Пример7

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно
вектору ВС . Написать ее общее уравнение, а также, нормальное и уравнение плоскости
в отрезках. Составить уравнение плоскости Р1, проходящей через точки А, В, С. Нати угол
между плоскостями Р и Р1. Найти расстояние от точки Д до плоскости Р.
A(1;1;2), B(2;3;-1), C(2;-2;4), Д(-1;2;2)
Найдем вектор ВС ={xС-xВ;yС-yВ;zС-zВ}={0;-5;5}
Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку А(1;1;2), перпендикулярно
вектору ВС .
Р: 0*(x-1)-5*(y-1)+5*(z-2)=0;
y-1-z+2=0; y-z+1=0;
Общее уравнение плоскости Р: y-z+1=0
Вектор нормали плоскости Р: N ={0;1;-1}; его длина I N I = 2
1
1
1
Запишем нормальное уравнение плоскости Р:
y
z
 0.
2
2
2
Запишем уравнение плоскости Р в отрезках:
y  z  1  0;
y  z  1   1 .
y z
 1
1 1
Имея координаты точек А, В и С составляем уравнение плоскости Р1.
x  xA
y  yA
z  zA
x B  x A y B  y A z B  z A  0;
xC  x A yC  y A zC  z A
x 1 y 1 z  2
2  1 3  1  1  2  0;
2 1  2 1 4  2
x 1 y 1 z  2
1
2
 3  0;
1
3
2
2 3
1 3
1 2
 y  1
 z  2
 0;
3 2
1 2
1 3
-5(x-1)-5(y-1)-5(z-2)=0;
-5x+5-5y+5-5z+10=0;
-5x-5y-5z+20=0;
Р1: x+y+z-4=0.
Вектор нормали плоскости Р1: N 1={1;1;1}; его длина I N 1I = 3
Угол между плоскостями Р и Р1 найдем как угол межу их нормальными векторами N и N 1.
N * N1
0 * 1  1* 1  1* 1
0
cos  


0
2 3
2 3
N * N1
x  1


Следовательно, плоскости перпендикулярны.
Найдем расстояние от точки Д(-1;2;2) до плоскости Р: y-z+1=0.
0 *  1  1* 2  1* 2  1
1
2
d


2
2
2
Задача 7
В-10
Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать ее канонические и
параметрические уравнения. Составить уравнения прямой l1 , проходящей через точку М
параллельно прямой l и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на
прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.
x  3 y  z  8  0
;
M(2;1;1);
P: 5x-y-z+1=0.
l:
2x  y  2z  3  0
Наша прямая задана двумя плоскостями:
P1 : x+3y+z-8=0
P2 : 2x+y-2z+3=0
Запишем вектора нормалей для этих плоскостей:
N 1={1;3;1} N 2={2;1;-2}
Найдем векторное произведение этих векторов:
i j k
Q  N1  N2  1 3 1  7 i  4 j  5k ={-7;4;-5}
2 1 2


Вектор Q препендикулярен векторам N 1 и N 2, следовательно, он параллелен прямой l.
Найдем точку пересечения прямой l с координатной плоскостью XOY (z=0)
x+3y+z-8=0
x+3y-8=0
x+3y=8
x= -17/5
2x+y-2z+3=0
2x+y+3=0
2x+y=-3
y= 19/5
z=0
z=0
z=0
z=0
Записываем канонические уравнения прямой по направляющему вектору Q и
координатам точки К(-17/5;19/5;0)
17
19
x
y
5 
5  z0;
l:
7
4
5
Вводя параметр t, получаем параметрические уравнения прямой:
17

x  7t  5
17
19
x
y

19
5 
5  z  0 =t;
l: y  4t 
7
4
5
5

z


5
t


Составим уравнения прямой l1 , проходящей через точку М(2;1;1) параллельно прямой l
используя в качестве направляющего вектор Q ={-7;4;-5}
x  7t  2
x  2 y 1 z 1



l1:
;
или l1: y  4t  1
7
4
5
z  5t  1

K:
Построим плоскость Р3, проходящую через точку М(2;1;1) перпендикулярно прямой l
используя в качестве нормального вектора вектор Q ={-7;4;-5}= N3
Р3: -7(x-2)+4(y-1)-5(z-1)=0;
Р3: 7x-4y+5z-15=0;
Найдем проекцию точки М на прямую l как точку пересечения прямой l и плоскости Р3.
4

17

x
x


7
t



5
5


7
19


K : y  4t 
 y  5
5
z  5t
z  3


3
7 x  4 y  5z  15  0 t  
5

Прямая l1 перескает плоскость Р3 в точке М. Т.к. Плоскость Р3 перпендикулярна прямым l
и l1, то расстояние между ними равно длине отрезка КМ.
2
2
 17

 19 
2
d  KM   
 2  
 1  0  1  38
 5

 5

Найдем точку пересечения прямой l и плоскости Р.
23

17
x  34


x  7t  5
25
y 

y  4t  19

17
G: 

99
5
z  5t
z 
34


99
5 x  y  z  1  0 
t   170