ЕН.Ф.1 Математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
Учебно-методический комплекс
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальностям
040104.65 − «Организация работы с молодежью»
ЕН.Ф.1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов
Раздел 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Автор программы: Локоть Вадим Владимирович
1.2 Рецензенты: Зотиков Сергей Васильевич, Мартынов Олег Михайлович
1.3 Пояснительная записка
Цель курса − обеспечение необходимого уровня теоретической подготовки будущего учителя
математики и воспитание математической культуры. Постоянно проводить параллели между
вузовским курсом математики и элементами математического анализа, изучаемого в школьном курсе
математики.
Студент должен
а) владеть основными понятиями теории множеств, предела, непрерывности, производной и
дифференциала, первообразной функции, определённого интеграла, теории числовых и
функциональных рядов, дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких
переменных;
б) уметь логически и доказательно рассуждать, понимать и использовать основные
математические термины;
в) владеть математическим аппаратом, необходимым при изучении других дисциплин;
г) уметь применять дифференциальное и интегральное исчисление при исследовании функции
на экстремум, построении графиков, нахождении наибольших и наименьших величин; вычислении
длины дуги, площади, объёма, координат центра масс, работы.
Учебная программа составлена в полном соответствии с требованиями государственного
стандарта высшего образования от 11.02.2005г.
1.4 Извлечение из ГОС ВПО
ДПП. Ф.01 Математический анализ − 490
Действительные числа и их свойства. Функции и их свойства. Операции над функциями, композиция
функций, обратная функция. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывность функции
в точке и на множестве. Непрерывность основных элементарных функций.
Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила дифференцирования.
Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций.
Неопределённый интеграл и основные методы интегрирования. Определённый интеграл. Формула
Ньютона-Лейбница. Понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой.
Несобственные интегралы.
Числовые ряды. Признаки сходимости. Функциональные последовательности и ряды. Свойства
равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды. Формула и ряд Тейлора.
Разложение в степенной ряд основных элементарных функций. Тригонометрические ряды Фурье.
Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и
дифференцируемость функции нескольких переменных. Исследование на экстремумы.
Неявные функции.
Двойной и тройной интегралы, их применение к вычислению геометрических величин.
Криволинейные интегралы и их приложения.
1.5 Объём дисциплины и виды учебной работы
№
Шифр и
п/п наименован
ие
специально
сти
1.
2.
040104.00 Организаци
я работы с
молодежью
(ОФО)
040104.00 Организаци
я работы с
молодежью
(ЗФО)
Курс
1
Семестр
Виды учебной работы в часах
2
Трудоёмкость
Всего
аудит
орных
Лекции
Пра
ктич
ески
е
Самост
оятельн
ая
работа
100
50
20
30
50
100
14
6
4
Вид
итогового
контроля
2 к/р, экзамен
экзамен
4
1.6 Содержание дисциплины
1.6.1 Распределение дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/
п
Очная форма обучения
Наименование раздела, темы
I
Количество часов
Всег Лек- Пр Самос
о
ции
ак тоятел
ауди
ти
ьная
т.
че работа
ск
ие
III
IV
V
VI
II
1.
Введение в анализ
Виды отображений. Числовые множества
5
9
5
3
6
10
2.
3
4
5
Числовые последовательности
Предел функции
Непрерывность функции
Элементарные функции
9
9
9
9
50
3
3
3
3
20
6
6
6
6
30
10
10
10
10
50
ИТОГО
Заочная форма обучения
№
Наименование раздела, темы
п/
п
I
II
Введение в анализ
Количество часов
Лек- Пр Самос
ции
ак тоятел
ти
ьная
че работа
ск
ие
III
IV
V
VI
Всег
о
ауди
т.
1.
Виды отображений. Числовые множества
1
2.
3
4
5
Числовые последовательности
Предел функции
Непрерывность функции
Элементарные функции
1
1
1
2
6
ИТОГО
14
15
2
2
2
2
8
15
15
15
26
86
1.6.2 Содержание разделов дисциплины
1 семестр. Введение в анализ
Виды отображений. Числовые множества
Виды отображений. Обратимое отображение. Взаимно однозначное соответствие
Композиция отображений. Декартово произведение двух множеств. Множество
рациональных и иррациональных чисел. Модуль действительного числа и его свойства.
Аксиомы множества действительных чисел. Границы и грани ограниченного множества.
Теорема существования верхней (нижней) грани ограниченного множества.
Принцип Архимеда. Изображение действительных чисел на числовой оси. Числовые промежутки
Числовые последовательности
Последовательности, способы задания. Предел последовательности. Геометрический смысл предела
Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Бесконечно малые
последовательности. Арифметические действия над пределами. Переход к пределу в неравенствах.
Бесконечно большие последовательности. Предел монотонной последовательности.
Неравенство Бернулли. Число «е». Принцип Кантора. Предельная точка множества.
Предел подпоследовательности. Теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Критерий Коши сходимости последовательности.
Предел функции
Функция, область определения, множество значений. Способы задания, классификация, график
функции. Предел функции в точке. Равносильность определений предела функции в точке по Коши и
по Гейне. Предел функции по множеству. Односторонние пределы. Бесконечный предел функции.
Предел функции на бесконечности. Арифметические действия над пределами. Свойства функций,
имеющих предел. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций.
Непрерывность функции
Определение непрерывности функции в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их
классификация. Арифметические действия над непрерывными функциями.
Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Предел и непрерывность композиции функций.
Предел и непрерывность монотонной функции. Обратная функция и её непрерывность.
Элементарные функции
Показательная функция на множестве рациональных чисел. Степень с иррациональным показателем.
Показательная функция на множестве действительных чисел. Логарифмическая функция. Степенная
функция. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
1
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
1 курс
1 семестр
Виды отображений
Числовые множества
Форма
самостоятельной
работы
Домашние задания
Коллоквиум
Самостоятельная
работа
Количес
Форма контроля
тво
самостоятельной работы
часов
Проверка домашних заданий
(12)
Индивидуальное
6
собеседование
6
Проверка и анализ
результатов
самостоятельной работы
№
п/п
2
№
п/п
3
№
п/п
4
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
1 курс
1 семестр
Предел
последовательности
Форма
самостоятельной
работы
Домашние задания
Коллоквиум
Контрольная работа
Количес
Форма контроля
тво
самостоятельной работы
часов
Проверка домашних заданий
(22)
Индивидуальное
14
собеседование
8
Проверка и анализ
результатов контрольной
работы
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
1 курс
1 семестр
Предел функции
Форма
самостоятельной
работы
Домашние задания
Коллоквиум
Контрольная работа
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
1 курс, 1 семестр
Непрерывность
функции
Элементарные функции
Форма
самостоятельной
работы
Домашние задания
Коллоквиум
Количес
Форма контроля
тво
самостоятельной работы
часов
Проверка домашних заданий
(20)
Индивидуальное
12
собеседование
8
Проверка и анализ
результатов контрольной
работы
Количес
Форма контроля
тво
самостоятельной работы
часов
Проверка домашних заданий
(18)
Индивидуальное
18
собеседование
Экзамен
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Планы проведения практических занятий
Практическое занятие № 1
Тема: Отображения множеств и их виды
Вопросы для обсуждения:
1. Определение отображения из X в Y , образ элемента, образ множества.
2. Полный прообраз элемента.
3. Отображение X в Y , из X на Y , X на Y .
4. Обратимое отображение, взаимно однозначное соответствие.
5. Обратное отображение.
6. Композиция отображений.
Литература: [9], стр. 6 – 11.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[9], Примеры 1- 11, вопросы для проверки (стр. 10).
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [9], стр. 6 – 11.
Практическая часть: [9], упражнения (стр. 11).
Практическое занятие № 2
Тема: Множество действительных чисел
Вопросы для обсуждения:
1. Определение рационального числа. Равенство рациональных чисел.
2. Представление рациональных чисел конечными десятичными или бесконечными периодическими
дробями.
3. Иррациональные числа. Иррациональность n , n  k , n, k  N .
4. Модуль действительного числа и его свойства.
5. Грани и границы числового множества.
Литература: [9], стр. 14 – 31, [12], № 1 – 11.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[9], стр. 29 - 31, [12], № 1 – 11.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [9], стр. 14 – 31.
Практическая часть: [9], стр. 29 – 31, [12], № 1 – 11.
Практическое занятие № 3
Тема: Предел последовательности
Вопросы для обсуждения:
1. Способы задания последовательности.
2. Определение предела последовательности.
3. Геометрический смысл предела последовательности.
Литература: [10], стр. 60 – 65.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 229, № 231, № 233, № 235, № 237, № 239, № 241, № 243.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 60 – 65.
Практическая часть: [12], № 230, № 232, № 234, № 236, № 238, № 240, № 242, № 244.
Практическое занятие № 4
Тема: Арифметические действия над пределами
Вопросы для обсуждения:
1. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.
Литература: [10], стр. 72 – 82.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 245, № 247, № 249, № 251, № 253, № 255, № 257. [16], № 315(а), № 316(а, в), № 317(а, в),
№ 318(а, в).
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 72 – 82.
Практическая часть: [12], № 246, № 248, № 250, № 252, № 254, № 256. [16], № 315(б), № 316(б),
№ 317(б, г), № 318(б, г).
Практическое занятие № 5
Тема: Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Вопросы для обсуждения:
1. Определение бесконечно малой последовательности.
2. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми.
Литература: [10], стр. 66 – 69.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[16], № 308(а, в), № 309(а, в), № 310(а, в), № 311(а, в), № 312(а), № 313, № 314(а).
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 66 – 69.
Практическая часть: [16], № 308(б, г), № 309(б), № 310(б, г), № 311(б, г), № 312(б), № 314(б).
Практическое занятие № 6
Тема: Предел монотонной последовательности
Вопросы для обсуждения:
1. Теорема о пределе монотонной последовательности.
n
2. Предел q .
3. Неравенство Бернулли.
4. Число «е».
Литература: [10], стр. 82 – 87.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[16], № 328(а, в, д, ж), № 259, № 261, № 263, № 265, № 269, № 271, № 273.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 82 – 87.
Практическая часть: [16], № 328(б, г, е, з), № 258, № 260, № 262, № 266, № 268, № 270.
Практическое занятие № 7
Тема: Контрольная работа
Практическое занятие № 8
Тема: Функции, область определения, множество значений
Вопросы для обсуждения:
1. Способы задания функций.
2. Классификация функций: (ограниченные, монотонные, чётные, нечётные, периодические).
3. График функции.
Литература: [10], стр. 27 – 59.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 27, № 29, № 41, № 43, № 45, № 47, № 49, № 51, № 53, № 55, № 57, № 59, № 61, № 63,
№ 65, № 67, № 69, № 71, № 73, № 75, № 77, № 79, № 103, № 105, № 107.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 27 – 59.
Практическая часть: [12], № 26, № 28, № 42, № 44, № 46, № 48, № 50, № 52, № 54, № 56, № 58,
№ 60, № 62, № 64, № 66, № 68, № 70, № 72, № 74, № 76, № 78, № 104, № 106, № 108.
Практическое занятие № 9
Тема: Предел функции в точке
Вопросы для обсуждения:
1. Равносильность определений предела функции по Коши и по Гейне.
2. Односторонние пределы.
3. Предел функции по множеству.
Литература: [10], стр. 91 – 97.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 107, № 109, № 111, № 113, № 115, № 117, № 119, № 121, № 127, № 139, № 141, № 277,
№ 279, № 281.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 91 – 97.
Практическая часть: [12], № 108, № 110, № 112, № 114, № 116, № 118, № 120, № 122, № 126,
№ 140, № 142, № 278, № 280, № 282.
Практическое занятие № 10
Тема: Бесконечный предел функции, предел функции на бесконечности
Вопросы для обсуждения:
1. Определение бесконечного предела функции в точке.
2. Предел функции на бесконечности.
Литература: [10], стр. 95 – 97.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 289, № 291, № 293, № 295, № 297, № 299, № 301, № 303, № 335, № 337, № 343, № 345,
№ 347, № 371.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 95 – 97.
Практическая часть: [12], № 288, № 290, № 292, № 294, № 296, № 298, № 300, № 302, № 336,
№ 338, № 342, № 344, № 346, № 348, № 370.
Практическое занятие № 11
Тема: Замечательные пределы
Вопросы для обсуждения:
1. Первый и второй замечательные пределы.
Литература: [10], стр. 98– 103.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 305, № 307, № 309, № 311, № 313, № 315, № 317, № 319, № 359, № 361, № 361.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 98 –103.
Практическая часть: [12], № 304, № 306, № 308, № 310, № 312, № 314, № 316, № 318,
№ 320, № 358, № 360, № 362.
Практическое занятие № 12
Тема: Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали.
Вопросы для обсуждения:
1. Геометрический смысл производной.
2. Уравнения касательной и нормали.
3. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения; производная частного.
4. Производные основных элементарных функций
Литература: [10], стр. 155 – 159.
log a x ; a x ; x  ; sin x, ctg x; cos x; tg x.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 427, № 429, № 431, № 441, № 443, № 445, № 447, № 449, № 451, № 453, № 455.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 155 –159.
Практическая часть: [12], № 428, № 430, № 432, № 440, № 442, № 444, № 446, № 448,
№ 450, № 452, № 454.
Практическое занятие № 13
Тема: Производная композиции.
Вопросы для обсуждения:
1. Производная композиции.
2. Производная обратной функции.
3. Производные обратных тригонометрических функций:
arcsin x; arccos x; arctgx; arcctgx.
4. Производная показательно степенной функции.
5. Производные высших порядков.
Литература: [10], стр. 159 – 171.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 457, № 459, № 461, № 463, № 465, № 467, № 469, № 471, № 473, № 475, № 477.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 159 –171.
Практическая часть: [12], № 456, № 458, № 460, № 462, № 464, № 466, № 468, № 470, № 472, № 474,
№ 476.
Практическое занятие № 14
Тема: Дифференциал функции
Вопросы для обсуждения:
1. Дифференциал функции: определение.
2. Применение к приближённым вычислениям.
3. Геометрический и механический смысл дифференциала.
4. Дифференциал суммы, произведения, частного.
5. Дифференциал сложной функции.
6. Инвариантная форма дифференциала первого порядка.
7. Дифференциалы высших порядков.
8. Неинвариантность формы дифференциалов высших порядков.
Литература: [10], стр. 178 – 192.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 587, № 589, № 591, № 593, № 595, № 597, № 599, № 601, № 603, № 605, № 607.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 178 –192.
Практическая часть: [12], № 586, № 588, № 590, № 592, № 594, № 596, № 598, № 600, № 602,
№ 604, № 606.
Практическое занятие № 15
Тема: Основные теоремы дифференциального исчисления
Вопросы для обсуждения:
1.Теоремы Ферма.
2. Теорема Роля.
3. Теорема Лагранжа.
4. Теорема Коши.
Литература: [10], стр. 193 – 199.
.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 691, № 693, № 695, № 697, № 699, № 703, № 707, № 729.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 193 –199.
Практическая часть: [12], № 690, № 692, № 694, № 696, № 698, № 700, № 704, № 710.
Практическое занятие № 16
Тема: Исследование функций
Вопросы для обсуждения:
1. Условия постоянства функции на промежутке.
2. Возрастание и убывание функции на промежутке.
Литература: [10], стр. 211 – 215.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 731(а,в), № 733, № 734, № 736, № 737(б,г).
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 211 –215.
Практическая часть: [12], № 730, № 731(б), № 732, № 737(а,в).
Практическое занятие № 17
Тема: Экстремум функции
Вопросы для обсуждения:
1. Понятие максимума и минимума.
2. Необходимые условия экстремума.
3. Первое достаточное условие экстремума.
4. Второе достаточное условие экстремума.
5. Нахождение наибольших и наименьших значений функции.
Литература: [10], стр. 215 – 222.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 741, № 743, № 745, № 747, № 749, № 751, № 753, № 755, № 757, № 759, № 761,
№ 763, № 765, № 769, № 771, № 773.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 215 –222.
Практическая часть: [12], № 742, № 744, № 746, № 748, № 750, № 752, № 754, № 756, № 758,
№ 760, № 762, № 764, № 770, № 772, № 774, № 776.
Практическое занятие № 18
Тема: Выпуклые функции
Вопросы для обсуждения:
1. Выпуклые функции : (необходимые условия, достаточные условия).
2. Точки перегиба.
3. Асимптоты кривой.
4. Правило Лопиталя.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 813, № 815, № 817, № 819, № 821, № 823, № 825, № 829, № 843, № 845, № 847.
Литература: [10], стр. 227 – 232.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 227 –232.
Практическая часть: [12], № 812, № 814, № 816, № 818, № 820, № 822, № 824, № 826, № 842, № 844,
№ 846.
Практическое занятие № 19
Тема: Неопределённый интеграл
Вопросы для обсуждения:
1. Задачи, приводящие к понятию неопределённого интеграла.
2. Неопределённый интеграл и первообразная.
3. Свойства неопределённого интеграла.
4. Таблица интегралов.
5. Простейшие примеры интегрирования.
Литература: [10], стр. 254 – 262.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 909, № 911, № 913, № 915, № 917, № 919, № 921, № 923, № 925, № 927, № 929, № 931,
№ 933, № 935, № 937, № 939, № 941, № 943, № 945, № 947, № 949.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 254 –262.
Практическая часть: [12], № 910, № 912, № 914, № 916, № 918, № 920, № 922, № 924, № 926, № 928,
№ 930, № 932, № 934, № 936, № 938, № 940, № 942, № 944, № 946, № 948.
Практическое занятие № 20
Тема: Методы интегрирования
Вопросы для обсуждения:
1. Замена переменной (метод подстановки).
2. Интегрирование по частям.
Литература: [10], стр. 263 – 275.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 951, № 953, № 955, № 957, № 959, № 961, № 963, № 965, № 967, № 969, № 971, № 973,
№ 975, № 977, № 979, № 981, № 983, № 985, № 987, № 989, № 991, № 993, № 995, № 997.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 263 –275.
Практическая часть: [12], № 950, № 952, № 954, № 956, № 958, № 960, № 962, № 964, № 966, № 968,
№ 970, № 972, № 974, № 976, № 978, № 980, № 982, № 984, № 986, № 988, № 990, № 992, № 994,
№ 996.
Практическое занятие № 21
Тема: Интегрирование рациональных функций.
Вопросы для обсуждения:
1. Интегрирование рациональных функций.
2. Разложение правильных дробей на простейшие.
3. Метод неопределённых коэффициентов.
Литература: [10], стр. 282 – 289.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1013, № 1015, № 1017, № 1019, № 1021, № 1023, № 1025, № 1027, № 1029, № 1031, № 1033,
№ 1035, № 1037, № 1039.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 282 –289.
Практическая часть: [12], № 1012, № 1014, № 1016, № 1018, № 1020, № 1022, № 1024, № 1026,
№ 1028, № 1030, № 1032, № 1034, № 1036, № 1038.
Практическое занятие № 22
Тема: Интегрирование тригонометрических функций
Вопросы для обсуждения:
1. Интегралы вида
 R(sin x,cos x)dx.
2. Универсальная тригонометрическая подстановка.
3. Интегралы вида
 sin mx  sin nxdx,  cos mx  cos nxdx,  sin mx  cos nxdx ,  sin
Литература: [10], стр. 276 - 277, 296 – 299.
m
x  cos n xdx ,  tg m xdx .
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1085, № 1087, № 1089, № 1091, № 1093, № 1095, № 1097, № 1099, № 1101, № 1103,
№ 1105, № 1107, № 1109, № 1111, № 1113, № 1115, № 1117, № 1119, № 1121, № 1123, № 1125.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 276 –277, 296 – 299.
Практическая часть: [12],
№ 1086, № 1088, № 1090, № 1092, № 1094, № 1096, № 1098, № 1100, № 1102, № 1104,
№ 1106, № 1108, № 1110, № 1112, № 1114, № 1116, № 1118, № 1120, № 1122, № 1124, № 1126.
Практическое занятие № 23
Тема: Интегрирование иррациональных функций
Вопросы для обсуждения:
1. Интегрирование простейших иррациональностей.
2. Подстановки Эйлера и Чебышева.
Литература: [10], стр. 289 – 296.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1051, №1053, № 1055, № 1057, № 1059, № 1061, № 1063, № 1065, № 1067, № 1069,
№ 1079, № 1081, № 1083.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 289 –296.
Практическая часть: [12], № 1050, №1052, № 1054, № 1056, № 1058, № 1060, № 1062, № 1064,
№ 1066, № 1068, № 1080, № 1082, № 1084.
Практическое занятие № 24
Тема: Определенный интеграл
Вопросы для обсуждения:
1. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Интегрирование по частям и замена переменной.
Литература: [10], стр. 320 – 334.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1183, № 1185, № 1187, № 1189, № 1191, № 1193, № 1195, № 1197, № 1199, № 1201, № 1203,
№ 1205, № 1207, № 1209, № 1221, № 1223, № 1225, № 1227.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 320 –334.
Практическая часть: [12], № 1184, № 1186, № 1188, № 1190, № 1192, № 1194, № 1196, № 1198,
№ 1200, № 1202, № 1204, № 1206, № 1208, № 1210, № 1222, № 1224, № 1226, № 1228.
Практическое занятие № 25
Тема: Длина дуги
Вопросы для обсуждения:
1. Определение спрямляемой кривой.
2. Длина дуги гладкой кривой.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1355, № 1357, № 1359, № 1361, № 1363, № 1365, № 1369.
Литература: [10], стр. 357 – 364.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 357 –364.
Практическая часть: [12], № 1356, № 1358, № 1360, № 1362, № 1364, № 1366, № 1368.
Практическое занятие № 26
Тема: Площадь плоской фигуры
Вопросы для обсуждения:
1. Определение квадрируемости плоской фигуры.
2. Критерии квадрируемости плоской фигуры.
3. Вычисление площади криволинейной трапеции.
4. Площадь криволинейного сектора.
Литература: [10], стр. 345 – 357.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1315, № 1317, № 1319, № 1321, № 1323, № 1325, № 1327, № 1329, № 1331, № 1333, № 1335,
№ 1339, № 1341, № 1343, № 1345.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 345 –357.
Практическая часть: [12], № 1314, № 1316, № 1318, № 1320, № 1322, № 1324, № 1326, № 1328,
№ 1330, № 1332, № 1334, № 1336, № 1338, № 1340, № 1342, № 1344, № 1346.
Практическое занятие № 27
Тема: Площадь поверхности вращения.
Вопросы для обсуждения:
1. Площадь поверхности вращения.
2. Теоремы Гульдина.
Литература: [10], стр. 368 – 372.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1391, № 1393, № 1395, № 1397, № 1399, № 1417, № 1419.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 368 –372.
Практическая часть: [12], № 1392, № 1394, № 1396, № 1398, № 1400, № 1418, № 1420.
Практическое занятие № 28
Тема: Объём тела
Вопросы для обсуждения:
1. Определение кубируемого тела.
2. Условия кубируемости.
3. Объём тела вращения.
4. Теоремы Гульдина.
Литература: [10], стр. 372 – 376, 380, 384.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1371, № 1373, № 1375, № 1377, № 1379, № 1381, № 1383, № 1385, № 1387, № 1389.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 372 –376, 380, 384.
Практическая часть: [12], № 1372, № 1374, № 1376, № 1378, № 1380, № 1382, № 1384, № 1386,
№ 1388, № 1390.
Практическое занятие № 29
Тема: Центр масс
Вопросы для обсуждения:
1. Центр масс плоской кривой.
2. Центр масс плоской фигуры.
3. Теоремы Гульдина.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1403, № 1405, № 1407, № 1409, № 1411, № 1413, № 1415, № 1417.
Литература: [10], стр. 377 – 385, 380, 384.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 377 –385, 380, 384.
Практическая часть: [12], 1402, № 1404, № 1406, № 1408, № 1410, № 1412, № 1414, № 1416.
Практическое занятие № 30
Тема: Несобственные интегралы 1-го рода
Вопросы для обсуждения:
1. Несобственный интеграл 1-го рода.
2. Вычисление интеграла


a
dx
.
x
3. Признаки сходимости.
4. Абсолютно сходящиеся интегралы.
Литература: [10], стр. 390 – 397.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1255, № 1257, № 1259, № 1261, № 1263, № 1265, № 1267, № 1269, № 1271.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 390 –397.
Практическая часть: [12], № 1256, № 1258, № 1260, № 1262, № 1264, № 1266, № 1268, № 1270.
Практическое занятие № 31
Тема: Несобственные интегралы 2-го рода
Вопросы для обсуждения:
1. Определение несобственного интеграла 2-го рода.
2. Вычисление несобственного интеграла 2-го рода.
Литература: [10], стр. 397 – 404.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1285, № 1287, № 1289, № 1291, № 1293, № 1295, № 1297, № 1299.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [10], стр. 397 – 404.
Практическая часть: [12], № 1286, № 1288, № 1290, № 1292, № 1294, № 1296, № 1298, № 1300.
Практическое занятие № 32
Тема: Числовые ряды
Вопросы для обсуждения:
1. Основные понятия.
2. Геометрическая прогрессия.
3. Необходимое условие сходимости ряда.
4. Критерий Коши.
5. Ряд и его остаток. Действия над рядами.
Литература: [11], стр. 162 – 168.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1445, № 1447, № 1449, № 1451, № 1453, № 1455, № 1457, № 1463, № 1465, № 1467,
№ 1483, № 1485, № 1487, № 1569.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [11], стр. 162 –168.
Практическая часть: [12], № 1446, № 1448, № 1450, № 1452, № 1454, № 1456, № 1458, № 1464,
№ 1466, № 1468, № 1484, № 1486, № 1488, № 1570.
Практическое занятие № 33
Тема: Теоремы сравнения рядов с неотрицательными членами
Вопросы для обсуждения:
1. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами.
2. Теоремы сравнения рядов с неотрицательными членами.
Литература: [11], стр. 169 – 172.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1495, № 1497, № 1503, № 1505, № 1507, № 1509, № 1511, № 1521, № 1513, № 1521.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [11], стр. 169 –172.
Практическая часть: [12], № 1498, № 1500, № 1504, № 1506, № 1508, № 1510, № 1512, № 1514,
№ 1522.
Практическое занятие № 34
Тема: Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Вопросы для обсуждения:
1. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
2. Признак Даламбера.
3. Признак Коши.
4. Интегральный признак Коши-Маклорена.
Литература: [11], стр. 172 – 179.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1491, № 1493, № 1499, № 1501, № 1503, № 1513, № 1521.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [11], стр. 172 –179.
Практическая часть: [12], № 1492, № 1494, № 1496, № 1500, № 1502, № 1504, №1514, № 1522.
Практическое занятие № 35
Тема: Знакочередующиеся ряды
Вопросы для обсуждения:
1. Знакочередующиеся ряды.
2. Теорема Лейбница.
3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Литература: [11], стр. 183 – 192.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1557, № 1559, № 1561, № 1563, № 1565, № 1567.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [11], стр. 183 –192.
Практическая часть: [12], № 1558, № 1560, № 1562, № 1564, № 1566, № 1568.
Практическое занятие № 36
Тема: Свойства рядов
Вопросы для обсуждения:
1. Переместительное и сочетательное свойства рядов.
2. Умножение числовых рядов.
Литература: [11], стр. 180 – 183.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1575, № 1577, № 1579, № 1583, № 1585, № 1587, № 1589, № 1590.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [11], стр. 180 –183.
Практическая часть: [12], № 1576, № 1578, № 1580, № 1582, № 1584, № 1586.
Практическое занятие № 37
Тема: Функциональные последовательности и ряды
Вопросы для обсуждения:
1. Функциональные последовательности и ряды.
2. Основные понятия.
3. Равномерная сходимость последовательностей и рядов.
Литература: [11], стр. 196 – 199.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1591, № 1593, № 1595, № 1597, № 1599, № 1601, № 1603.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [11], стр. 196 –199.
Практическая часть: [12], № 1592, № 1594, № 1596, № 1598, № 1600, № 1602, № 1604.
Практическое занятие № 38
Тема: Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
Вопросы для обсуждения:
1. Критерий Коши.
2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
3. Сумма, почленное интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и
рядов.
Литература: [11], стр. 200 – 205.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1607, № 1609, № 1611, № 1613, № 1615, № 1617, № 1619, № 1621, № 1623, № 1625.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [11], стр. 200 –205.
Практическая часть: [12], № 1608, № 1610, № 1612, № 1614, № 1616, № 1618, № 1620, № 1622,
№ 1624, № 1626.
Практическое занятие № 39
Тема: Формула и ряд Тейлора
Вопросы для обсуждения:
1. Формула и ряд Тейлора.
2. Условия сходимости ряда Тейлора.
3. Степенные ряды.
Литература: [11], стр. 206 – 215.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1627, № 1629, № 1631, № 1633, № 1635, № 1637, № 1639, № 1641, № 1643, № 1645, № 1647.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [11], стр. 206 –215.
Практическая часть: [12], № 1628, № 1630, № 1632, № 1634, № 1636, № 1638, № 1640, № 1642,
№ 1644, № 1646, № 1648.
Практическое занятие № 40
Тема: Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
Вопросы для обсуждения:
1. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
Литература: [11], стр. 216 – 230.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[12], № 1649, № 1651, № 1653, № 1655, № 1657, № 1659, № 1661, № 1663, № 1665, № 1667,
№ 1669, № 1671, № 1673, № 1675, № 1677.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [11], стр. 216 –230.
Практическая часть: [12], № 1650, № 1652, № 1654, № 1656, № 1658, № 1660, № 1662, № 1664,
№ 1666, № 1668, № 1670, № 1672, № 1674, № 1676, № 1678.
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины
1.8.1 Рекомендуемая литература
1. Г.М.Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. 1.
2. Г.М.Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. 2.
3. С.М.Никольский. Курс математического анализа. тт. 1,2. – М., 1990.
4. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. – М., 1979.
5. В.А.Ильи, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа. ч1 – М., 1971, ч2 – М., 1980.
6. Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа. тт 1,2,3 – М., 1989.
7. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. – М., 1989.
8. А.М.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин. Курс математического анализа. – М., 1988.
9. Н.Я.Виленкин, А.Г.Мордкович. Математический анализ. Введение в анализ. – М.: Просвещение,
1983.
10. К.А.Бохан, И.А.Егорова, К.В.Лащёнов. Курс математического анализа. т.1 – М., 1966.
11. К.А.Бохан, И.А.Егорова, К.В.Лащёнов. Курс математического анализа. т.2 – М., 1966.
12. Н.А.Давыдов, П.П.Коровкин, В.Н.Никольский. Сборник задач по математическому анализу. –
1973.
13. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. – М., 1980.
14. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М., 1981.
15. Сборник задач по математическому анализу под редакцией Н.Я.Виленкина. – М., 1973.
16. А,Г.Мордкович, А.Е.Мухин. Сборник задач по введению в анализ и дифференциальному
исчислению функций одной переменной. М.: Просвещение, 1985.
1.10 Примерные зачётные тестовые задания
Тест № 1. Предел последовательности и функции
Инструкция: Внимательно прочтите каждое задание, выберите из предложенных 4 ответов
правильный и впишите его номер в соответствующую графу таблицы
№
задания
№ ответа
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Задания:
1. Дана последовательность 2; 3 ;  4 ; 5 ;  6 ;... . Общий член a n этой последовательности имеет вид:
2 3 4 5
n

1
Ответы: 1) an  
; 2) an  ( 1)n n  1 ; 3) an  ( 1)n n ; 4) нет верного ответа.
n
n
n 1
4
2
2
2. Даны функции y1 ( x )  x  5x , y2 ( x)  12 x  3x, y3 ( x)  sin 3x. Из них чётной функцией
является функция:
Ответы: 1) y1 ( x) ; 2) y2 ( x) ; 3) нет верного ответа; 4) y3 ( x ) .
3. Даны функции y1 ( x )  x 4  5x 2 , y2 ( x)  12 x 2  3x, y3 ( x)  sin 3x. Из них нечётной функцией
является функция:
Ответы: 1) y1 ( x) ; 2) y2 ( x) ; 3) нет верного ответа; 4) y3 ( x ) .
4. Даны функции
 ( x)  1 ,
x 1
 ( x )  32 ,
x
 ( x )  x . Из них бесконечно малой функцией при
3
x  0 является функция:
Ответы: 1)  ( x ) ; 2)  ( x ) ; 3) нет верного ответа; 4)  ( x ) .
5. Даны функции  ( x )  1 ,  ( x )  32 ,  ( x )  x  3 . Из них бесконечно большой функцией
x3
5
x
при x  3 является функция:
Ответы: 1)  ( x ) ; 2)  ( x ) ; 3) нет верного ответа; 4)  ( x ) .
5
2
6) lim 2 x 3 5x 5 7 x равен:
x 
5x  6 x
Ответы: 1) 2; 2)  1 ; 3) 2 ; 4) нет верного ответа.
3
5
2
7) lim x 2  3x  2 равен:
x 1 x  2 x  3
Ответы: 1) 3; 2)  1 ; 3) нет верного ответа; 4)  2 .
4
3
2
8) lim sin 23x равен:
x 0 6 x
Ответы: 1) 3 ; 2) 1 ; 3) 1; 4) нет верного ответа.
2
2
 1  x2 
lim
9)


x   x 2 
3x2
равен:
Ответы: 1) e ; 2) e 2 ; 3) e3 ; 4) нет верного ответа.
8) Производная функции f ( x )  2cosx  5ln 2  23 x 1  (2 x  1)5 равна:
3
Ответы: 1) f '( x )  2 sin x  5  (3x  1)  23 x  2  5(2 x  1)4 ; 2) нет верного ответа;
3
6
3) f '( x )  2 sin x  (3x  1) ln 2  5(2 x  1)4 ; 4) f '( x )  2 sin x  (3x  1) ln 2  10(2 x  1) 4 .
3
3
9) Область определения функции y  ln(3  2 x  x 2 ) имеет вид:
Ответы: 1) ( 1; 3) ; 2) ( ;1)  (3; ) ; 3) нет верного ответа; 4) (0;  ) .
10)Функция y  x 4  2 возрастает на промежутке:
Ответы: 1) (0;  ) ; 2) (; 0,5) ; 3) нет верного ответа; 4) (0,5 ; ) .
11) График функции y  x 4  2 является выпуклым на промежутке:
Ответы: 1) (0;  ) ; 2) ( ; 0) ; 3) нет верного ответа; 4) (0,5 ; ) .
2
y  x  1 является прямая:
x
Ответы: 1) y  x  1 ; 2) y   x ; 3) y  x ; 4) нет верного ответа.
14) Асимптотой функции
Тест № 2. Неопределённый и определённый интегралы
Инструкция: Внимательно прочтите каждое задание, выберите из предложенных 4 ответов
правильный и впишите его номер в соответствующую графу таблицы
№ задания
№ ответа
1
2
3 4
5 6
7 8
9 10
Задания:
1) Первообразной для функции
f ( x )  x 3  2 cos 3x является функция:
4
Ответы: 1) нет верного ответа; 2) F ( x )  3x2  6 sinx ; 3) F ( x )  x  2sin 3x ;
4
4
4) F ( x )  x  2 sin 3x .
4 3
2) Интеграл
 3x 2  27
dx
равен:
Ответы: 1) 1 ln x  3  C ; 2) 1 ln x  3  C ; 3) 1 arcsinx  C ; 4)нет верного ответа.
3
3
6 x3
18 x  3
3) Интеграл

dx
5 x
равен:
2
Ответы: 1) 1 ln x  5  C ; 2) 1 arcsin x  C ; 3) arcsin x  C ; 4) нет верного ответа.
5
10 x  5
5
5
4) Интеграл
Ответы: 1)
5) Интеграл
 cos 7xdx
7sin 7x  C ; 2)  sin 7x  C ; 3) sin 7 x  C
7
 2x 
3
Ответы: 1) ( x 2  1)
6) Интеграл
равен:
3e
e
4
4) нет верного ответа.
x 2  1 dx равен:
3
1
 C ; 2) ( x 2  1)
4
4
 C ; 3) 3 ( x 2  1)
4
3
 C ;4) нет верного ответа.
ln 2 xdx равен:
Ответы: 1) e(3ln 6  ln 2  2) ; 2) 3 ln 6; 3) 1 ; 4) нет верного ответа.
7)Площадь
фигуры,
ограниченной
графиками
функций
y  x , y  x 2 , x  0, x  1
равна:
Ответы: 1) 7
8) Интеграл
13

;
2)
1  1 ; 3) нет верного ответа; 4) 1 .
3 2 24
3 2
0 2 x  cos xdx
равен:
Ответы: 1) 0 ; 2) 2; 3) 1 ; 4) нет верного ответа.
2

9) Несобственный интеграл

1
dx равен:
x5
Ответы: 1) 2; 2) 0,25; 3) –0,25; 4) нет верного ответа.
0
10) Несобственный интеграл

1
dx равен:
x
Ответы: 1)  ; 2) 2; 3) –1; 4) нет верного ответа.
1.11 Примерный перечень вопросов к экзамену
1 семестр
Введение в анализ
1. Виды отображений. Числовые множества
1. Виды отображений. Обратимое отображение
2. Взаимно однозначное соответствие
3. Композиция отображений
4. Декартово произведение двух множеств
5. Множество рациональных и иррациональных чисел
6. Модуль действительного числа и его свойства
7. Аксиомы множества действительных чисел
8. Границы и грани ограниченного множества
9. Теорема существования верхней (нижней) грани ограниченного множества.
10. Принцип Архимеда
11. Изображение действительных чисел на числовой оси. Числовые промежутки
2. Числовые последовательности
1. Последовательности, способы задания. Предел последовательности
2. Геометрический смысл предела
2. Единственность предела
3. Ограниченность сходящейся последовательности
4. Бесконечно малые последовательности
5. Арифметические действия над пределами
6. Переход к пределу в неравенствах
7. Бесконечно большие последовательности
8. Предел монотонной последовательности
9. Неравенство Бернулли. Число «е»
10. Принцип Кантора
11. Предельная точка множества
12. Предел подпоследовательности
13. Теоремы Больцано-Вейерштрасса
14. Критерий Коши сходимости последовательности
3. Предел функции
1. Функция, область определения, множество значений
2. Способы задания, классификация, график функции
3. Предел функции в точке.
4. Равносильность определений предела функции в точке по Коши и по Гейне
5. Предел функции по множеству. Односторонние пределы.
6. Бесконечный предел функции
7. Предел функции на бесконечности
8. Арифметические действия над пределами
9. Свойства функций, имеющих предел
10. Замечательные пределы
11. Сравнение бесконечно малых функций
4. Непрерывность функции
1. Определение непрерывности функции в точке
2. Односторонняя непрерывность
3. Точки разрыва и их классификация
4. Арифметические действия над непрерывными функциями
5. Свойства функций, непрерывных в точке
6. Свойства функций, непрерывных на отрезке
7. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора
8. Предел и непрерывность композиции функций
9. Предел и непрерывность монотонной функции
10. Обратная функция и её непрерывность
Раздел 2. Методические рекомендации по изучению дисциплины
для студентов заочной формы обучения
Освоение дисциплины студентами заочной формы обучения происходит в соответствии с
учебным планом и предполагает проведение лекционных занятий, семинаров, а также
самостоятельную работу студента.
Лекции являются одним из важнейших видов учебных занятий и составляют фундамент
теоретической подготовки обучаемых по данной дисциплине. Цель лекций - дать обучаемым основу
теоретических знаний по дисциплине, на базе которых в последующем вырабатываются умения и
навыки, сконцентрировать у них внимание на наиболее сложных и узловых вопросах, стимулировать
их самостоятельную активную познавательную деятельность.
Семинары проводятся по основным и наиболее сложным темам учебного курса. Цель
семинара - воспитать у обучаемых углубить и закрепить теоретические знания, полученные на
лекциях и в процессе самостоятельной работы над проблемными вопросами, формировать и
развивать у них научное мышление, умения анализировать, обобщать полученную информацию,
аргументировано излагать и отстаивать свое мнение, умение активно участвовать в творческой
дискуссии.
Практические занятия проводятся с целью выработки у обучаемых практических умений и
приобретения навыков в решении конкретных задач в различных условиях.
Подготовка к семинару и практическому занятию требует от обучаемых серьезной
предварительной работы, которая заключается в полном и глубоком усвоении содержания
рассматриваемой темы и осуществляется на основе задания (плана занятия). Задание (план занятия)
разрабатывается преподавателем и доводится до обучаемых до проведения первых занятий по теме
семинара или практического. Темы семинаров и практических занятий определяются рабочей
учебной программой дисциплины. Как правило, семинару и практическому занятию предшествуют
лекции по той же теме. Недопустимо заблаговременное распределение вопросов семинара и
практических занятий между обучающимися. Это снижает качество подготовки к нему и не
способствует развитию у студентов творческого мышления. Семинар проводится не ранее 5-6 дней
после завершения последнего занятия по теме семинара. Продолжительность семинара не менее 2
часов.
План проведения семинарского и практического занятий включает тему, перечень основных
вопросов, вопросы для обсуждения, задания для самостоятельной работы, список основной и
дополнительной литературы.
Работа над литературой состоит из трёх этапов – чтения работы, её конспектирования,
заключительного обобщения сути изучаемой работы. Поэтому для того, чтобы должным образом
сориентироваться в сути задания, сначала следует ознакомиться с соответствующим текстом
учебника – вне зависимости от того, предусмотрена ли лекция в дополнение к данному семинару или
нет. Для полноценной подготовки к практическому занятию чтения учебника недостаточно – в
учебных пособиях излагаются только принципиальные основы, в то время как в монографиях и
статьях на ту или иную тему поднимаемый вопрос рассматривается с разных ракурсов или ракурса
одного, но в любом случае достаточно подробно и глубоко. Готовясь к практическим занятиям,
следует активно пользоваться справочной литературой: энциклопедиями, словарями, альбомами схем и
др. Владение понятийным аппаратом изучаемого курса является необходимостью.
Распределение времени двухчасового семинара может быть примерно следующим:
вступительное слово - 5-8 минут; выступления по основным вопросам и их обсуждение - 45-55
минут; заслушивание доклада – 5-10 минут (если планируется); заключительное слово и подведение
итогов – 5-10 минут.
К любому выступлению студента на семинаре (практическом занятии) предъявляются
следующие требования:
- четкость, логичность, структурированность изложения материала, точность формулировок;
- самостоятельность в подборе фактического материала и аналитическое отношение к нему,
умение рассматривать примеры и факты во взаимосвязи и взаимообусловленности, отбирать
наиболее существенные из них;
- в тексте выступления должна быть прослежена связь с предшествующими изучаемыми
темами и вопросами;
- должна быть раскрыты сущность излагаемого вопроса/ проблемы;
- должно быть показано методологическое значение для научной, профессиональной и
практической деятельности.
Недопустимо дословное чтение с листа или материала из учебника.
Затем следуют вопросы к выступающему, обсуждение содержания доклада, его теоретических
и методических достоинств и недостатков, дополнения и замечания по нему; затем следует
заключительное слово докладчика и заключение преподавателя.
Контрольные работы выполняются в виде письменных ответов на вопросы, выполнения
контрольных заданий или практической проверки выполнения обучающимися упражнений или
приемов. Содержание заданий на контрольную работу (занятие) и порядок ее выполнения
устанавливаются преподавателем.
Важное значение в период обучения студентов имеют групповые и индивидуальные
консультации, проводимые преподавателем. На консультациях обучающиеся получают сведения
об источниках, в которых можно найти ответы на ту или иную теоретическую проблему, ответы о
путях преодоления затруднений, с которыми они могут встретиться при изучении сложных вопросов
дисциплины, узнают о более целесообразных способах организации самостоятельной работы по
отдельным темам. Однако консультация не должна превращаться в натаскивание и повторение
материала прослушанных лекций.
РАЗДЕЛ 3. Темы лекций
1 семестр
Введение в анализ
1. Виды отображений. Числовые множества
1. Виды отображений. Обратимое отображение. Взаимно однозначное соответствие. Композиция
отображений. Декартово произведение двух множеств.
2. Множество рациональных и иррациональных чисел. Аксиомы множества действительных чисел
3. Модуль действительного числа и его свойства. Изображение действительных чисел на числовой
оси. Числовые промежутки
4. Границы и грани ограниченного множества. Теорема существования верхней (нижней) грани
ограниченного множества. Принцип Архимеда
2. Числовые последовательности
1. Последовательности, способы задания. Предел последовательности. Геометрический смысл
предела
2. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Бесконечно малые
последовательности
3. Арифметические действия над пределами. Переход к пределу в неравенствах. Бесконечно
большие последовательности
4. Предел монотонной последовательности. Неравенство Бернулли. Число «е». Принцип Кантора
5. Предельная точка множества. Предел подпоследовательности
6. Теоремы Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности
3. Предел функции
1. Функция, область определения, множество значений. Способы задания, классификация, график
функции. Предел функции в точке.
2. Равносильность определений предела функции в точке по Коши и по Гейне. Предел функции по
множеству. Односторонние пределы.
3. Бесконечный предел функции. Предел функции на бесконечности. Арифметические действия над
пределами
4. Свойства функций, имеющих предел. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых
функций
4. Непрерывность функции
1. Определение непрерывности функции в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и
их классификация
2. Арифметические действия над непрерывными функциями. Свойства функций, непрерывных в
точке
3-4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
5. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Предел и непрерывность композиции функций
6. Предел и непрерывность монотонной функции. Обратная функция и её непрерывность
Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий)
(страницы указаны в кн. Л.Д.Кудрявцева
"Курс математического анализа" . Все тома есть в электронной библиотеке факультета )
Часть 1
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 1
688 стр. М.: "Высшая школа", 1981
Абеля неравенство 582
- преобразование 582
- признак 585
- теорема о сходимости степенного ряда 621, 624
Архимеда свойство действительных чисел 43
Архимеда спираль 511
Асимптота 236, 243
Асимптотическое равенство 146, 397
- разложение 661—664
Асимптотический ряд 657
Астроида 286, 501, 511
Безу теорема 400
Базис стандартный пространства 317
Бернулли неравенство 74
Биективное отображение (биекция) 10
Больцано—Вейерштрасса теорема 63, 297
Бонне теорема 481
Валлиса формула 478
Вейерштрасса признак равномерной сходимости 603, 609
- теорема 121, 332
Вектор-функция 248, 320, 481, 653
Верхняя (нижняя) грань множества 38, 40, 42, 60, 90
Взаимно однозначное отображение или соответствие (инъекция) 9, 78, 83
Винтовая линия 272
Гамильтона символ (набла) 365
Гёльдера неравенство 465, 565
Гейне—Бореля лемма 314
Градиент функции 362, 364
Граница множества 306
График функции 8, 92, 239, 242, 321
Гульдина теорема 510
Даламбера признак 559, 578
Дарбу интегралы (верхний и нижний) 446
- суммы 443, 444, 445
Двоичная запись чисел 81
Дедекинда принцип 19
- признак 591
Декарта лист 247
Десятичная дробь 77, 78
Десятичное приближение 77
Диаметр множества 340
Дини теорема 615
Дирихле признак 534, 583, 609
- функция 92, 326, 443
Дифференциал функции 159, 161, 165, 177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355, 362
Дифференциальный бином 426
Длина вектора 317
- кривой 268
Допустимое преобразование параметра 258
Дробь рациональная 95, 406, 410
Дуга кривой 263
Дю Буа Реймона признак 591
e (число) 62, 141, 159, 589
Евклида алгоритм 405
Евклидово пространство 317
Жордана теорема 309
Замена переменной 108, 121, 384, 474
Замыкание множества 302
Изоморфизм 30, 82, 677
Интеграл абсолютно сходящийся 530
- неопределенный 379
- несобственный 512
- определенный 440
Интегралы табличные 383
- эллиптические 437, 501
Интегральный признак к сходимости рядов 561
Интегрирование подстановкой 385
- по частям 387, 477
Интервал 34
- выпуклости вверх (вниз) 231
- сходимости ряда 634
Инъекция 9
Кантора теорема о несчетности действительных чисел 85
- - о равномерной непрерывности 336, 340
Кардиоида 287, 497
Касательная 164, 265, 361
Колебание функции на множестве 340, 341
Компакт 309, 315
Компактности свойство 63
Композиция функций 11, 94
Контур 256
Координаты полярные 286
Корень из числа 23, 130, 392
- многочлена 399, 400
Коши—Адамара формула 629
- критерий 66, 113, 530, 551, 600, 606
- признак 560, 578
- теорема о среднем 199
- форма остаточного члена формулы Тейлора 213, 638
- Шварца неравенство 289, 319
Кратность корня 400
Кривая 255, 260, 263, 307
- гладкая 266
- кусочно-гладкая 266
- ориентированная 262
- параметрически заданная 259, 262
- плоская 256, 273
- спрямляемая 268
Кривизна кривой 278
Кривизны радиус 279
- центр 283
Круг сходимости степенного ряда 622
Лагранжа теорема 196
- форма остаточного члена в формуле Тейлора 213, 638
- формула 197, 200
Лейбница признак 567
- формула 186
Лемниската 511
Линейность интеграла 454
Логарифмическая спираль 502
Ломаная 267
Лопиталя правило 201, 202, 204
Мажоранта 526
Маклорена формула 212, 216
Максимальный элемент числового множества 36
Минимальный элемент числового множества 37
Минковского неравенство 465, 565
Многочлен(полином) 95, 131, 214
Множество замкнутое 302
- линейно связное 308
- неограниченное 35—37
- несчетное 84
- ограниченное 35—37
- открытое 299
- пустое 6
- счетное 83
Множества равномощные 82
Модуль действительного числа 29
- комплексного числа 390
- непрерывности 337
Морфизм 8
Набла (символ Гамильтона) 365
Наибольшее значение функции 91
Наименьшее значение функции 91
Неопределенности 201, 204, 219, 220
Непрерывность действительных чисел 18, 30, 31, 44
Неравенство треугольника 317
Нормаль главная 281
- к кривой 281
Носитель кривой 261
- точки кривой 261
Ньютона—Лейбница формула 471, 472, 517
Область 308, 309
- выпуклая 309
- замкнутая 309
- определения функции 8, 91
Образ 10
Общий делитель 403
- - наибольший 403
Окрестность точки 34, 96, 291, 293, 301
- - проколотая 96, 323
Окружность соприкасающаяся 287
Остаток ряда 547, 593
Остроградского метод 419
Отображение 8
- взаимно однозначное (инъекция) 9
- отрезка 255
Отрезок 5, 34
Пара 8
- упорядоченная 8
Пеано аксиомы 12
- форма остаточного члена формулы Тейлора 212
Первообразная 378, 474, 482
Период 645
Площадь (мера) открытого множества 485
- поверхности вращения 505
Подпоследовательность 58, 295
Покрытие множества 311
Поле 27
Поле действительных чисел 29, 31
- комплексных чисел 395
- упорядоченное 29
Полнота действительных чисел 31
Полуинтервал 34
Полукубическая парабола 234, 285
Последовательность 12, 48, 295, 327, 396, 591, 665
- бесконечно большая 53, 553
- - малая 67—68, 397
- кратная 665
- монотонная 61
- ограниченная 59, 297, 592
- стремящаяся к бесконечности 298, 666
- сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595
- фундаментальная 65
Последовательности одного порядка 397
- эквивалентные 397
Предел вектор-функции 249
- последовательности 49, 50, 51, 53, 54, 87, 88, 295, 303
- функции 97—106, 249, 322, 323, 441
Представление кривой 257, 258, 260, 263
Признак сравнения 524, 555
- сходимости ряда, интегральный 561, 562
Принцип вложенных отрезков 43
Произведение множеств 8
- последовательностей 68
- ряда на число 548
Производная 157, 184, 186
- бесконечная 157
- вектор-функции 251
- логарифмическая 181
- обратной функции 173, 188
- параметрически заданной функции 189
- по направлению 363
- сложной функции 175, 188, 367
- функции, заданной неявно 180
- частная 341
- - смешанная 370
Промежуток 34
Прообраз 9, 10
Пространство n-мерное 289, 317
Равномерная непрерывность 334
Радиус сходимости степенного ряда 622, 632, 634
Разбиение отрезка 267, 438
Расстояние 288, 289, 306
Расширенное множество действительных чисел 33
Римана интегральная сумма 439, 445
- теорема о перестановке членов ряда 580
Ролля теорема 194
Ряд 545
- гармонический 551, 587
- знакопеременный 567
- кратный 668, 672
- Лейбница 650
- степенной 621, 624
- суммируемый 590
- сходящийся 592, 666, 672
- - абсолютно 569, 592, 669
- - равномерно 602
- Тейлора 636, 637, 640, 655
- функциональный 591
Сечение 17
Символ всеобщности 13
- существования 13
Скалярное произведение векторов 317
Скорость вращения вектор-функции 276
Соответствие (отображение) 7, 8
Степень многочлена 399
- числа 23, 133
Стирлинга формула 651
Сужение функции 10
Сумма кривых 263
- (объединение) множеств 6
- последовательностей 67
Сумма ряда 546, 666
- - частичная 547, 592, 666
- - - прямоугольная 667
- - - сферическая 667
- - - треугольная 667
- рядов 549
Суперпозиция функций 11, 94
Сюръекция 9
Тейлора многочлен 212, 214
- ряд 636, 637, 640, 655
- формула 212, 216, 218, 637, 638, 646
Точка 20
- возрастания (убывания) функции 225
- кривой 256, 261
- - кратная 256, 261
- - неособая 266
- - особая 266
- максимума(минимума) функции 222, 227
- множества внутренняя 299
- - граничная 306
- - изолированная 302
- - предельная 302
- перегиба 234
- прикосновения множества 303
- разрыва функции 118, 119
- устранимого разрыва 118
- экстремума 222
- n-мерного пространства 288
Ферма теорема 192
Френе формула 281
Френеля интегралы 543
Функции гиперболические 182, 183
- одного порядка 145
- тригонометрические 139
Функция 7, 8, 11, 89
- аналитическая 630, 635
- бесконечно большая 110
- - малая 110, 149
- векторная 248
- возрастающая (убывающая) 111, 125, 221
- выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232
- дифференцируемая 159, 163, 185, 344, 348, 372, 477
- заданная параметрически 189
- интегрируемая 439, 512
- кусочно-непрерывная 463
- кусочно-непрерывно дифференцируемая 477
- логарифмическая 137
- многозначная (однозначная) 11
- непрерывная в точке 115, 119, 131, 162, 327, 330, 398, 468, 469
- - на множестве 121, 328, 332, 469
- непрерывно дифференцируемая 185, 348, 372
- неявная 94
- обратная 126, 130
- ограниченная 90, 145
- периодическая 14, 645
- показательная 134—136, 159
- равномерно непрерывная 334, 335, 336
- - стремящаяся к нулю 349
- рациональная 95, 131, 421
- сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354
- степенная 138
- строго монотонная 125
- трансцендентная 96
- четная 14
- элементарная 332
Цепная линия 499
Циклоида 189
Числа действительные (вещественные) 15, 16, 20, 31, 78, 79, 80, 85
- иррациональные 15, 23, 86
- комплексные 15, 389, 394
- натуральные 12, 15, 43
- отрицательные 15
- рациональные 15, 23, 83
- целые 23
Число существенно комплексное 390
Шлемильха—Роша форма остаточного члена 213
Эволюта кривой 283
Эйлера подстановки 424
- постоянная 587
- формулы 644
Эквивалентность отображений отрезка 259
- функций 146, 152
Экстремум 222—229
Эллипс 501
Часть 2
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 2
584 стр. М.: "Высшая школа", 1981
База топологии 567, 568
Базис пространства 423, 446
Бета-функция 322
Вихрь (ротор) 275, 278, 290
Вложение пространства 478
Вложения теоремы 435
Гельдера условие 365—366
Гомеоморфизм 52, 71, 257
Градиент вектора 274
- функции 245, 273
Дельта-функция (\delta-функция) 512, 523, 524
Дивергенция 275, 278, 285
Диффеоморфизм 68
Дифференциал отображения 62
Зависимость системы функций 85
Изоморфное отображение 425, 439, 454, 491
Интеграл Дарбу 149
- Дирихле 353, 393
- зависящий от параметра 158, 298, 303
- криволинейный 189, 192
- Лапласа 402
- несобственный 219, 303, 327
- поверхностный 264, 265, 266, 270, 272
- повторный 158
- Пуассона 222
- Римана 131
- Фурье 391
- Эйлера первого рода (гамма-функция) 322
- - второго рода (бета-функция) 322
Контур граничный 201
- ограничивающий поверхность 287
Координаты 447
- криволинейные 184
- сферические 187, 223
- цилиндрические 187
Коэффициенты Фурье 346, 389, 483, 484
Край поверхности 233
Кривая Пеано 129
Липшица условие 366
Лист Мёбиуса 259, 260
Матрица линейного оператора 56
- Якоби 35, 65, 86
Мера Жордана 114
Метод касательных (метод Ньютона) 547, 548, 550, 553
- хорд 548
Метрика (расстояние) 411, 440
Многочлен интерполяционный 553, 555
- Тейлора 9
- тригонометрический 373
Множество измеримое по Жордану 114
- квадрируемое 115
- кубируемое 115
- ограниченное 313, 437
- плотное в пространстве 415, 444, 468
Множители Лагранжа 96
Мультиндекс 11
Неравенство Бесселя 379, 485
- Коши-Буняковского 450
- - Шварца 448
- Минковского обобщенное 167
Норма 59, 426, 430, 431, 433
Носитель поверхности 237
- функции 349
Область односвязная 211, 294
Оператор 55, 519
- Лапласа 82, 218
- линейный 433, 436
- непрерывный 519, 520
- ограниченный 432, 433, 447
Ориентация границы 198, 202
- контура 198
- края поверхности 262
- поверхности 254, 261
Ортогональность 343, 471
Отображение 45
- дифференцируемое 61, 68
- линейное 55
- локально гомеоморфное 71
- непрерывное 45, 46, 52, 519—520
- обратное 52
- равномерно непрерывное 49
- регулярное 238
Отождествление 415, 416, 439, 454, 579
Плоскость касательная 242
Площадь (мера) поверхности 251
Поверхность 233, 236
- гладкая 246
- дифференцируемая 234, 239
- заданная неявно 240
- кусочно-гладкая 258, 263
- неориентируемая (односторонняя) 261
- ориентированная 255, 262
- ориентируемая (двусторонняя) 259, 261, 263
Подпространство 412, 422
- натянутое на векторы 103
Поле векторное 273
- - потенциальное 276, 294, 297
- - соленоидальное 291, 297
- скалярное 273
Полиномы Лежандра 473, 480, 490
Полунорма 426, 449
Пополнение пространства 419, 456, 467
Последовательность асимптотическая 335
- дельта-образная 516, 525
- сходящаяся 413, 436, 437, 516, 521, 530
- фундаментальная 411, 440
Последовательности эквивалентные 416
Потенциал 273, 342
Поток векторного поля через поверхность 277, 278, 297
Предел отображения по фильтру 574
- последовательности точек 413, 516
- фильтра 573, 575
Преобразование Фурье 398, 399, 401, 406, 410, 509, 533—542
Приближение наилучшее 484
Продолжение функции 13, 347
- функционала 519
Произведение полускалярное 447, 498
- скалярное 447
Производная отображения 62
Пространство банахово 481
- гильбертово 455, 496
- линейное 421
- метрическое 411
- нормированное 426
- обобщенных функции 524, 531
- полунормированное 426
- сопряженное 519
- со сходимостью 517
- топологическое 567
Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497, 498
Ряд асимптотический 335
Ряд Стирлинга 340
- Тейлора 19, 544
- тригонометрический 343, 346
- Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377, 381, 385—388, 484
Свертка функций 406, 407
Система замкнутая 490
- ортогональная 471
- полная 376, 444, 445, 478
Сумма Дарбу 141
- интегральная Римана 131, 195
- Фейера 368
- Фурье 352, 355
Точка особая 72, 345
- поверхности 233, 237
- - внутренняя 237
- - краевая 237
- - самопересечения 80, 233, 237
Узлы 553, 559
Фильтр 569, 570
Финитная функция 349, 350, 502
Формула Грина 199, 202, 203, 218
- квадратурная 556, 558
- обращения 398
- Остроградского—Гаусса 283, 284, 285
- прямоугольников 556
- Симпсона 558
- Сохоцкого 526
- Стирлинга 334
- Стокса 287, 289
- Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546
- трапеций 556, 557
Функции координатные 45, 54
Функционал 57, 515, 517
Функция абсолютно интегрируемая 328
- гармоническая 92
- интегрируемая 132, 219
- Лагранжа 96
- локально интегрируемая 522
- обобщенная 522, 525, 526, 527, 528, 529
- характеристическая 349
- Хевисайда 514, 528
Циркуляция 276, 278, 287
Числа Бернулли 340
Член остаточный интерполяции 555
- - формулы Тейлора 4, 7
Эквивалентности отношение 414, 459, 565
Экстремум 20, 93
Ядро Дирихле 353
- отображения 424
- Фейера 368
Якобиан (определитель Якоби) 35, 67
Часть 3
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа, т. 3
352 стр. М.: "Высшая школа", 1989
Абсолютно интегрируемая функция 8
- сходящийся интеграл 8
Аксиомы расстояния 96
- Фреше 275
Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144
Арцела Ч. 134
База топологии пространства 331, 332
- фильтра 335
Базис пространства 140, 167
Банах С. 111, 163
Банахово пространство 163
Бесконечномерное линейное пространство 147
Бессель Ф. 51
Билинейное отображение 147, 148
Буняковский В.Я. 192
Вандермонд А.Т. 316
Вектор 139
Вес 322
Вложение пространств 227
Вольтерра В. 113
Вполне ограниченное множество метрического пространства 121
Гато Р. 183
Гёльдер О. Л. 36, 38
Гильберт Д. 98, 201
Гильбертов кирпич 123
Гильбертово пространство 97, 98, 201
Главное значение интеграла 79, 80
Гомеоморфизм 132
Грам И. 221
периодическая, абсолютно, интегрируемая, функция, 2\pi, 19
Действительное линейное пространство 137, 138
Дельта-последовательность 41, 284, 285
Дельта-функция 269, 282, 283
Диаметр подмножества 105
Дичи У. 24
Дирихле Л. 17
Дирак П. 269, 274
Дифференциал Гато 184
- отображения 180
- Фреше 180
Дифференцируемое в точке отображение 180
- - - по заданному направлению отображение 183
Единичная функция 287
Естественное вложение 215
- отображение 209
\varepsilon-окрестность 100
\varepsilon-сеть 121
Замкнутая ортогональная система 239
Изометричное соответствие 99
Изометричные пространства 99
Изоморфизм 146, 159, 179
Изоморфное отображение 146, 159, 179
Изоморфные линейные пространства 146, 159, 179, 200
Интеграл Дирихле 17
- Фурье 69
- - в комплексной форме 81
Интегральное уравнение Вольтерра 113, 114
Интегралы Лапласа 86
Интервал в линейном нормированном пространстве 183
Интерполяционный многочлен 316
- - Лагранжа 317
Квадратурная формула 318, 322
- - точная для многочленов данной степени 322
Класс эквивалентности 205, 206
Компакт в метрическом пространстве 120, 121
Комплексное линейное пространство 138
Конечное покрытие 127
Конечномерное линейное пространство 140
Константа вложения 227
Континуум 133
Коши О. 101, 105, 109, 192, 243, 341
Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168
- Фурье 9, 231, 233
Критерий линейной независимости элементов 221
Кронекер Л. 140
Кусочно-непрерывная производная 55
Лагранж Ж.-Л. 317
Лежандр А.М. 143
Лаплас П. 86
Лебег А. 23, 154
Лейбниц Г. 31
Лемма Л.Шварца 185, 186
Линейная комбинация элементов пространства 139
- оболочка множества 140
Линейно зависимая система векторов 139
- независимая система векторов 139
Линейное отображение 145
- пространство 192
- - с почти скалярным произведением 192
- - со скалярным произведением 192
- - - сходимостью 275
Линейность дифференциала 182
- квадратурной формулы 322
- преобразования Фурье 83
Линейный оператор 145
- функционал 255, 276
Липшиц Р. 37
Локальная база топологии пространства 332
Локально интегрируемая функция 281
Метод "вилки" 309
- касательных (метод Ньютона) 312, 315
- хорд 310, 312
Метрика 96
- порожденная заданной нормой пространства 161
Метрическое пространство 96
Минимальное свойство коэффициентов Фурье 232
Многочлены Лежандра 143
- Чебышева 143, 144
Мультилинейное отображение 148
Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233
Направление 334
Натуральный фильтр 333
Неподвижная точка отображения 111
Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111
- - пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279
Непрерывный функционал 276
Неравенство Бесселя 51, 234
- Коши-Буняковского 192, 194
- Коши-Шварца 243
- треугольника 149, 192
n-мерное пространство 140
n-мерный вектор 140
Норма 149
- билинейного отображения 176
- порожденная скалярным произведением 193
Нормированное линейное пространство 149
Носитель функции 12
Нулевой функционал 277
- элемент 138
Ньютон И. 312
Обобщенная функция 281
- - медленного роста 291
Образ фильтра 337
Обратное преобразование Фурье 82
Обращение в нуль обобщенной функции на интервале 285
Ограниченное билинейное отображение 176
- множество 105, 158
- по полунорме (по норме) множество 158
Ограниченный оператор 171
Окрестность точки топологического пространства 331
Определитель Вандермонда 316
- Грама 221
Ортогонализация 225
Ортогональная проекция элемента в подпространство 251
- система элементов 6, 220
Ортогональное дополнение множества 250
Ортогональные элементы 220
Ортонормированная система элементов 220
Остаточный член интерполяции 317
Открытое подмножество топологического пространства 331
Отношение эквивалентности 205, 329
Отрезок в линейном нормированном пространстве 183
Парсеваль М. 52, 236
Периодическое продолжение функции 10
Пикир Ш.Э. 111
Планшерелъ М. 265
Плотное множество в пространстве 116, 165
Подпространство 98, 139, 249
Подфильтр 334
Покрытие множества 127
Полная система функций в смысле равномерного приближения 47
- - - - - среднего квадратичного приближения 48
- - элементов пространства 165, 166, 226, 227, 237
Полное линейное нормированное пространство 163
- метрическое пространство 102
Полный фильтр 335
Положительная определенность скалярного произведения 191
- полуопределенность почти скалярного произведения 191
Полунорма 148, 149
- порожденная почти скалярным произведением 193
Полунормированное линейное пространство 148, 149
Пополнение пространства 116, 120, 164, 202, 285
Последовательность Коши 101, 105, 106
Постоянная обобщенная функция 282
Почти скалярное произведение 191, 192
Правильное разбиение 8
Предгильбертово пространство 201
Предел отображения 107
- - по направлению 339
- - - фильтру 338, 340
- последовательности точек метрического пространства 100
- фильтра 337
Предкомпактное множество 134
Преобразование Фурье 81, 82, 266
- - обобщенной функции 297
Признак Дини 24, 26
Принцип неподвижной точки Пикара-Банаха 111, 113
- локализации 21
- сжимающих отображений 111, 113
Продолжение функционала 278
Произведение линейных пространств 147, 174
- фильтров 336
- элемента линейного пространства на число 138
Производная Гато 183
- n-го порядка 187, 188
- обобщенной функции 286
- по направлению 183
- Фреше 182
Простая гармоника 27
Пространство обобщенных функций 283
- - - медленного роста 291
- основных функций D 280
- - - S 289, 290
- со сходимостью см, также, указатель, основных, обозначений, 275
Противоположные элементы 138
Прямая сумма подпространств 145
Равенство обобщенных функций 285
- Парсеваля 52
- Парсеваля-Стеклова 236
Равномерно непрерывное отображение 108
- ограниченное семейство функций 134
- сходящаяся последовательность отображений 109
Равностепенно непрерывное семейство функций 134
Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 65, 66
- элемента пространства по базису 167
Разность элементов линейного пространства 138
Расстояние 96
- порожденное заданным скалярным произведением 193
Регулярная точка 23
Риман Б. 11, 154
Ряд в линейном нормированном пространстве 166
- Лейбница 31
- обобщенных функций 289
- Фурье 9, 62, 233
- - в комплексной форме 64
- - для нечетной функции 28, 63
- - - четной функции 27, 28, 63
Свертка функций 90
Связное метрическое пространство 133
Сепарабельное пространство 127, 166
Сжимающее отображение 111
Сильный дифференциал 184
Символ Кронекера 140, 141
Симметричная билинейная форма 188
Симпсон Т. 319
Скалярное произведение 191, 192
Слабая производная 184
Слабый дифференциал 184
Соболев С.Л. 274
Сопряженное пространство 256, 278
Сохоцкий Ю.В. 285
Среднее квадратичное отклонение 48
Стеклов В.А. 236
Ступенчатая функция 259
Сумма ряда 65, 167, 198
- Фейера 39
- Фурье 9, 16
- элементов линейного пространства 138
Сходящаяся по полунорме (по норме) последовательность элементов пространства 156
- последовательность отображений 108
- - точек метрического пространства 99
- - функционалов 277
- - функций 280, 290
Сходимость в смысле p-среднего 157
- - - среднего квадратичного 157
Сходящийся интеграл 8
- ряд 65, 166, 198, 289
Счетное покрытие 127
Теорема Арцела 134, 137
- о замкнутых и полных системах 239, 240
- - композиции непрерывных отображений метрических пространств 110
- - конечных приращениях отображений линейных нормированных пространств 186, 187
- - линейных функционалах гильбертовых пространств 256, 258
- - неподвижной точке сжимающих отображении 111, 113
- - пополнении линейного нормированного пространства 164, 165
- - - - пространства со скалярным произведением 201, 202
- - - метрического пространства 116, 120
- - - пространства CL_ 2, 216, 217
- - порядке приближения интегралов с помощью квадратурных формул 324, 326
- - последовательности Коши подмножеств полного метрического пространства 106, 107
- - почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье 54
- - - интегрировании тригонометрического ряда Фурье 58, 60
- - пределе отображения по фильтру 341, 343
- - - фильтра 338
- - представлении функции интегралом Фурье 75, 78
- - преобразовании Фурье в пространстве S 293, 295
- - - - - - S' 299
- - разложении множества на подмножества, состоящие из эквивалентных элементов 329, 330
- - - пространства в прямую сумму его ортогональных подпространств 254, 255
- - существовании ортонормированных базисов 240
- - сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке 37, 38
- об изоморфизме гильбертовых пространств 240, 242, 243
- - ортогонализации 224, 225
- - эквивалентности нормированных конечномерных линейных пространств 151, 153
- Римана о коэффициентах ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции 11, 15, 16
- Фейера 42, 44
Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и
алгебраическими многочленами 45, 46, 48
- о единственности рядов Фурье 238, 248
- - компактах в метрическом пространстве 126, 127, 131, 133
- - линейных ограниченных операторах 172, 175
- - минимальном свойстве коэффициентов Фурье 50, 52, 230, 232
- - непрерывных отображениях метрических пространств 132, 133
- - полноте тригонометрических и алгебраических многочленов в пространствах непрерывных
функций 48, 50
- - преобразованиях Фурье абсолютно интегрируемых функций 86, 89, 93, 94
- - производных отображений в линейных нормированных пространствах 182, 183
- - равномерно сходящихся тригонометрических рядах Фурье 7, 8, 56, 58, 249
- - сходимости рядов Фурье 52, 53, 235, 238, 245
- об ограниченных билинейных отображениях 176, 177, 179, 180
- - ортогональных проекциях 251, 254
- Планшереля 265, 268
Топология пространства 331
Точка пространства 96, 139
T-периодическая функция 9, 10
Треугольная матрица 142
Тригонометрическая система функций 6
Тригонометрический многочлен 44
- ряд 6
- - Фурье 9
Узел 322
- интерполяции 316
Упорядоченное множество 334
Условие Гёльдера 36
- Липшица 37
Фейер Л. 39, 41
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач
1) Найти область определения функций:
а) y 
x  lg(2 x  3) ; б) y  log3 sin x  4  x 2 ; в) y  arccos

Решение. а) D( f ) найдём из системы неравенств 
x0
2 x  3  0
2x
.
1  x2
, откуда x 
3
,
2
3
2


 sin x  0
2 n  x    2 n
б) Имеем систему 
.
Решая
её,
получим
, откуда на

2
| x | 2
4  x  0

числовой оси находим решение неравенств 0  x  2 .
или D( f )   ;   .
2

2
0
2
x

Таким образом, D( f )  (0;2]
2x
 1 , откуда
2
1 x
2x
 1 . Так как
2
1 x
2 x  1  x 2
2
2
2
.
1  x  0 при любых x  , то (1  x )  2 x  1  x или 
2
2
x

1

x

2
(1  x)  0
После преобразований получим систему 
. Так как оба неравенства
2
(1

x
)

0

справедливы при любых x  , то D( f )  (; ) .
в)
D( f ) найдём из неравенства
1 
2) Найти области значения функций:
а) f ( x)  x 2  4 x  5 ; б) f ( x)  3 ; в) f ( x)  5  3sin x .
x2
f ( x)  x2  4 x  5  ( x2  2  2 x  22 )  1  ( x  2)2  1, а
( x  2)2  0 , то f ( x)  1 при любых x  D( f ) . Так как функция ( x  2)2
принимает все значения от 0 до  , то E( f )  [1; ) .
2
б) Так как x [0; ) , то множество значений данной функции совпадает с
множеством значений функции 3x при x  0 . Отсюда имеем E( f )  [1; ) .
в) Так как E (sin x)  [1; 1], откуда E(3sin x)  [3;3] . Тогда данная функция
имеет E ( f )  [2;8] .
Решение.
а)
Так как
3) Выяснить чётность (нечётность) функций:
2x  1
2
2
а) f ( x)  x  ctg x ; б) f ( x)  x  x
; в) f ( x)  ( x  1)  sin x .
2 1
Решение. а) D( f ) найдём из условия: sin x  0 , получим x   k , k  . Так как
D( f ) - симметричное множество и f ( x)   x  ctg 3 ( x) 
  x  ctg 3 x  ( x  ctg 3 x)   f ( x) , то данная функция – нечётная.
x
x
б) D( f ) найдём из условия: 2  1  0 , получим 2  1 или x  0 . Так как D( f )
1
1  2x
x
симметричное
множество
и
аналогично
2 1  x 1  x ,
2
2
(1  2 x )  2 x
1  2x
1
1  2x
x
f ( x)   x 
 x 
  f ( x) 2  1  x  1  x , то
(1  2 x )  2 x
1  2x
2
2
3
данная функция – чётная.
D( f )  (; ) - симметричный промежуток и
f ( x)  ( x  1)2 sin 2 ( x)  ( x  1)2 sin 2 x  f ( x) и f ( x)   f ( x) , то данная
в)
Легко
видеть,
что
функция – общего вида (ни чётная, ни нечётная).
4) Определить, является ли функция периодической, и найти её наименьший
положительный период, если он существует:
а) f ( x)  8cos x ; б) f ( x)  x .
f ( x)  cos x положительный наименьший
2 
 . Действительно,
период T  2 . Покажем, что для данной функции T 
8
4
 

 
cos  8  x     cos  8 x  2   cos8 x , то есть
- период функции. С другой
4
4

 
Решение. а) Известно, что для функции


стороны, если какой-нибудь T1 - период данной функции, то cos 8  x  T1   cos8x
для всех x 
период функции
. Получаем, что cos(8 x  8T1 )  cos8 x , откуда следует, что 8T1 -
cost , где t  8 x . Значит, 8T1  2 , то есть T1 

4
. Таким

- наименьший положительный период функции f ( x)  8cos x .
4
б) Так как функция f ( x)  x при x  0 возрастает, то она не может быть
образом,
периодической.
5) Путём сдвига и деформации графика функции y  sin x построить график
положительной функции y  3sin(2 x  2) .
Решение. Запишем данную функцию в виде y  3sin(2( x  1)) .
а) Построим график функции y  sin x (1) на отрезке [0;2 ] .
б) Увеличим ординаты всех точек графика (1) в 3 раза, не изменяя абсцисс (то есть
«растягиваем» его вдоль оси Oy в 3раза), получим график функции y  3sin x (2).
в) Уменьшая абсциссы точек графика в 2 раза, не изменяя ординат, 2сжимаем» его
вдоль оси Ox , получим график y  3sin 2 x (3).
г) Сдвигая влево на 1 по оси Ox все точки графика (3), получим график функции
y  3sin(2( x  1)) (4), который отличается от искомого только знаком.
д.) Отражая точки графика (4) относительно оси Ox , получим искомый график
функции y  3sin(2( x  1))  3sin(2 x  2) (5).
Рекомендация: постройте самостоятельно по указанному алгоритму.
6) Записать четыре первых члена последовательности ( xn ) , если:
а) xn 
4
; б) xn  (1) n  n  1; в) xn  n!; г) x1  4; xn  2 xn1  1.
3
n
Решение. а) Подставляя поочерёдно в формулу общего члена последовательности
41
42 16
43 64
,
n  1, n  2, n  3, n  4 , получаем x1  3  4 , x2  3   2 , x3  3 
1
2
8
3
27
4
4
x4  3  4 .
4
б) При
x1  (1)1  1  1   2 ,
n  1, 2, 3, 4 получаем соответственно:
x2  (1)2  2  1  3; x3  (1)3  3  1  2; x4  (1)4  4  1  5 .
в) Указание: Произведение вида 1  2  ...  n , где n  , обозначается n! (читается:
« n - факториал»).
Тогда x1  1!  1, x2  2!  1  2  2 , x3  3!  1  2  3  6 , x4  4!  1  2  3  4 .
x1  4 , то найдём
x2  2 x1  1  2  4  1  7 ,
x3  2 x2  1  2  7  1  13 , и x4  2 x3  1  2  13  1  25 .
г)
так
как
затем
7) Даны несколько членов последовательности: x1 ; x2 ; x3 ; x4 ;... . Запишите
предполагаемый вид их общих членов, если
1 1 1 1
;
;... .
2 6 24 120
а) 1; 1; 1; 1; 1; 1;.... ; б) 2;5;10;17;26;... ; в) 1; ; ;
Решение. а) Так как на нечётных местах записаны 1 , а на чётных 1 , то общий
n
член может иметь вид xn  (1) .
б)
Легко
видеть,
x4  42  1  17 ,
xn  n2  1 .
x3  32  1  10 ,
x1  12  1  2 ,
x2  22  1  5 ,
x5  52  1  26 , …, тогда общий член может иметь вид
что
в) Обращая внимание на пример 6 в), видим, что можно записать общий член в виде
xn 
1
1
1 1
1
1
1 1
 .
, так как x1  1  , x2   , x3   , x4 
n!
1!
6 3!
24 4!
2 2!
8) Какие из указанных последовательностей монотонны, а какие – нет; какие
ограничены, а какие – нет?
а) xn  3n  2 ; б) xn  (1)
n
1
; в) ( xn )  1; 1; 2; 2; 3; 3;... ?
2n
Решение. а) Рассмотрим xn  3n  2 и запишем следующий за ним член:
xn1  3(n  1)  2  3n  5 . Сравним xn и xn1 между собой. Для этого рассмотрим
разность xn1  xn  (3n  5)  (3n  2)  3  0 . Отсюда имеем, что xn  xn1 для
любого n  , то есть данная последовательность – возрастающая. При n  
xn  3n  2   , значит последовательность неограниченна сверху. Так как xn  0
при любом n  , то она ограничена снизу нулём.
1 1
1 1
б) Последовательность имеет вид
( xn )   ; ;  ; ; ... , значит, она не
2 4
6 8
является монотонной, так как, например, x1  x2 , …, x2 n1  x2 n , но x2  x3 , …,
x2 n  x2 n1 . Эта последовательность ограничена, так как для всех её членов
n 1
выполняется неравенство xn  (1)
 1.
2n
в) Последовательность ( xn )  1; 1; 2; 2; 3; 3;... - невозрастающая, так как при
любом n 
выполняется неравенство xn  xn1 , и неограниченна сверху, но
ограничена снизу (например, числом 1).
9)
Пользуясь определением предела последовательности, доказать равенство
2n  3 1
 . Начиная с какого
n 4n  1
2
lim
n величина
2n  3 1
не превосходит

4n  1 2
0,0001?
Решение. Согласно определению предела покажем, что для любого сколь угодно
малого положительного числа  («эпсилон») найдётся такое натуральное число n0 ,
2n  3 1

(*) . Возьмём любое
n 4n  1
2
2n  3 1
7
фиксированное число   0 . Так как
 
 0 при любом n  ,
4n  1 2 2(4n  1)
7
7
2n  3 1
7
то
или 4n  1 
 
  . Отсюда имеем 2(4n  1) 
2 

4n  1 2 2(4n  1)
7  2 
7  2
и, окончательно, n 
. За n0 можно взять целую часть числа
, то
8
8
 7  2 
есть n0 
 8  . Итак, для произвольного   0 найден номер n0 такой, что
при всех n  n0 выполняется неравенство (*). Значит, мы доказали, что данная
1
последовательность сходится к числу .
2
Найдём теперь номер члена, начиная с которого xn  a  0,0001 . Для этого
что для всех n  n0 выполняется неравенство lim
выберем
 7  2   7  0,0002 

  0,0001 , тогда n0  
  8750
 8   0,0008 
5x  1
 5.
x
x
1) Доказать, что lim
Решение. По определению предела функции на бесконечности имеем: для любого
  0 необходимо найти число M  0 такое, что для всех | x | M
5x  1
 5   . Выберем произвольное фиксирование
x
1
5x  1
5x  1  5x 1
  и, наконец,
5 
   , откуда
| x|
x
x
x
выполнялось бы неравенство
  0 , тогда
| x |
1

. Так как для произвольно взятого   0 всегда может быть найдено число
M
1
 0 такое, что для всех x таких, что
x  M , будет верно неравенство

f ( x)  5   , то это означает, что f ( x)  5 при x   .
2) Доказать, что lim(2 x  3)  5 .
x1
Решение.
Пусть
 0
задано,
тогда
(2 x  3)  5   или 2 x  2   , откуда
   0   0 
должно
x 1 

2
выполняться
неравенство
. Обозначим  

2
, тогда
f ( x)  5    x  1    , что и требовалось доказать.
3) Вычислить пределы функций:
а) lim(2 x  1) ;
x2
2 x2  x  7
г) lim 3
;
x x  8 x  1
tg 5 x
ж) lim
;
x 0 8 x
x 2  10 x  11
б) lim
;
x1
x2  1
3x5  x  1
д.) lim 2
;
x x  2 x  5
2 x 5
 x2
з.) lim 
 ;
x x  3


в) lim
3 5 x
;
1 5  x
2  x2
е) lim 2
;
x x  x  3
x
и) lim(4  x)tg
.
x 4
8
x 4
Решение. а) lim(2 x  1)  2  2  1  5 .
x2
Для нахождения последующих пределов необходимо раскрыть неопределённости типа
0 

  ;   ; 1  ;  0    :
0 
0
  , разложим числитель и
0
знаменатель дроби на множители и сократим на ( x  1) :
x 2  10 x  11  0 
( x  11)( x  1)
x  11
lim


lim

lim
 6.
  x1
x1
x2  1
( x  1)( x  1) x1 x  1
0
0
в) Для того, чтобы раскрыть неопределённость   , помножим числитель и
0
б) Для того, чтобы раскрыть неопределённость
знаменатель дроби на множители, сопряжённые числителю и знаменателю,
воспользуемся формулой разности квадратов: (a  b )(a  b )  a  b и сократим
на (4  x) :
2
(3  5  x )(1  5  x )(3  5  x )
0
    lim

x 4 1  5  x
x4 (1  5  x )(1  5  x )(3  5  x )
0
 
lim
3 5 x
 lim
(9  (5  x))(1  5  x )
(4  x)(1  5  x )
1 5  x
1
 .
x 4 3  5  x
3
  lim
(4  x)(3  5  x )

Для того, чтобы раскрыть неопределённость   , разделим числитель и знаменатель

дроби почленно на высшую степень x знаменателя, то есть на x3 , и найдём
x 4
(1  (5  x))(3  5  x )
 lim
г)
x 4
полученный предел:
7
2
1
2 x2  x  7   
0
x  x2  x2
lim 3
    lim

 0.
x x  8 x  1
   x 1  8x  x12 1

  , можно разделить почленно

2
числитель и знаменатель дроби на высшую степень x знаменателя, то есть на x :
3x3  1x  x12 
3x5  x  1
lim 2
 lim
  .
x x  2 x  5
x 1  2  5
1
x
x2
е) Так как высшая степень x в числителе и знаменателе дроби одинаковы, то для

раскрытия неопределённости   разделим числитель и знаменатель почленно на

x 2 и найдём предел:
2
1
2  x2
x2
lim 2
 lim
 1.
x x  x  3
x 1  1  3
x
x2
д) Для того, чтобы раскрыть неопределённость
ж)
Для того, чтобы раскрыть неопределённость
0
  , применим первый
0
замечательный предел и получим
tg 5x  0 
sin 5 x
5x
5
1
5
 sin 5 x

    lim
 lim 

 1  lim
 . з)

x0 8 x
8 x cos5 x 8
 0  x cos5 x  8 x x  5 x 8 x  cos5 x 

Для того, чтобы раскрыть неопределённость
  , применим второй

lim
замечательный предел и получим:
 x2
lim 

x x  3


2 x 5
 1

1 

 lim 1 

x 
x 3


x 3
1





 x  3 1 
 lim 

x
 x3 
( 1)(2 x 5)
x 3
e
lim
x 
2 x 5
2 x 5
x 3
x 3
1  1

 lim 1 

x
x 3


( 1)(2 x 5)
x 3

 e 2 .
и) Имеем неопределённость типа (0  ) . Обозначим (4  x)  t и заметим, что
x  4  t , причём, если x  4 , то t  (4  x)  0 . Тогда имеем:
t 
  t 

  0     lim t  tg     lim  t  ctg  
x 4
t 0
8
8 
 2 8  t 0 

t
t
t
t   cos
cos
8  lim 8  lim
8  1 8  8 .
 lim 8
t 0 
t 0
t
 t t 0 
 
 sin
sin
8
8
8
8
4) Выяснить, являются ли функции 1 ( x)  ln(1  x) и  2 ( x)  x при x  0
lim(4  x) tg
x
эквивалентными бесконечно малыми величинами.
Решение. Найдём пределы этих функций при x  0 .
lim1 ( x)  limln(1  x)  ln1  0 и lim 2 ( x)  lim x  0 . Таким образом,
x0
x0
x0
x0
1 ( x)
 2 ( x) - бесконечно малые величины при x  0 . Найдём предел их отношения:
1
1 ( x)
ln(1  x)
1
lim
 lim
 lim  ln(1  x)  limln(1  x) x  ln e  1.
x0  ( x)
x0
x0 x
x0
x
2
и
Так как предел отношения двух бесконечно малых величин равен единице, то они
являются эквивалентными бесконечно малыми величинами.
5) Найти пределы следующих функций, используя замену бесконечно малых
величин им эквивалентными:
3
sin10 x
1 x
(1  x)10  1
ln(1  x)arctg 7 x
lim
.
а) lim
; б) lim
; в) lim
;
г)
4x
x0 arcsin 3 x
x

0
x0
x

0
1

cos
x
sin 4 x
sin 5 x  (e  1)
sin10 x
10 x 10
(1  x)10  1
10 x 5
 lim
 ; б) lim
Решение. а) lim
 lim
 ;
x0 arcsin 3 x
x0 3 x
x0
x0 4 x
3
sin 4 x
2
1
x
3
1 x
ln(1  x)arctg 7 x
x  7x
7
3
 lim 2   .
в) lim
 lim
 ; г) lim
x

0
x 0 x
x0 sin 5 x  (e 4 x  1)
x0 5 x  4 x
1

cos
x
20
2
6) Доказать, пользуясь определением непрерывности
y  4 x2  5x  2 непрерывна в каждой точке x0  .
Решение. Пусть x - приращение функции в точке
приращение функции в этой точке:
функции, что функция
x0 . Найдём соответствующее
y  f ( x0  x)  f ( x0 )  4( x0  x) 2  5( x0  x)  2  (4 x02  5 x0  2) 
 8 x0  x  4(x)2  5x.
Применяя теоремы о пределе суммы, разности и произведения функций, получим:
lim(8x0  x  4(x)2  5x)  8x0 lim x  4 lim(x) 2  5 lim x  0 .
x0
x0
x0
x0
Итак, если приращение аргумента x в точке x0 стремится к нулю: x  0 , то
соответствующее приращение функции в этой точке тоже стремится к нулю: y  0 .
Это означает, что исследуемая функция непрерывна в точке x0 . Так как точка x0 произвольная точка, то данная функция непрерывна в любой точке промежутка
(; ) .
7) Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеют следующие функции:
 x 2 при x  1
 x 2  1 при x  0
1
а) f ( x)  
; б) f ( x)   x
; в) f ( x) 
.
x

2
3

x
при
x

1
e
при
x

0


Решение. а) Так как функции y  x
и y  3  x непрерывны в указанных
промежутках, то точка разрыва функции
f ( x) может быть только «на стыке
промежутков», то есть в точке x  1 . Найдём в этой точке левый и правый пределы:
A  lim f ( x)  lim x 2  1 и A  lim f ( x)  lim (3  x)  2 . Так как A  A ,
2
x10
x10
x00
x00
2
x10
x10
то функция имеет в точке x  1 разрыв I рода (рис. 1).
2
x
б) Функции y  x  1 и y  e не имеют точек разрыва на промежутке (; ) .
x  0 , находя в ней односторонние пределы:
Исследуем точку «стыка»

2
A  lim f ( x)  lim ( x  1)  1 и A  lim f ( x)  lim e x  1 . Кроме того,
x00
найдём f (0)  0  1  1. Так как
функция непрерывна (рис.2).
в) Функция f ( x) 

x00

A  A  f (0)  1, то в точке x  0 данная
1
непрерывна при всех x  , кроме x  2 . Исследуем
x2
поведение функции в этой точке, находя в ней односторонние пределы:
1
 
x20 x  2
A  lim
и
1
  . Так как левый и правый
x2 0 x  2
A  lim
пределы функции в точке x  2 бесконечны, то функция имеет в этой точке разрыв
II рода (рис. 3).
y
y
y
2
1
1
0
x
3
0
рис. 1
x
-2
рис.2.
0
x
рис.3.
1. Пользуясь определением, найти производную функции y  3x  2
а) произвольной точке x ; б) в точке x0  1,5 .
2
Решение.
1) Дадим аргументу x приращение x и найдём наращённое значение функции:
y  3( x  x)2  2 .
2) Найдём приращение функции в произвольной точке x :
y  f ( x  x)  f ( x)   3( x  x) 2  2   3x 2  2   6 x  x  (x) 2 .
3) Найдём отношение приращение функции к приращению аргумента:
y 6 x  x   x 

 6 x  x .
x
x
2
4) Найдём предел полученного отношения при x  0 . получим:
y
 lim  6 x  x   6 x .
x0 x
x0
2
Итак, производная функции y  3x  2 в произвольной точке x равна
y '  6 x , а в точке x  1,5 y '(1,5)  6  (1,5)  9 .
y '( x)  lim
2) Пользуясь общими правилами дифференцирования, найти производные
следующих функций:
3
2
2
а) f ( x)  3x  4 x  2 x  1, f '(0)  ?, f '(1)  ? ;
б) y  x  cos3x ;


в) y  ln  tg
Решение.
а)
2
x
;
3
г) y  e
4 x2
x
sin ;
2
д) y  x
x
;
 x  b  cos t
.
y

a

sin
t

е) 
f '( x)   3x3  4 x 2  2 x  1 '  3  ( x 3 )' 4  ( x 2 )' 2  ( x)' (1)' 
 3  3x2  4  2 x  2 1  0  9 x2  8x  2 ; Подставляя x  0 и x  1, получим
f '(0)  9  0  8  0  2  2 и f '(1)  9  (1)2  8  (1)  2  1.
2
2
2
2
б) y '   x  cos3 x  '  ( x)' cos3 x  x   cos3 x  '  x  cos3 x 
 x  ( sin3x2 )  (3x2 )'  cos3x2  6 x2 sin3x2 .
x
1  2 x
  2 x 
3  2 tg x   tg x  ' 
в) y '   ln  tg
  tg  ' 
' 


3   tg 2 x 
3  sin 2 x
3  3
 
3
3
x
x
cos 2
sin
2
4
3 2
3  1  x ' 


.
 
x
x
x
2x
2 x
2 x  3
sin
cos cos
3sin  cos
3sin
3
3
3
3
3
3
2
x
x x2 
x
x e4 x
x
 4 x2
4 x2
4 x2
г) y '   e sin  '  e
' sin  e   sin  '  8 xe sin 
cos 
2
2
2
2
2

 2
2
ex 
x
x

 16 x sin  cos  .
2 
2
2
cos 2
 
 ' 
д) y '  x

2x  x
xx
x
x 1
x
x
 ln x
x 1

 ( x)' x  ln x 
x
x x (2  ln x)
 x ' 
xx
x 1

x x  ln x
2 x

.
2 x
2 x
y '  b sin t  '
b cos t
a
е) y 'x  t 

   ctg t .
x 't  a cos t  '
a sin t
b
3) На кривой y  x  5x  5 найти точку, касательная в которой параллельна
прямой y  2 x  1.
2
Решение. Уравнение касательной к кривой, заданной уравнением
y  f ( x) в точке
x0 имеет вид: y  f ( x0 )  k ( x  x0 ) , где k  f '( x0 ) . Найдём производную функции:
y '  2 x  5 . Её значение в точке x  x0 будет f '( x0 )  2 x0  5 . Так как у
параллельных прямых угловые коэффициенты равны, то k  2 , то есть 2 x0  5  2 и
7
x0  . Подставляя это значение в уравнение кривой, получаем
2
2
7
5
7 5
7
y0     5   4   . Тогда искомая точка имеет координаты M 0  ;   .
2
4
2
2 4
4) Найти приращение y и дифференциал dy функции y  x3  3x2 в точке
x  1 при x  1; x  0,1; x  0,01. Найти для каждого значения x
абсолютную

y  dy
погрешность
y  dy
100% ,
y
которые
и
относительную
допускаются
при
замене
погрешность
приращения
дифференциалом функции.
Решение. а) Найдём сначала приращение функции:
y  f  x  x   f ( x)   x  x   3 x  x   x3  3x 2  3x 2  x 
3
2
3x  (x)2  (x)3  6 x  x  3  (x)2 .
2
б) Найдём дифференциал функции: dy  f '( x)  x   3x  6 x   x .
в) Значения приращения y и дифференциала dy в точке
x  1 будут таковы:
y  9  x  6  (x)2  (x)3 , dy  9  x . причём
7
 100%  44 % ;
16
0,061
 100%  6 % ;
при x  0,1 y  0,961, dy  0,9 , y  dy  0,061,  
0,961
y  0 , 0 9, 0 6dy 0 01 , , 0 9 y  dy  0,000601,
при x  0,01
0,000601

 100%  0,65% .
0,090601
y  dy  7 ,  
при x  1 y  16 , dy  9 ,
5) Пользуясь правилом Лопиталя, найти следующие пределы:
e x  e x  2 x
x 
cos x  sin x
 1
а) lim
; б) lim 
;
в)
.
lim


 1  cos 4 x
x0
x1 ln x
x  sin x
ln x 
x

4
Решение.
e x  e x  2 x  '

e x  e x  2 x  0 
e x  e x  2  0 
а) lim
    lim
 lim
 
x0
x0
x

0
x  sin x
0
x

sin
x
'
1

cos
x


 
0
(e x  e  x  2)'
e x  e x  0 
(e x  e  x )'
e x  e x
 lim
 lim
    lim
 lim
 2;
x0
x0 sin x
x0 cos x
(1  cos x)'
 0  x0 (sin x)'
x 
1 x  0 
(1  x)'
1
 1

       lim
    lim
 lim  1.
б) lim 

x1 ln x
x1 ln x
ln x 

 0  x1 (ln x)' x1 1
x
cos x  sin x  0 
(cos x  sin x)'
 sin x  cos x


lim

lim
 .
в) lim


 1  cos 4 x


4sin 4 x
x
x
 0  x (1  cos 4 x)'
4
4
4
1  x2
6) Исследовать функцию y 
и построить её график.
1  x2
Решение.
1) Найдём область определения функции: D( f )  (; 1)  (1;1)  (1; ) , так
как x  1.
x  0 , то
2) Определим точки пересечения графика с осями координат: если
1  02
1  x2
y (0) 
 1 , то есть точка A(0;1)  графику. Если y  0 , то
 0 , но эта
2
2
1 0
1 x
дробь в нуль не обращается при любом x  D( f ) , значит, с осью Ox график не
пересекается.
3) Исследуем функцию на чётность-нечётность: D( f ) - симметричный промежуток
1  ( x) 2 1  x 2

 f ( x) , то есть данная функция – чётная, её график
и f ( x) 
1  ( x) 2 1  x 2
симметричен относительно оси Oy .
4) Исследуем функцию на периодичность: она не является периодической.
5) Найдём промежутки монотонности и точки экстремума функции:
 1  x 2  2 x  (1  x 2 )  (2 x)  (1  x 2 )
4x
. Приравняем производную
y'  
'


2 
2 2
2 2
1

x
(1

x
)
(1

x
)


4x
 0 при x  0 , то есть x  0 к нулю и найдём критические точки:
(1  x 2 ) 2
критическая точка. Заметим, что при x  1 производная не существует, но, так как
x  1 D( f ) , то точки x  1 и x  1 критическими не являются.
Если x  0 , то f '( x)  0 , если x  0 , то f '( x)  0 , значит, точка x  0 - точка
минимума функции, причём ymin  y(0)  1.
-1
0
1
Таким образом, на интервалах (; 1) и (1;0)
функция убывает, а на интервалах (0;1) и (1; ) - возрастает.
6) Найдём интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика:
 4x 
(1  x 2 )2  x  2(1  x 2 )  (2 x) 1  3x 2
.
y ''  
'  4

2 2 
2 4
2 3
(1  x )
(1  x )
 (1  x ) 
Так как y ''  0 при любом x  D( f ) , то график функции не имеет точек перегиба.
Кроме того, так как y ''  0 на интервале (1;1) , то график вогнутый, и y ''  0 на
интервалах (; 1) и (1; ) , то график – выпуклый.
7) Найдём асимптоты графика, если они существуют.
а) Сначала будем искать вертикальные асимптоты. Так как точки x  1 - точки
разрыва функции, то найдём односторонние пределы в этих точках, причём, так как
функция чётная, то достаточно найти их, например, в точке x  1 .
Так как
1  x2
lim
 
x10 1  x 2
1  x2
и lim
  , то прямая x  1 - вертикальная асимптота.
x10 1  x 2
В силу симметричности графика прямая x  1 - тоже вертикальная асимптота.
б) Наклонные асимптоты будем искать в виде y  kx  b .
1  x2
1  x2
k  lim
 0 и b  lim
Имеем:
 1. Отсюда получаем, что
x (1  x 2 )  x
x 1  x 2
прямая y  1 - невертикальная асимптота графика функции.
8) По полученным данным построим график функции:
y
1
-1
1
O
x
-1
1) Вычислить интегралы (пользуясь таблицей интегралов) и сделать проверку
дифференцированием:
а)
е)
 4x dx ;
3
du

3u
2
б)

dt
3
t
 sin v  dv ;
x2  3  x2  3

; ж)
; в)
2
x 9
4
dx
( x 4  x)dx
г)  2
; д) 
;
x  x4
x2
dx .
Решение.
x31
 C  x4  C .
а)  4 x dx  4 x dx  4 
3 1
'
4
3
3
3
Проверка:  x  C   4 x  (C )'  4 x )  4 x .
3
б)

dt
3
t2
3
 t
2

3

dt 
2
1
3
1
3
t
t

C

 C  33 t  C .
2
1
 3 1
3
'
1
2

 13 
1 3 1
1
3
Проверка: 3 t  C  3  t   (C )'  3   t
.
0t 3 
3 2
3
t
 


'

в) sin v  dv   cos v  C .
Проверка:
  cos v  C  '  (cos v)' (C)'  ( sin v)  0  sin v .
 1  x2

dx
dx
1  x2  x2
x2
г)  2


dx



  x 2 (1  x 2 ) x 2 (1  x 2 )  dx 
x  x 4  x 2 (1  x 2 )  x 2 (1  x 2 )
dx
dx
dx
x 21 1 x  1
1 1 x 1
2
  2 
  x dx  

 ln
 C    ln
C.
2
2
x
1 x
1 x
2  1 2 x  1
x 2 x 1
'
'
'
1  x 1 
1
 1 1 x 1

 C     x 1    ln
 (C )'  2 
Проверка:    ln

2 x 1 
x
 x 2 x 1

'
1  x 1 
1 x  1 ( x  1)'  ( x  1)  ( x  1)'  ( x  1) 1
2
 x1  




 0 2 
2
2
2
x

1
x
x

1
(
x

1)
x
x

1

x 1 
2
2
x 1 x
1
1
 2 2
 4

.
x ( x  1)
x  x2 x2  x4
( x 4  5 x)dx
dx x3
 2 5
2
д) 
   x   dx   x dx  5   5ln | x | C .
x2
x
x
3

Проверка.
'
 x3
 1 3
1
1
5
2
2
.

5ln
|
x
|

C

(
x
)'

5(ln
|
x
|)'

(
C
)'


3
x

5


0

x



3
x
x
 3
 3
du
du
u
е) 

 arcsin
C.
2
2
3
2
3u
3 u
 
'
u


Проверка.  arcsin
C 
3


ж)

x2  3  x2  3
x 9
4
dx  
'
1
 u 


0


2
3
3


u


1 

 3
1
x2  3  x2  3
x 3 x 3
2
2
 ln x  x  3  ln x  x  3  C  ln
2
Проверка.
2
dx  
x  x2  3
x  x 3
2
dx
x 3
2
C.
1
3u
3

2

1
3u
dx
x 3
2

2
.
 x  x2  3
 ln
C
 x  x2  3


x x
2
3 x 

'
'
 x  x2  3  x  x2  3 
 

 
 x  x2  3  x  x2  3 



x 3
2
 x 
'
 

'
x  3  x  x  3  x  x2  3
2

x  x2  3
2
x  x2  3


2






2x 
2x 
2
1


x

x

3

1

 x  x2  3




2
x  x  3  2 x2  3 
2 x2  3 




2
2
2
x x 3
x x 3


 x  x2  3 
 x  x2  3 
2
2

 x  x 3 
 x  x  3
2
2

x  3 
x  3 
x  x 2  3 




2
2
2
x x 3
x x 3





x  x2  3
x x 3
2
1

x 3
2


x 




 1
1 
x2  3 x  x2  3 


2
x2  3 
 x 3

2
2
x x 3

1
x 3
2


x2  3  x2  3
x 9
4
.
2) Вычислить интегралы (пользуясь методом подведения под знак дифференциала):

а) sin kxdx
(k  const ) ; б)
Решение.
tg x
 1  sin 2 xdx ; в)
3  ln x
 x dx .
1
1
sin
kx

d
(
kx
)


cos kx  C .

k
k
tg x
tg x
tg 2 x
б) 
dx  
dx   tg x  d  tg x  
C.
2
2
1  sin x
cos x
2
2
 3  ln x 
3  ln x
dx    3  ln x   d (3  ln x) 
C.
в) 
x
2
а) sin kxdx 
3) Вычислить интегралы (пользуясь методом замены переменной или подстановки):

3
а) sin x cos xdx ; б)
Решение.
dx
 x ln x ; в)

dx
3
 3x  1
2
.
t  sin x
t4
sin 4 x
 t dt   C 
C.
а)  sin x cos xdx 
dt  cos xdx 
4
4
t  ln x
dx
dt
б) 


dx   ln t  C  ln ln x  C .
x ln x dt 
t
x
1
t  3x  1 1 dt 1  23
dx
t 3
в) 

 
  t dt 
 C  3  3x  1  C .
3
1
2
2
3 3
3
 3x  1 dt  3dx 3 t 3
3
3
4) Вычислить интегралы (пользуясь методом интегрирования по частям):
а)
x
2
cos xdx ; б)  ln xdx ; в)  e x sin xdx .
Решение.
а)
 x cos xdx 
2
u  x 2 ; dv  cos xdx
du  2 xdx; v  sin x
 x 2  sin x  2 x sin xdx 
 x 2  sin x   sin x 2 xdx 
u  x; dv  sin xdx
du  dx; v   cos x


 x 2  sin x  2  x  cos x     cos x  dx 
 x 2 sin x  2 x cos x  2  cos xdx  x 2 sin x  2 x cos x  2sin x  C .
u  ln x; dv  dx
dx

x
ln
x

x

dx

 x  x ln x   dx 
du  ; v  x
x
 x ln x  x  C  x(ln x  1)  C .
б) ln xdx 

в) e sin xdx 

x
u  e x ; dv  sin xdx
du  e dx; v   cos x
x
u  e x ; dv  cos xdx
du  e ; v  sin x
x
 e x  cos x   e x cos xdx 
 e x cos x  e x sin x   e x sin xdx .
Переносим левую часть равенства интеграл
получим
e
x
sin xdx , приводим подобные члены и
2 e x sin xdx  e x cos x  e x sin x , откуда имеем
1 x
x
e
sin
xdx

e  sin x  cos x   C .

2
5) Вычислить интегралы от рациональных дробей:
а)

x
2
 4 x  4  dx
x( x  1) 2
(8  x)dx
; б)  2
; в)
x  4 x  13
x5  1
 x3  x2  xdx .
Решение.
x2  4x  4
а) Дробь
- правильная, так как степень числителя меньше степени
2
x( x  1)
знаменателя, поэтому разложим её на элементарные дроби.
x2  4x  4 A
B
C
A( x  1) 2  Bx( x  1)  Cx
 


.
x( x  1) 2
x x  1  x  12
x( x  1) 2
У дробей в левой и правой частях полученного равенства знаменатели равны, значит,
равны и числители. Приравнивая коэффициенты многочленов в числителях дробей.
Получаем систему 3 уравнений с тремя неизвестными:
x2  4 x  4  A( x  1)2  Bx( x  1)  Cx или
A B 1


2 A  B  C  4 , откуда

A4

A  4, B  3, C  9 . Следовательно, интеграл вычисляется так
x
2
 4 x  4  dx
4
3
9 
9



dx

4ln
|
x
|

3ln
|
x

1|

 C.
 x( x  1)2
  x x  1 ( x  1)2 
x 1
8 x
б) Дробь
- правильная, но на линейные множители не разлагается, так
x 2  4 x  13
как
дискриминант квадратного трёхчлена
x2  4 x  13 меньше нуля и
2
действительных корней нет: D  (4)  4 113  0 . Преобразуем квадратный
трёхчлен, дополняя его до полного квадрата:
x2  4 x  13  x2  2  2 x  4  9  ( x  2)2  9 , и сделаем подстановку
t  x  2, x  t  2, dt  dx
(8  x)dx
8  (t  2)
dt


dt

6
 x2  4 x  13 x2  4 x  13  t 2  9
 t2  9
 t 2  32 
tdt
6
t 1 d (t 2  9)
t 1
 2
 arctg   2
 2arctg  ln(t 2  9)  C 
t 9 3
3 2 t 9
3 2
x2 1
 2arctg
 ln x 2  4 x  13  C .
3
2
x5  1
в) Дробь
- неправильная. Так как степень числителя больше степени
x3  x 2  x
знаменателя. Поделим числитель на знаменатель «углом»:
x5  1
| x3  x 2  x
x5  x 4  x3
x2  x
 x  x 1
4
3
 x 4  x3  x 2
x5  1
x2  1
2
То есть 3
.
 x x 3
x  x2  x
x  x2  x
x2  1
Вычисляя интеграл, получим
 2
x5  1
x2  1 
x3 x 2
x2  1
 x3  x2  xdx    x  x  x3  x2  x dx  3  2   x( x 2  x  1)dx .
Разложим подынтегральную дробь на элементарные дроби:
x2  1
A
Bx  C
A( x 2  x  1)  Bx 2  Cx
 

.
x( x 2  x  1) x x 2  x  1
x( x 2  x  1)
2
2
2
Получаем, что x  1  A( x  x  1)  Bx  Cx .
Приравнивая коэффициенты многочленов в числителях дробей в левой и правой
частях равенства, имеем систему уравнений
 A B 1

 A  C  0 , то есть A  1, B  2, C  1.
 A  1

Тогда искомый интеграл будет равен
 2
x5  1
x2  1 
x3 x 2
x2  1
 x3  x2  xdx    x  x  x3  x2  x dx  3  2   x( x 2  x  1)dx
x3 x 2
x2  1
x3 x 2
  
dx    ln | x |  ln x 2  x  1  C 
2
3 2
x( x  x  1)
3 2
x3 x 2
x2  x  1
   ln
C.
3 2
x
6) Вычислить интегралы от иррациональных функций:
а)

x  3 x2  6 x

x 1 3 x

dx ; б)

x 1
dx .
x 1
Решение.
а) Под знаком интеграла стоит рациональная функция от дробных степеней
6
независимой переменной x , её можно рационализировать подстановкой x  t :

x  3 x2  6 x

x 1 x
3

dx 
x  t6, t  6 x
dx  6t 5 dt
t6  t4  t 5
t5  t3 1
 6
 6t dt  6
dt 
t (1  t 2 )
1 t2
t 3 (t 2  1)  1
1
t4
3
 6
 dt  6 t dt  6 2
 dt  6  6arctg t  C 
1 t2
t 1
4
2
3x 3

 6arctg 6 x  C .
2
б) Так как под знаком интеграла находится рациональная функция от дробной степени
ax  b
, то можно применить подстановку:
cx  d
x 1 2
x 1
t ,
t
x

1
x

1
x 1
t  4t  dt
t 2 dt

 4
 (*)
2
2
2
 x  1dx  t 2  1
2
4t  dt
 t  1  t  1
t  1

x  2 , dx  
2
t 1
 t 2  1
Разложим правильную подынтегральную дробь на элементарные дроби:
t2
 t  1 1  t 
2

2

A
B
C
D




t  1  t  12 t  1  t  12
A(t  1)(t  1)2  B(t  1) 2  C (t  1)(t  1) 2  D(t  1) 2
t
2
 1
2
.
Так как знаменатели дробей в левой и правой частях равенства совпадают, то
числители дробей равны между собой, то есть
t 2  A(t  1)(t  1)2  B(t  1)2  C(t  1)(t  1)2  D(t  1) 2 или
t 2  A(t 3  t 2  t  1)  B(t 2  2t  1)  C (t 3  t 2  t  1)  D(t 2  2t  1) .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных, получим систему
уравнений,
решая
которую,
найдём
коэффициенты
A, B, C , D .

AC  0
A  C
A  C


 A  12


 A B C  D 1


 B  2C  D  1
 B  2C  D  1
 B  14



. Под

1

A

2
B

C

2
D

0
2
B

2
D

0
B

D

0
D

4




  A  B  C  D  0

 B  2C  D  0
C   1 4
 B  2C  D  0
ставляя значения коэффициентов в разложение, получим, что подынтегральная дробь
представима в виде
t2
 t  1 1  t 
2
2

1
4
t 1

1
4
 t  1
2

1
4
t 1

1
4
 t  1
2
,
а искомый интеграл будет сведён к табличным интегралам:
(*)  4 
t 2 dt

dt
dt
dt
dt




2
2
t 1
 t  1  t  1   t  1
 t  1  t  1
1
1
  ln | t  1|   1 t  1  ln | t  1| (1)  t  1   C 
2
2
t 1
1
1
t 1 t 1  t 1
t 1
2t


 C  ln

 C  ln
 2
 C  (*)
2
t 1 t 1 t 1
t 1
t 1
t 1 t 1
x 1
Заменяя переменную t 
, окончательно получаем
x 1
x 1
x 1
1 2
x  1  C  ln x  1  x  1  x 2  1  C.
 ln x  1

x 1
x 1
x 1  x 1
1
1
x 1
x 1
 ln
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения
программы
Характер
изменений в
программе
Номер и дата протокола
заседания кафедры, на
котором было принято
данное решение
Подпись
заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесённое
изменение
Подпись декана
факультета,
утверждающего
данное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О. учёное звание и степень преподавателя Учебный Факультет
год
Шупова Г.М., ст. преподаватель
2008-2009 СГФ
Шупова Г.М., ст. преподаватель
2009-2010 СГФ
Специальность
040104.65
Организация
работы с
молодежью
(ЗФО)
040104.65
Организация
работы с
молодежью