Для обычного школьника решение квадратного уравнения

Авторы: Воронина Алена, 9 класс, Кучков Кирилл, 11 класс.
Руководители: Парфенова Елена Витальевна, учитель математики, Топчиева Ольга
Николаевна, учитель математики
Тема: «Почему мы не пользуемся формулами Кардано?»
Общеобразовательное учреждение: МАОУ СОШ №2 г. Колпашева
Используемые медиаресурсы: текстовый редактор WORD, редактор POWER
POINT, ресурсы сети Интернет
Цель проекта: Выяснить, годится ли формула для решения кубического уравнения,
как единый алгоритм, для практического применения, а если нет, то почему?
Задачи:
 На конкретных примерах рассмотреть возможность применения формулы
Кардано.
 Исследовать функцию у= x3+px+q.
 Рассмотреть примеры различных способов решения кубических уравнений.
 Сделать выводы о применимости ыормулы Кардано для решения кубических
уравнений.
I. Актуальность темы
Для обычного школьника решение квадратного уравнения – знакомая
процедура, идущая по знакомым правилам. Даже самые заядлые троечники с
удовольствием по привычному алгоритму находят корни квадратного уравнения.
Однако, как только степень уравнения превышает вторую, в ступор впадают даже
отличники. Хочется какой-то определенности, каких-то четких правил.
Остановимся поподробнее на кубических уравнениях.
Логичен вопрос:
существует ли наряду с этим алгоритмом алгоритм вычисления корней
кубического уравнения (многочлена третьей степени)? Вообще в школе решать
кубические уравнения при помощи определенных формул не требуется, обычно
мы решаем его при помощи подстановки случайных чисел или деления
многочленов для упрощения и последующего решения квадратных уравнений,
или разложением на множители, реже графически. Считается, что интересующие
нас формулы громоздки и неудобны для практических вычислений. Однако,
решая задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям, так и хочется применить
соответствующую формулу, какой бы сложной она не оказалась.
II.
Определение предмета исследования
1) Кубическое уравнение - алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид
кубического уравнения:
ax3 + bx2 + cx + d = 0,
(1)
Для использования формул математики данное уравнение приводят к так
называемому каноническому виду. Выглядит это следующим образом:
заменяя в этом уравнении переменную x новым неизвестным y, связанным с x
равенством x = y - (b / 3a), кубическое уравнение приводится к виду:
y3 + py + q = 0,
где
,
Доказательство.
Например:
3х3 +2х2 -4х+5=0
,
(2)
2) Несколько слов из истории формулы решения кубических уравнений
Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям,
были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и
трисекции угла).
Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в
геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она
изложена в трактате "О доказательствах задач алгебры и алмукабалы" Омара
Хайама (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных
корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с
положительными коэффициентами.
В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая
кубического уравнения дал Виет (1593).
Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось
найти С. Ферро (около 1515 года), однако оно не было опубликовано. Открытие
независимо повторил Н. Тарталья (1535), указав правило решения еще двух других
видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия были в 1545 году Дж.
Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.
Никколо Фонтана Тарталья (итал.
Niccolò Fontana Tartaglia, 1499—
1557) — итальянский математик.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Тарталья,
_Никколо
Джероламо Кардано
24 сентября 1501, Павия — 21
сентября 1576, Рим) — итальянский
математик, инженер, философ,
медик и астролог.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Кардано,
_Джероламо
Вообще история рассказывает, что формула изначально была открыта именно
Тартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал
этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы.
За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого,
который фактически объяснил и представил её публике.
Формула Кардано
(3)
Формулировка проблемы
III.
Посмотрим на реальные факты – в школе формулу Кардано не проходят, в
вычислениях ею не пользуются. Попробуем разобраться в причинах такой
непопулярности. Итак, годится ли формула для решения кубического уравнения для
практического применения, а если нет, то почему? Существуют ли какие-либо
другие универсальные способы решения кубических уравнений.
IV. Выдвижение гипотезы
Можно предположить, что формулы громоздки, неудобны для запоминания, а
вычисления по ним занимают много времени. Также можно предположить, что
можно предложить иные универсальные пути для решения кубических уравнений.
V.
Проверка гипотезы
1) Попробуем применить эту формулу к решению конкретных уравнений.
Пример 1:
x3 +6x – 2 = 0
Здесь p = 6; q = -2. Наша формула дает нам ответ в виде разности кубических корней
4 и 2. Ни подбор, ни разложение на множители не помогли бы решить это
уравнение. В принципе в данном выражении формула сработала.
Пример 2:
x3 +3x – 4 = 0
+
Формула даст громоздкий ответ с множеством корней. Просмотрев корни по
таблице, увидим, что ответ близок к 1. По сути дела это и есть единица, однако
формула такого рационального ответа не даст. Налицо первый её недостаток –
множество корней, большая часть которых на практике просто не извлекается,
оставляя ответ громоздким и неудобным для дальнейших вычислений.
Пример 3.
(x + 1)(x + 2)(x-3)=0
3 решения налицо. Но попробуем решить уравнение по формуле. Раскроем скобки,
получим кубическое уравнение x3-7x-6=0. Применив формулу, получаем под
знаком корня отрицательное число.
+
То есть уравнение, якобы, не имеет действительных решений. Но в каждой скобке
мы ясно видим по решению. В данном случае формула просто проваливается.
Эти и другие примеры наводят на мысль, что причина непопулярности формулы (3)
лежит не только в её громоздкости (не такая она уж и громоздкая), а в её
ненадежности. Такое заключение, в общем, справедливо.
В чем же заключается странное поведение формулы?
3) Исследование функции у= x3+px+q
Выясним для начала, сколько решений имеет уравнение (2)? Найдем промежутки
возрастания и убывания функции у=x3+px+q. Дифференцируя, получаем: если
3x2+p>0, то функция возрастает, если 3x2+p<0 , то она убывает. Заметим, что если
р> 0, то 3x2+p>0 при всех х, если р < 0, то 3х2+р>0 при х >
и при
х<
, и 3х2+р < 0 при
<x<
.
3
Поэтому, если р>0 , то функция у=х +px+ q возрастает при всех х, если р<0, то
функция возрастает при x<
, убывает при
<x<
и снова
возрастает при х >
. Видно, что при достаточно больших х выражение
х3+px+q заведомо положительно, а при достаточно большом по модулю
отрицательном х оно заведомо отрицательно. Теперь можно схематически
изобразить график интересующей нас функции.
y
y
p0
p0
 p / 3x
x
  p/3
 p / 3x
x
  p/3
y
p0
x
Из графиков видно, что уравнение имеет одно решение, если р >0. Или если
р<0 и значения функции в точках
,
имеют одинаковые знаки. Если
же р<0 и значения функции в этих точка имеют противоположные знаки, то
уравнение имеет три решения. Для того чтобы узнать одинаковые или
противоположные знаки имеют значения функции в точках
,
можно
вычислить эти значения и перемножить их. Если произведение положительно, то
знаки множителей одинаковы. А если оно отрицательно, то они разные. Найдем
произведение значений функции в интересующих нас точках.
3
((
)3+р(+р
-р
+q)*(р/3
=
=q2+4/27р3.
VI. Объяснение результатов.
Вывод: если q2+4/27>0, то уравнение (2) имеет одно решение, если q2+4|27р3<0,то
уравнение (2) имеет 3 решения.
Однако, если коэффициенты кубического уравнения - действительные числа, то
вопрос о характере его корней зависит от знака выражения
, стоящего под
квадратным корнем в формуле Кардано. Если
> 0, то кубическое уравнение
имеет три различных корня: один из них действительный, два других - сопряженные
комплексные; если
если
= 0, то все три корня действительные, два из них равны;
< 0, то все три корня действительные и различные.
Отсюда интересное следствие: выражение
только постоянным
2
3
множителем отличается от выражения q +4/27р . А из этого следует то, что когда
уравнение имеет три решения, подкоренное выражение в формуле отрицательно,
формула не дает ничего! (пример 3). Если уравнение имеет всего одно решение,
формула его и дает (пример 1). Итак, дело вовсе не в громоздкости формулы, а в ее
неприспособленности для практического решения кубических уравнений.
Тогда зачем же она нужна? Формула (3) дает ответ на классический вопрос о
«разрешимости уравнений третьей степени в радикалах». Это означает, что для
решения уравнений третьей степени с целыми коэффициентами вполне хватает
запаса рациональных чисел, расширенного корнями разных степеней. С научной
точки зрения это – важный аргумент в доказательстве более сложных законов
алгебры и геометрии.
А как же с другими универсальными методами решения кубических уравнений?
Рассмотрим несколько примеров.
Примеры универсальных способов решения кубических уравнений
Способ разложения на множители.
Ответ:
Графический способ.
Построим графики функций у = х3 и у = -2х2 +4х+8
Ответ:
Формула Кардано.
Приводим к каноническому виду
Способ разложения на множители.
Ответ: х=1
Графический способ.
Функция у=х3 возрастающая, а функция у=4-3х убывающая. Одно решение
очевидно.
Ответ: х=1
Формула Кардано.
x3 +3x – 4 = 0
+
Формула не дает точного ответа х=1 хотя, решая уравнение другими способами,
мы его получаем.
Способ разложения на множители.
К сожалению, многочлен невозможно разложить на множители известными
способами.
Графический способ.
Формула Кардано.
В очередной раз убеждаемся, что в случае существования трех корней формула
Кардано не работает.
При разложении на множители в некоторых случаях хорошую помощь могут
оказать следующие теоремы.
Теорема о корне многочлена
Если число а является корнем многочлена Р(х)=а 0 х n+а 1х n-1+…+а n-1х+а n,где а
0≠0, то этот многочлен можно представить в виде произведения (х-а)В(х), где Р 1(х)многочлен n-1 степени
Теорема о целых корнях целого уравнения
Если уравнение а 0 х n+а 1х n-1+…+а n-1х+а n =0,
в котором все коэффициенты-целые числа, причем свободный член отличен от нуля,
имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.
Решим уравнение х 3-8х 2+13х-2=0
Если это уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы о корнях он является
делителем числа -2 и равен одному из чисел 12,-1,2,-2, Проверкой убеждаемся, что
корнем уравнения является число 2. Значит, в силу теоремы о корне, многочлен х 38х 2+13х-2 можно представить в виде (х-2)F(х), где F(х)-многочлен второй степени.
Для того чтобы найти этот многочлен разделим многочлен х 3-8х 2+13х-2 на двучлен
х-2. Деление выполним уголком
х 3-8х 2+13х-2 х-2
х3-2х2
х2-6х+1
-6х2+13х
-6х2 +12х
х-2
х-2
0
То есть, исходное уравнение можно представить в виде
(х-2)( х 2- 6х + 1)=0
Решаем: х-2=0 или х 2- 6х + 1=0
Ответ: х=2, 3-
, 3+
.
Рассмотрев примеры, можно сделать вывод, что универсального единого способа
решения кубических уравнений не существует. Каждое уравнение требует
индивидуального подхода к решению. Какое- то уравнение проще разложить на
множители, применив при этом сначала подбор корней, а потом деление многочлена
на многочлен столбиком, какое - то уравнение можно решить лишь графически, при
этом корни иногда можно увидеть лишь приблизительно. Поэтому, встретившись в
следующий раз на уроке с кубическим уравнением, формулу Кардано попробуем
применить лишь в самом крайнем случае, когда все остальные способы не дадут
точного ответа.
VII. Подготовка презентации.
Для написания опыта были использованы возможности текстового редактора Word.
Итоговый материал представлен в виде презентации, выполненной в редакторе
Power Point.
VIII. Список литературы:
1.Журналы «Квант» (1974, №1; 1976,№9)
2.Алгебра, 9 класс, М.:Просвещение,2011
3.Алгебра и начала анализа, 10-11 класс, М.:Просвещение,2011
4.Электронный ресурс «Решение кубических уравнений»:
www.cubic-solver.info
5.Электронная
энциклопедия
«Википедия»:http://wikipedia.o