Кэлеровы многообразия - Высшая школа экономики

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный университет – Высшая школа экономики
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ
Программа дисциплины
« Кэлеровы многообразия»
Направление: 010100.68 «Математика»
Подготовка: Магистр
Форма обучения: Очная
Автор программы доц. С.М.Львовский
Рекомендовано
секцией УМС по математике
Председатель
____________________________________
_
«___» ________________________2009 г.
Утверждена УС
факультета математики
Ученый секретарь доцент
Одобрена на заседании
кафедры алгебры
Зав. кафедрой, д. ф.-м. н., профессор
_________________________Ю.М.Бурман
«___» ________________________2008 г.
___________________А.Н. Рудаков
«___» ______________________2008 г.
Москва
2008
Рабочая программа дисциплины «Кэлеровы многообразия» [Текст]/Сост. Львовский С.М..; ГУ-ВШЭ.–Москва.–
2008.–5 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню
подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по
направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной
программы по направлению 010100 «Математика».
Составитель: доц. Львовский С.М.. (lvovski@hse.ru)
©
©
Львовский С.М., 2008.
Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.
Тематический план учебной дисциплины
2
№
1.
Всего
Самост
В том числе
часов
оятельн
аудиторных
по
Всего Лекци Семин ая
дисцип
работа
и
ары
лине
Название темы
Комплексные многообразия и кэлеровы многообразия
54
30
18
18
18
14
4
2
2
10
14
4
2
2
10
4
2
2
10
4
2
2
10
4
4
2
2
2
2
10
14
6
3
3
14
30
15
15
78
2.
Дифференциальные операторы на векторных расслоениях.
3.
4.
Гармонические формы и теория Ходжа на кэлеровых
многообразиях. Разложение Ходжа в когомологиях.
Симметрии Ходжа. Двойственность Серра для векторных 14
расслоений. Кэлеровы тождества. Трудная теорема Лефшеца
и разложение Лефшеца.
Положительные линейные расслоения.
14
5.
Теорема Кодаиры о вложении.
6.
7.
Тэта-функции.
Структуры Ходжа. Деформации кэлеровых многообразий.
20
Теорема Гриффитса о трансверсальности.
Итого:
108
14
18
3
Базовые учебники
1. Вейль А. Введение в теорию кэлеровых многообразий. Перев. с франц.–М.:Едиториал
УРСС, 2000.
2. Ф.Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии (2 тт.)–М.:Мир, 1982.
3. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. -М.: Мир, 1976
Формы контроля:
Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.
Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.
Итоговый контроль: экзамен, 3 часа (3 модуль).
Формула для вычисления итоговой оценки
20% оценки за домашние задания + 30% оценки за контрольную работу +50% оценки за
экзамен.
Содержание программы
Тема 1: Комплексные многообразия и кэлеровы многообразия
Определение комплексных и почти комплексных многообразий. Разложение
дифференциальных форм по типам. Эквивалентность различных определений интегрируемой
почти комплексной структуры. Теорема Ньюлендера-Ниренберга: определение и
доказательство для вещественно-аналитического случая. Комплексы де Рама и Дольбо.
Ацикличность комплекса Дольбо в старших степенях. Эрмитовы метрики на комплексных
расслоениях и комплексных многообразиях. Различные определения кэлеровости, их
эквивалентность. Примеры кэлеровых многообразий. Форма Фубини-Штуди.
Основная литература
1. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. -М.: Мир,
1976
Дополнительная литература
1. Ф.Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии (2 тт.)–М.:Мир, 1982
Тема 2. Дифференциальные операторы на векторных расслоениях.
Символ оператора. Эллиптические операторы и комплексы. Пространства Соболева, леммы
Соболева и Реллиха. Теоремы регулярности и конечномерности. Гармонические формы на
гладких многообразиях. Теория Ходжа на гладких многообразиях. Потоки.
4
Основная литература
1. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. -М.: Мир,
1976
Дополнительная литература
1. Ф.Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии (2 тт.)–М.:Мир, 1982
Тема 3. Гармонические формы и теория Ходжа на кэлеровых многообразиях. Разложение
Ходжа в когомологиях. Симметрии Ходжа. Двойственность Серра для векторных расслоений.
Кэлеровы тождества. Трудная теорема Лефшеца и разложение Лефшеца.
Основная литература
1. Вейль А. Введение в теорию кэлеровых многообразий. Перев. с франц.–М.:Едиториал
УРСС, 2000.
Дополнительная литература
1. Ф.Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии (2 тт.)–М.:Мир, 1982
Тема 4. Положительные линейные расслоения.
Знак кривизны. Теорема Кодаиры об обращении в нуль. Теорема Лефшеца о гиперплоском
сечении.
Основная литература
1. Ф.Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии (2 тт.)–М.:Мир, 1982
Тема 5. Теорема Кодаиры
о вложении.
Раздутие точек. Доказательство теоремы Кодаиры. Характеризвация проективных
многообразий. Условия Римана (характеризация абелевых многообразий среди комплексных
торов).
Основная литература
1. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. -М.: Мир,
1976
Дополнительная литература
1. Ф.Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии (2 тт.)–М.:Мир, 1982
Тема 6. Тэта-функции.
Поляризации абелевых многообразий – эквивалентность различных определений. Тэтафункции. Теорема Аппеля-Эмбера и явный вид вложения абелевых многообразий.
5
Основная литература
1. Вейль А. Введение в теорию кэлеровых многообразий. Перев. с франц.–М.:Едиториал
УРСС, 2000.
Дополнительная литература
1. Ф.Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии (2 тт.)–М.:Мир, 1982
Тема 7. Структуры
Ходжа.
Определение структур Ходжа. Деформации кэлеровых многообразий. Теорема Гриффитса о
трансверсальности.
Основная литература
1. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. -М.: Мир,
1976
Тематика заданий по различным формам контроля
Вариант контрольной работы
(темы 1-4).
1. Опишите какой-нибудь параметрикс для одномерного оператора d/dx^2.
2. Докажите, что детерминант универсального факторрасслоения на грассманиане
положителен.
3. Выпишите ромб Ходжа для пересечения квадрики и кубики в P^4.
Вариант экзамена
1. Опишите положительные линейные расслоения на проективной плоскости, раздутой в
одной точке.
2. Какие тэта-функции на двумерных абелевых многообразиях задают двулистное
накрытие плоскости?
3. Опишите промежуточный якобиан пересечения двух квадрик в P^5.
Автор программы
доцент
С.М.Львовский
6