграла к повторному и расстановка пределов
интегрирования для внешнего и внутреннего интегралов называют приведением двойного
интеграла к повторному.
Правило расстановки пределов.
1. В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят
функции второй переменной.
2. В пределах внешнего интеграла (по второй переменной) стоят постоянные числа. В
результате вычисления двойного интеграла получается некоторое постоянное число.
Если область не является правильной ни относительно оси Ох, ни относительно оси Оу, её
разбивают на конечное число областей
при вычислении применяют свойство 2.
Пример 1.
Вычислить двойной интеграл
D1 , D2 ...Dn , правильных относительно одной из осей и
двумя способами, если граница области D задана уравнениями:
Построив кривые, получим
Решение 1, а
область D (рисунок 4). Область правильная.
(8). При этом уравнение верхней границы области х=у2
преобразуем к виду
Применим формулу
:
Рисунок 4.- область интегрирования к примеру 1,а
Рисунок 5.- область интегрирования к примеру 1,b
Изменим порядок интегрирования и применим формулу (9):
Решение 1, b
Область D построена на рисунке 5. Область D правильная. Выбираем для интегрирования формулу
(9):
Изменим порядок интегрирования. При этом нижняя граница области D задана двумя
аналитическими выражениями
. В этом случае область D нужно разбить на две
области Dl, D2 с помощью прямой, проходящей по оси Оу. На основании свойства 2 двойного
интеграла получаем:
Двойной интеграл в полярных координатах
Если область интегрирования D - круг или часть круга, то обычно двойной интеграл вычислить
легче, если перейти к полярным координатам. Полярный полюс помещается в начало декартовых
координат, полярная ось направлена вдоль оси Ох. Формулы перехода к полярным координатам:
Дифференциал площади в полярных координатах равен
ds = rdrdφ
С учётом формул (10), (11) находим:
(11)
(10)
Двойные интегралы в полярных координатах выражаются через двукратные интегралы вида
(12)
Рис 6. - Область интегрирования, не содержащая начало координат
Рис 7. - Область интегрирования, содержащая начало координат
Если область D содержит начало координат (рисунок 7), то
Практическое занятие 20
Тема: Вычисление тройного интеграла в декартовой и цилиндрической системах координат.
Цель: Научить вычислять тройные интегралы в декартовых и цилиндрических координатах.
Время: 1 час.
Основные элементы теории:
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх однократных
интегралов. При этом дифференциал объёма равен
произведению дифференциалов независимых переменных dv = dxdydz. Область интегрирования
называется правильной, если прямая, проходящая через произвольную внутреннюю точку области
интегрирования параллельно каждой оси координат пересекает границу области в двух точках. В
правильной области можно выбрать любую последовательность интегрирования по переменным
х, у, z. Вычисление начинается с построения рисунка области интегрирования по заданным
уравнениям границ области. Выбрав первую переменную интегрирования, нужно построить
проекцию области интегрирования на плоскость двух других переменных. Например, если первое
интегрирование производится по переменной z, то будет нужна проекция области на плоскость
хОу.
Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение
Z = F1(х,y) а поверхность, ограничивающая область V сверху Z = F2(х,y) (рисунок 21). Проекцию
области V на плоскость хОу обозначим D. Она имеет уравнения границ y=y1(х) и y=y2(х) Тогда
тройной интеграл по области V равен трёхкратному интегралу:
(17)
Рис.8
По формуле (17) можно сформулировать правило расстановки пределов
в трёхкратном
интеграле:
1. В пределах интеграла по первой переменной в общем случае стоят функции двух других
переменных;
2. В пределах интеграла по второй переменной в общем случае стоят функции третьей
переменной;
3. В пределах интеграла по третьей переменной всегда стоят числа, равные предельным
значениям проекции области V на соответствующей оси.
В частном случае, когда границами области V являются плоскости, параллельные
координатным плоскостям, в пределах всех однократных интегралов стоят
постоянные.
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда,
когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга.
Если этой координатной плоскостью является плоскость хОу, то цилиндрические координаты r, φ,
z связаны с прямоугольными координатами х, у, z соотношениями
где
Формула замены переменных в тройном интеграле имеет вид:
Практическое занятие 21
Тема: Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат.
Цель: Научить вычислять тройные интегралы в сферических координатах.
Время: 1 час.
Основные элементы теории:
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
Если область V ограничена сферой или частью сферы, тройной интеграл вычислить
проще переходом к сферическим координатам. Точка М в сферических координатах однозначно
определяются величинами ρ, φ, θ. Здесь ρ- расстояние ОМ до точки из начала координат; φ- угол
между проекцией ОМ на плоскость хОу и
осью Ох; θ - угол между положительным направлением оси Oz и лучом ОМ. Связь между
прямоугольными декартовыми координатами х, у, z точки М
и её
сферическими координатами ρ, φ, θ определяется соотношениями
где
Дифференциал объёма в сферических координатах выражается как
Формула замены переменных в тройном интеграле имеет вид:
Практическое занятие 22
Тема: Приложения тройного интеграла
Цель: Научить решать задачи на приложения тройного интеграла.
Время: 1 час.
Основные элементы теории:
ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить:
1) объём области V по формуле
(15)
2) массу m тела V переменной плотностью
по формуле
(16)
Вычислить с помощью тройного интеграла обьём тела, ограниченного
поверхностями. Сделать рисунок данного тела и его проекции на плоскость хОу.
указанными
Примечания к построению рисунка тела. Плоскость
в
пространстве
задаётся
общим
уравнением
вида
Ах + By + Cz + D = 0. Если D=0, то плоскость проходит через начало координат. Если равен нулю
один из коэффициентов А,В.С, то плоскость параллельна оси отсутствующей переменной. Если
два коэффициента из трёх (А, В, С) равны нулю, то плоскость параллельна координатной
плоскости, проходящей через оси отсутствующих переменных.
Если уравнение поверхности не содержит одну из трёх независимых переменных, это является
признаком того, что поверхность - цилиндрическая, с образующей, параллельной оси
отсутствующей переменной. Заданное уравнение при этом -уравнение направляющей линии.
Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат имеет вид:
Рис.12 Область V и её проекция D к примеру выполнения задания 4,а
РЕШЕНИЕ
а) С учётом примечаний, определяем виды заданных поверхностей. Так уравнение
z=0
определяет координатную плоскость хОу. Уравнение 2х + z = 4 - уравнение
плоскости, проходящей параллельно оси Оу. Уравнения
задают две цилиндрические поверхности с обр азующими, параллельными оси Oz.
Объёмное тело и его проекция на плоскость хОу показаны на рисунке 25. Объём тела определяем по
формуле (15):
РЕШЕНИЕ
b) Одна из граничных поверхностей тела - цилиндрическая, так что проекцией тела на
плоскость хОу является круг х 2 + у2 = 9 радиусом 3. Две другие граничные поверхности плоскости z = 0 z = у + 3 (рисунок 13, а). Для вычисления объёма тела применяем формулу (15)
в цилиндрической системе координат:
Порядок интегрирования в цилиндрических координатах всегда один и тот жеv z, r, φ.
Приведём тройной интеграл к повторному используя формулы (18) и вычислим:
РЕШЕНИЕ с) Две поверхности, ограничивающие тело - сферы с радиусом 1 и 2:
x2 +у2 +z 2 =1,
х2 +у2 +z 2 =4.
В качестве остальных границ служат плоскости z=0, у=х, х=0. Тело представлено на
рисунке 13б. Для вычисления объёма применяем формулу (15) в сферической системе координат.
Применяя формулы (20), найдём уравнения границ тела и приведём тройной интеграл к
повторному.
Практическое занятие 23
Тема: Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Сумма числового ряда. Признаки
сходимости Даламбера, Коши(интегральных и радикальный).
Цель: Научить решать задачи на приложения тройного интеграла.
Время: 1 час.
Основные элементы теории:
Ряды. Основные определения
Рядом называется выражение вида
(1)
где U1, U2, U3, Un,...- последовательность чисел или функций. Если все члены ряда являются
числами, ряд называется числовым, если члены ряда - функции, ряд называется функциональным.
Индекс, стоящий у каждого члена ряда, указывает его порядковый номер в ряде.
Сумма п первых членов ряда называется его частичной суммой, что обозначается
Если существует конечный предел частичной суммы при
(2)∞, т.е.
п→
(3)
то его называют суммой ряда, а ряд (1) называется сходящимся. Если предел частичной суммы (2)
не существует или бесконечен, ряд называется расходящимся.
Если в ряде отбросить первые т членов, получится ряд
(4)
называемый остатком ряда (1) после т-го члена.
1
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЯДОВ.
Если все члены ряда (1) умножить на одно и тоже число, то ряд будет сходиться, если ряд
будет сходится, и будет расходиться, если ряд (1) расходится.
2 Если сходятся ряды
U1+U2+U3+..+Un+...
и
Vi +V2+V3+...+Vn+...,
то будет сходиться и ряд, полученный от почленного сложения и вычитания членов этих
рядов, т.е. будет сходиться ряд
(U1, ±V1)+(U2 ±V2)+...+(Un ±Vn)+...
3 Если в ряде (1) приписать к началу или отбросить с его начала конечное число членов, то
полученный от этих действий новый ряд будет сходиться, если сходится первоначальный
ряд (1), и будет расходиться, если ряд (1) расходится.
4 Если ряд (1) сходится, то сумма Sт его остатка (4) после m-гo члена стремится к нулю при
т → ∞,
Пример 1. Написать первые шесть членов ряда, общий член которого задан формулой:
РЕШЕНИЕ
Подставляя значения, равные 1, 2, 3, 4, 5, 6, получаем члены ряда:
1.1 Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд
U1, U2, U3, Un,...- сходится, то его общий член Un стремится к нулю, когда п
неограниченно возрастает, т.е.
Отметим, что этот признак не является достаточным, т.е. из стремления к нулю общего члена
еще не следует, что ряд сходится.
Но если общий член не стремится к нулю при п→∞, то можно утверждать, что ряд расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
РЕШЕНИЕ
Предел общего члена
т.е. общий член не стремится к нулю. Необходимый признак сходимости ряда не выполнен и
поэтому данный ряд является расходящимся.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
РЕШЕНИЕ
Необходимый признак сходимости ряда в данном случае выполняется,так как
но ввиду того, что признак не является достаточным,
нельзя утверждать сходимость такого ряда.
Ниже показано, что, напротив, этот ряд расходится. Отметим, что приводимый ряд часто будет
встречаться в прикладных вопросах. В литературе его называют гармоническим.
2. Признаки сходимости рядов с положительными членами
Если все члены ряда (1) положительны, то для них справедливы указанные ниже достаточные
признаки сходимости.
2.1 Первый признак сравнения
По самой сути таких признаков надо иметь на вооружении группу эталонных рядов,
сходимость или расходимость которых нам хорошо известна, и применять их для сравнения с
данными рядами в целях определения их сходимости.
Пусть для рядов с положительными членами
U1+U2+U3+...+Un+... (5)
и
V1+V2+V3+...+Vn+...
(6)
начиная с некоторого номера справедливо неравенство Un  Vn. Тогда, если ряд (6) сходится,
то данный ряд (5) также сходится.
Если ряд (5) расходится, то данный ряд (6) расходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
РЕШЕНИЕ Подберем для сравнения сходящийся ряд
(начиная со второго члена это бесконечная убывающая геометрическая профессия); но члены
данного ряда не больше соответствующих членов сходящегося ряда; поэтому наш ряд также
сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
РЕШЕНИЕ Подберем для сравнения расходящийся гармонический ряд
так как члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов
расходящегося ряда, то он тоже расходится.
2.2 Предельный признак сравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел
то оба ряда
и
сходятся или расходятся одновременно.
Пример 6. Выяснить сходимость ряда
РЕШЕНИЕ
Сравним данный ряд с бесконечно убывающей геометрической профессией
Как известно, существует предел частичной суммы Sn при
формуле:
n→∞,
который вычисляется по
Таким образом, в целях определения сходимости данного ряда мы подобрали для сравнения
заведомо сходящийся ряд. Применим теперь второй признак сравнения и вычислим следующий
предел
Согласно предельному признаку сравнения данный ряд сходится.
Если общий член ряда содержит многочлен по степеням n, то его можно сравнивать с
обобщённым гармоническим рядом
Пример 7.
Исследовать на сходимость ряд
РЕШЕНИЕ Сравниваем данный ряд с обобщённым гармоническим рядом:
Если
обобщённый гармонический ряд при
сходится, следовательно, сходится и данный ряд.
2.3 Признак Даламбера
Пусть для ряда (1) с положительными членами
существует предел отношения (n+1)-го члена n-му, т.е.
Если q<1, то ряд сходится; если q>1, то расходится. В случае q=1 признак не даёт ответа о
сходимости ряда.
Пример 8 .
Исследовать сходимость ряда
РЕШЕНИЕ
а) Применим признак Даламбера. Рассмотрим предел
Согласно признаку Даламбера ряд расходится.
б) По признаку Даламбера
следовательно, ряд сходится.
2.4 Радикальный признак Коши
Пусть для ряда (1) с положительными членами существует предел корня n-ой степени из n -го
члена ряда, т.е.
Если q<1, то ряд сходится; если q>1, то расходится. В случае q=1 признак не дает ответа о
сходимости ряда.
Пример 9. Доказать сходимость ряда
РЕШЕНИЕ Применим признак Коши;
признака предел:
составим и вычислим указанный в формулировке
Данный ряд сходится.
2.5 Интегральный признак Коши
Если f(x) - неотрицательная, невозрастающая функция при
х>0, то ряд
сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом
Замечание: нижним пределом интегрирования может быть любое другое положительное
число из области существования функции f(x); чтобы получить функцию f(x), нужно в общем
члене ряда вместо п полагать х.
Пример 10. С помощью интегрального признака исследовать сходимость ряда
РЕШЕНИЕ: составим и вычислим несобственный интеграл
Ввиду сходимости интеграла данный ряд также сходится.
Практическое занятие 24
Тема: Ряд Тейлора. Разложение некоторых функций в ряд Тейлора и Маклорена.
Цель: Научить раскладывать степенные ряды в ряды Тейлора и Маклорена.
Время: 1 часа.
Основные элементы теории:
Рядом Тейлора функции f(x), определенной в окрестности точки а и имеющей в этой точке
конечные производные любого порядка, называется степенной ряд
(17)
Пример 13. Разложить функцию f(x) = lnx в ряд Тейлора в окрестности точки a = 1.
РЕШЕНИЕ Находим производные данной функции (сначала в общем виде, а затем при х=1):
Искомый ряд согласно общей формуле (17) имеет вид
Полученный ряд сходится при 0 < х < 2.
Ряд Маклорена - частный случай ряда Тейлора при a=0:
(18)
Ряды Тейлора и Маклорена широко используются в приближённых вычислениях, поэтому важно
знать основные способы разложения функций в степенные ряды.
Способы разложения функций в ряды Тейлора
1) Способ разложения в ряд, основанный на вычислении производных функции, с последующим
исследованием интервала сходимости ряда. Этим способом получен ряд в примере 14. Таким
способом получены разложения основных элементарных функций.
1.
(19)
2.
(20)
3.
(21)
4.
(22)
5.
(23)
Ряды (19)-(21) сходятся при
, ряды (22), (23)
сходятся при
2) Дробь вида
представляется
сходящейся при
|q| < 1 геометрической прогрессии:
рядом с помощью формулы для бесконечной
(24)
Пример 14 Разложить в ряд по степеням х дробь
РЕШЕНИЕ. Используем формулу (24), приводим данную дробь к виду левой части формулы,
разделив числитель и знаменатель на 2:
Радиус сходимости ряда определяем из условия
Тогда
Интервал сходимости (-2; 2)
3 Во многих случаях разложение функций в степенной ряд можно получить, используя
разложение основных элементарных функций.
Пример 15. Найти ряд Маклорена для функций
а)
б)
РЕШЕНИЕ
a)
Используем разложение (21), подставляя 2х вместо х:
Это разложение верно для -∞<2х<∞, то есть -∞<х<∞.
б)
получим:
Используем разложение (23), подставляя
вместо х;
Это разложение верно при
4 При разложении функций в степенной ряд в некоторых случаях используют почленное
дифференцирование или интегрирование рядов, основываясь на свойствах степенных рядов.
Пример 16. Найти ряд Маклорена для функции
РЕШЕНИЕ
Известно, что
Определим с помощью формулы
, q = -x2:
(24)
Интегрируем почленно полученный ряд:
Подставляя х=0, получим С=0.
Окончательно,
Интервал сходимости -1 < х < 1.
ряд
для подынтегральной функции, приняв b =1