Методические указания к ТР Аналитическая геометрия

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТР
"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"
Орел – 2012
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................... 4
1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ...................................... 5
2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО
РАСЧЕТА И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................... 6
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ........................ 12
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ................................................. 20
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящие методические указания предназначены для
студентов первого курса, изучающих тему «Аналитическая
геометрия» и выполняющих по данной теме типовой расчет.
Указания состоят из трех разделов. В первом разделе
приводятся общие методические рекомендации по оформлению,
выполнению и порядку защиты типового расчета.
Во втором разделе приводятся основные теоретические
положения, правила и алгоритмы решения аналогичных задач по
указанной теме.
Третий раздел содержит список задач для самостоятельного
выполнения.
4
1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К выполнению типового расчета следует приступать после
изучения темы "Прямая и плоскость в пространстве". Следует
внимательно разобрать решение тех задач, которые приводятся в
данном пособии. При этом следует руководствоваться следующими
указаниями.
1. Типовой расчет выполняется студентом самостоятельно и
сдается на проверку в установленный преподавателем срок.
2. Студент выполняет тот вариант, который соответствует его
списочному номеру в журнале. В задаче дана двойная нумерация.
Первая цифра соответствует номеру задачи, а вторая – номеру
варианта.
3. Работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней
обложке которой должны быть указаны специальность, номер
группы, фамилия и инициалы студента, и вариант.
4. Решения всех задач должны быть подробными, т.е. все
вычисления необходимо делать полностью. Для замечаний
преподавателя на каждой странице необходимо оставлять поля
шириной 3 – 4 см.
5. После проверки работы преподавателем, студент должен
сделать работу над ошибками и предоставить работу на повторную
проверку.
6. Работа над ошибками выполняется в той же тетради, после
решенных задач. Не допускается вносить исправления в уже
проверенные задачи.
7. Студент должен защитить работу по указанной теме, т.е. дать
устные пояснения ко всем или некоторым задачам с указанием
формул, теорем, выводов, которые используются при решении задач.
Студент допускается к защите типового расчета, если после
очередной проверки, у преподавателя нет замечаний по его
выполнению.
8. Типовой расчет считается выполненным только после
правильного его решения и защиты.
9. Если в процессе изучения материала или при решении той
или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он не
может ответить самостоятельно, то он может обратиться к
преподавателю для получения консультации.
5
2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Для решения задачи №1 нужно: 1) записать уравнение
плоскости  проходящей через три точки М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2),
M3 (x3, y3, z3); 2) найти расстояние от точки М0 (x0, y0, z0) до
плоскости .
1) Уравнение искомой плоскости  имеет вид:
x  x1
y  y1
z  z1
(1.1.)
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1  0 .
x3  x1 y 3  y1 z 3  z1
После вычисления определителя получим общее уравнение
плоскости  вида:
Аx + By + Cz + D = 0
(1.2.)
2) Расстояние от точки М0 до плоскости  найдем по формуле:
|Ax0  By 0  Cz 0  D|
(1.3.)
d (M 0 ,  ) 
2
2
2
A  B C
Пример 1: Найти расстояние от точки М0 (2, 1, 3) до плоскости
, проходящей через точки М1 (2, 3, 0), М2 (2, 0, -5) и М3 (0, 3, -5)
Решение: 1) Запишем уравнение плоскости , проходящей
через 3 данные точки:
x 2 y 3 z
x 2 y 3 z
22
3
5  0 
0
3
5  0
 2 33 5
2
0
5
Затем вычислим определитель известными способами (по
правилу треугольника или разложением определителя по элементам
ряда) и получим искомое уравнение плоскости  в общем виде :
15x + 10y – 6z – 60 = 0.
2) Найдем расстояние d (M0, ):
| 15  2  10 1  6  3  60 | | 38 | 38
d (M 0 ,  ) 


2
361 19
15 2  10 2  (6) 2
Ответ: d(M0, ) = 2 ед.
6
Для решения задачи №2 нужно: 1) найти вектор нормали n ;
2) составить уравнение плоскости , проходящей через данную точку
М0 (x0, y0, z0) c вектором нормали n (А, В, С).
Определение: Ненулевой вектор, перпендикулярный данной
плоскости, называется вектором нормали и обозначается n (А, В, С),
где А, В и С – координаты этого вектора.
Искомое уравнение плоскости  имеет вид:
А (x – x0) + B (y - y0) + C (z – z0) = 0.
(2.1.)
Пример 2: Написать уравнение плоскости , проходящей через
точку М0 перпендикулярно вектору M 1 M 2 , где М0 (2, -1, 0),
М1 (1, 2, 3), М2 (-3, 5, 4).
Решение: Так как вектор M 1 M 2 (х2 – х1, у2 - у1, z2 – z1)
ненулевой и перпендикулярен плоскости  по условию, то
n  M 1 M 2 , т.е. n (-4, 3, 1). Тогда уравнение плоскости  имеет вид:
-4(х – 2) + 3(y + 1) + z = 0
Раскроем скобки и приведем это уравнение к общему
уравнению плоскости: 4x – 3y – z – 11 = 0.
Ответ: : 4x – 3y – z – 11 = 0.
Для решения задачи №3 используем формулу вычисления угла
между плоскостями.
Пусть даны уравнения двух плоскостей
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Тогда

(n , n )
A1 A2  B1 B2  C1C 2
cos (1 ,  2 )  cos   1 2 
, (3.1.)
2
| n1 || n 2 |
A1  B12  C12 A22  B22  C 22
где 
- угол между плоскостями 1 и 2, n1 (А1, В1, С1) и
n 2 (А2, В2, С2) – векторы нормалей соответствующих плоскостей 1 и
2.
Пример 3. Найти угол между плоскостями
1: x + 2y – 2z + 1 = 0 и 2: 2х + 6y +3z – 2 = 0.
Решение: Запишем n1 (1, 2, -2), n 2 (2, 6, 3). Тогда
cos  
1  2  2  6  (2)  3
1  2  (2)
2
2
2
Отсюда   6736'.
Ответ:   6736'.
2 6 3
2
2

2
8
8

 0,3810 .
3  7 21
7
Для решения задачи №4 используем формулу вычисления
расстояния между двумя точками.
Пусть даны две точки А1 (x1, y1, z1) и A2 (x2, y2, z2). Тогда
расстояние от точки А1 до точки А2 найдем по следующей формуле:
(4.1.)
d (A1, A2) = ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 .
Пример 4. Найти координаты точки А (0, 0, z), равноудаленной
от точек В (1, 5, 0) и С (0, 2, 3).
Решение: т.к. точка А равноудалена от точек В и С, то
расстояния от точки А до точки В и от точки А до точки С равны, т.е.
d (А, В) = d (А, С).
Найдем d (А, В) и d (А, С):
d (A, B) =
12  5 2  ( z ) 2  26  z 2 ,
d(A, C) =
0  2 2  (3  z ) 2  13  6 z  z 2 . Приравняем правые
26  z 2  13  6 z  z 2 .
части этих выражений и получим:
Возведем в квадрат обе части равенства: 26 + z2 = 13 – 6z + z2  6z =
13
13
= -13  z = - . Таким образом, точка А (0, 0, - ).
6
6
13
Ответ: А (0, 0, - ).
6
При решении задачи №5 нужно общие уравнения прямой в
пространстве привести к каноническому виду. Для этого нужно
найти вектор S и точку М0, принадлежащую этой прямой.
Определение. Ненулевой вектор, параллельный данной прямой,
называется направляющим вектором этой прямой и обозначается
S (ℓ, m, p), где ℓ, m, p – координаты вектора S .
Пусть прямая задана в общем виде:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,
(5.1.)

 A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0.
Каждое из уравнений системы есть общее уравнение
соответствующей плоскости 1 или 2.
Cоставим канонические уравнения прямой. Сначала найдем
вектор S . В качестве направляющего вектора возьмем вектор
S  [n1 , n2 ] , где n1 (А1, В1, С1) и n 2 (А2, В2, С2) – векторы нормалей
8
соответствующих плоскостей 1 и 2. Затем найдем точку
М0 (x0, y0, z0), координаты которой должны удовлетворять общим
уравнениям прямой, и запишем канонические уравнения прямой в
пространстве:
x  x0 y  y 0 z  z 0
=
=
.
(5.2.)

m
p
Пример 5. Составить канонические уравнения прямой,
заданной в общем виде:
 x  2 y  3z  1  0

2 x  y  4 z  8  0
Решение: Сначала запишем n1 (1, -2, 3) и n 2 (2, 1, -4). Затем
найдем вектор S .
i
j
k
S  [n1 , n2 ] = 1  2 3  S = 5 i + 10 j + 5 k , т.е. S (5, 10, 5).
2 1 4
Найдем точку М0, так, чтобы ее координаты удовлетворяли
каждому из общих уравнений прямой. Для этого можно, например,
второе уравнение системы умножить на 2 и сложить с первым
уравнением. Получим: 5x – 5z – 15 = 0 или x – z – 3 = 0. Положим в
последнем уравнении, например, z = z0 = 0 (или х = x0 = 0), тогда
х = x0 = 3. Подставим найденные значения в любое из уравнений
системы и найдем что y = y0 = 2. Таким образом, М0 (3, 2, 0). Теперь
запишем канонические уравнения прямой:
y2
y2
x 3
x3
z
z
=
=
или
=
= .
5
10
1
2
5
1
y2
x 3
z
Ответ: L:
=
= .
1
2
1
Для решения задачи №6 нужно записать систему уравнений
пересекающихся прямой и плоскости. Для этого от данных
канонических уравнений прямой L перейдем к параметрическим
уравнениям. Затем переменные x, y, z, выраженные через параметр t,
подставим в уравнение плоскости . Потом найдем параметр t и
подставим его в параметрические уравнения прямой L. После этого
найдем искомые x, y, z. Это и будут координаты точки пересечения
прямой L и плоскости .
9
Для того чтобы записать параметрические уравнения прямой L,
нужно каждую пропорцию канонического вида прямой обозначить
через параметр t, а затем выразить переменные x, y, z, т.е.
 x  x0
 x  x 0  t ,
 t,


 

y

y

0

(6.1.)

t
,
 y  y 0  mt ,


 m

 z  z0
 t,

 z  z 0  pt.
 p
Пример 6. Найти точку Q пересечения прямой L и плоскости ,
y 1
z
x2
если L: :
=
= , : 2x + 3y + z – 6 = 0.
2
2
1
Решение: Уравнения прямой L в параметрической форме имеют
вид:
x  2  t

L:  y  1  2t
 z  2t

Подставив выраженные через параметр t переменные x, y, z в
уравнение плоскости , получим: 2 (2 + t) + 3 (-1 – 2t) + 2t – 6 = 0 
 -2t – 5 = 0  t = -2,5. Подставив t в систему параметрических
уравнений прямой L, получим:
 x  0,5;

 y  4;  Q(-0,5; 4; - 5).
 z  5.

Ответ: Q (-0,5; 4; -5).
Задача №7. Найти координаты точки симметричной данной
точке, относительно прямой или плоскости.
Случай 1. Дана точка М и прямая L. Проведем через точку М
плоскость , перпендикулярную прямой L, и найдем точку Q
пересечения прямой L с плоскостью . Так как плоскость 
A
B C
перпендикулярна прямой L, то n || S , т.е.
=
= = , где

m p
 - коэффициент пропорциональности. Пусть  = 1, тогда А = ℓ,
10
B = m, C = p (направляющий вектор прямой является вектором
нормали для плоскости), т.е. вектор n (ℓ, m, p). Запишем уравнение
плоскости  (см. 2.1.): А (x – x0) + B (y - y0) + C (z – z0) = 0, т.к. уже
известны вектор n и точка М (х0, y0, z0). После этого найдем точку Q
пересечения прямой L с плоскостью  (см. задачу №6).
Точка Q является серединой отрезка MM' (где точка М'
симметрична точке М относительно прямой L), а координаты
середины отрезка находятся по следующим формулам:
x  xM '
y  yM '
z  zM '
xQ = M
, yQ = M
, zQ = M
.
2
2
2
Отсюда находим координаты точки M':
xM ' = 2xQ – xM, yM ' = 2yQ – yM, zM ' = 2zQ – zM,
(7.1.)
т.е. M' (xM ', yM ', zM ').
Случай 2. Дана точка М и плоскость . Проведем через точку
М прямую L перпендикулярно данной плоскости . Так как
A B C
плоскость  перпендикулярна прямой L, то n || S , т.е.
= = =,
 m p
где  - коэффициент пропорциональности. Пусть  = 1, тогда ℓ = А,
m = B, p = C (вектор нормали для плоскости является направляющим
вектором прямой), т.е. вектор S (A, B, C). Зная координаты
направляющего вектора и данной точки М (x0, y0, z0), запишем
x  x0
z  z0
y  y0
канонические уравнения прямой L:
=
=
.

m
p
После этого перейдем к параметрическим уравнениям прямой
(см. формулу 6.1.). Затем найдем точки Q и M' (см. случай 1.).
Пример 7: Найти точку M' , симметричную данной точке
y  18
x  11
z4
М (1, 1, 1) относительно прямой L:
=
=
.
5
2
2
Решение: Проведем через точку М плоскость 
перпендикулярно данной прямой L. Так как плоскость 
C
A
B
перпендикулярна прямой L, то
=
=
= 1. Тогда А = 2, В = 5,
5
2
2
С = -2, т.е. n (2, 5, -2). Запишем уравнение плоскости , проходящей
через данную точку М с вектором нормали n :
2 (х – 1) + 5 (y – 1) – 2 (z – 1) = 0 или 2x + 5y – 2z – 5 = 0.
Найдем точку Q пересечения прямой L и плоскости . Для
этого запишем систему уравнений:
11
 x  11 y  18 z  4


,

5
2
 2
2 x  5 y  2 z  5  0.
Чтобы решить систему, перейдем от канонических уравнений
прямой L к параметрическим:
 x  11  2t ,

 y  18  5t ,
 z  4  2t.

Затем переменные x, y и z, выраженные через параметр t,
подставим в уравнение плоскости  и получим:
2 (11 + 2t) + 5 (18 + 5t) –2 (4 - 2t) – 5 = 0  33t = -99  t = -3.
Подставим t = -3 в параметрические уравнения прямой L и
найдем x = 5, y = 3, z = 10. Это и есть координаты точки Q
пересечения прямой L и плоскости , т.е. Q (5, 3, 10).
Найдем координаты точки M', учитывая что точка Q - середина
отрезка MM' (см. формулы 7.1.). Таким образом, M' (9, 5, 19).
Ответ: M' (9, 5, 19).
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача №1. Найти расстояние от точки М0 до плоскости,
проходящей через три точки М1, М2, М3.
1.1. М1 (-3, 4, -7), М2 (1, 5, - 4), М3 (-5, -2, 0), М0 (-12, 7, -1).
1.2. М1 (-1, 2, -3), М2 (4, -1, 0), М3 (2, 1, -2), М0 (1, -6, -5).
1.3. М1 (-3, -1, 1), М2 (-9, 1, -2), М3 (3, - 5, 4), М0 (-7, 0, -1).
1.4. М1 (1, -1, 1), М2 (-2, 0, 3), М3 (2, 1, -1), М0 (-2, 4, 2).
1.5. М1 (1, 2, 0), М2 (1, -1, 2), М3 (0, 1, -1), М0 (2, -1, 4).
1.6. М1 (1, 0, 2), М2 (1, 2, -1), М3 (2, -2, 1), М0 (-5, -9, 1).
1.7. М1 (1, 2, -3), М2 (1, 0, 1), М3 (-2, -1, 6), М0 (3, -2, -9).
1.8. М1 (3, 10, -1), М2 (-2, 3, -5), М3 (-6, 0, -3), М0 (-6, 7, -10).
1.9. М1 (-1, 2, 4), М2 (-1, -2, -4), М3 (3, 0, -1), М0 (-2, 3, 5).
1.10. М1 (0, -3, 1), М2 (- 4, 1, 2), М3 (2, -1, 5), М0 (-3, 4, -5).
1.11. М1 (1, 3, 0), М2 (4, -1, 2), М3 (3, 0, 1), М0 (4, 3, 0).
1.12. М1 (-2, -1, -1), М2 (0, 3, 2), М3 (3, 1, -4), М0 (-21, 20, -16).
1.13. М1 (-3, -5, 6), М2 (2, 1, - 4), М3 (0, -3, -1), М0 (3, 6, 68).
1.14. М1 (2, - 4, -3), М2 (5, -6, 0), М3 (-1, 3, -3), М0 (2, -10, 8).
1.15. М1 (1, -1, 2), М2 (2, 1, 2), М3 (1, 1, 4), М0 (-3, 2, 7).
1.16. М1 (1, 3, 6), М2 (2, 2, 1), М3 (-1, 0, 1), М0 (5, -4, 5).
12
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
1.31.
М1 (-4, 2, 6), М2 (2, -3, 0), М3 (-10, 5, 8), М0 (-12, 1, 8).
М1 (7, 2, 4), М2 (7, -1, -2), М3 (-5, -2, -1), М0 (10, 1, 8).
М1 (2, 1, 4), М2 (3, 5, -2), М3 (-7, -3, 2), М0 (-3, 1, 8).
М1 (-1, -5, 2), М2 (-6, 0, -3), М3 (3, 6, -3), М0 (10, -8, -7).
М1 (0, -1, -1), М2 (-2, 3, 5), М3 (1, -5, -9), М0 (-4, -13, 6).
М1 (5, 2, 0), М2 (2, 5, 0), М3 (1, 2, 4), М0 (-3, -6, -8).
М1 (2, -1, -2), М2 (1, 2, 1), М3 (5, 0, -6), М0 (14, -3, 7).
М1 (-2, 0, -4), М2 (-1, 7, 1), М3 (4, -8, -4), М0 (-6, 5, 5).
М1 (14, 4, 5), М2 (-5, -3, 2), М3 (-2, -6, -3), М0 (-1, -8, 7).
М1 (1, 2, 0), М2 (3, 0, -3), М3 (5, 2, 6), М0 (-13, -8, 16).
М1 (2, -1, 2), М2 (1, 2, -1), М3 (3, 2, 1), М0 (-5, 3, 7).
М1 (1, 1, 2), М2 (-1, 1, 3), М3 (2, -2, 4), М0 (2, 3, 8).
М1 (2, 3, 1), М2 (4, 1, -2), М3 (6, 3, 7), М0 (-5, -4, 8).
М1 (1, 1, -1), М2 (2, 3, 1), М3 (3, 2, 1), М0 (-3, -7, 6).
М1 (1, 5, -7), М2 (-3, 6, 3), М3 (-2, 7, 3), М0 (1, -1, 2).
Задача №2. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку А перпендикулярно вектору BC .
2.1. А (1, 0, -2), В (2, -1, 3), С (0, -3, 2).
2.2. А (-1, 3, 4), В (-1, 5, 0), С (2, 6, 1).
2.3. А (4, -2, 0), В (1, -1, -5), С (-2, 1, -3).
2.4. А (-8, 0, 7), В (-3, 2, 4), С (-1, 4, 5).
2.5. А (7, -5, 1), В (5, -1, -3), С (3, 0, -4).
2.6. А (-3, 5, -2), В (-4, 0, 3), С (-3, 2, 5).
2.7. А (1, -1, 8), В (-4, -3, 10), С (-1, -1, 7).
2.8. А (-2, 0, -5), В (2, 7, -3), С (1, 10, -1).
2.9. А (1, 9, -4), В (5, 7, 1), С (3, 5, 0).
2.10. А (-7, 0, 3), В (1, -5, -4), С (2, -3, 0).
2.11. А (0, -3, 5), В (-7, 2, 6), С (-3, 2, 4).
2.12. А (5, -1, 2), В (2, -4, 3), С (4, -1, 3).
2.13. А (-3, 7, 2), В (3, 5, 1), С (4, 5, 3).
2.14. А (0, -2, 8), В (4, 3, 2), С (1, 4, 3).
2.15. А (1, -1, 5), В (0, 7, 8), С (-1, 3, 8).
2.16. А (-10, 0, 9), В (12, 4, 11), С (8, 5, 15).
2.17. А (3, -3, -6), В (1, 9, -5), С (6, 6, -4).
2.18. А (2, 1, 7), В (9, 0, 2), С (9, 2, 3).
2.19. А (-7, 1, - 4), В (8, 11, -3), С (9, 9, -1).
2.20. А (1, 0, -6), В (-7, 2, 1), С (-9, 6, 1).
2.21. А (-3, 1, 0), В (6, 3, 3), С (9, 4, -2).
2.22. А (-4, -2, 5), В (3, -3, -7), С (9, 3, -7).
13
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
2.31.
А (0, -8, 10), В (-5, 5, 7), С (-8, 0, 4).
А (1, -5, -2), В (6, -2, 1), С (2, -2, -2).
А (0, 7, -9), В (-1, 8, -11), С (-4, 3, -12).
А (-3, -1, 7), В (0, 2, -6), С (2, 3, -5).
А (5, 3, -1), В (0, 0, -3), С (5, -1, 0).
А (-1, 2, -2), В (13, 14, 1), С (14, 15, 2).
А (7, -5, 0), В (8, 3, -1), С (8, 5, 1).
А (-3, 6, 4), В (8, -3, 5), С (10, -3, 7).
А (2, 5, -3), В (7, 8, -1), С (9, 7, 4).
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Задача №3. Найти угол между плоскостями.
x – 3y + 5 = 0, 2x – y + 5z – 16 = 0.
x – 3y + z –1 = 0, x + z – 1 = 0.
4x – 5y + 3z – 1 = 0, x – 4y – z + 9 = 0.
3x – y + 2z + 15 = 0, 5x + 9y – 3z – 1 = 0.
6x + 2y – 4z + 17 = 0, 9x + 3y – 6z – 4 = 0.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
x – y 2 + z – 1 = 0, x + y 2 – z + 3 = 0.
3y – z = 0, 2y + z = 0.
6x + 3y – 2z = 0, x + 2y + 6z – 12 = 0.
x + 2y + 2z – 3 = 0, 16x + 12y – 15z – 1 = 0.
2x – y + 5z + 16 = 0, x + 2y + 3z + 8 = 0.
2x + 2y + z – 1 = 0, x + z – 1 = 0.
3x + y + z – 4 = 0, y + z + 5 = 0.
3x – 2y – 2z – 16 = 0, x + y – 3z – 7 = 0.
2x + 2y + z + 9 = 0, x – y + 3z – 1 = 0.
x + 2y + 2z – 3 = 0, 2x – y + 2z + 5 = 0.
3x + 2y – 3z – 1 = 0, x + y + z – 7 = 0.
x – 3y – 2z – 8 = 0, x + y – z + 3 = 0.
3x – 2y + 3z + 23 = 0, y + z + 5 = 0.
x + y + 3z – 7 = 0, y + z – 1 = 0.
x – 2y + 2z + 17 = 0, x – 2y – 1 = 0.
x + 2y – 1 = 0, x + y + 6 = 0.
2x – z + 5 = 0, 2x + 3y – 7 = 0.
5x + 3y + z – 18 = 0, 2y + z – 9 = 0.
4x + 3z – 2 = 0, x + 2y + 2z + 5 = 0.
x + 4y – z + 1 = 0, 2x + y + 4z – 3 = 0.
2y + z – 9 = 0, x – y + 2z – 1 = 0.
2x – 6y + 14z – 1 = 0, 5x – 15y + 35z – 3 = 0.
x – y + 7z – 1 = 0, 2x – 2y – 5 = 0.
3x – y – 5 = 0, 2x + y – 3 = 0.
14
3.30. x + y + z 2 – 3 = 0, x – y + z 2 – 1 = 0.
3.31. x + 2y – 2z – 7 = 0, x + y – 35 = 0.
Задача №4. Найти координаты точки А, равноудаленной от
точек В и С.
4.1. А (0, 0, z), B (5, 1, 0), C (0, 2, 3).
4.2. А (0, 0, z), B (3, 3, 1), C (4, 1, 2).
4.3. А (0, 0, z), B (3, 1, 3), C (1, 4, 2).
4.4. А (0, 0, z), B (-1, -1, -6), C (2, 3, 5).
4.5. А (0, 0, z), B (-13, 4, 6), C (10, -9, 5).
4.6. А (0, 0, z), B (-5, -5, 6), C (-7, 6, 2).
4.7. А (0, 0, z), B (-18, 1, 0), C (15, -10, 2).
4.8. А (0, 0, z), B (10, 0, -2), C (9, -2, 1).
4.9. А (0, 0, z), B (-6, 7, 5), C (8, -4, 3).
4.10. А (0, 0, z), B (6, -7, 1), C (-1, 2, 5).
4.11. А (0, 0, z), B (7, 0, -15), C (2, 10, -12).
4.12. А (0, y, 0), B (3, 0, 3), C (0, 2, 4).
4.13. А (0, y, 0), B (1, 6, 4), C (5, 7, 1).
4.14. А (0, y, 0), B (-2, 8, 10), C (6, 11, -2).
4.15. А (0, y, 0), B (-2, -4, 6), C (7, 2, 5).
4.16. А (0, y, 0), B (2, 2, 4), C (0, 4, 2).
4.17. А (0, y, 0), B (0, - 4, 1), C (1, -3, 5).
4.18. А (0, y, 0), B (0, 5, -9), C (-1, 0, 5).
4.19. А (0, y, 0), B (-2, 4, -6), C (8, 5, 1).
4.20. А (0, y, 0), B (7, 3, -4), C (1, 5, 7).
4.21. А (0, y, 0), B (0, -2, 4), C (-4, 0, 4).
4.22. А (x, 0, 0), B (0, 1, 3), C (2, 0, 4).
4.23. А (x, 0, 0), B (4, 0, 5), C (5, 4, 2).
4.24. А (x, 0, 0), B (8, 1, -7), C (10, -2, 1).
4.25. А (x, 0, 0), B (3, 5, 6), C (1, 2, 3).
4.26. А (x, 0, 0), B (4, 5, -2), C (2, 3, 4).
4.27. А (x, 0, 0), B (-2, 0, 6), C (0, -2, -4).
4.28. А (x, 0, 0), B (1, 5, 9), C (3, 7, 11).
4.29. А (x, 0, 0), B (4, 6, 8), C (2, 4, 6).
4.30. А (x, 0, 0), B (1, 2, 3), C (2, 6, 10).
4.31. А (x, 0, 0), B (-2, -4, -6), C (-1, -2, -3).
5.1.
5.2.
Задача №5. Написать канонические уравнения прямой.
2x + y + z – 2 = 0, 2x – y – 3z + 6 = 0.
x – 3y + 2z + 2 = 0, x + 3y + z + 14 = 0.
15
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
5.31.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
x – 2y + z – 4 = 0, 2x + 2y – z – 8 = 0.
x + y + z – 2 = 0, x – y – 2z + 2 = 0.
2x + 3y + z + 6 = 0, x – 3y – 2z + 3 = 0.
3x + y – z – 6 = 0, 3x – y + 2z = 0.
x + 5y + 2z + 11 = 0, x – y – z – 1 = 0.
3x + 4y – 2z + 1 = 0, 2x – 4y + 3z + 4 = 0.
5x + y – 3z + 4 = 0, x – y + 2z + 2 = 0.
x – y – z – 2 = 0, x – 2y + z + 4 = 0.
4x + y – 3z + 2 = 0, 2x – y + z – 8 = 0.
3x + 3y – 2z – 1 = 0, 2x – 3y + z + 6 = 0.
6x – 7y – 4z – 2 = 0, x + 7y – z – 5 = 0.
8x – y – 3z – 1 = 0, x + y + z + 10 = 0.
6x – 5y – 4z + 8 = 0, 6x + 5y + 3z + 4 = 0.
x + 5y – z – 5 = 0, 2x – 5y + 2z + 5 = 0.
2x – 3y + z + 6 = 0, x – 3y – 2z + 3 = 0.
5x + y + 2z + 4 = 0, x – y – 3z + 2 = 0.
4x + y + z + 2 = 0, 2x – y – 3z – 8 = 0.
2x + y – 3z – 2 = 0, 2x – y + z + 6 = 0.
x + y – 2z – 2 = 0, x – y + z + 2 = 0.
x + 5y – z + 11 = 0, x – y + 2z – 1 = 0.
x – y + z – 2 = 0, x – 2y – z + 4 = 0.
6x – 7y – z – 2 = 0, x + 7y – 4z – 5 = 0.
x + 5y + 2z – 5 = 0, 2x – 5y – z + 5 = 0.
x – 3y + z + 2 = 0, x + 3y + 2z + 14 = 0.
2x + 3y – 2z + 6 = 0, x – 3y + z + 3 = 0.
3x + 4y + 3z + 1 = 0, 2x – 4y – 2z + 4 = 0.
3x + 3y + z – 1 = 0, 2x – 3y – 2z + 6 = 0.
6x – 5y + 3z + 8 = 0, 6x + 5y – 4z + 4 = 0.
2x – 3y – 2z + 6 = 0, x – 3y + z + 3 = 0.
Задача №6. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
x  2 y  3 z 1
, x + 2y + 3z – 14 = 0.


1
1
4
x 1 y  3 z 1


, x + 2y – 5z + 20 = 0.
3
4
5
x 1 y  5 z 1


, x – 3y + 7z – 24 = 0.
1
4
2
x 1 y z  3
 
, 2x – y + 4z = 0.
1
0
2
16
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
x 5 y 3 z 2
, 3x + y – 5z – 12 = 0.


1
1
0
x 1 y  2 z  3
, x + 3y – 5z + 9 = 0.


3
2
2
x 1 y  2 z 1
, x – 2y + 5z + 17 = 0.


2
1
1
x 1 y  2 z  4


, x – 2y + 4z – 19 = 0.
2
0
1
x  2 y 1 z  4
, 2x – y + 3z + 23 = 0.


1
1
1
x2 y2 z 3


, 2x – 3y – 5z – 7 = 0.
1
0
0
x 1 y 1 z  2


, 4x + 2y – z – 11 = 0.
2
1
3
x 1 y 1 z 1


, 3x – 2y – 4z – 8 = 0.
1
0
1
x  2 y 1 z  3
, x + 2y – z – 2 = 0.


1
1
2
x3 y2 z 2


, 5x – y + 4z + 3 = 0.
1
5
3
x2 y2 z4


, x + 3y + 5z – 42 = 0.
2
1
3
x 3 y 4 z 4


, 7x + y + 4z – 47 = 0.
1
5
2
x  3 y 1 z 1


, 2x + 3y + 7z – 52 = 0.
2
3
5
x  3 y 1 z  3


, 3x + 4y + 7z – 16 = 0.
2
3
2
x 5 y 2 z  4


, 2x – 5y + 4z + 24 = 0.
2
0
1
x 1 y  8 z  5


, x – 2y – 3z + 18 = 0.
8
5
12
17
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
6.29.
6.30.
6.31.
x  3 y 1 z  5
, x + 7y + 3z + 11 = 0.


1
1
0
x  5 y  3 z 1
, 3x + 7y – 5z – 11 = 0.


1
5
2
x 1 y  2 z  6


, 4x + y – 6z – 5 = 0.
7
1
1
x 3 y  2 z 8
, 5x + 9y + 4z – 25 = 0.


1
1
0
x 1 y z 1
, x + 4y + 13z – 23 = 0.
 
2
0
3
x 1 y  3 z  5


, 3x – 2y + 5z – 3 = 0.
6
1
3
x  2 y 1 z  3


, 3x – y + 4z = 0.
4
3
2
x 1 y  2 z  3


, x + 2y – 5z + 16 = 0.
2
5
2
x 1 y  3 z  2


, 3x – 7y – 2z + 7 = 0.
1
0
2
x3 y2 z 5


, 5x + 7y + 9z – 32 = 0.
0
3
11
x  7 y  3 z 1


, 2x + y + 7z – 3 = 0.
3
1
2
Задача №7. Найти точку М', симметричную точке М
относительно прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для
вариантов 16-31).
x  1 y  1,5 z
7.1. М (0, -3, -2),

 .
1
1
1
x  4,5 y  3 z  2
7.2. М (2, -1, 1),
.


1
 0,5
1
x  2 y  1,5 z  1


7.3. М (1, 1, 1),
.
1
2
1
x  0,5 y  1,5 z  1,5


7.4. М (1, 2, 3),
.
0
1
1
18
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
7.27.
7.28.
x  3,5 y  1,5 z

 .
2
2
0
x  2 y  1,5 z  0,5
М (2, 1, 0),
.


0
1
1
x  0,5 y  1,5 z  0,5


М (-2, -3, 0),
.
1
0
1
y  1,5 z  2
x
М (-1, 0, -1),
.


1
0
1
y
x  1,5
z2
М (0, 2, 1),
.


2
1
1
x  6 y  3,5 z  0,5


М (3, -3, -1),
.
5
4
0
x  1 y  1,5 z  3


М (3, 3, 3),
.
1
0
1
x  0,5 y  0,7 z  2
М (-1, 2, 0),
.


1
 0,2
2
x  1 y  0,5 z  1,5


М (2, -2, -3),
.
1
0
0
x  0,5 y  1 z  4


М (-1, 0, 1),
.
0
0
2
x  0,5 y  1,5 z  1,5


М (0, -3, -2),
.
0
1
1
М (1, 0, 1), 4x + 6y + 4z – 25 = 0.
М (-1, 0, -1), 2x + 6y – 2z + 11 = 0 .
М (0, 2, 1), 2x + 4y – 3 = 0 .
М (2, 1, 0), y + z + 2 = 0 .
М (-1, 2, 0), 4x – 5y – z – 7 = 0 .
М (2, -1, 1), x – y + 2z – 2 = 0 .
М (1, 1, 1), x + 4y + 3z + 5 = 0 .
М (1, 2, 3), 2x + 10y + 10z – 1 = 0 .
М (0, -3, -2), 2x + 10y + 10z – 1 = 0 .
М (1, 0, -1), 2y + 4z – 1 = 0 .
М (3, -3, -1), 2x – 4y – 4z – 13 = 0 .
М (-2, -3, 0), x + 5y + 4 = 0 .
М (2, -2, -3), y + z + 2 = 0 .
М (1, 0, -1),
19
7.29. М (-1, 0, 1), 2x + 4y – 3 = 0 .
7.30. М (3, 3, 3), 8x + 6y + 8z – 25 = 0 .
7.31. М (-2, 0, 3), 2x – 2y + 10z + 1 = 0 .
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. –
М.: Высш. шк., 2000.
Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач:
аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.:
ТетраСистемс, 1998.
Данко П.Е., Попов А.Г., и др. Высшая математика в
упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. –
М.: Наука, 1975.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.:
Наука, 1981.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике
(типовые расчеты). – М.: Высш. шк., 1983.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.
1 часть. – М.: Рольф, 2000.
Шипачев В.С. Высшая математика – М.: Высшая школа,
2000.
Элементы
линейной
алгебры
и
аналитической
геометрии./Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., и др. – Мн.:
Выш. шк., 1986.