Решение задач.

Решение задач.
1. Так как трение отсутствует, то систему, образовавшуюся после
попадания пули, можно рассматривать как пружинный маятник,
совершающий гармонические колебания в горизонтальном направлении
с периодом:
T  2
mM
(1)
k
Жесткость пружины k найдём из закона сохранения энергии:
(m  M )U 2 kA2
(2),

2
2
где U - скорость, приобретённая телом после попадания пули. Скорость
U найдём из закона сохранения импульс, записав его для абсолютного
неупругого удара:
U
m
V (3)
mM
Используя (2) и (3) и учитывая, что m  M , вместо (1) окончательно
получаем:
T  2
A
M
AM
(1  )  2
, или T  1,26с.
V
m
Vm
l
2
x
2
2. Относительно О  mg sin   FA (l  ) sin   0 (1)
mg  1lSg (2)
FA   2 xSg (3)
1
l2
x
  2 x(l  )  0 (4)
2
2
x 2  2lx 
1 2
l  0 (5)
2
x1, 2  l  l 1 
1
(6);
2
Знак «+» исключается т.к. x  l
x  l (1  1 
1
)  0,3l .
2
3. Условие скольжения: k  tg
N  mg cos  (),
FTP  kN  kmg cos  (2)
mU 2
(3);
 FTP S  mgh 
2
h  S sin  (4),
mgS sin  
k
mU 2
 kmgS cos  (5)
2
U2
 tg  0,36
(2 gS cos  )
tg30 0  0,56
0,36  0,56  соскользнёт.
4. Закон сохранения импульса для системы тело-доска.
m1U 0  (m1  m2 )U (1),
когда тело больше не скользит.
Закон сохранения энергии:
(m1  m2 )U 2 m1U 02

  m1 gl (2)
2
2
Решая совместно (2) и (1), находим:
l
m1 m2U 02
 0,7 м.
2g (m1  m2 )
5. Прежде всего напомним, что внешней силой, сообщающей автомобилю
ускорение, является сила трения колес о дорогу. При движении
автомобиля по горизонтальному участку, представляющему собой дугу
окружности, сила трения в каждый момент времени состоит из двух
составляющих: касательной составляющей FTP ,
x
А
R
S
B
α
ацс
Fтрн
Fтр
ak
Fтрк
обеспечивающей разгон автомобиля, и нормальной составляющей FTP ,
создающей центростремительное ускорение и обеспечивающей движение по
окружности. Напишем уравнение движения автомобиля в точке перехода его
на прямой участок дороги (в точке В):
H
2
FTP
FTP
mU B \
 maцс 
R
 mak
(1)
По условию, автомобиль равномерно набирает скорость, т.е. 𝑎𝑘 - постоянно.
Это означает, что скорость, которую будет иметь автомобиль в конце разгона
равна:
U B  2a k S где, S  UAB 

6
R (2)
U B2 3U B2
Отсюда: a k 

2S
R
Тогда систему (1) можно записать так: FTP 
H
mU B2
3mU B2
(3); FTPK 
(4).
R
R
В момент перехода автомобиля на прямой участок дороги в точке В его
скорость, по условию, должна быть максимальной: U B  U max . Это означает, что
в точке В сила трения должна достигнуть своего максимального значения:
FTP  kmg (5), где m – масса автомобиля. По теореме Пифагора:
FTP2  FTP2 H  FTP2 K (6)
Подставляя значения из (3), (4), (5) в (6) получим:
2
(kmg) 2  (
mU M
3mU M2 2
)(
) (7)
R
R
Из (7) найдем максимально возможную скорость U M :
UM 
kgR
3
1  
 
2

0,3  9,8  10 2
 2,13  10  14,6 м / с  52,5км / ч .
1,38
6. Рассмотрим время, когда шероховатой поверхности находится часть
бруска:
x
l
x
: FTP   mg
2
l (1),
ускорение
a  x '' 
FTP
x
 mg
m
l (2),
запишем в форме
g
x '' 
l
x0
1
- уровень колебаний с момента x=0 до U=0 проходит 4 периода.
Тогда время торможения:

  14 T 
2
l
g (3)
Решение уравнений колебаний:
l
x  sin
2
g
l
U  x' 
Тогда начальная скорость:
t
(для 0  t   ) (4);
l g
g
cos
t
2 l
l (5)
U (0) 
1
gl
2
.