МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
Р. Б. Лапшина
Типовая расчетная работа по теме: «Дифференциальные уравнения»
и методические рекомендации к ней
для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
ТР Дифференциальные уравнения
Часть 1. Дифференциальные уравнения первого порядка и второго порядка, допускающие понижение порядка
Теоретические вопросы:
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши
для дифференциального уравнения первого порядка.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.
3. Линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли.
4. Дифференциальные уравнения n - ого порядка, допускающие понижение порядка.
5. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Расчетные задания
Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.
1.1 1) e x3 y  dy  xdx ;
y
2) y  xy '  x sec ;
x
3) y '  y  x y .
1.2 1) y ' sin x  y  ln y ;
2)  y 2  3x 2  dy  2 xydx  0 ;
3) ydx  2 xdy  2 y x  sec2 ydy .
1.3 1) y '   2 x  1 ctgy ;
2) y '  2 y  y 2e x ;
3)  x  2 y  dx  xdy  0 .
1.4 1) sec2 x  tgydx  sec2 y  tgxdy  0 ;
2)  x  y  dx   x  y  dy  0 ;
3) y '  y 4 cos x  ytgx .
1.5 1) y '  1  e x  ydy  e y dx  0 ;
2)  y 2  2 xy  dx  x 2 dy  0 ;
3) xydy   y 2  x  dx .
ex
1.6 1)  y  3 dx  y dy  0 ;
x
2
2) y 2  xy '  xy  y ' ;
3) xy '  2 y  x5 y 3e x  0 .
 y
2) xy '  y  xtg   ;
x
1.7 1) sin y  cos xdy  cos y  sin xdx ;
3) y ' x sin y  xy '  2 y .
1.8 1) y   2 y  1 tgx ;
y
x
2) xy  y  xe ;
'
'
3)  2 x 2 y ln y  x  y '  y .
1.9 1)  sin  x  y   sin  x  y   dx 
3) 2 y ' 
dy
x y
;
 0 ; 2) xy '  y   x  y  ln
x
cos y
x
xy
.
 2
y x 1
1.10 1) sin x  tgydx 
dy
 0;
sin x
2)


y  xy dx  xdy ;
3) xy 2 y '  x 2  y3 .
1.11 1) 3e x  sin ydx  1  e x  cos ydy  0 ;
2) xy '  x 2  y 2  y ;
3)  x  1  y '  y 2    y .

e2 x
1.12 1) y 
;
ln y

2) y  x y '  x e y ;
'
3) xy '  y   xy 2 .
1.13 1) 3x  y dy  xdx  0 ;
2
2) y ' 
y
 1;
x
3) y '  xy   y3e x .
2
1.14 1)  cos  x  2 y   cos  x  2 y   y '  sec x ; 2) y ' x  x  y  0 ;
3) xy '  2 x3 y  y .
1.15 1) y '  e x x 1  y 2  ;
2


2) ydx  2 xy  x dy  0 ;
3) y '  xy  x3 y 3 .
1.16 1) ctgx  cos2 ydx  sin 2 x  tgydy  0 ;
2) xdy  ydx  x 2  y 2 dx ;
3) y ' 
x 2x
e  y.
y
1.17 1) sin x  y '  y cos x  2cos x ;
2)  4 x 2  3xy  y 2  dx   4 y 2  3xy  x 2  dy  0 ;
3) x' y  x   yx 2 .
1.18 1) 1  1  y '  e y  0 ;
2)  x  y  ydx  x 2dy  0 ;
3) x  x  1 y '  y 3  xy .
1.19 1) y '  ctgx  y  2 ;
2) xy  y 2   2 x 2  xy  y ' ;
3) 2 x3 yy '  3x 2 y 2  1  0 .
 e x
1.20 1) 
 x

3)
2

dx
 0;
 dy 
2
cos
y

2)  x 2  2 xy  y '  xy  y 2 ;

dx  1
   2 x  dy .
x y

1.21 1) e x  sin ydx  tgydy  0 ;


2) 2 xy  y dx  xdy  0 ;
3) y'  x 3 y  3 y .
1.22 1) cos ydx  2 1  x 2 dy  cos y  1  x 2 dy ;
2)  y 2  2 xy  dx  x 2 dy  0 ;
3) y '  2 xy  2 x3 y 3 .
1.23 1) y ' 1  x 2  cos2 y  0 ;
3) y '  y 
2)  x  2 y  dx  xdy  0 ;
x
.
y2
1.24 1) e x  tgydx  1  e x   sec2 ydy ;
2)  2 x  y  dx   x  y  dy  0 ;
3) y '  ytgx  y 2 cos x  0 .
1.25 1) cos3 y  y '  cos  2 x  y   cos  2 x  y  ;
2) x 2 y '  y  x  y  ;
3) y '  y   y 2 cos x .
Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию.
2.1  x 2  1 y '  4 xy  3 ,
y  0  0 .
2.2 y '  ytgx  sec x ,
y  0  0 .
2.3 1  x   y '  y   e  x ,
y  0  0 .
2.4 xy '  2 y  2 x 4 ,
y 1  0 .
2.5 y '  2 x  x 2  y  ,
y  0  0 .
2.6. y '  y  e x ,
y  0  1 .
2.7. xy'  y  xe x  0 ,
2
y 1 
1
.
2e

2.8 cos ydx   x  2cos y  sin ydy  0 ,
y  0 
2.9 x 2 y '  xy  1  0 ,
y 1  0 .
2.10  2 x  y  dy  ydx  4ln ydy ,
y  0  1 .
4
y
,
3x  y 2
y  0  1 .
2.12 1  2 xy  y '  y  y  1 ,
y  0  1 .
2.11 y ' 
2.13 x  y '  y   e x ,
y 1  0 .
2.14 y  x  y '  x cos x  ,
 
y   0.
2
2.15  xy '  1  ln x  2 y ,
y e  0 .
2.16  2e y  x  y '  1,
y  0  0 .
2.17 xy '   x  1 y  3x 2e  x ,
y 1  0 .
2.18  x  y 2  dy  ydx ,
y  0  1 .
2.19  sin 2 y  xctgy  y '  1 ,
y  0 

2
.
.
2.20  x  1 y '  y  x3  x 2 ,
y  0  0 .
2.21 xy '  2 y  x 2  0 ,
y 1  0 .
2.22 1  x 2  y '  xy  1,
y  0  1 .
2.23 y '  3x2 y  x2  e x ,
y  0  0 .
2.24 x 2 y '  2 xy  3 ,
y 1  1.
3
2.25 y 'ctgx  y  2cos2 x  ctgx , y  0   0 .
Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить полученное значение функции при x  x0 с точностью до двух знаков
после запятой.
3.1 y '''  sin x ,
x0 

,
2
3.2 y ''' 
1
,
x
x0  2 ,
3.3 y '' 
1
,
cos 2 x
x0 
3.4 y ''' 
6
,
x3
x0  2 ,
3.5 y ''  4cos 2 x ,
x0 

,
3

,
4
y  0  1 ,
y'  0  0 ,
1
y 1  ,
4
y ' 1  y '' 1  0 .
y  0  1 ,
3
y'  0  .
5
y 1  0 ,
y ' 1  0 ,
y  0  1 ,
y' 0  3.
y ''  0   0 .
y '' 1  1 .
3.6 y '' 
1
,
x 1
x0  1 ,
y  0  0 ,
y'  0  0 .
3.7 y ''' 
2
,
x
x0  2 ,
1
y 1  ,
2
y ' 1  y '' 1  0 .
1
x0  ,
2
9
y  0  ,
8
1
y'  0  ,
4
5
x0   ,
4
  
 
y    , y'    1.
4 4
4
2
3.8 y '''  e2 x ,
3.9 y '' 
1
,
sin 2 2 x
3.10 y ''  x  sin x , x0  5 ,
3.11 y ''  arctgx ,
x0  1 ,
y  0   3 , y '  0   0 .
y'  0  y  0  0 .
1
y ''  0    .
2
3.12 y '' 
tgx
,
cos 2 x
x
2
3.13 y  e  1 ,
'''
3.14 y '' 
x
,
e2 x
y'  0  0 .
x0  2 ,
y  0  8 ,
y' 0  5,
1
x0   ,
2
1
y  0  ,
4
1
y'  0   .
4
3.15 y ''  sin 2 3x ,
x0 
3.16 y '''  x  sin x ,
x0 
3.17 y ''' 
sin 2 x
,
sin 4 x

1
y  0  ,
2
x0 
x0 
4
,

12

2
y  0  
,
2
16
y ''  0   2 .
y'  0  0 .
,
y  0   y '  0   y ''  0   0 .
,
5
,
2
  
 
 
y    , y '    1 , y ''    1 .
2 2
2
2
1
1
y '  0   cos 2 , y ''  0  
8
2
3.18 y '''  x  sin 2 x ,
x0  1 ,
1
y  0  ,
8
3.19 y ''  sin 3 x ,
x0  2,5 ,
7
 
y    ,
9
2
 
y'    0 .
2
3.20 y ''  cos x  e x ,
x0   ,
y  0   e  ,
y '  0   1.
1
y  0  ,
9
y '  0   1.
y 1  3 ,
y ' 1  1 .
3.21 y ''  2sin 2 x  cos x , x0   ,
3.22 y '' 
1
,
x2
x0  2 .
3.23 y ''  2cos x  sin 2 x  cos3 x , x0 
3.24 y ''  2sin x  cos2 x  sin 3 x , x0 
x0   ,
3.25 y ''  cos 4 x ,

2
, y  0  , y'  0  2 .
3
2

2
,
y  0  0 ,
y  0  2 ,
y '  0   1.
y'  0 
15
.
16
Задание 4. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего
понижение порядка.
4.1 1) 1  x 2  y ''  xy  2 ,
2) y ''  y '  e y , y  0   0 , y '  0   0 .
4.2 1) 2 xy '  y ''   y '   1 ,
2)  y '   2 yy ''  0 , y  0   1 , y '  0   1.
2
2
2) y  y ''   y '   0 , y  0   1 , y '  0   1.
2
4.3 1) x3  y ''  x 2 y '  1 ,
3
1
4.4 1) y ''  y 'tgx  sin 2 x , 2) y ''  2 y  y '   0 , y  0   2 , y '  0   .
3
2) y ''  tgy  2   y '  , y 1 
2
4.5 1) y '' x ln x  y ' ,

2
, y ' 1  2 .
4.6 1) xy ''  y '  x 2e x ,
2) 2 y  y ''   y '  , y  0   1 , y '  0   1.
4.7 1) y '' x ln x  2 y ' ,
2) y  y ''   y '   y 4 , y  0   1 , y '  0   1.
4.8 1) x 2 y ''  xy '  1,
2) y ''  
4.9 1) y ''  
2
2
1
1
, y  0   , y'  0  2 .
3
2
2 y 
2) y ''  1   y '  , y  0   0 , y '  0   0 .
x
,
y'
2
2) 2 y  y ''   y '   0 , y  0   1 , y '  0   1.
2
4.10 1) y ''  y '  x ,
4.11 1) xy ''  y '  x 2 ,
2) y ''  2  y , y  0   2 , y '  0   2 .
 y' 
4.12 1) xy ''  y ' ln   ,
 x
2) y '' 
4.13 1) xy ''  y '  ln x ,
2) y  y ''  2  y '   0 , y  0   1 , y '  0   2 .
4.14 1) y ''tgx  y '  1,
2) y ''  y  '  y '  , y  0   0 , y '  0   1.
4.15 1) y '' 
1
, y  0  1 , y '  0   0 .
3
y
2
2
2
2
y '   0 , y  0   0 , y '  0   1,

1 y
2) y ''  2 x  y '   0 .
2
4.16 1) 2 xy '  y ''   y '   1 ,
2) y '' 1  y   5  y '  , y  0   0 , y '  0   1.
y'
 x  x  1 ,
4.17 1) y 
x y
2)
2
''
2
y ''  2 y  3  2  y '   0 ,
2
y  0  0 ,
y' 0  3.
4.18 1) xy '''  y ''tgx  sec x ,
2) 4  y ''   1   y '  , y  0   1 , y '  0   0 .
2
2
4.19 1) y '''  2 y '  ctgx  sin 3 x , 2) 2  y ''    y  1 y '' , y  0   2 , y '  0   2 .
2
4.20 1) y ''  4 y '  2 x 2 ,
2) 1   y '   y '  y '' , y  0   1 , y '  0   0 .
4.21 1) xy ''  y '  2 x 2e x ,
2) y ''  y   y '   0 , y  0   1 , y '  0   2 .
4.22 1) y ''  y  sin x ,
2) y 1  ln y  y ''  1  ln y   y '   0 , y  0   1 ,
2
3
2
y '  0   1.
4.23 1) y ''ctgx  y '  2 ,
2) yy ''  2 yy ' ln y   y '  , y  0   1 , y '  0   1.
4.24 1) 2xy  y   y  ,
y'
2) y 
, y  0  1 , y '  0   2 .
y
4.25 1) x 2 y ''   y '  ,
2) y '' 1  y    y '   y ' , y  0   2 , y '  0   2 .
''
' 2
'
2
2
''
2
Часть 2. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Теоретические вопросы:
1. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
2. Условие линейной независимости решений линейного однородного
дифференциального уравнения.
3. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.
4. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами. Структура общего решения.
5. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
6. Линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод характеристического уравнения, метод исключения).
Расчетные задания
Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.
1.1 1) y ''  4 y  0 ;
2) y ''  10 y '  25 y  0 ;
3) y ''  3 y '  2 y  0 .
1.2 1) y ''  y '  2 y  0 ;
2) y ''  9 y  0 ;
3) y ''  4 y '  4 y  0 .
1.3 1) y ''  4 y '  0 ;
2) y ''  4 y '  13 y  0 ;
3) y ''  3 y '  2 y  0 .
1.4 1) y ''  5 y '  6 y  0 ;
2) y ''  3 y '  0 ;
3) y ''  2 y '  5 y  0 .
1.5 1) y ''  2 y '  10 y  0 ,
2) y ''  2 y '  0 ;
3) y ''  y '  2 y  0 .
1.6 1) y ''  4 y '  0 ;
2) y ''  2 y '  17 y  0 ;
3) y ''  y '  12 y  0 .
1.7 1) y ''  y '  6 y  0 ,
2) y ''  9 y '  0 ;
3) y ''  4 y '  20 y  0 .
1.8 1) y ''  4 y '  0 ;
2) y ''  4 y '  5 y  0 ;
3) y ''  2 y '  3 y  0 .
1.9 1) y ''  7 y '  0 ;
2) y ''  5 y '  4 y  0 ;
3) y ''  16 y  0 .
1.10 1) 4 y ''  8 y '  3 y  0 ;
2) y ''  3 y '  0 ;
3) y ''  2 y '  10 y  0 .
1.11 1) 4 y ''  4 y '  20 y  0 ;
2) y ''  16 y  0 ;
3) y ''  3 y '  10 y  0 .
1.12 1) 9 y ''  6 y '  y  0 ; 2) y ''  y  0 ;
3) y ''  4 y '  21y  0 .
1.13 1) 2 y ''  3 y '  y  0 ; 2) y ''  4 y '  8 y  0 ;
3) y ''  6 y '  9 y  0 .
1.14 1) y ''  10 y '  21y  0 ;
2) y ''  4 y '  0 ;
3) y ''  2 y '  2 y  0 .
1.15 1) y ''  6 y '  0 ;
2) y ''  10 y '  29 y  0 .
3) y ''  8 y '  7 y  0 .
1.16 1) y ''  3 y '  4 y  0 ;
2) y ''  2 y '  0 ;
3) y ''  6 y '  13 y  0 .
1.17 1) y ''  25 y  0 ;
2) y ''  6 y '  9 y  0 ;
3) y ''  2 y '  2 y  0 .
1.18 1) y ''  3 y '  0 ;
2) y ''  7 y '  8 y  0 ;
3) y ''  4 y '  13 y  0 .
1.19 1) y ''  25 y '  0 ;
2) y ''  10 y '  16 y  0 ;
3) y ''  8 y '  16 y  0 .
1.20 1) y ''  3 y '  18 y  0 ;
2) y ''  6 y '  0 ;
3) y ''  2 y '  5 y  0 .
1.21 1) y ''  6 y '  13 y  0 ;
2) y ''  8 y '  0 ;
3) y ''  2 y '  15 y  0 .
1.22 1) y ''  5 y  0 ;
2) 9 y ''  6 y '  y  0 ;
3) y ''  6 y '  8 y  0 .
1.23 1) 6 y ''  7 y '  3 y  0 ;
2) y ''  16 y  0 ;
3) 4 y ''  4 y '  y  0 .
1.24 1) y ''  y  0 ;
2) 4 y ''  8 y '  5 y  0 ;
3) y ''  6 y '  10 y  0 .
1.25 1) y ''  6 y '  10 y  0 ;
3) y ''  5 y '  4 y  0 .
2) y ''  y  0 ;
Задание 2. Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.
2.1 2 y ''  7 y '  3 y  f  x 
а) f  x    2 x  1 e3 x ;
б) f  x   cos3x .
2.2 3 y ''  7 y '  2 y  f  x 
а) f  x   3xe 2 x ;
б) f  x   sin 2 x  3cos 2 x .
2.3 2 y ''  y '  y  f  x 
а) f  x    x 2  5  e  x ;
б) f  x   9sin x .
2.4 2 y ''  9 y '  4 y  f  x 
а) f  x   2e 4 x ;
б) f  x   5cos 4 x .
2.5 y ''  49 y  f  x 
а) f  x   x 3  4 x ;
б) f  x   3sin 7 x .
2.6 3 y ''  10 y '  3 y  f  x 
а) f  x   e 3x ;
б) f  x   2cos3x  sin3x .
2.7 y ''  3 y '  2 y  f  x 
а) f  x    x  2  e x ;
б) f  x   3cos 4 x .
2.8 y ''  4 y '  4 y  f  x 
а) f  x   sin 2 x  2e x ;
б) f  x   x 2  4 .
2.9 y ''  y '  y  f  x 
а) f  x   10cos x ;
б) f  x   7 x  2 .
2.10 y ''  3 y '  4 y  f  x 
а) f  x   3 xe 4 x ;
б) f  x   6sin x .
2.11 y ''  36 y  f  x 
а) f  x   3 xe 4 x ;
2.12 y ''  6 y '  9 y  f  x 
б) f  x   2sin 3x .
а) f  x    x  2  e3 x ;
б) f  x   4cos x .
2.13 4 y ''  5 y '  y  f  x 
а) f  x    4 x  2  e x ;
б) f  x   4sin 3x .
2.14 4 y ''  7 y '  2 y  f  x 
а) f  x   3e2 x ;
б) f  x   4cos 2 x .
2.15 y ''  y '  6 y  f  x 
а) f  x   2 xe3 x ;
б) f  x   9cos x  sin x .
2.16 y ''  16 y  f  x 
а) f  x   3e4 x ;
б) f  x   cos x  4sin x .
2.17 y ''  4 y '  f  x 
а) f  x    x  2  e 4 x ;
б) f  x   3cos 4 x .
2.18 y ''  2 y '  2 y  f  x 
а) f  x    2 x  3 e 4 x ;
б) f  x   5sin x .
2.19 5 y ''  6 y '  y  f  x 
а) f  x   x 2e x ;
б) f  x   cos x  sin x .
2.20 5 y ''  9 y '  2 y  f  x 
а) f  x   x 3  2 x ;
б) f  x   2sin 2 x  3cos 2 x .
2.21 y ''  2 y '  15 y  f  x 
а) f  x   4 xe3 x ;
б) f  x   6sin 5 x .
2.22 y ''  9 y '  f  x 
а) f  x   x 2  4 x  1;
б) f  x   2sin x .
2.23 y ''  y '  2 y  f  x 
а) f  x    2 x  1 e x ;
2.24 y ''  8 y '  16 y  f  x 
б) f  x   3cos 2 x .
а) f  x   2 xe4 x ;
б) f  x   cos 4 x  2sin 4 x .
2.25 y ''  4 y '  5 y  f  x 
а) f  x   2 xe x ;
б) f  x   2cos3x  sin3x .
Задание 3. Найти общее решение дифференциальных уравнений.
3.1 1) y ''  y  2 x  1 ,
2) y ''  8 y '  17 y  10e2 x .
3.2 1) y ''  y '  6 y   6 x  1 e3 x ; 2) y ''  2 y '  5 y  10cos 2 x .
3.3 1) y ''  y '  6 y   6 x  1 e 3 x ;
2) y ''  2 y '  8 y  12sin 2 x  36cos2 x .
3.4 1) y ''  7 y '  12 y  3e4 x ;
2) y ''  12 y '  36 y  14 xe2 x .
3.5 1) y ''  3 y '  2 y   34  12 x  e  x ;
2) y ''  6 y '  34 y  cos5 x .
3.6 1) y ''  2 y '   4 x  4  e 2 x ;
2) y ''  6 y '  10 y  51e x .
3.7 1) y ''  y  2cos x  sin x ,
2) y ''  2 y '  y  4 x3  24 x 2  22 x  4 .
3.8 1) y ''  6 y '  10 y  74e3 x ;
2) y ''  4 y '  8  16 x .
3.9 1) y ''  3 y '  2 y  3cos x  19sin x ; 2) y ''  2 y '  y  4e x .
3.10 1) y ''  5 y '  72e x ;
2) y ''  6 y '  13 y  2cos 4 x .
3.11 1) y ''  5 y '  6 y  3cos x  19sin x , 2) y ''  2 y '  3 y  12 x 2  6 x  4 .
3.12 1) y ''  8 y '  12 y  x 2  3x  1;
2) y ''  4 y '  4 y  6e2 x .
3.13 1) y ''  8 y '  25 y  18e5 x ;
2) y ''  3 y '  10  6 x .
3.14 1) y ''  9 y '  20 y  126e2 x ;
2) y ''  10 y '  25 y  2 x 2  x  1.
3.15 1) y ''  36 y  xe x ;
2) y ''  4 y '  20 y  4cos4 x  52sin 4 x .
3.16 1) y ''  y  4cos x  2sin x ;
2) y ''  4 y '  5 y  5x 2  32 x  5 .
3.17 1) y ''  2 y '  y  12 x  10  e x ;
2) y ''  2 y '  24 y  6cos3x  33sin3x .
3.18 1) y ''  6 y '  13 y  2sin3x ;
2) y ''  4 y   x  1 e 2 x .
3.19 1) y ''  6 y '  9 y  4e2 x ;
2) y ''  5 y '  2cos3x  4sin3x .
3.20 1) y ''  4 y '  29 y  104sin5x ;
2) y ''  16 y  80e2 x .
3.21 1) y ''  4 y '  5 y  4sin x  cos x ; 2) y ''  4 y '  15e x .
3.22 1) y ''  12 y '  40 y  2e6 x ;
2) y ''  14 y '  49 y  144sin 7 x .
3.23 1) 6 y ''  y '  y  3e2 x ;
2) y ''  4 y '  29 y  2sin x .
3.24 1) y ''  2 y '  y  2e x ;
2) 4 y ''  4 y '  y  25cos x .
3.25 1) y ''  9 y  10e3 x ;
2) y ''  4 y '  3cos2 x  sin 2 x .
Задание 4. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных.
ex
4.1 y  y  x
e 1
4.2 y ''  4 y 
''
e2 x
4.3 y  4 y  5 y 
;
cos x
''
'
4.5 y ''  9 y 
1
;
sin3x
e x
4.7 y  2 y  2 y 
cos x
''
'
4.4 y '''  y ' 
1
cos 2 x
sin x
cos 2 x
4.6 y ''  2 y '  y  xe x 
1
xe x
ex
4.8 y  2 y  2 y  2
sin x
''
'
4.9 y  2 y  2 y  e ctgx
ex
4.10 y  2 y  2 y 
sin x
ex
4.11 y  2 y  y  2
x
4.12 y ''  y  tgx
4.13 y ''  4 y  ctg 2 x
4.14 y ''  y  ctgx
ex
4.15 y  2 y  y 
x
e x
4.16 y  2 y  y 
x
''
x
'
''
''
'
'
4.17 y ''  y 
1
cos x
4.19 y ''  4 y 
4.23 y ''  y  ctg 2 x
e2 x
x3
'
''
4.18 y ''  y 
1
sin 2 x
4.21 y ''  4 y '  4 y 
''
'
1
sin x
4.20 y ''  4 y  tg 2 x
4.22 y ''  4 y '  4 y 
4.24 y ''  y  tg 2 x
e2 x
x3
4.25 y ''  y 
2
sin 2 x
Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами: 1) сведением к дифференциальному уравнению; 2) с помощью характеристического уравнения.
 dx
 dt  2 x  y
5.1 
 dy  3x  4 y
 dt
 dx
 dt  x  y
5.2 
 dy  4 x  y
 dt
 dx
 dt   x  8 y
5.3 
 dy  x  y
 dt
 dx
 dt  2 x  3 y
5.4 
 dy   x
 dt
 dx
 dt  x  y
5.5 
 dy  4 x  4 y
 dt
 dx
 dt  2 x  y
5.6 
 dy  3x  2 y
 dt
 dx
 dt  6 x  y
5.7 
 dy  3x  2 y
 dt
 dx
 dt  2 x  y
5.8 
 dy  6 x  3 y
 dt
 dx
 dt  4 x  2 y
5.9 
 dy  4 x  6 y
 dt
 dx
 dt  8 x  3 y
5.10 
 dy  2 x  y
 dt
 dx
 dt  3 x  y
5.11 
 dy  x  3 y
 dt
 dx
 dt  2 x  3 y
5.12 
 dy  5 x  4 y
 dt
 dx
 dt  x  2 y
5.13 
 dy  3x  6 y
 dt
 dx
 dt  5 x  4 y
5.14 
 dy  4 x  5 y
 dt
 dx
 dt  x  2 y
5.15 
 dy  4 x  3 y
 dt
 dx
 dt  x  4 y
5.16 
 dy  x  y
 dt
 dx
 dt  3x  2 y
5.17 
 dy  2 x  8 y
 dt
 dx
 dt  4 x  8 y
5.18 
 dy  8 x  4 y
 dt
 dx
 dt  x  4 y
5.19 
 dy  2 x  3 y
 dt
 dx
 dt  7 x  3 y
5.20 
 dy  x  5 y
 dt
 dx
 dt  5 x  8 y
5.21 
 dy  3x  3 y
 dt
 dx
 dt  6 x  3 y
5.22 
 dy  8 x  5 y
 dt
 dx
 dt  x  5 y
5.23 
 dy   x  3 y
 dt
 dx
 dt  3 x  y
5.24 
 dy  8 x  6
 dt
 dx
 dt  2 x  3 y
5.25 
 dy  5 x  4 y
 dt
Методические рекомендации к выполнению ТР
Основные теоретические сведения
1. Уравнение вида P  x  dx  Q  y  dy  0 называется дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет
 P  x  dx   Q  y  dy  0 .
2. Дифференциальное уравнение y '  f  x, y  называется однородным относительно переменных x и y , если f  x, y  - однородная функция нулевого
измерения относительно своих аргументов, т.е. f  tx, ty   t 0 f  x, y   f  x, y  .
Данное уравнение с помощью замены y  x  u сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
3. Уравнение y '  P  x  dx  Q  x  называется линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле
 P x dx 
 P x dx dx  C  .
ye 
 Q x  e



4. Уравнение вида
y ''  py '  qy  0 ,
где p и q - постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение k 2  pk  q  0
называется характеристическим уравнением.
Если корни k1 , k2 характеристического уравнения действительны и различны,
то общий интеграл уравнения y ''  py '  qy  0 выражается формулой
y  C1ek1x  C2ek2 x .
Если k1  k2 , то общий интеграл уравнения y ''  py '  qy  0 находится по формуле
y  e k1x  C1  C2 x  .
Если k1,2     i , то общее решение уравнения y ''  py '  qy  0 находится по
формуле
y  e x  C1 cos  x  C2 sin  x  .
5. Уравнение вида
y ''  py '  qy  f  x 
называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если Y общее решение соответствующего однородного уравнения, y - частное решение
уравнения
y ''  py '  qy  f  x  ,
y ''  py '  qy  f  x  имеет вид y  Y  y .
то
общее
решение
уравнения
Укажем
правило
нахождения
частного
решения
y
уравнения
y ''  py '  qy  f  x  методом неопределенных коэффициентов.
Пусть f  x    ax  b  e x , тогда
1) y   Ax  B  e x , если  не является корнем характеристического уравнения;
2) y   Ax  B  e x x , если  является простым корнем характеристического
уравнения;
3) y   Ax  B  e x x 2 , если  двукратным корнем характеристического уравнения.
Пусть f  x   e x  a cos  x  b sin  x  , тогда:
1) y  e x  A cos  x  B sin  x  , если число    i является корнем характеристического уравнения;
2) y  xe x  A cos  x  B sin  x  , если число    i не является корнем характеристического уравнения.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
y"  3 y '  4 y  6 xe x - НДУ
y  x   Y  x   y  x  - структура общего решения НДУ.
Характеристическое уравнение k 2  3k  4  0 имеет корни k1  4 , k2  1 .
Y  x   c1e 4 x  c2e  x - общее решение ОДУ.
По функции
f  x   6 xe  x
запишем структуру частного решения
y  x    Ax  B  e  x  x   Ax 2  Bx   e  x .
y  x    2 Ax  B  e  x   Ax 2  Bx  e  x .
'
y  x   2 Ae  x   2 Ax  B  e  x   2 Ax  B  e  x   Ax 2  Bx  e  x 
''
 2 Ae x  2  2 Ax  B  e  x   Ax 2  Bx  e  x .
Найденные выражения y  x  , y  x  , y  x  подставляем в исходное урав'
''
нение и, разделив обе его части на e  x , получаем уравнение
2 A  Ax 2  Bx  4 Ax  2B  6 Ax  3B  3 Ax 2  3Bx  4 Ax 2  4Bx  6 x .
Приравнивая коэффициенты при x 2 , x , x 0 , получаем систему, решая ее
находим A и B .
x2  A  3A  4 A  0

x  B  4 A  6 A  3B  4 B  6 .
x 0 2 A  2 B  3B  0
3
A ,
5
B
6
.
25
6 
3
y  x     x 2  x  e x - частное решение НДУ.
25 
5
6 
3
y  x   c1e4 x  c2e x   x 2  x  e  x - общее решение ОДУ.
25 
5
Пример 2. Найти решение дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.
'
 x  x  4 y,
 '
 y  2 x  3 y,
x  x t  ,
x '  dx
y  y t  ,
y '  dy
dt
dt
,
.
Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде
x  t   K1  e t ,
y  t   K 2  e  t . Требуется определить постоянные
K1 , K 2
и
 x  t  , y t  удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на e  t , получим систему уравнений:

1     K1  4 K 2  0,


2 K1   3     K 2  0.
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
1 
4
2
3
 0,
1      3     8  0
 2  4  5  0,
1  1, 2  5 - корни характеристического уравнения.
Корню 1  1 соответствует система
2 K1  4 K 2  0,

2 K1  4 K 2  0.
или
K1  2K 2  0,
1
K 2   K1 .
2
1
Полагаем K1  1 , тогда K2   . Получаем решение системы:
2
1
1
y      et .
2
x   et ,
1
Корню 2  5 соответствует система
4 K1  4 K 2  0,

2 K1  2 K 2  0.
или
K1  K 2  0,
K1  K 2 .
Получаем K1  1 , тогда K 2  1 . Получим решение системы:
x    e5t ,
2
y    e5t .
2
Общее решение исходной системы имеет вид
x  t   C1  e t  C2  e5t ,
1
y  t    C1  et  C2  e5t .
2