Малые колебания маятника:

Лабораторная работа №3.
“Свободные колебания жесткого маятника”
Станкевич Андрей, группа 138.
Краткое теоретическое введение.
Изучаются колебания в нелинейных системах на примере жесткого физического
маятника, когда возвращающая сила пропорциональна синусу угла отклонения. Эта система
  mga sin  , или после деления на J и введения обозначения
описывается уравнением J
 02  mga / J
   0 sin   0 в отсутствие трения и 
  2   0 sin   0 при его
, 
2
2
наличии. Данное уравнение не имеет аналитического решения в общем случае, в частном случае
малых колебаний можно положить sin    , откуда получаем гармонические (при наличие
трения затухающие) колебания. Кинетическая энергия системы вычисляется по формуле
E кин 
J 2
, потенциальная по формуле E пот  mga(1  cos ) .
2
Также важное значение имеет частный случай движения по сепаратриссе – когда полная
энергия системы равна 2mga - в этом случае уравнение траектории на фазовой плоскости
  2 0 cos( / 2) ,

интегрирование
этого
уравнения
дает
решение
  0 t  ln tan((   ) / 4) , откуда имеем (t )    arctan(exp ( 0 t )) (Здесь положено
  2 0 / cosh( 0 t ) .
(0)  0 ). Отсюда несложно получить 
Решение задач.
1. Малые колебания маятника:
1.1 Амплитуда, фазовая траектория и энергия малых колебаний.
a)
1. A 

0
   A 0  0.5236 0
1
J 2  mga(1  cos A)     0 2  2 cos A  0.5176 0
2

 0.012  1.2%
Относительная погрешность:

с) В случае малых колебаний можно приближенно считать sin    , откуда как и в случае
2.
линейных колебаний получаем равенство средних значений кинетической и потенциальной
энергии.
Отношение
полной
энергии
к
максимально
возможной
потенциальной:
mga(1  cos  max ) 1  cos  max
E
E
0
 0,067 .
, в случае  max  30 имеем


E max
Emax
2mga
2
1.2 Период малых колебаний.
b) Поскольку в области наибольшего отклонения маятник движется медленнее, там легче
остановить маятник в нужный момент, чем когда он на максимальной скорости проходит
точку равновесия. Повышает точность также остановка маятника после нескольких полных
колебаний.
c)
T / T (%)
0
T  T0 (1   0 / 16)
Tэксп
30=0.52
1.02
1.02
0
45=0.79
1.04
1.038
0.2
1.07
1.12
1.18
1.38
1.77
3.87
60=1.05
75=1.31
90=1.57
120=2.09
150=2.62
179=3.12
1.068
1.107
1.15
1.27
1.42
1.61
0.3
1.2
2.2
7.9
24.1
140.1
2. Колебания с большой амплитудой
2.1 Сравнение маятника и линейного осциллятора
График зависимости скорости становится ближе к прямой – на больших амплитудах
скорость убывает медленнее так как sin    , меньше возвращающая сила, медленнее
изменяется скорость. То же заметно в более вытянутой вдоль оси  фазовой траектории –
маятник дольше остается в области большого отклонения. То же наблюдается и на графике
энергии – потенциальная энергия имеет большее среднее значение, чем кинетическая.
2.2 Колебания с большими амплитудами.
a) В районе 90 синус имеет наименьшие изменения и в некоторой окрестности этого угла
  const , откуда  близка к линейной функции, а  - к параболе. Этот
можно положить 
эффект наблюдается особенно хорошо именно при углах больших 90, так как при этом
маятник долго находится в окрестности угла 90, сначала при подъеме, затем при спуске.
b) Поскольку sin    , то при больших амплитудах возвращающая сила меньше, чем в
случае линейных колебаний, отсюда маятник дольше остается в районе точки наибольшего
отклонения, где скорость близка к 0, а в районе точки равновесия, где скорость высокая,
маятник остается значительно меньший период времени, что и приводит к тому, что среднее
значение потенуиальной энергии больше среднего значения кинетической.
c) В эксперименте было получено значение T  8.2T0 .
d)
e)
 max
T / T0
179.999
179.99
179.9
8.2
6.8
5.5
   0 sin   0 . Положим      , уравнение запишется в
Рассмотрим уравнение 
2
виде
   02 sin   0 ,
в окрестности точки   
можно приближенно считать
sin    , откуда имеем линейное уравнение      0 , решением которого является
функция  (t )  A1 exp( 0 t )  A2 exp(  0 t ) . Движение до некоторого угла 
2
0
приблизим
движением
по
сепаратриссе,
для
нее
известно,
что
(t )    4 arctan(exp ( 0 t )) , откуда имеем момент нахождения в точке  :
ln tan((   ) / 4)
t  
T0 . Для нахождения констант A1 и A2 воспользуемся
2
следущими соображениями:
1) В момент t      
2) В некоторый момент
3) В момент
t x , который нам надо найти,      max
t x   0 .
Имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
 A1 exp( 0 t  )  A2 exp(  0 t  )    

 A1 exp( 0 t x )  A2 exp(  0 t x )     max (*)
 A exp( t )  A exp(  t )  0
0 x
2
0 x
 1
Выражая из двух последних
A1 и A2 и подставляя в первое, имеем:
(   max )(exp(  0 (t   t x ))  exp(  0 (t   t x )))  2(   )
Откуда
2
2
T0      (   )  (   max ) 
tx  t 
ln

2 
   max


Подставляя наши данные и пробуя различные значения  , получаем:
 ,
 ,рад
 
t
 max ,  max ,рад    max
tx
179,99
3,1414
0,00017
160,00
2,793
0,349
0,388
1,708
179,99
3,1414
0,00017
170,00
2,967
0,175
0,498
1,708
179,99
3,1414
0,00017
179,00
3,124
0,017
0,865
1,708
179,99
3,1414
0,00017
179,50
3,133
0,009
0,975
1,708
179,99
3,1414
0,00017
179,90
3,140
0,002
1,231
1,708
Очевидно, что используемый метод дал достаточно точный результат, который кроме того
согласуется с экспериментом. Период, очевидно, в 4 раза больше, и равен 6.8, как и в
эксперименте (см. пункт d)
2.3 Движение по сепаратриссе.
a) Для того, чтобы движение проходило указанным способом, необходимо, чтобы
  0 , если
изображающая точка в начале лежала в первой либо второй четверти т.е. 
  0 , то   0 .
b) Для движения по сепаратриссе необходимо, чтобы полная энергия маятника была равна
2mga . Поэтому для начального угла  0 соответствующая скорость будет
   0 2  2 cos  0 . Для приведенных в условии случаев:
0

0
2
60
3  1.73
90
2  1.41
120
c)
Имеем:
1
  2 0 cos  / 2 , откуда  2  4 02 cos 2  / 2  2 02 (cos   1) , подставляя в
 2
 1  cos  , откуда cos   0 , т.е.    / 2 . Таким
2 02
образом кинетическая энергия меньше потенциальной на участке    / 2 . Отсюда
ln tan  / 8
 0.28 .
получаем время, в течении которого это наблюдается - t  2t / 2  2
2
формулы для энергии, имеем:
2.4 Большие колебания с трением.
3. Перевороты и вращения маятника.
3.1 Угловая скорость.
a) Для достижения верхней точки достаточно, чтобы начальная скорость была больше чем при
движении по сепаратриссе т.е.   2 0 .
b) Если начальная скорость равна  , в верхней точке найдем ее из закона сохранения
энергии:
2
 top
2 02

2
 2 , откуда top   2  4 02 .
2
2 0
При движении с полной энергией много больше
E max можно пренебречь силой тяжести,
1
.

тогда период будет равен T 
3.2 Период вращений и колебаний.
a), b) Если E
случае
2E
, откуда  max  arccos(1  2 E / Emax ) , в
E max
имеем
если
то
E  Emax ,
 max  176.38 ,
 E max , имеем 1  cos  max 
E / Emax  0.999
 top  2 0 E / Emax  1 , если E / Emax  0.999 , то  top  0.063 . Для первого случая
для нахождения периода применим тот же метод, что и в пункте 2.2 e). Для второго случая
изменятся два последних уравнения системы (*). Имеем:
 A1 exp( 0 t  )  A2 exp(  0 t  )    

,
 A1 exp( 0 t x )  A2 exp(  0 t x )  0
 A exp( t )  A exp(  t )   / 
0 x
2
0 x
top
0
 1
Здесь за
t x принято время прохождения маятником верхней точки. Решая тем же способом,
2
2
T0      (    )  ( top /  0 )
получаем для t x выражение: t x  t  
ln
2 
 top /  0

Раасмотрим на различных примерах (  везде взята 150, откуда t   0.323 ):
 max
 top
0.001
176,38
0.002


 .

0,063
Период
колебаний
(Теория)
3,074
Период
колебаний
(Практика)
3,07
Период
вращений
(Теория)
1,542
Период
вращений
(Практика)
1,54
174,87
0,089
2,848
2,85
1,435
1,43
0.005
171,89
0,141
2,539
2,55
1,296
1,29
0.010
168,52
0,200
2,285
2,32
1,197
1,18
Объяснением того, что отношение периодов почти равно 2 служит тот факт, что разлагая
(  ) 2
cos  в ряд Тейлора вблизи точки  , имеем cos   1 
, что влечет
2
 top /  0 , откуда следует, что значения t x для них
равенство     2 1  E / E max  
будут близкими. А поскольку за период колебаний маятник проходит в два раза больший
путь чем за период вращений, то и соответствующее отношение периодов близко к двум.
3.3 Вращения маятника в присутствие трения.
a) В момент пересечения сепаратриссы значение полной энергии очевидно 2mga .