11_modul_15_urok_6

(Класс 11, модуль XV, практикум, урок 6)
Урок 6. Комбинированные уравнения и неравенства
План урока






6.1. Уравнения с тригонометрическими функциями
6.2. Уравнения с аркфункциями
6.3. Обобщение метода интервалов
6.4. Неравенства с двумя неизвестными
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
Рассмотреть примеры задач повышенного уровня сложности, связанных с решением
уравнений, неравенств и систем, которые содержат разнообразные элементарные
функции, и, в частности, обратить внимание на некоторые общие приемы решения
задач с параметрами.
6.1. Уравнения с тригонометрическими функциями
На вступительных экзаменах часто предлагаются уравнения и неравенства,
связанные с разными функциями: степенными, показательными, логарифмическими и
тригонометрическими. Как и при решении любого другого уравнения или неравенства, в
этом случае при выполнении преобразований также нужно следить за сохранением
равносильности, разбивая задачу при необходимости на несколько случаев и добавляя
дополнительные необходимые условия для корней. Рассмотрим, например, такую задачу.
Пример 1. Решить уравнение
logsin 2 x (cos 2 x  cos 4 x)  0
Решение. Обе части уравнения определены, когда sin 2 x  0 , sin 2x  1 , cos 2x  cos 4 x  0 .
При этих условиях можно выполнить следующие преобразования, сохраняющие
равносильность:
log sin 2 x (cos 2 x  cos 4 x)  log sin 2 x 1
cos 2 x  cos 4 x  1
cos 2 x  (cos 4 x  1)  0
cos 2 x  2 cos 2 2 x  0
cos 2 x(2 cos 2 x  1)  0
Заметим, что корни всех этих уравнений удовлетворяют равенству cos 2x  cos 4x  1 , а
поэтому проверять для них условие cos 2x  cos 4 x  0 не обязательно. Рассмотрим теперь
две возможности.
I. cos 2x  0 . Для корней этого уравнения либо sin 2x  1 , либо sin 2x  1. Но при
sin 2x  1 не выполняется условие sin 2x  1 , а при sin 2x  1 не выполняется условие
sin 2 x  0 . Поэтому среди решений уравнения cos 2x  0 нет корней исходного уравнения.
II. cos 2x  12 . Тогда 2 x   3  2 k , k  Z .
Если 2 x  3  2 k , то sin 2x  23 . Поэтому sin 2 x  0 , sin 2x  1 , откуда следует, что такие
значения x удовлетворяют отмеченным необходимым условиям, а значит, являются
корнями исходного уравнения.
Если 2 x 3  2 k , то sin 2 x 23  0 . Поэтому такие значения x не являются корнями
исходного уравнения.
Ответ: x  6   k , k  Z .
Вопрос. Почему не проверялось условие cos 2x  cos 4 x  0 ?
При действиях с радикалами нужно внимательно следить за возможным
изменением областей определения функций, входящих в уравнения или неравенства.
Пример 2. Решить уравнение
(4  x 2 ) sin 2 x  1  cos 2 x 
Решение. Так как 1  cos 2 x  2sin 2 x и sin 2 x  0 , то множество x , при которых обе части
уравнения определены, состоит из тех значений, для которых 4  x 2  0 , а также из таких
значений x , для которых sin 2 x  0 .
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому в указанной области данное уравнение
равносильно уравнению
(4  x 2 )sin 2 x  2sin 2 x
или
(2  x 2 )sin 2 x  0 .
Для решения получившегося уравнения достаточно рассмотреть две возможности.
I. 2  x 2  0 , откуда x1  2 , x2   2 .
II. sin 2 x  0 , откуда sin x  0 , x3   k , k  Z .
Все найденные значения входят в указанную ранее область определения, а поэтому
являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 2 ,  2 ,  k , k  Z .
Вопрос. Равносильны ли уравнения
log g ( x ) f 2 ( x)  1 и 2log g ( x ) f ( x)  1
Это важно
Заметим, что левая часть рассмотренного в примере 2 уравнения имеет вид
f 2 ( x) g ( x) , где f ( x)  sin x , g ( x)  4  x 2 . При попытке использовать напрашивающиеся
равенства
(sin 2 x)  (4  x 2 ) 
f 2 ( x) g ( x) 
 f ( x)   g ( x)  sin x   4  x 2 
1  cos 2 x  2sin 2 x  2   sin x 
была бы допущена ошибка. В самом деле, обе части уравнения
 sin x   4  x 2  2   sin x  определены только при 2  x  2 , а область определения
частей исходного уравнения гораздо шире.
Приведенные здесь рассуждения еще раз позволяют продемонстрировать, что
необдуманные действия с радикалами в совершенно неожиданных ситуациях могут
приводить к ошибкам.
6.2. Уравнения с аркфункциями
Из равенства arcsin A  B следует равенство sin B  A . При этом из равенства
sin B  A не всегда следует равенство B  arcsin A . Например, sin 56  12 , но
arcsin 12  6  56 . Это означает, что при замене уравнения вида g ( x)  arcsin f ( x) на
уравнение f ( x)  sin g ( x) могут появляться лишние корни. Второе уравнение будет
равносильно первому при дополнительном условии  2  g ( x)  2 .
Аналогично, уравнение вида g ( x)  arccos f ( x) будет равносильно уравнению
f ( x)  cos g ( x) при дополнительном условии 0  g ( x)   . Отмеченные особенности
следует учитывать при решении соответствующих задач.
Пример 3. Решить уравнение
arcsin 10cos x108sin
2
2
x 3
 x  4 
Решение. Обе части уравнения определены при условии
10cos x  8sin 2 x  3
(1)
1 
 1
10 2
Так как  2  arcsin z  2 при любом z из указанной области допустимых значений, то для
корней данного уравнения должно выполняться неравенство
 2  x  4  2
или
 34  x  4 .
При этом условии исходное уравнение равносильно уравнению
10cos x  8sin 2 x  3

(2)
 sin( x  )
4
10 2
для корней которого нет необходимости проверять условие (1), так как значения правой
части заведомо лежат в промежутке [11] .
Решим уравнение (2):

10 cos x  8sin 2 x  3  10 3 sin( x  )
4
2
10 cos x  8sin x  3  10sin x  10 cos x
8sin 2 x  10sin x  3  0
Положив sin x  t , получим 8t 2  10t  3  0 , откуда t1   12 , t2   34 . Далее рассмотрим два
случая.
I. sin x 12 . x1 6  2 k , x2  56  2 k , k  Z (рисунок 1). Выбирая те значения x ,
которые входят в промежуток [ 34  4 ] , из серии x1 получаем единственное число x   6 ;
в серии x2 таких чисел нет.
II. sin x 34 . x3 arcsin 34  2 k , x4    arcsin 34  2 k , k  Z (рисунок 2). Из серии x3 в
промежуток [ 34  4 ] попадает единственное число ( arcsin 34 ) , а из серии x4 –
единственное число   arcsin 34  2 .
Ответ:  6 ;  arcsin 34 ; arcsin 34   .
Вопрос. Как доказать, что arcsin 34     34 
6.3. Обобщение метода интервалов
Иногда неравенство решают обобщенным методом интервалов. Этот метод
основывается на том свойстве, что если функция на некотором промежутке непрерывна и
нигде не обращается в нуль, то все значения функции на этом промежутке одного знака.
Решая вместо неравенства f ( x)  0 соответствующее уравнение f ( x)  0 , можно
разделить область определения функции f ( x) на промежутки, в каждом из которых
функция f ( x) сохраняет постоянный знак. Однако на практике проверка знаков может
оказаться совсем не простой задачей.
Пример 4. Найти решения неравенства
8x  7


 3log (8 x  7) 8   16  x log4 x   0
 2 log 4
64


Решение. Обе части неравенства определены при условиях x  0 , 8x  7  0 , 8x  7  1 ,
которые сводятся к одному условию x  0 , то есть обе части неравенства определены на
множестве (0) .
Обозначим левую часть неравенства через f ( x) и решим соответствующее уравнение
f ( x)  0 .
I. Пусть 16  x log4 x  0 . Тогда
x log 4 x  16 log 4 x log 4 x  log 4 16
log 24 x  2 log 4 x   2 
x1  4 2  x2  4 2 
Оба этих числа удовлетворяют условию x  0 .
II. Пусть теперь 2 log 4 8 x647  3log (8 x 7) 8  0 . Тогда
2
log 2 (8 x  7)  6
log 2 8
3
 0
log 2 4
log 2 (8 x  7)
log 22 (8 x  7)  6 log 2 (8 x  7)  9
 0
log 2 (8 x  7)
 log 2 (8 x  7)  3
2
log 2 (8 x  7)
 0
1
log 2 (8 x  7)  3 8 x  7  8 x3  
8
Число x3 также удовлетворяет условию x  0 .
В итоге получаем, что точки 18 , 4 2 , 4
знакопостоянства функции f ( x) . Так как
2
делят множество (0) на промежутки
8  23  22 2  4 2 
то
 2
1
 4 2
8 4
В
итоге
промежутками
знакопостоянства
являются
интервалы
(0 18 ) ,
( 18  4 2 ) ,
(4 2  4 2 ) и (4 2 ) , условно изображенные на рисунке 3.
При проверке знаков будем использовать то обстоятельство, что f ( x) есть произведение
двух множителей: 16  x log4 x и
8x  7
2 log 4
 3log (8 x  7) 8 
64
(log 2 (8 x  7)  3) 2


log 2 (8 x  7)
причем второй множитель при условии x  0 положителен, кроме x  18 . Далее проверку
знаков можно выполнить так.
I. Из интервала (0 18 ) возьмем x  161 , тогда
log 4 x  2 x log4 x  256
16  x log4 x  0
f ( x)  0
как показано на рисунке 4.
II. В интервале ( 18  4 2 ) трудно найти такое x , для которого известно значение log 4 x .
Поэтому возьмем x  18 . Тогда
3
log 4 x    xlog4 x  16 2 
2
log 4 x
16  x
 0
log 4 x
Отсюда следует, что множитель 16  x
отрицателен в некоторой окрестности точки 18 .
Значит, в этой окрестности f ( x)  0 , за исключением x  18 . Таким образом, f ( x)  0 как
на интервале (0 18 ) , что уже установлено, так и на интервале ( 18  4 2 ) .
III. Из интервала (4 2  4 2 ) возьмем x  1 . Тогда
log 4 x  0 x log4 x  1
16  x log4 x  0
f ( x)  0
IV. Из интервала (4 2 ) возьмем x  16 . При этом
log 4 x  2 xlog4 x  256
16  x log4 x  0
f ( x)  0
Выбирая те значения x , для которых f ( x)  0 , получаем ответ.
Ответ: {18}  [4 2  4 2 ] .
Вопрос. Как решить разобранную задачу, не используя обобщенный метод интервалов?
6.4. Неравенства с двумя неизвестными
При решении задач, содержащих неравенства с двумя переменными, используются
те же общие правила, которые применяются и при решении неравенств с одной
переменной.
Пример 5. На координатной плоскости задана фигура M , состоящая из всех точек ( x y ) ,
координаты которых удовлетворяют системе неравенств
 xy  y  2 x
 15
 x25
 1

 x2  y2 625 26
Изобразить эту фигуру и найти ее площадь.
Решение.
I. Сначала найдем множество решений первого из неравенств системы
 y  2 x
Неизвестные x и y должны удовлетворять условию xy  0 , которое выполняется в
четырех случаях:
а) x  0 , а y — произвольное;
б) y  0 , а x — произвольное;
в) x  0 и y  0 ;
г) x  0 и y  0 .
xy
15
Множество точек ( x y ) , удовлетворяющих условию xy  0 , изображено на рисунке 5.
Рассмотрим теперь два случая.
xy
1). Пусть y  2 x  0 или y  2 x (рисунок 6). Так как
, то в данном случае
15  0
решениями являются все точки, которые входят в область, изображенную на рисунке 7.
2). Пусть y  2 x  0 . Тогда первое неравенство системы равносильно неравенству
xy
2
61
xy  4 x 2  0 .
или y 2  15
15  ( y  2 x )
Левую часть этого неравенства можно разложить на множители, если решить
относительно y соответствующее квадратное уравнение:
61
y 2  xy  4 x 2  0
15
2
 61 
D   x   16 x 2 
 15 
2
 61
 61
  11 
  x  4 x  x  4 x    x  
 15
 15
  15 
5
12
y1  x y2  x
3
5
61
5 
12 

y 2  xy  4 x 2   y  x  y  x  
15
3 
5 

Теперь решение неравенства
 y  53 x  y  125 x   0
сводится к решению двух систем:
а)
 y  53 x  0
 12
 y  5 x  0
множество решений этой системы изображено на рисунке 8;
б)
 y  53 x  0
 12
 y  5 x  0
множество решений этой системы изображено на рисунке 9.
Выбирая из множеств на рисунках 8 и 9 те точки, координаты которых удовлетворяют
условию y  2 x  0 , приходим к множеству, изображенному на рисунке 10.
Итак, совокупность решений первого неравенства исходной системы является
объединением множеств на рисунках 7 и 10. Она приведена на рисунке 11.
II. Теперь найдем множество решений второго неравенства исходной системы
x  25
 261 
x2  y 2 625
Помня, что x 2  y 2  625  0 , рассмотрим два случая.
1). Пусть x 2  y 2  625  0 или x 2  y 2  252 (рисунок 12). Тогда
26( x  25)  x 2  y 2  625
x 2  26 x  132  y 2  252  26  25  132 
( x  13) 2  y 2  122
Этому неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри круга с центром
(13; 0) и с радиусом 12. Такой круг лежит целиком внутри окружности с центром в начале
координат и с радиусом 25 (рисунок 13). Поэтому в данном случае решений нет.
2). Пусть x 2  y 2  252 . Тогда
26( x  25)  x 2  y 2  625 или ( x  13)2  y 2  122 .
Получившееся множество изображено на рисунке 14. Оно целиком является множеством
решений второго неравенства исходной системы.
III. Множество M , о котором говорится в условии задачи, совпадает с пересечением
множеств, изображенных на рисунках 11 и 14. Чтобы найти это пересечение, выясним, как
прямая y  125 x расположена по отношению к окружности ( x  13)2  y 2  122 . Для этого
составим уравнение
2
( x  13) 2   125 x   122 .
Преобразуя, получаем
169 2
(13x  25) 2  0 .
25 x  2 13 x  25  0
Следовательно, прямая с уравнением y  125 x касается окружности ( x  13)2  y 2  122 в
25 24
точке ( 13
 13 ) , а множество M имеет вид, условно изображенный на рисунке 15.
IV. Площадь множества M найти несложно, поэтому выкладки мы опускаем.
5
12
Ответ: 625
2 (arctg 5  arctg 3 )  72 .
Проверь себя. Комбинированные уравнения и неравенства
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
На каком из указанных множеств выполняется равенство arccos(cosx)  3x ?
 
 1.   ; 
 3 3
 
 2.   ; 
 6 6

 3. 0; 
 6

 4. 0; 
 3
(Правильный вариант: 4)
На каком из указанных множеств выполняется равенство arcsin(sinx)    x ?
 
 1.   ; 
 2 2
 2. 0; 

 3
 3.  ; 
2
2 
 4.  ;2 
(Правильный вариант: 3)
Сколько корней имеет уравнение 2  x  2  x  4 ?
 1. Ни одного
 2. Один
 3. Два
 4. Три
(Правильный вариант: 1)
Сколько корней имеет уравнение sin 16  x2  0 ?
 1. Два
 2. Четыре
 3. Шесть
 4. Восемь
(Правильный вариант: 2)
Проверь себя. Комбинированные уравнения и неравенства
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа
В каких случаях указанное неравенство имеет непустое множество решений?
 1.
 2.
 3.
 4.
x 1  x
x 1  x 1
x 1  1 x
x 1  2  x
(Правильные варианты: 1, 4)
В каких случаях указанное неравенство имеет пустое множество решений?
 1. x  x  1
 2. x  x
 3. x  x  1
 4. x  x  2
(Правильные варианты: 2, 3, 4)
В каких случаях множество решений системы неравенств состоит из единственной пары
чисел x, y ?
 x 2  y 2  2;
 1. 
 x  y  2.
 x 2  y 2  2;
 2. 
 x  y  2.
 x 2  y 2  2;
 3. 
 y  x  2.
 x 2  y 2  2;
 4. 
 x  y  2.
(Правильные варианты: 1, 3, 4)
Каким из указанных систем равносильно неравенство log x ( x 2  y 2 )  0 ?
 x 2  y 2  1;
 1. 
0  x  1.
 x 2  y 2  1;
 2. 
0  x  1.
 x 2  y 2  1;
 3. 
 x  0.
 x 2  y 2  1;
 4. 
 x  0.
(Правильные варианты: 1)
Домашнее задание
1. Решить уравнение
log ctgx (3  2 cos 2 x  2 cos 4 x)  0
2. Решить уравнение
x 7sin x
arccos 53cos2
 x  4 
7 2
3. Найти все общие корни уравнений 5cos2 x  2cos x  3  0 и sin 2 x  14 cos2 x  8  0 .
4. Решить уравнение 1  2 cos 2 x 1  3cos 2 x .
5
5
5. Решить уравнение sin( x  )  cos x  cos .
2x
2x
x
x
6. Решить уравнение sin( ) : cos( )  1 .
5
6
7. Решить уравнение cos
x2
x2 1
2x
 cos
  sin
.
3
3
2
3
8. Решить неравенство log
x
3
4  log x 4
16
1
7  2  3x
9. Решить неравенство
 log0,8
 log1,25 3 .
x
3
10. Решить неравенство 2x1  3  2 x1  14 .
11. Решить неравенство log x log 2 (
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 11-6-01.CDR
Рисунок 2. 11-6-02.CDR
Рисунок 3. 11-6-03.CDR
Рисунок 4. 11-6-04.CDR
Рисунок 5. 11-6-05.CDR
Рисунок 6. 11-6-06.CDR
Рисунок 7. 11-6-07.CDR
Рисунок 8. 11-6-08.CDR
Рисунок 9. 11-6-09.CDR
Рисунок 10. 11-6-10.CDR
Рисунок 11. 11-6-11.CDR
Рисунок 12. 11-6-12.CDR
Рисунок 13. 11-6-13.CDR
Рисунок 14. 11-6-14.CDR
Рисунок 15. 11-6-15.CDR
Рисунок 16. 11-6-16.CDR
14
 5  2 x )  1 .
3