Контрольная работа № 00

Контрольная работа № 00
по предмету «Высшая математика» часть 2 (код-ВШ)
1. Из города А в город В ведут 5 дорог, из города В в город С - три дороги.
Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
Решение.
Представим задачу в виде графа, см. рис. 1.
А
В
С
Рис. 1. Граф путей, связывающих пункты А, В и С.
Очевидно, что какой бы путь не выбрал объект, продвигаясь из пункта А
в пункт В, по достижении пункта В он может выбрать любой из трех путей,
позволяющих ему добраться из В в С.
Следовательно, путей, ведущих из А в С и проходящих через В, существует 5  3 = 15.
Ответ: 15 путей.
2. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами
можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну - на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?
Решение.
На левую руку можно выбрать любую из 6 перчаток на левые руки. На
правую – любую из пяти перчаток на правую руку. Значит, всего способов
6  5=30.
Ответ: 30 способов.
3. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой
команде должно быть хотя было одному юноше?
Решение.
По условию задачи, в одной команде должен быть 1 юноша, а в другой 2.
Сформировать команды при таких условиях можно следующим образом.
Юношу в первую команду можно выбрать C31 . способами, выбрать девушек в эту команду можно C 53 . способами. Оставшиеся 2 юношей и 2 девушки составят другую команду. Значит, всего имеется C31 . C 53 . =30 способов
разбиться на команды.
Ответ: 30 способов.
4. В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом к паровозу, 3 – спиной к паровозу, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?
Решение.
Разместим четверых желающих пассажиров лицом к паровозу (на 5 местах). Это можно сделать A54 . способами, разместим троих желающих пассажиров спиной к паровозу. Это можно сделать A53 . способами, Осталось 3
«безразличных» пассажира и для них 3 места. Их можно разместить 3! способами.
4
3
Значит, всего способов размещения A5 . A5 3! 43200 .
Ответ: 43200 способов.
5. В почтовом отделении продаются открытки десяти видов в неограниченном количестве. Сколькими способами можно купить 12 открыток?
Решение.
Имеем случай сочетания с повторениями:
С nm  С mm n 1 
В нашей задаче n  12, m  10, С mmn1 
(п  т  1)!
.
m!(n  1)!
(п  т  1)! (12  10  1)!
21!


 352716.
m!(n  1)!
10!(12  1)! 10!11!
Ответ: 352716 способов.
2
6. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек практически
одинаковых по степени мастерства. Трое судей должны независимо
друг от друга пронумеровать их в порядке, отражающим их успехи в
соревновании по мнению судей. Победителем считается тот, кого
назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле всех возможных
случаев победитель будет определен?
Решение.
Победитель будет определен в случаях, если А( ровно два судьи определили одного и того же спортсмена X), В( ровно три судьи назвали одного и
того же спортсмена X).
p ( A) 
1
1
, p( B)  3 .
2
10
10
Однако спортсмен X – любой из 10 спортсменов, поэтому доля всех
1 
 1
возможных случаев p  10 2  3   0.11 , или 11%.
10 
 10
Ответ: 0,11, или 11%.
7. В урне лежат 10 жетонов с числами 1,2,3, ..., 10. Из нее, не выбирая,
вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них
чисел не меньше 9?
Решение.
Неблагоприятные исходы: (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4) (в этих случаях
сумма чисел меньше 9). Всего исходов C103 . Значит, всего благоприятных ис3
ходов C10  4  120  4  116.
Ответ: в 116 случаях.
8. Человек имеет 6 друзей и в течения 20 дней приглашает к себе 3 из них
так, что компания им разу не повторяется. Сколькими способами
может он это сделать?
Решение.
Выбрать 3 друзей из 6 можно C63  20 способами. Значит, всего можно
составить 20 различных компаний. Эти компании надо распределить на 20
дней. Это можно сделать 20!= 2432902008176640000 способами.
Ответ:
20! или 2 432 902 008 176 640 000 способов.
3
9. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой
взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с
сыром и с колбасой – 28 человек; и с колбасой и с ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов
взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили
с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?
Решение.
Решение задачи становится очевидно, если описать условие с помощью
диаграммы Венна (в виде пересекающихся кругов, изображающих множества), приняв следующие обозначения:
А - множество туристов, которые взяли с собой бутерброды с колбасой;
В - множество туристов, которые взяли с собой бутерброды с сыром;
С - множество туристов, которые взяли с собой бутерброды с ветчиной.
Рис. 2. Диаграмма Венна.
На этой диаграмме видно:
а) Количество туристов, взявших с собой бутерброды всех трех видов
(25).
б) Количество туристов, взявших с собой бутерброды каких-либо двух
видов (с учетом туристов, взявших с собой бутерброды всех трех видов) –
соответственно 3, 1 и 6 человек (чтобы общее число этих людей в соответствии с условием было равно 28, 26 и 31 человек).
в) Количество туристов, взявших с собой бутерброды какого-либо одного вида (с учетом туристов, перечисленных в пунктах а и б) – соответственно
13, 9 и 10 человек (чтобы общее число этих людей в соответствии с условием
было равно 47, 38 и 42 человека).
Тогда общее число любителей бутербродов составит
25 + 3 + 1 + 6 + 13 + 9 + 10 = 67 человек.
4
Следовательно, пирожки взяли с собой 92 – 67 = 25 человек.
Ответ: 25 человек.
10. Найти решение задачи, состоящей в определения максимального
значения функции
F = 2х1 + х2 – х3 + х4 – х5
при условиях
х1 + х2 + х3 = 9;
2х1 + х2 + х4 = 7;
х1 + 2х2 + х5 = 0;
х1, х2, … х5 ≥ 0.
Решение.
Преобразуем целевую функцию F = (2х1+х2 +х4)-х3-х5=9-х3-х5.
Учитывая неотрицательность переменных х1, х2, х3, х4 , х5 видим, что
наибольшее значений целевой функции может быть при х3 = 0, х5 = 0, если
при таких значениях будут выполняться все ограничения.
Имеем
х1+х2=5
2х1+х2+х4=9
х1+2х2=7
или
х1+х2=5
х2-х4=1
х2=2
или
х1=3
х4=1
х2=2
Видим, что все переменные неотрицательны и удовлетворяют ограничениям и несут максимум F = 9 целевой функции.
Ответ: х1=3, х2=2, х3=0, х4=1, х5=0.
5
Решения сборника заданий
по предмету «Высшая математика» часть 2 (код-ВК2)
Задание 24
Вопрос 1. Пусть А, В - множества. Что означает запись А  В, В  А?
Ответ 5: Множества А, В равны.
Вопрос 2. Пусть А - непустое множество всех учеников школы (А  ),
В - множество учеников пятых классов этой школы, С - множество учеников
седьмых классов этой школы. Какая из записей выражает ложное утверждениё? (Скобки здесь, как и в арифметических выражениях, задают порядок
действий).
Ответ 5: А  (ВС).
Вопрос 3. Какое из утверждений не всегда (не для любых множеств А,
В, С) является верным?
Ответ 3: А\В=В\А
Вопрос 4. Пусть NН - множество дней недели, а NЯ - множество дней в
январе. Какова мощность множества NН  NЯ?
Ответ 3: 217.
Вопрос 5. Рассмотрим множество показаний часов
Что можно
утверждать относительно элемента а множества
Ответ 2: a  N2 .
Задание 25
Вопрос 1. Рассмотрим соответствие G между множествами А и В
(GАхВ). В каком случае соответствие называется всюду определенным?
Ответ 3:
Вопрос 2. Допустим, что существует взаимнооднозначное соответствие
G между множествами А и В. Что можно сказать об их мощностях?
Ответ 4:

Вопрос 3. Какая функция не является суперпозицией функций
6
Ответ 5:
Вопрос 4. Рассмотрим бинарное отношение R на множестве М. Что
можно утверждать об R. если это отношение транзитивно?
Ответ 2:
.
Вопрос 5. Каким свойством не обладает отношение нестрогого порядка R?
Ответ 5: Симметричность.
Задание 26
Вопрос 1. Какова сигнатура булевой алгебры множеств?
Ответ 1:
Вопрос 2. Какая операция не является ассоциативной?
Ответ 2: Деление чисел.
Вопрос 3. Рассмотрим алгебру
и алгебру
В каком случае можно утверждать, что
Ответ 5:
.
?
Вопрос 4. Какая операция является обязательным атрибутом полугруппы?
Ответ 3: Бинарная ассоциативная.
Вопрос 5. Чем является полугруппа
Ответ 5: Циклической полугруппой.
?
Задание 27
Вопрос 1. Какое из чисел является совершенным?
Ответ 1: 28 (Число называется совершенным, если сумма его делителей
равна самому числу).
Вопрос 2. Какое из чисел не является треугольным?
Ответ 5: 21.
7
Вопрос 3. Чему равно число сочетаний из пяти по три С35 ?
Ответ 1: 10.
Вопрос 4. Какая из формул, содержащих число сочетаний, не верна?
Ответ 3:
(20 = 10+15).
Вопрос 5. Вопрос 5. Предположим, что мы много раз бросаем пару игральных костей (кубиков с цифрами от 1 до 6 на гранях) и суммируем две
выпавшие при каждом бросании цифры. Какую из перечисленных ниже сумм
мы будем получить чаще других?
Ответ 2: 7.
Задание 28
Вопрос 1. Каким был первый наиболее важный шаг в расшифровке клинописных надписей, сделанный Мюнтером и Гротефендом?
Ответ 1: Подбор наиболее вероятной версии перевода для часто встречающихся в клинописных надписях слов.
Вопрос 2. Сколько всего разных пар можно составить из 4-х букв?
(Сколько различных двухзначных чисел можно образовать, используя только
цифры 1,2,3,4?)
Ответ 3: 16.
Вопрос 3. Какому условию удовлетворяют все вырожденные коды?
Ответ 4: Это коды — неперекрываюшиеся.
Вопрос 4. Какое высказывание не соответствует коду ДНК?
Ответ 2: Этот код – линейный.
Вопрос 5. Какую важнейшую комбинаторную задачу решил 17 февраля
1869 года Дмитрий Иванович Менделеев?
Ответ 2: Задачу составления периодической системы химических элементов.
Задание 29
Вопрос 1. Какое условие (предположение) характерно для всех комбинаторных задач?
Ответ 1: В комбинаторных задачах всегда идет речь только о конечных
множествах.
8
Вопрос 2. Как быстрее решить задачу поиска (построения) магического
квадрата третьёго порядка, без использования компьютера?
Ответ 5: Определив сумму по каждой из его строк. столбцов и диагоналей и составив тройки чисел, дающие эту сумму.
Вопрос 3. Сколько всего существует способов расположения чисел 1, 2,
3, 4, 5, 6 7, 8, 9 в виде магического квадрата? (Под магическим квадратом
следует понимать матрицу сумма элементов которой по каждому столбцу,
строке и диагонали одна и та же)
Ответ 4: 8.
Вопрос 4. Сколько способов (вариантов) расстановки восьми ферзей на
шахматной доске так, чтобы ни один из них не мог взять другого, существует?
Ответ 5: 92.
Вопрос 5. Какое максимальное число коней, не бьющих друг друга,
можно расставить на шахматной доске?
Ответ 3: 32.
Задание 30
Вопрос 1. Для какого числа n не может быть построена пара ортогональных квадратов?
Ответ 3: 6.
Вопрос 2. Что называют блок-схемой в комбинаторике?
Ответ 2: Размещение элементов заданных множеств в блоки, подчиненное некоторым условиям относительно появления элементов.
Вопрос 3. Как формулируется принцип Дирихле?
Ответ 4: Если в n ящиков положено более, чем n предметов, то хотя бы
в одном ящике лежат два или более предметов.
Вопрос 4. При попарном соединении какого числа точек отрезками двух
цветов нельзя гарантировать, что найдутся три точки, являющиеся вершинами одноцветного треугольника? /
Ответ 2: 6.
Вопрос 5. Как можно сформулировать теорему Ф. Холла о деревенских
свадьбах?
9
Ответ 5: Пусть в каком-нибудь множестве Х выделены подмножества
для того, чтобы в Х можно было вы брать n различных элементов
, таких что
необходимо и достаточно чтобы
объединение любых заданных подмножеств содержало не менее k элементов.
Задание 31
Вопрос 1. Сколько существует двухзначных чисел, не содержащих цифры 0 и 1 ?
Ответ 4: 64.
Вопрос 2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно (пользуясь только одним словарем) выполнять переводы с любого из
пяти языков (например, русского, французского, немецкого, итальянского,
англий ского) на любой другой из этих пяти?
Ответ 1: 20.
Вопрос 3. Каково число размещений с повторениями из n по k?
Ответ 2: nk.
Вопрос 4. Сколько всего разных символов (букв, цифр, знаков препинания...) можно закодировать (представить) кортежами из точек и тире, имеющими длину от 1 до 5?
Ответ 2: 32.
Вопрос 5. Сколько всего кортежей вида
можно образовать,
если в качестве
может быть взят любой из элементов множества
Хi мощность которого равна mi .
Ответ 2:
Задание 32
Вопрос 1. Сколько размещений без повторений из 10 элементов по 3
существует?
Ответ 2:
= 720.
Вопрос 2. Сколькими способами можно поставить две ладьи разных
цветов на шахматной доске (8х8) так, чтобы они не били друг друга?
10
Ответ 4: 6449 (Первую ладью можно поставить на любое из 64 полей.
В этом положении ладья будет бить 15 полей (включая то, на котором она
стоит). Следовательно, вторую ладью можно поставить 64 – 15 = 49 способами. Всего имеем 6449 = 3136 способов.)
Вопрос 3. Сколько разных кортежей букв длины 7, можно образовать
перестановкой букв в слове “сколько”?
Ответ 4: 1260.
Вопрос 4. Допустим, что для посадки нам требуется 9 деревьев, а в магазине есть саженцы деревьев пяти сортов (пород). Из скольких вариантов (составов) покупки 9 деревьев нам придется выбирать?
Ответ 3: 715.
Вопрос 5. Сколько подмножеств, содержащих m элементов, у множества
мощностью
?
Ответ 2:
Задание 33
Вопрос 1. Какая из формул не является верной для любых натуральных
чисел
удовлетворяющих условию
?
Ответ 5:
(например, для чисел k=4 и n=7
0
1
2
3
4
7
Ñ 7  Ñ 7  Ñ 7  Ñ 7  Ñ 7  1  7  21  35  35  99  2 ) .
Вопрос 2. При каком условии формула перекрытий принимает вид
Ответ 1:
Вопрос 3. Рассмотрим передачу двоичных кодовых сообщений фиксированной длины. При каком условии можно правильно восстановить сообщение, если известно, что ошибка допущена в одном разряде?
Ответ 5: Если вместе со словом будет передана контрольная сумма его
единичных разрядов.
Вопрос 4. Что означает запись
в формуле перекрытий?
Ответ 2:
Вопрос 5. В студенческой группе всего 45 студентов. Из них в футбольной секции занимаются 31 человек, в шахматной — 28, в баскетбольной —
30. Одновременно в футбольной и шахматной секциях занимаются 20 сту11
дентов этой группы, в баскетбольной и футбольной —22 студента, в шахматной и баскетбольной — 18 студентов. Кроме того из вестно, что 12 студентов
этой группы занимаются одновременно в трех упомянутых секциях. Сколько
студентов группы не занимается ни в одной из упомянутых секiдiй’
Ответ 4: 4.
Задание 34
Ответ 2: (там действительно ошибка)
Дальше ответы – КОРОТКО, т.к. не успеваю…
Вопрос 2.
Ответ 2:
Вопрос 3.
Ответ 1:
Вопрос 4.
Ответ 3:
Вопрос 5.
Ответ 3:
Задание 35
Вопрос 1.
Ответ 2:
12
Вопрос 2.
Ответ 4:
Вопрос 3.
Ответ 4:
Вопрос 4.
Ответ 5:
Вопрос 5.
Ответ 4:
Задание 36
Вопрос 1.
Ответ 1:
Вопрос 2.
Ответ 4:
Вопрос 3.
Ответ 3:
Вопрос 4.
Ответ 4:
Вопрос 5.
Ответ 1:
Задание 37
Вопрос 1.
Ответ 2:
Вопрос 2.
Ответ 4:
Вопрос 3.
Ответ 2:
Вопрос 4.
13
Ответ 3:
Вопрос 5.
Ответ 3:
Задание 38
Вопрос 1.
Ответ 4:
Вопрос 2.
Ответ 3:
Вопрос 3.
Ответ 4:
Вопрос 4.
Ответ 1:
Вопрос 5.
Ответ 5:
Задание 39
Вопрос 1.
Ответ 4:
Вопрос 2.
Ответ 4:
Вопрос 3.
Ответ 3:
Вопрос 4.
Ответ 4:
Вопрос 5.
Ответ 4:
Задание 40
14
Вопрос 1.
Ответ 5:
Вопрос 2.
Ответ 1:
Вопрос 3.
Ответ 1:
Вопрос 4.
Ответ 1:
Вопрос 5.
Ответ 3:
Задание 41
Вопрос 1. Укажите формулировку задачи в терминах общей задачи динамического программирования:
1. Найти максимум функции
при условиях
.
Ответ 1:
Вопрос 2. К какому типу задач относится задача вида:
Ответ 4: Транспортная задача.
Вопрос 3. Укажите выражение, представляющее основное функциональное уравнение Беллмана или рекуррентное соотношение:
15
Ответ 2:
Вопрос 4. Как получить оптимальную стратегию управления методом
динамического программирования?
Ответ 5: В n этапов: сначала оптимальная стратегия и на n-м шаге, затем на 2-х последних шагах, за на 3-х последних и т.д. вплоть до первого шага.
Вопрос 5. Какая формулировка является формулировкой в терминах динамического программирования для задачи:
В состав производственного объединения входят два предприятия, связанные между собой кооперативными поставками. Вкладывая дополнительные средства в целях развития этих предприятий, можно улучшить техникоэкономические показатели деятельности производственного объединения в
целом, обеспечив тем самым получение дополнительной прибыли. Величина
этой прибыли зависит от того, сколько выделяется средств каждому предприятию и как эти средства используются. Считая, что на развитие i-го предприятия в начале k -го года выделяется
тыс. руб.
Найти такой вариант распределения средств между предприятиями в течении N лет, при котором обеспечивается получение за данный период времени максимальной прибыли.
Ответ 2:
16