dif_ur - Высшая школа экономики

Министерство экономического
развития и торговли
Российской Федерации
Министерство образования
и науки Российской Федерации
Государственный университет Высшая школа экономики
Факультет
Экономики
Программа дисциплины
Дифференциальные и разностные уравнения
для студентов первого и второго курса
направления 521600  Экономика
подготовки бакалавра
Авторы программы: доктор физико-математических наук, профессор
Гусятников Петр Борисович и доктор физико-математических наук,
профессор Романко Василий Кириллович
Рекомендовано секцией УМС
“Математические и статистические
методы в экономике”
Одобрено на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Председатель
_______________Шведов А.Г.
Заведующий кафедрой
_______________Ф.Т.Алескеров
“____”__________ 2004г.
“___” __________ 2004 г.
Утверждено УС факультета
Экономики
Ученый секретарь
_________________
“_____” _____________ 2004 г.
Москва
Тематический план учебной дисциплины.
Курс предназначен для студентов направления "Экономика" и рассчитан на
два модуля (пятый модуль первого курса и первый модуль второго курса).
Пятый модуль первого курса
№
1
2
3
4
5
6
7
Название темы
Простейшие обыкновенные
дифференциальные (ОДУ)
первого порядка
Комплексные числа
Понижение порядка ОДУ
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами
высших порядков
Системы линейных ОДУ
с постоянными
коэффициентами
Устойчивость решений
Фазовый портрет линейных
и нелинейных систем ОДУ
Примеры и приложения
Итого:
Всего часов
Аудиторные часы
Лекции Семинары
Самостоятельная
работа
9
3
3
3
6
6
2
2
2
2
2
2
12
4
4
4
11
3
4
4
9
3
3
3
1
54
1
18
18
18
Первый модуль второго курса
№
1
2
3
4
Название темы
Простейшие разностные
уравнения (РУ) и РУ
первого порядка
Линейные РУ с постоянными коэффициентами
высших порядков
Системы линейных РУ с
постоянными
коэффициентами
Устойчивость решений
Примеры и приложения
Итого:
Итого за два модуля:
Всего часов
Аудиторные часы
Лекции Семинары
Самостоятельная
работа
12
2
2
8
16
4
4
8
16
4
4
8
10
54
108
2
14
32
2
14
32
6
26
44
Формы рубежного контроля и структура итоговой оценки
Контроль знаний студентов включает формы текущего, рубежного и
итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в течение двух
модулей. В пятом модуле первого курса по курсу предусмотрены текущий
контроль посещаемости и знаний студентов на семинарских занятиях, одна
контрольная работа (120 мин.) и одно домашнее задание. Каждая форма
текущего контроля оценивается 10-балльной оценкой, которая выставляется
в рабочую ведомость преподавателя. По результатам текущего контроля
организуются индивидуальные консультации в рамках второй половины
рабочего дня преподавателя. Форма рубежного контроля  письменный
дифференцированный зачет по окончании пятого модуля первого курса,
который оценивается по 10-балльной шкале. Продолжительность зачета 160
мин.
Для получения результирующей оценки О рубежного контроля используются следующие весовые множители:
0,1  для оценки Опосещ. посещаемости и работы студентов на семинарских занятиях,
0,1 для оценки Одом.з. за выполнение домашнего задания,
0,3  для оценки Оконтр. за контрольную работу,
0,5  для оценки Описьм. зачет за письменный зачет.
Для получения результирующей оценки О по 10-балльной шкале
вычисляется величина
О = 0,1Опосещ. + 0,1Одом.з. + 0,3Оконтр. + 0,5Описьм. зачет
Полученный после округления этой величины до целого значения результат
и выставляется как результирующая оценка по 10-балльной шкале в
качестве дифференцированного зачета по учебной дисциплине
"Дифференциальные и разностные уравнения" за пятый модуль первого
курса в зачетную ведомость и зачетную книжку студента. В зачетную
ведомость и зачетную книжку студента выставляется также и оценка по
данной дисциплине по 5-и балльной системе, получаемая из оценки по
десятибалльной шкале в соответствии с таблицей соответствия (см.
Приложение № 2 к приказу Ректора ГУ-ВШЭ № 1002 от 17.06.2002)
В первом модуле второго курса контроль знаний студентов включает
формы текущего и итогового контроля. По курсу предусмотрены текущий
контроль посещаемости и знаний студентов на семинарских занятиях, одна
контрольная работа (120 мин.) и одно домашнее задание. Каждая форма
текущего контроля оценивается 10-балльной оценкой, которая выставляется
в рабочую ведомость преподавателя. По результатам текущего контроля
организуются индивидуальные консультации в рамках второй половины
рабочего дня преподавателя. Форма итогового контроля  письменный
экзамен по окончании первого модуля второго курса, который оценивается
по 10-балльной шкале. Продолжительность экзамена 160 мин.
Для получения результирующей оценки О итогового контроля используются следующие весовые множители:
0,1  для оценки Опосещ. посещаемости и работы студентов на семинарских занятиях,
0,1 для оценки Одом.з. за выполнение домашнего задания,
0,3  для оценки Оконтр. за контрольную работу,
0,5  для оценки Описьм. экзамен за письменный экзамен.
Для получения результирующей оценки О по 10-балльной шкале
вычисляется величина
О = 0,1Опосещ. + 0,1Одом.з. + 0,3Оконтр. + 0,5Описьм. экзамен
Полученный после округления этой величины до целого значения результат
и выставляется как результирующая оценка по 10-балльной шкале в
качестве экзамена по учебной дисциплине "Дифференциальные и
разностные уравнения" за первый модуль второго курса в экзаменационную
ведомость и зачетную книжку студента. В экзаменационную ведомость и
зачетную книжку студента выставляется также и оценка по данной
дисциплине по 5-и балльной системе, получаемая из оценки по
десятибалльной шкале в соответствии с таблицей соответствия (см.
Приложение № 2 к приказу Ректора ГУ-ВШЭ № 1002 от 17.06.2002)
Таблица соответствия оценок
по десятибалльной и пятибалльной системам.
По десятибалльной шкале
1  неудовлетворительно
2  очень плохо
3  плохо
4  удовлетворительно
5  весьма удовлетворительно
6  хорошо
7  очень хорошо
8  почти отлично
9  отлично
10 блестяще
По пятибалльной шкале
неудовлетворительно  2
удовлетворительно  3
хорошо  4
отлично  5
Базовые учебники и задачники..
Базовые учебники
1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного
исчисления. М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.
2. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу дифференциальных и разностных
уравнений. М.: Изд-во ГУВШЭ, 1998.
Базовые задачники
1. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и
вариационному исчислению под редакцией Романко В.К..  М.-С.Пб.:
Физматлит, 2002.
2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.  М.:
Наука, 1992.
Содержание программы учебной дисциплины
Дифференциальные и разностные уравнения
для направления 521600  Экономика подготовки бакалавра
I. Программа соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта по направлению
521600  Экономика,
утвержденного Министерством образования РФ 25. 03. 2000 г., номер
гос. регистрации 433 гум./бак.
II.Пояснительная записка.
Авторы программы: доктор физико-математических наук, профессор
Гусятников Петр Борисович, доктор физико-математических наук,
профессор Романко Василий Кириллович.
Требования к студентам: Курс предназначен для студентов направления "Экономика" в пятом модуле первого курса и первом модуле второго
курса. От слушателей требуются следующие предварительные знания и
навыки из курсов математического анализа и линейной алгебры:
дифференцирование и интегрирование функций одной переменной,
свойства определенных интегралов, вычисление и свойства частных
производных и дифференциалов функций многих переменных первого и
высших порядков, алгебраические операции над матрицами, вычисление
собственных чисел и собственных векторов квадратных матриц, общие
свойства линейных пространств и линейных операторов.
Аннотация: Программа соответствует требованиям ГОС. В данном курсе рассматриваются избранные разделы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений и теории разностных (рекуррентных)
уравнений, образующие элемент базового образования студентов по данной
специальности. Сведения, полученные при изучении данного курса, будут
использоваться в методах оптимальных решений, теории игр,
математической
экономике,
математическом
моделировании
экономических задач. Они могут быть использованы для разработки и
применения методов решения задач из многих областей знания, для
построения
математических
моделей
таких
задач.
Программа
предусматривает чтение лекций (32 часа) и проведение семинарских
занятий (32 часа). Программой предусмотрена самостоятельная работа
студента в объеме 44 часов, включающая в себя изучение теоретического
материала, подготовку к семинарским занятиям, выполнение домашних
заданий, подготовку к контрольным работам, к дифференцированному
зачету и к заключительному экзамену по данной дисциплине.
Учебная задача дисциплины: В результате изучения курса студенты
должны:
знать точные формулировки основных понятий, уметь
интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе
свободно использовать дифференциальные и разностные уравнения в
записи математических соотношений и моделировании экономических
зависимостей;
знать общие методы решения разностных уравнений и систем таких
уравнений, иметь понятие о задаче Коши и теоремах существования и
единственности решения задачи Коши как для разностных, так и для
дифференциальных уравнений и систем;
знать общие теоремы о структуре множества решений линейных уравнений и систем линейных уравнений (как дифференциальных, так и разностных), уметь применять специальные способы построения таких решений;
знать основные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, способы понижения порядка для
уравнений высших порядков;
иметь представление об устойчивости решений дифференциальных и
разностных уравнений, критериях устойчивости и исследовании устойчивости по линейному приближению;
обладать навыками работы и быть готовыми понимать разделы учебной и научной литературы, связанные с применением обыкновенных
дифференциальных и разностных уравнений и систем.
III. Содержание программы.
Часть первая (пятый модуль первого курса).
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1. Примеры математических моделей в экономике, описываемых
дифференциальными уравнениями.
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Общие понятия для обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка (решение уравнения, интегральная кривая, задача Коши для уравнения в
нормальной форме).
Уравнение первого порядка в дифференциалах и методы его решения (уравнение
с разделяющимися переменными, однородное уравнение, уравнение в полных
дифференциалах).
Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной.
Уравнение Бернулли.
3. Комплексные числа.
Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами.
Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая и экспоненциальная записи
комплексного числа. Решение уравнений в комплексных числах.
4. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.
Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в
нормальной форме). Методы понижения порядка диференциальных уравнений.
Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков.
5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного
однородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Критерии устойчивости нулевого решения линейного однородного уравнения.
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
Методы нахождения частных решений неоднородного уравнения.
6. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в
нормальной форме.
Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, задание
начальных значений). Линейная однородная система (принцип суперпозиции и
фундаментальная матрица решений, общее решение). Структура общего решения
линейной неоднородной системы. Вариация постоянных.
Методы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.
7. Количественный и качественный анализ автономных (стационарных)
систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.
Общие понятия и свойства (решение системы, фазовая траектория, положения
равновесия, циклы). Устойчивые и неустойчивые положения равновесия.
Полный анализ однородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для случая двух неизвестных.
Исследование нелинейных автономных систем вблизи положений равновесия по
линейному приближению.
Приложения к исследованию экономических моделей.
Часть вторая (первый модуль второго курса).
Разностные (рекуррентные) уравнения.
1. Примеры математических моделей в экономике, описываемых
разностными уравнениями.
2. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка.
Общие понятия для рекуррентного уравнения первого порядка в нормальной
форме (решение уравнения, начальные условия, задача Коши, решение
рекуррентного уравнения подстановкой).
Линейное уравнение первого порядка (арифметическая и геометрическая
прогрессии, частичные суммы и произведения, метод вариации постоянной).
3. Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка.
Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в
нормальной форме). Решение уравнения подстановкой.
4. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения.
Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного
однородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
Методы нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения.
уравнения с постоянными коэффициентами.
5. Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений.
Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, начальные
условия). Решение подстановкой.
Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная
матрица решений, общее решение). Методы решения систем линейных
разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Критерии устойчивости
нулевого решения линейной однородной системы.
Структура общего решения линейной неоднородной системы. Частные решения.
6. Элементы количественного и качественного анализа нелинейных
разностных (рекуррентных) уравнений. Приложения к исследованию
экономических моделей.
IV. Учебно-методическое обеспечение дисциплины..
Список литературы
Базовые учебники
1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного
исчисления. М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.
2. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу дифференциальных и разностных
уравнений. М.: Изд-во ГУВШЭ, 1998.
Базовые задачники
1. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и
вариационному исчислению под редакцией Романко В.К..  М.-С.Пб.:
Физматлит, 2002.
2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.  М.:
Наука, 1992.
Основная литература
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.Учебное
пособие для вуз-ов.  М. : Наука, 1984.
2. Гельфонд В.И. Исчисление конечных разностей.  М. : ГИФМЛ, 1959.
3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.  М. :
Наука, 1961.
4. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике.
Том 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах.  М. : Изд-во
"УРСС", 1998.
Дополнительная литература
1. Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию. . М.:
Изд-во ГУВШЭ, 2000.
2. Chiang Alpha C. Fundamental methods of mathematical economics. Mc.GrowHill, 1984.
Типовые вопросы и задачи
для контрольных, зачетной и экзаменационной работ:
1. Решите задачу Коши y  12x( y 2  16), y(0)   4 и укажите промежуток
наибольшей длины, на котором решение этой задачи определено.
9y
, y (6)  8 и вычислите для
(15  2 x )( x  9)
решения этой задачи значение y( 3) .
2. Решите задачу Коши y 
3. Найдите решение x  x ( y ) уравнения ( x  2 y)dx  (10 y  2 y 3  2x)dy  0 ,
удовлетворяющее условию x( 2)  3 . Вычислите для этого решения значение
x( 3) .
 2  3i 

4. Вычислите действительную часть числа 
1  5i 
2003
.
3
4  12 x 21
5. Найдите все решения уравнения y   y 
.
x
x9
6. Решите задачу Коши y  6 y  5 y  0, y (0)  0, y(0)  8 и вычислите
для решения этой задачи значение y(1) .
 
7. Для последовательности yk , удовлетворяющей рекуррентному
2
уравнению yk 1  4 yk  9 k  5; k  0,1,2,... и условию y0  0, вычислите
y
величину 16 y .
10
8. Укажите все возможные значения дроби
y6
y9 для всех тех решений
рекуррентного уравнения yk  2  3 yk 1  9 yk  0; k  0,1,2,... , для
которых она определена.
 x k  1  3 x k  yk ,
9. Решите систему уравнений  y
 k 1  2 xk  6 yk ; k  0,1,2,..
 dx / dt  3 x  y  12e 7t
10. Решите неоднородную систему уравнений 
 dy / dt  2 x  6 y
и изобразите фазовый портрет однородной системы.
11. Найдите все значения параметра b , при которых нулевое решение
уравнения y  (6  b) y  5 y  by  0 асимптотически устойчиво.
12. Укажите все возможные значения дроби
y( x  ( / 3))
y( x) для всех
тех решений уравнения y  4 y  13 y  0 , для которых она определена.
13. Решите уравнение
14. Решите уравнение
 x  2 y  4 dx  ( 2 y  5 x  16)dy  0 .
y  2 y ctgx  12sin4 x  sin2 x .
15. Решите уравнение
 k  3 2
 y  ( k  3) 2  2k ;
yk  1  
 k  2 k
k  0,1,2,...
16. Решите одну из систем уравнений (1  2 ?)
x
 dx / dt  3 x  2 y  z,
 3 x k  2 y k  zk ,
 k 1

 dy / dt  2 x  2 y  2 z, или  yk 1  2 xk  2 yk  2 zk ,
z
 dz / dt   x  2 y  z .
 k 1   xk  2 yk  zk ; k  0,1,2,...
6e 3 x
17. Решите уравнение y  6 y  9 y 
.
x3
18. Решите уравнение y 
3y
 4 y 5 x 3.
x
19. Решите задачу Коши yy  4 y 4 ( y)6  3( y) 2 , y(1)  1, y(1)  1.
20. Решите задачу Коши
xy4 y  4 x 4 ( y)5  xy 3 ( y) 2  3 y 4 y, y(1)  1, y(1)  1 .
21. Решите уравнение
yk  3  2 yk 1  4 yk  51  3k  2k 1 ( 20k  14); k  0,1,2,....
22. Решите уравнение y  2 y  4 y  75 sin x (1  2) .
23. Решите уравнение  4 x 2  y 2  dx   6 x 2  3xy dy  0 .
 dx / dt  x 2  e y x ,
24. Найдите положения равновесия системы уравнений 
3
 dy / dt  x  x ,
определите их характер и начертите фазовые траектории соответствующих
линеаризованных систем .
Авторы программы ________________/Гусятников Петр Борисович/
________________/Романко Василий Кириллович/