Математика - Кисловодский Гуманитарно

КИСЛОВОДСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
для студентов, обучающихся по специальности
080502.65 «Экономика и управление
на предприятии (по отраслям)»
Кисловодск 2012
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
к. ф. н.___________Р.Ш. Гочияева
«_______» _________________ 2012 г.
Составитель:
кандидат педагогических наук, доцент Шаманова Л.И.
Математика. Рабочая программа для студентов, обучающихся по специальностям 080502.65 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)». - Кисловодск: КГТИ, 2012.
Программа составлена на основании Государственного образовательного
стандарта Высшего профессионального образования и типовой (примерной) программы дисциплины "Математика". Рабочая программа дисциплины «Математика» содержит требования к уровню освоения содержания
дисциплины, объем курса, виды учебной работы, программу дисциплины и
тематику лекций, практических и самостоятельных занятий, и методические указания по их проведению, вопросы к экзамену, перечень учебнометодического материала.
Дисциплина «Математика» является базовой компонентой математического цикла дисциплин ГОС ВПО по указанным специальностям.
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры общей физики и
высшей математики протокол № … от « »
2012 г.
Зав. кафедрой _________________________ Л.И. Шаманова
2
1. Цели и задачи дисциплины
Цель преподавания дисциплины «Математика» - формирование системы базовых знаний по данной дисциплине, которая позволит будущим
специалистам решать в своей повседневной деятельности актуальные задачи практики, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.
Основными задачами дисциплины являются:
- ознакомление студентов с ролью математики в современной жизни, с характерными чертами математического метода изучения реальных
задач;
- обучение студентов теоретическим основам курса;
- привитие практических навыков математического моделирования реальных социально-экономических задач с использованием математического аппарата данного курса;
- развитие у студентов навыков творческого и логического мышления, повышение общего уровня математической культуры.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
Данная дисциплина является основой при изучении таких дисциплин, как «Статистика», «Эконометрика», «Финансовая математика», а также
других
дисциплин,
изучающих
современные
экономикоматематические методы. В свою очередь, для изучения данной дисциплины необходимо знание элементарной математики.
В результате изучения данной дисциплины студент должен:
- знать теоретические основы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений,
дифференциальных уравнений, числовых и функциональных рядов, теории вероятностей и математической статистики;
- уметь использовать полученные знания для решения практических задач.
Изучение дисциплины предусматривает проведение лекционных,
практических занятий и самостоятельную работу студентов. В лекциях излагается содержание тем программы с учётом требований, установленных
для специалиста в квалификационной характеристике. Практические заня3
тия проводятся с целью закрепления теоретических основ курса, получения практических навыков решения математических задач. Контроль знаний осуществляется с помощью контрольных работ и итогового экзамена
(зачёта) в конце каждого из двух семестров обучения.
ЕН.Ф.01
Математика
600
Аналитическая геометрия и линейная алгебра;
последовательности и ряды; дифференциальное и интегральное исчисления; векторный анализ и элементы теории поля; гармонический анализ; дифференциальные уравнения; численные методы; функции комплексного переменного; элементы функционального
анализа; вероятность и статистика: теория вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
3. Формы и методы проведения занятий
В качестве ведущих форм используются лекции, практические и
лабораторные занятия.
ОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ
Вид учебной работы
СЕМЕСТРЫ
Всего
часов
I
II
III
IV
Аудиторные занятия
312
72
102
54
84
Лекции (ЛК)
122
36
34
18
34
Лабораторные работы (ЛР)
190
36
68
36
50
17
4
6
4
3
151
37(З)
28(Э)
48(З)
38(Э)
Контроль самостоятельной работы (КСР)
Самостоятельная работа (СР)
4
СЕМЕСТРЫ
Всего
часов
Вид учебной работы
Вид промежуточной аттестации
Общая трудоемкость дисциплины
I
II
III
IV
120
30
20
40
30
600
143
156
146
155
ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ
Вид учебной работы
СЕМЕСТРЫ
Всего
часов
I
II
III
IV
Аудиторные занятия
85
24
21
20
20
Лекции (ЛК)
32
10
8
8
6
Лабораторные работы (ЛР)
48
12
12
12
12
5
2
1
515
140
133
122
120
З
Э
З
Э
164
154
142
140
Контроль самостоятельной работы (КСР)
Самостоятельная работа (СР)
Вид промежуточной аттестации
Общая трудоемкость дисциплины
600
2
Все перечисленные формы проведения занятий обеспечивают
междисциплинарные связи в процессе подготовки специалиста. Ниже знаком «+» выделены темы, используемые при изучении обеспечиваемых (последующих) дисциплин.
5
№
п/п
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
№ № разделов данной дисциплины, необходимых
для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 2 3
4
5
6 7 8
9 10 11 12
1.
Эконометрика
+
+
+
2.
Математический
+
+
+
+
+
+
+
+
анализ
3.
Макроэкономика
4.
Микроэкономика
5.
Дифференциальные
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
и разностные уравнения
6.
Дискретные мате-
+
+
+
+
матические модели
7.
Методы оптималь-
+
+
+
+
ных решений
3. Распределение часов по темам и видам занятий
КСР
ЛК
ЛЗ
Элементы линейной алгебры
4
4
4
12
Элементы векторной алгебры
4
4
4
12
Элементы аналитической геометрии
4
4
4
12
2
Контрольная работа №1
6
СРС
экзамен,
зачет
Наименование раздела
дисциплины
ВСЕГО
Распределение часов по видам
учебной работы
2
КСР
СРС
экзамен,
зачет
Наименование раздела
дисциплины
ВСЕГО
Распределение часов по видам
учебной работы
ЛК
ЛЗ
Функции и числовые последовательности
Предел и непрерывность
функции
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения
графиков, элементы дифференциальной геометрии
4
4
4
12
4
4
4
12
4
4
4
12
4
4
5
13
Комплексные числа
4
4
4
12
Функции нескольких переменных
4
4
4
12
2
Контрольная работа №2
2
Зачет
ВСЕГО за I семестр
36
36
Неопределенный интеграл
6
12
Контрольная работа №3
4
37
4
2
Определенный интеграл
6
12
Кратные интегралы, криволинейные интегралы
4
8
Контрольная работа №3
6
12
Численные методы
6
12
7
30
30
143
22
2
6
4
2
Векторный анализ и элементы
теории поля
30
24
16
2
4
6
22
24
Элементы функционального
анализа
ЛК
ЛЗ
6
12
Контрольная работа №5
КСР
СРС
4
22
2
2
Экзамен
ВСЕГО за II семестр
Числовые и функциональные
ряды, элементы гармонического анализа
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Контрольная работа №5
Элементы теории функции
комплексного переменного
Контрольная работа №7
Зачет
ВСЕГО за III семестр
Случайные события
Случайные величины
Системы случайных величин
Предельные теоремы теории
вероятностей
Контрольная работа №8
Основы теории случайных
процессов
Выборки и их характеристики
Элементы теории оценок
Контрольная работа №9
Экзамен
ВСЕГО за IV семестр
ВСЕГО
экзамен,
зачет
Наименование раздела
дисциплины
6
34
68
6
12
16
6
12
16
28
20
20
20
156
34
34
2
6
12
2
34
16
2
18
4
6
6
36
6
8
6
4
8
4
ВСЕГО
Распределение часов по видам
учебной работы
48
6
6
6
40
40
6
2
40
146
16
20
18
18
2
2
6
8
4
18
4
4
6
8
6
4
16
16
1
30
155
600
1
34
122
8
50
190
3
17
38
152
30
30
120
ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ
Элементы линейной алгебры
ЛК
ЛЗ
2
2
14
18
2
16
18
2
16
20
18
18
Элементы векторной алгебры
Элементы аналитической геометрии
Функции и числовые последовательности
Предел и непрерывность
функции
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения
графиков, элементы дифференциальной геометрии
2
КСР
2
2
14
18
2
2
14
18
18
18
14
14
16
20
Комплексные числа
Функции нескольких переменных
Зачет
2
2
2
ВСЕГО за I семестр
10
12
Неопределенный интеграл
2
Численные методы
164
2
24
28
2
21
23
2
20
22
2
2
20
24
2
2
24
28
9
2
2
140
Определенный интеграл
Кратные интегралы, криволинейные интегралы
Векторный анализ и элементы
теории поля
СРС
экзамен,
зачет
Наименование раздела
дисциплины
ВСЕГО
Распределение часов по видам
учебной работы
Элементы функционального
анализа
ЛК
ЛЗ
2
2
Экзамен
ВСЕГО за II семестр
Числовые и функциональные
ряды, элементы гармонического анализа
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Элементы теории функции
комплексного переменного
Зачет
ВСЕГО за III семестр
Случайные события
Случайные величины
Системы случайных величин
Предельные теоремы теории
вероятностей
Основы теории случайных
процессов
Выборки и их характеристики
Элементы теории оценок
Экзамен
ВСЕГО за IV семестр
ВСЕГО
КСР
СРС
24
1
8
12
4
28
1
133
154
4
40
48
2
4
42
48
2
4
40
46
8
2
2
12
2
2
122
16
16
20
142
20
20
20
2
16
18
2
16
20
2
2
18
18
20
20
2
140
600
2
6
32
10
12
48
1
экзамен,
зачет
Наименование раздела
дисциплины
ВСЕГО
Распределение часов по видам
учебной работы
2
2
5
120
515
4. Содержание дисциплины по темам
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Тема 1. Элементы линейной алгебры
Основные алгебраические структуры. Определители 2-го и 3-го порядков,
их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по элементам строки
(столбца). Матрицы, действия над ними. Понятие обратной матрицы. Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Система n-линейных уравнений с n- неизвестными. Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.
Пространство Rn. Линейные операции над векторами. Линейные отображения и пространства. Скалярное произведение в Rn. Понятие линейного
(векторного) пространства. Вектор как элемент линейного пространства.
Многомерная Эвклидова геометрия.
Литература раздел 4 [1,4,5]
Тема 2. Элементы векторной алгебры
Система координат в плоскости и в пространстве. Пространства R2 и R3.
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось.
Направляющие косинусы и длина вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между векторами в координатной
форме. Механический смысл скалярного произведения. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка. Смешанное
произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл определителя третьего порядка.
Литература раздел 4 [1,4,5]
Тема 3. Элементы аналитической геометрии
Уравнения линий на плоскости. Различные виды уравнений на плоскости.
Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой линии. Кривые
второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола и их геометрические свойства и уравнения. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера, ко11
нус, гиперболоиды, параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей. Полярные координаты на плоскости. Различные способы заданий линий и поверхностей в пространстве.
Литература раздел 4 [4,5]
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Тема 4. Функции и числовые последовательности
Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
Сложные и обратные функции, их графики. Класс элементарных функций.
Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах.
Литература раздел 4 [4,5]
Тема 5. Предел и непрерывность функции
Предел числовой последовательности. Пределы монотонных функций.
Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах.
Существование предела монотонной ограниченной последовательности.
Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений,
промежуточные значения. Теорема об обратной функции.
Литература раздел 4 [6,8,10]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тема 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Правила
нахождения производной. Основные свойства. Производная сложной
функции. Производная обратной функции. Дифференцирование функций,
заданных параметрически. Дифференциал функции. Инвариантность фор12
мы полного дифференциала. Точки экстремума функции. Теорема Ферма.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Производная и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя.
Литература раздел 4 [2,6,10]
Тема 6. Применение дифференциального исчисления для исследования
функций и построения графиков, элементы дифференциальной геометрии
Условия монотонности функции. Экстремум функций, необходимое условие. Достаточные функции. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости
функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Общая схема исследования
функции и построения графика. Вектор – функция скалярного аргумента.
Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой. Кривизна кривой.
Радиус кривизны. Главная нормаль. Бинормаль. Кручение кривой.
Литература раздел 4 [2,8,10]
Тема 7. Комплексные числа
Комплексные числа, основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами.
Литература раздел 4 [2,8,10]
Тема 8. Функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции
нескольких переменных и непрерывность. Частные производные от функций нескольких переменных. Полный дифференциал, его связь с частными
производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Частные производные и полный дифференциал
функций нескольких переменных высших порядков. Формула Тейлора. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций. Экстремумы
функции нескольких переменных. Необходимое и достаточные условия
существование экстремума. Вектор – функции. Производная вектор –
функции. Сопровождающий трехгранник. Кручение кривой. Уравнения поверхностей. Геометрия поверхностей. Понятие топологического пространства. Основные характеристики.
Литература раздел 4 [6,8,10]
13
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 9. Неопределенный интеграл
Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Интегрирование по частям. Интегрирование квадратного трехчлена.
Интегрирование рациональных дробей. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Обзор методов интегрирования.
Литература раздел 4 [6,8,10]
Тема 10. Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный
интеграл, его основные свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона- Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.
Замена переменной в определенном интеграле. Методы вычислений определенных интегралов. Несобственные интегралы с бесконечными пределами, их свойства. Несобственные интегралы от ограниченных функций, их
свойства. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей
плоских фигур и объемов тел вращения. Приложения определенного интеграла к вычислению длины дуги.
Литература раздел 4 [1-14]
Тема 11 . Кратные интегралы, криволинейные интегралы
Задачи, приводящие к понятию кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их свойства, примеры вычисления.
Литература раздел 4 [6,8,10]
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Тема 12. Векторный анализ и элементы теории поля
Скалярное поле. Градиент скалярного поля. Векторное поле. Дивергенция, ротор, поток и циркуляция векторного поля. Оператор Гамильтона
и его свойства. Интегральные формулы.
14
Литература раздел 4 [6,8,10]
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Тема 16. Численные методы
Задачи численного интерполирования. Многочлены Лагранжа и Ньютона.
Численное интегрирование дифференциальных уравнений методом Эйлера. Вычисление определенных 15интегралов методом трапеций и парабол.
Итерационные методы решения функциональных уравнений. Построение
многочлена наилучшего приближения.
Литература раздел 4 [13,14]
Тема 17. Элементы функционального анализа
Задание метрического пространства. Определение нормированного пространства. Связь нормированности и метричности. Фундаментальные последовательности.
Литература раздел 4 [13,14]
РЯДЫ, ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 14. Числовые и функциональные ряды, элементы гармонического
анализа
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Действия с рядами. Достаточные условия сходимости знакоположительных числовых рядов. Методы исследования сходимости знакочередующихся рядов. Функциональные ряды. Область сходимости, методы
ее определения. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды.
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Ряды Фурье.
Усиление сходимости рядов Фурье (метод А.Н. Крылова).
Литература раздел 4 [6,8,10]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
15
Тема 13. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частные решения дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования
и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Приложения дифференциальных уравнений
первого порядка в различных областях науки. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижения порядка.
Линейные уравнения, однородные и неоднородные. Линейные уравнения с
постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, их
приложения. Численное интегрирование дифференциальных уравнений.
Литература раздел 4 [6,8,10]
Тема 15. Элементы теории функции комплексного переменного
Комплексные числа. Определение функции комплексного переменного. Дифференцируемость и аналитичность функции комплексного переменного. Условия Коши- Римана. Гармонические и аналитические функции.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической
функции. Интегрирование по комплексной переменной. Теорема Коши.
Интегральная формула Коши. Формулы для производных. Ряды с комплексными элементами.
Литература раздел 4 [13,14]
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Тема 18. Случайные события
Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон устойчивости относительных частот. Классическое и геометрическое определение вероятности. Комбинаторика. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей.
Методы исчисления вероятностей. Схема Бернулли.
Литература раздел 4 [15,16,18]
16
Тема 19. Случайные величины
Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание. Дисперсия дискретной случайной величины. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Нормальное
распределение и его свойства. Определение и представление вероятностных моделей, одномерные распределения вероятностей.
Литература раздел 4 [15,16,18]
Тема 20. Системы случайных величин
Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения. Функции случайных величин и ее свойства. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Корреляционный момент, коэффициент корреляции.
Литература раздел 4 [15,16,18]
Тема 21. Предельные теоремы теории вероятностей
Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы Бернулли
и Чебышева. Предельные теоремы, замена переменных.
Специальные
распределения вероятностей.
Литература раздел 4 [15,16,18]
Тема 22. Основы теории случайных процессов
Понятие случайной функции (процесса). Классификация случайных процессов, основные характеристики случайных процессов. Стационарный
случайный процесс. Корреляционные функции и спектральные плотности.
Действия над случайными процессами.
Литература раздел 4 [15,16,18]
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Тема 23. Выборки и их характеристики
Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Понятие параметра и статистики. Вариационный ряд. Полигон и гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочные средняя, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Литература раздел 4 [15,16,18]
17
Тема 24. Элементы теории оценок
Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности.
Несмещенность, эффективность и состоятельность точечных оценок. Статистическое оценивание. Статистические оценки генеральной средней и
доли. Погрешность оценки. Доверительная вероятность и доверительный
интервал. Определение необходимого объема выборки. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Понятие
о критериях согласия. Критерии Пирсона и Колмогорова. Статистика и измерения случайного процесса. Проверка и оценка в задачах со случайными
процессами. Статистические методы обработки экспериментальных дан-
ных.
Литература раздел 4 [15,16,18]
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Технология
проведения занятия
Преобразования матриц и системы линейных уравнений. Матри-
Групповое обсуждение решения примеров и задач
цы. Матрица и расширенная
матрица системы линейных
уравнений. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к
ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод
Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем
линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее
решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных
количество
часов
5. Содержание лабораторных занятий
[3],
225-244
6
18
Литература
уравнений в случае двух или
трех неизвестных. Ненулевые
решения однородной системы
уравнений.
Определитель. Определитель и
элементарные преобразования.
Построение определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление определителя
разложением по строке.
Линейные пространства. Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Простейшие свойства линейно зависимых векторов. Базис и координаты векторов. Существование базиса конечномерного пространства. Размерность линейного пространства
Алгебра матриц. Сумма матриц.
Умножение матрицы на число.
Произведение матриц. Матричная запись системы уравнений.
Свойства арифметических операций над матрицами. Обратная
матрица и формулы Крамера.
Построение обратной матрицы
элементарными преобразованиями. Преобразование координат
при замене базиса.
Ранг матрицы. Ранг матрицы.
Ранг ступенчатой матрицы.
Неизменность ранга при элементарных преобразованиях.
Теорема о ранге матрицы. Кри-
Технология
проведения занятия
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Дискуссии, решение
учебных задач
Литература
[3],
262-286
4
Решение практических задач, индивидуальный опрос в
конкретных ситуациях
[3],
288-300
4
Групповое обсуждение, экспресс опрос
по теме занятий.
[3],
307-314;
316-325
4
Решение практических задач
4
19
[3],
448-480
4,
358-370;
Технология
проведения занятия
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
терий линейной независимости
системы строк (столбцов). Ранг
произведения матриц. Определитель произведения матриц.
Структура множества решений
системы линейных уравнений.
Векторная запись системы уравнений. Теорема КронекераКапелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений
однородной системы линейных
уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных.
Линейные операторы. Матрица
линейного оператора. Преобразование матрицы линейного
оператора при замене базиса.
Собственные векторы и собственные значения линейного
оператора. Приведение матрицы
линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного
оператора. Свойства собственных векторов с одинаковыми и
различными собственными значениями.
Квадратичные формы
Понятие квадратичной формы.
Канонический базис квадратичной формы. Положительно и от-
Групповой разбор
алгоритмов представления функций
в ряд с последующей проверкой результатов на компьютере.
[9],
194-197
4
Индивидуальное
решение задач и
консультирование
[3],
329-350;
355-364
4
Групповые дискуссии и обсуждение
конкретных ситуаций.
20
4
[3],
366-375
рицательно определенные квадратичные формы. Критерий
Сильвестра положительной
определенности квадратичной
формы. Закон инерции для
квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Евклидовы пространства. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина
вектора и угол между векторами.
Ортогональность векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.
Линии на плоскости
Уравнение прямой с угловым
коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой,
проходящей через данную точку
в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через
две точки. Уравнение прямой в
отрезках. Уравнение прямой,
проходящей через данную точку
перпендикулярно данному век-
Технология
проведения занятия
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Решение задач с использованием
комьютерной технологии.
Литература
[3],
389-419
4
Индивидуальные
консультации студентов в процессе
решения учебных
задач
[4],
310-323
6
21
Технология
проведения занятия
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
тору. Нормальное уравнение
прямой.
Угол между двумя прямыми и
условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Расстояние от точки до прямой.
Линии второго порядка на плоскости
Окружность. Эллипс: каноническое уравнение эллипса, исследование формы эллипса по его
уравнению. Гипербола: каноническое уравнение гиперболы,
исследование формы гиперболы
по ее уравнению, асимптоты гиперболы. Парабола: каноническое уравнение параболы, исследование форм параболы по ее
уравнению. Общее уравнение
линий второго порядка.
Индивидуальное
решение задач и
консультирование
[4],
330-342
4
Уравнения поверхности и линии
в пространстве
Уравнение плоскости в пространстве: уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, уравнение плоскости в отрезках, нормальное уравнение
плоскости. Уравнение прямой в
пространстве: каноническое
уравнение прямой, уравнение
прямой в пространстве, проходящей через две точки, общее
уравнение прямой. Прямая ли-
6
22
ния в пространстве. Прямая и
плоскость в пространстве.
Функции. Область определения и
множество значений функции.
Способы
задания
функций.
Сложная и обратная функции.
Основные элементарные функции и их графики.
Предел. Непрерывность функции.
Непрерывность функции в точке. Предел функции в точке.
Предел суммы и разности двух
функций, произведения и частного двух функций. Первый и
второй замечательные пределы.
Точки разрыва функции.
Достижение
наибольшего
и
наименьшего значений функций.
Производная функции. Правило
дифференцирования
суммы,
разности, произведения и частного двух функций. Производные основных элементарных
функций. Производные сложных и обратных тригонометрических функций. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику
функции. Дифференциал функции.
Приложение производных в задачах с экономическим содержанием. Локальный экстремум
функции. Производные и дифференциалы высших порядков.
Применение производных к ис-
Технология
проведения занятия
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
Групповое обсуждение
[1]
225-244
Дискуссии, решение
учебных задач
[1],
262-286
Решение практических задач, индивидуальный опрос в
конкретных ситуациях
[1],
288-300
Групповое обсуждение, экспресс опрос
по теме занятий.
Построение графиков с помощью ЭВМ
[1],
307-314;
316-325
23
следованию функций и построению графиков. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
ВСЕГО за I семестр
Функции нескольких переменных (ФНП). Область определения
ФНП, непрерывность и пределы.
Частные производные и техника
дифференцирования ФНП высших порядков. Экстремум функции двух переменных и его необходимое условие. Полный
дифференциал ФНП.
Построение эмпирических формул. Метод наименьших квадратов в задачах регрессионного
анализа. Построение линейного
однофакторного уравнения регрессии. Оценка коэффициента
корреляции.
Неопределённый интеграл. Таблица неопределённых интегралов. Способы интегрирования:
замена переменной в неопределенном интеграле; интегрирование по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.
Определенный интеграл. Свойства определённого интеграле.
Формула
Ньютона-Лейбница.
Интеграл с переменным верхним
пределом. Замена переменной в
Технология
проведения занятия
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
Решение практических задач
[1],
448-480
[4],
358-370;
Построение уравнений регрессии с использованием
функций Excel
9,
194-197
Индивидуальное
решение задач и
консультирование
[Error!
Reference
source
not
found.],
329-350;
355-364
Групповые дискуссии и обсуждение
конкретных ситуаций.
24
[1],
366-375
определенном интеграле. Интегрирование по частям.
Практическое приложение определенного интеграла. Вычисление площади плоской криволинейной трапеции, объёмов тел
вращения, длины дуги кривой,
вычисление поверхности вращения интегралов. Использование собственных интегралов в
задачах предельного дохода, и
предельных издержек.
Числовые ряды. Необходимое
условие сходимости числового
ряда. Достаточные критерии
сходимости числовых рядов с
неотрицательными
членами:
первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера в
предельной форме, интегральный признак, признак Коши.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка
ряда. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
Степенные ряды. Понятие о
функциональных рядах. Теорема
Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Разложение в ряд Маклорена бесконечно
дифференцируемых
функций
с использованием базовых разложений: ех , sin x , cos x ,
(1 + х)𝛼 , ln(1+ x) и почленное
Технология
проведения занятия
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
Решение задач с использованием
комьютерной технологии.
[1],
389-419
Индивидуальные
консультации студентов в процессе
решения учебных
задач
[1],
310-323
Групповой
разбор
алгоритмов
представления функций
в ряд с последующей проверкой результатов на компьютере.
[1],
330-342
25
Технология
проведения занятия
интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Приближённое вычисление с
помощью рядов.
Дифференциальные уравнения. Групповое решение
Уравнения первого порядка с уравнений.
разделяющимися переменными.
Линейные неоднородные уравнения первого порядка, метод
вариации постоянной. Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами.
ВСЕГО за II семестр
III семестр
Случайные события. Операции Групповое обсуждение
над случайными событиями.
Пространство
элементарных Дискуссии, решение
событий. Элементы комбинато- учебных задач
рики.
Задачи на классическое определение вероятности.
Геометрическая
Задача о встрече.
вероятность.
Условная вероятность. Независимые случайные события.
Вычисление вероятностей слу-
Решение практических задач, индивидуальный опрос в
конкретных ситуациях
Групповое обсуждение, экспресс опрос
по теме занятий.
Построение графиков с помощью ЭВМ
Решение практических задач
Построение уравне26
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
[1],
285-304
чайных событий при помощи
теоремы сложения и формулы
умножения вероятностей.
Использование формулы полной
вероятности, формула Байеса.
Формула Бернулли и теоремы
Муавра-Лапласа.
Случайные величины. Построение ряда распределения дискретной случайной величины
Биномиальное распределение и
распределение Пуассона.
Вычисление числовых характеристик ДСВ.
Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной
величины.
Вычисление числовых характеристик НСВ. Равномерное распределение.
Нормальное распределение. Понятие о распределении Стьюдента и распределении 𝜒 2 .
Закон больших чисел. Неравен-
Технология
проведения занятия
ний регрессии с использованием
функций Excel
Групповое обсуждение
Дискуссии, решение
учебных задач
Индивидуальное
решение задач и
консультирование
Групповые дискуссии и обсуждение
конкретных ситуаций.
Решение задач с использованием
комьютерной технологии.
Индивидуальные
консультации студентов в процессе
решения учебных
задач
Групповой
разбор
алгоритмов
представления функций
в ряд с последующей проверкой результатов на компьютере.
Групповое решение
уравнений.
Групповое обсуждение
27
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
ство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Основы выборочного метода и
элементы статистической теории оценивания. Выборочная
совокупность,
выборочная
функция распределения.
Гистограмма, полигон часто, интервальный ряд.
Вычисление точечных оценок
параметров распределения.
Вычисление интервальных оценок параметров распределения.
Статистические
исследования
зависимостей. Выборочный коэффициент корреляции
Технология
проведения занятия
Дискуссии, решение
учебных задач
Решение практических задач, индивидуальный опрос в
конкретных ситуациях
Групповое обсуждение, экспресс опрос
по теме занятий.
Построение графиков с помощью ЭВМ
Решение практических задач
Построение уравнений регрессии с использованием
функций Excel
Групповое обсуждение
Построение выборочных линейных уравнений регрессии.
Методы статистической провер- Дискуссии, решение
ки гипотез. Гипотеза о равенстве учебных задач
генеральных средних.
Гипотеза о равенстве генераль- Индивидуальное
ных дисперсий. Критерий согла- решение задач и
консультирование
сия Пирсона.
ВСЕГО за III семестр
IV СЕМЕСТР
28
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
Технология
проведения занятия
Общая задача оптимизации и
линейного программирования.
Постановка общей задачи оптимизации и задачи линейного
программирования. Экономические примеры задач линейного
программирования.
Задача линейного программирования и ее свойства. Общая формулировка задачи линейного
программирования и две ее разновидности. Вид множества оптимальных решений.
Графический и симплекс-метод
решения задачи линейного программирования.
Двойственные задачи. Правила
постановки двойственных задач
и их роль при анализе соответственных им прямых задач линейного программирования.
Динамическое программирование. Метод динамического программирования Беллмана для
дискретных процессов оптимального управления.
Динамическое программирование. Уравнение Беллмана для
конечно-разностных
систем.
Принцип оптимальности. Рекурсивная процедура для канонической задачи в дискретном вре29
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
Технология
проведения занятия
мени. Распространение процедуры на критерий Больца.
Динамическое программирование. Обобщение беллмановской
процедуры на задачи с фазовыми и смешанными ограничениями. О происхождении фазовых и
смешанных ограничений. Общая
схема. Решение статистических
задач распределения ресурсов
методом динамического программирования. Задача управления запасами.
Динамическое программирование. Уравнение Беллмана в непрерывном времени. Вывод
уравнения Беллмана для канонической задачи. Решение примера в непрерывном времени.
Уравнение Беллмана и принцип
Понтрягина.
Матричные игры. Стратегии игры. Матричные игры. Верхняя и
нижняя цена игры. Седловая
точка. Оптимальная стратегия.
Игры с природой. Критерий
Лапласа, принцип максимакса,
критерий максимального риска.
Матричные игры. Кооперативные игры. Характеристическая
функция и ее свойства.
Плоские графы. Способы задания
30
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
Технология
проведения занятия
графа. Изоморфизмы графов.
Связность графа. Плоский граф.
Ребра и грани графа. Эйлеров
путь, цикл и эйлеров граф. Гамильтонов путь и гамильтоновы
графы. Ориентированные графы.
Орграфы
Плоские графы. Сетевые графики как динамическая модель
производственного
процесса.
Критический путь. Стандартные
обозначения.
Плоские графы. Двудольные
графы и сети Петри. Виды сетей
Петри.
Системы массового обслуживания. Случайная последовательность событий. Поток однородных событий. Простейший поток
Пуассона. Мгновенная плотность
потока. Формула Литтла.
Системы массового обслуживания. Марковские процессы. Матрица перехода вероятностей.
Задачи анализа замкнутых и
разомкнутых цепей массового
обслуживания. Нахождение стационарных вероятностей.
Микроэкономические модели.
Функции полезности. Кривые
безразличия. Функции спроса и
предложения. Уравнение Слуц31
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
Технология
проведения занятия
количество
часов
ТЕМАТИКА
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Литература
кого.
Кривые
«доходпотребление». Кривые «ценапотребление».
Коэффициенты
эластичности.
Микроэкономические модели.
Материальные балансы. Функции выпуска продукции. Производственные функции затрат
ресурсов. Линейные, мультипликативно-степенные производственные функции. Равновесные траектории.
Макроэкономические модели.
Модели поведения фирмы в
условиях совершенной и несовершенной конкуренции. Модели общего экономического равновесия. Модель Эрроу-Гурвица.
Макроэкономические модели.
Статистическая и динамическая
модели межотраслевого баланса.
Общие модели развития экономики. Модель Солоу.
ВСЕГО за IV семестр
ВСЕГО
6. Задания для самостоятельной работы
Основная цель самостоятельной работы студента при изучении
дисциплины – закрепить теоретические знания, полученные в ходе лекционных занятий, а также сформировать практические навыки решения задач по темам курса.
32
Самостоятельная работа студента в процессе освоения дисциплины «Математика» включает в себя:
– разбор и изучение теоретического материала по пособиям и
конспектам лекций;
– выполнение контрольных работ;
– подготовку к защите контрольных работ;
– подготовку к компьютерному тестированию;
– индивидуальные и групповые консультации по наиболее
сложным вопросам дисциплины;
– подготовка к экзамену.
На самостоятельную работу студентов отводится 70 ч учебного
времени для студентов бакалавриата направления «Экономика».
Тема дисциплины
Форма самостоятельной работы
Преобразования матриц
и системы линейных
уравнений.
Определитель.
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1, стр. 24-130
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1, стр. 151-154
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
2, стр. 375-378
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
2, стр.322-324; 334-337
Подготовка к тестированию
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1,стр.53-55; 59-63
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1, стр.81-90
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1,1стр. 24-130
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
2, стр. 375-378
33
Линейные пространства.
Алгебра матриц.
Ранг матрицы.
Структура множества
решений системы линейных уравнений.
Линейные операторы.
Квадратичные формы.
Трудоёмкость
в часах
6
6
6
6
4
6
6
6
Тема дисциплины
Форма самостоятельной работы
Евклидовы пространства.
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1, стр. 151-154
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
2, стр. 375-378
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1, стр.81-90
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[14], стр. 24-130
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[14], стр. 151-154
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[1], стр. 375-378
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[5], стр. 375-378
Линии на плоскости
Линии второго порядка
на плоскости
Уравнения плоскости и
линии в пространстве
Функции.
Предел. Непрерывность функции.
Производная.
Приложение производной.
Контрольная работа
Функции нескольких
переменных.
Функции нескольких
переменных в задачах
на оптимизацию.
Экзамен
Всего за I семестр
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[1], стр. 375-378
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[1], стр. 375-378
Подготовка к экзамену
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[14], стр. 24-130
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[14], стр. 151-154
34
Трудоёмкость
в часах
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
36
36+36
20
18
Трудоёмкость
в часах
Тема дисциплины
Форма самостоятельной работы
Приложение определенного интеграла.
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[1], стр. 375-378
20
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[1], стр. 382-391
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[1], стр. 396-401
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
[1], стр. 322-324; 334-337
Подготовка к тестированию
Подготовка к экзамену
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1, стр. 24-130
Выполнение заданий контрольной работы № 1
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1, стр. 151-154
Выполнение заданий контрольной работы № 2
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
2, стр. 375-378
Выполнение заданий контрольной работы № 3
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
2, стр.322-324; 334-337
Выполнение заданий контрольной работы № 4
Подготовка к тестированию
Работа с учебной литературой
16
Контрольная работа
Числовые ряды.
Степенные ряды.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Экзамен
Случайные события.
Вероятность случайного события.
Случайные величины.
Элементы корреляционной теории.
Закон больших чисел.
35
16
20
45
2
12
16
4
4
Тема дисциплины
Основы выборочного
метода и элементы
статистической теории оценивания.
Статистическое исследование зависимостей.
Методы статистической проверки гипотез.
Форма самостоятельной работы
Выполнение домашних заданий:
1,стр.53-55; 59-63
Выполнение заданий контрольной работы № 5
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1,1стр. 24-130
Выполнение заданий контрольной работы № 6
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
2, стр. 375-378
Выполнение заданий контрольной работы № 7
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних заданий:
1, стр. 151-154
Выполнение заданий контрольной работы № 8
Трудоёмкость
в часах
28
16
16
7. Экзаменационные вопросы
I семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Матрицы, операции над матрицами.
Определители квадратных матриц. Свойства определителей.
Обратная матрица. Способ нахождения обратной матрицы.
Ранг матрицы. Способ нахождение ранга матрицы.
Решение системы 𝑛 линейных уравнений с 𝑛 переменными методом обратной матрицы и по формулам Крамера.
Система 𝑚 линейных уравнений с 𝑛 переменными. Метод Гаусса.
Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами
(сложение, вычитание, умножение вектора на число, разложение
вектора по единичным векторам, скалярное произведение векторов).
36
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
𝑁–мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис
векторного пространства. Переход к новому базису.
Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Квадратичные формы.
Уравнения прямой на плоскости. Прямая линия на плоскости.
Общее уравнение линий второго порядка. Окружность и эллипс.
Гипербола: каноническое уравнение, асимптоты.
Парабола: каноническое уравнение.
Уравнения плоскости в пространстве.
Уравнения прямой в пространстве. Прямая линия в пространстве.
Понятие функции. Основные свойства функции.
Основные элементарные функции. Применение функций в экономике.
Предел числовой последовательности.
Предел функции в бесконечности и в точке.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.
Замечательные пределы.
Непрерывность функции Виды разрывов. Свойства непрерывных
функций.
Определение производной, ее геометрический смысл. Зависимость
между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Основные правила дифференцирования.
Производная сложной и обратной функций.
Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.
Теорема Ролля, ее геометрический смысл. Теорема Лагранжа, ее
геометрический смысл.
Теорема Коши. Теорема Лагранжа как частный случай теоремы
Коши.
32. Правило раскрытия неопределенностей вида
0
0
,
∞
∞
(правило Лопи-
таля).
33. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
37
34. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции.
35. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
36. Дифференциал суммы, произведения и частного функций. Дифференциал сложной функции.
37. Производная и дифференциалы высших порядков.
38. Комплексные числа, основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел.
39. Формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными
числами.
40. Функции нескольких переменных. Область определения.
41. Предел функции нескольких переменных и непрерывность.
42. Частные производные от функций нескольких переменных.
43. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала.
44. Геометрический смысл полного дифференциала.
45. Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных высших порядков.
46. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточные условия существование экстремума.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
II семестр
Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных
элементарных функций.
Основные методы интегрирования (замены переменной, по частям). Привести примеры.
Интегрирование простейших рациональных дробей. Привести
примеры.
Интегрирование тригонометрических функций. Привести примеры.
Определенный интеграл, его геометрический и экономический
смысл.
Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона – Лейбница. Приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
38
10. Использование определенного интеграла в экономике.
11. Задачи, приводящие к понятию кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.
12. Двойной и тройной интегралы, их свойства.
13. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием.
14. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода,
их свойства, примеры вычисления.
15. Скалярное поле. Градиент скалярного поля.
16. Векторное поле. Дивергенция, ротор векторного поля
17. Поток и циркуляция векторного поля.
18. Оператор Гамильтона и его свойства.
19. Интегральные формулы.
20. Задачи численного интерполирования.
21. Многочлены Лагранжа и Ньютона.
22. Численное интегрирование дифференциальных уравнений методом Эйлера.
23. Вычисление определенных интегралов методом трапеций и парабол.
24. Итерационные методы решения функциональных уравнений.
25. Построение многочлена наилучшего приближения.
26. Задание метрического пространства.
27. Определение нормированного пространства.
28. Связь нормированности и метричности.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
III семестр
Дифференциальное уравнение: основные понятия (определение,
порядок уравнения, решение).
Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Примеры.
Однородные уравнения первого порядка. Примеры.
Линейные уравнения первого порядка. Примеры.
Уравнение Бернулли. Примеры.
Уравнения в полных дифференциалах. Примеры.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих
понижение порядка: 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦 ′ ) и 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦, 𝑦 ′ ). Примеры.
39
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
Линейные однородные уравнения второго порядка. Характеристическое уравнение. Общее решение уравнения.
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Различные формы правой части уравнения
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑚 (𝑥), 𝑓(𝑥) = 𝑒 ∝𝑥 ∙ 𝑃𝑚 (𝑥).
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения имеет вид 𝑓(𝑥) =
𝑃𝑚 (𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄𝑥 (𝑥) ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥.
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения имеет вид 𝑓(𝑥) =
𝑒 ∝𝑥 (𝑃𝑚 (𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄𝑥 (𝑥) ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥).
Использование дифференциальных уравнений в экономической
динамике.
Понятие ряда. Сумма ряда.
Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
Сравнение рядов с положительными членами.
Признак Даламбера.
Признак Коши.
Интегральный признак сходимости ряда.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Степенные ряды. Интервал сходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Примеры разложения функций в ряды.
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Ряды Фурье.
Численное интегрирование дифференциальных уравнений.
Определение функции комплексного переменного.
Дифференцируемость и аналитичность функции комплексного переменного. Условия Коши- Римана.
Гармонические и аналитические функции. Геометрический смысл
модуля и аргумента производной аналитической функции.
Интегрирование по комплексной переменной.
Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
Формулы для производных.
Ряды с комплексными элементами.
40
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
IV семестр
Вероятность как частота события. Классическая вероятностная
модель. Аксиомы теории вероятностей
Сумма событий. Совместные и несовместные события. Теорема
сложения для классической модели. Следствия теоремы сложения.
Произведение событий. Зависимые и независимые события. Понятие условной вероятности. Теорема умножения для классической
модели. Следствия теоремы умножения.
Формула полной вероятности.
Теорема Байеса.
Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Случайные величины, их виды и примеры.
Функция распределения как универсальная характеристика случайных величин и ее свойства.
Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее
свойства.
Математическое ожидание случайной величины и ее свойства.
Дисперсия случайной величины и ее свойства.
Равномерное распределение случайной величины и его параметры.
Биномиальное распределение случайной величины и его параметры.
Распределение Пуассона и его параметры.
Нормальное распределение случайной величины и его параметры.
Системы случайных величин и их функциональные характеристики.
Зависимость случайных величин. Корреляционная зависимость.
Коэффициент корреляции и его свойства.
Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X (X на Y) .
Неравенство Чебышева.
Основные предельные теоремы. Центральная предельная теорема.
Генеральная совокупности и выборка (основные понятия). Способы организации выборок. Вариационный ряд.
Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Гистограмма.
Полигон частот.
Состоятельные и несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии.
41
24. Доверительный интервал для математического ожидания при известном  .
25. Распределение Стьюдента. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном  .
26. Распределение
 2 . Доверительный интервал для  .
27. Доверительный интервал для вероятности.
28. Проверка гипотез о среднем значении нормально распределенной
случайной величины с известной дисперсией.
29. Проверка гипотез о среднем значении нормально распределенной
случайной величины с неизвестной дисперсией.
30. Проверка гипотез о равенстве средних значений двух нормально
распределенных случайных величин.
31. F-распределение. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух
нормально распределенных величин.
32. Проверка гипотез о законе распределения (критерий Пирсона).
33. Статистическая оценка коэффициента корреляции и ее свойства.
34. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
35. Доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.
36. Проверка значимости линейной регрессии.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература
1. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н.Ш.
Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
ЮНИТИ, 2004. – 471 с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов: в 2-х частях. Ч. 1 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высшая школа, 1999.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов: в 2-х частях. Ч 2. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высшая школа, 1999.
4. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / под
ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 656 с.
42
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления:
учебник для втузов: в 2-х т. Т. 2. / Н.С. Пискунов. – 9-е изд., перераб.
и доп. – М.: Интеграл–Пресс, 2009.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления:
учебник для втузов: в 2-х т. Т. 2. / Н.С. Пискунов. – 9-е изд., перераб.
и доп. – М.: Интеграл–Пресс, 2009.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный
курс / Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 608 с.
Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 2004.
Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев. – 7-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 2005. – 479 с.
Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов / Н.Ш.
Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 407 с.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 543 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике. М: «Высшая школа»,1999, 400 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.
Красс М.С., Чупрынов Б. П. Основы математики и её приложения в
экономическом образовании: учебник. – 6-е изд., испр. – М.: «Дело»
АНХ, 2008.-720 с.
Бурмистрова, Е.Б. Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии/ Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов. – М.: Изд-во ВШЭ, 2007.
б) дополнительная литература
1. Александров, П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры / П.С. Александров. –
М.: Наука, 1968.
2. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / В.А.
Ильин, Г.Д. Ким. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.
3. Скорняков, Л.А. Элементы линейной алгебры: учебное пособие /
Л.А. Скорняков. – М.: Наука, 1980.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
43
Специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы,
аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения. Может использоваться программа MATHCAD и следующие интернет-порталы:
http://xplusy.oos.cc/web/links_2.html
http://www.lib.tpu.ru/info_portal.xml?lang=ru
http://mathelp.spb.ru
44