3 Евклидовы и псевдоевклидовы пространства

3 Евклидовы и псевдоевклидовы пространства
Тема 8 Системы координат
Школьная геометрия изучает различные метрические свойства простейших геометрических фигур, то есть в основном находит соотношения
между длинами и углами треугольников и многоугольников, а также на базе этого вычисляются площади, поверхности и объёмы некоторых тел.
Центральными понятиями, на которых строится геометрия, являются длина отрезка или кривой, угол между двумя пересекающимися линиями.
Целью аналитической геометрии было описание геометрических фигур
при помощи уравнений в декартовой системе координат на плоскости или
в трёхмерном пространстве. Дифференциальная геометрия изучает то же,
но в ней глубоко будут использоваться как средства аналитической геометрии, так и дифференциального исчисления и линейная алгебра.
Итак, геометрия разворачивается в некотором пространстве, которое
состоит из точек P, Q, R, …. В это пространство введём декартовы координаты (х1, … , хn), то есть поставим в соответствие каждой точке пространства определённые наборы чисел (х1, х2, … , хn), которые будем
называть координатами. Число координат есть размерность пространства.
Потребуем также, чтобы разным точкам соответствовали разные наборы
чисел. Две точки P(х1,…, хn) и Q(y1, … , yn) совпадают тогда и только тогда,
когда хi = yj, для всех i = 1, …, n. И наоборот, каждому набору чисел (х1,…,
хn) должна соответствовать какая-либо точка изучаемого пространства. Такое пространство называется декартовым.
Пример. Пусть n = 3.
1) Пусть каждой точке Р соответствуют три её координаты (х1, х2, х3);
3
2) P(х , х , х ), Q(y , y , y ), |PQ| = ℓ =  ( y i  x i ) 2 .
1
2
3
1
2
3
2
2
i 1
Если условия 1 и 2 выполняются, то пространство называется евклидовым, а декартовы координаты с такими свойствами, называются евклидовыми координатами. С точками евклидова пространства свяжем векторы:
Р
OP – радиус-вектор
О
Точка О – начало координат. Вектор, идущий из точки О в изучаемую точку Р, называется радиус-вектором этой точки. Декартовы координаты (х1,…, хn) точки Р, называются координатами вектора. Пусть
 = (хi),  = (yi),    = (хi + yi). Можно также вектор умножить на число.
ℓ1 = (1, 0, 0), ℓ2 = (0, 1, 0), ℓ3 = (0, 0, 1) – единичные векторы. Если  = (х1, х2, х3),
то  = х1ℓ1 + х2ℓ2 + х3ℓ3. Для любых n аналогично.
Поэтому евклидово пространство можно рассматривать как линейное
32
или векторное пространство, в котором расстояние между точками (концами радиус-векторов)  = (хi),  = (yi) измеряется ℓ2 =
3
 ( y i  xi )2 .
i 1
Определение. Евклидовым скалярным произведением векторов  = (хi),
3
 = (yi), называется число   =   =  y i x i , i = 1, 2, …, n (рис. 22). Слеi 1
довательно,
P
 -

Q

Рисунок 22
 
PQ 2      ,   z i , то |    .
2
Из аналитической геометрии известно, что cos  =

. Таким образом,

длины и углы связаны с понятием скалярного произведения. Это понятие
будет взято за первичное, на котором строится геометрия.
Пусть в евклидовом пространстве задана кривая в параметрической
i
форме хi = f (t), i = 1, 2, …, n, где f i(t) – дифференцируемые функции от
параметра t, а a  t  b . Касательным вектором или вектором скорости
 df i 
 . Кривая
кривой в момент времени t мы определяли вектор vt   
 dt 
называется регулярной, если её вектор скорости отличен от нуля в каждой
точке этой кривой.
b
Определение. Длиной линии называется число ℓ =

a
Пусть х =
i
f
i
b
vt vt dt    (t ) dt .
a
(t) и х = g (t) – две линии, которые пересекаются при t  t 0 .
i
i
 df i 
 dg i 
 , w  
 – касательные векторы в точке t  t 0 .
v  
 dt  t t0
 dt  t t0
Определение. Углом между двумя линиями в точке их пересечения при
заданном аргументе t  t 0 называется угол между векторами v, w , то есть
wv
cos  =
.
wv
Можно выбрать параметр t так, чтобы v  c , где c – константа. Тогда
b
    dt  c(b  a) . Такой параметр t, что vt   1 , мы называли натуральa
33
ным параметром – он равен длине линии, которую мы пробегаем.
В евклидовой геометрии будет встречаться лишь положительное скалярное произведение вектора самого на себя.
  = х1 х1 + х2 х2 + … + хn хn ,
2
2
2
x1  x 2  ...  x n  0 .
Приведём пример неположительного скалярного произведения векторов четырёхмерного пространства: (х1, х2, х3, х0 = ct). Это пространство играет важную роль в специальной теории относительности. Пусть
 = (х1, х2, х3, х0),  = (y1, y2, y3, y0). Тогда   = х1 y1 + х2y2 + х3y3 – х0y0.
Такое пространство называется псевдоевклидовым или пространством
Минковского.
В этом пространстве существуют векторы трёх типов:
1) пространственноподобные векторы:   > 0;
2) времениподобные векторы:   < 0;
3) световые векторы:   = 0.
Здесь длины векторов могут оказаться мнимыми или нулевыми.
Определение. Областью без границы называется совокупность точек в
трёхмерном пространстве такая, что вместе с любой точкой из этой совокупности ей принадлежат все достаточно близкие к ней точки пространства.
Область с границей получается, если добавить к области без границы её
предельные точки (то есть точки, которые можно достичь изнутри области
сходящимися к ним последовательностями внутренних точек). Область без
границы: x1   x 2   1, с границей: x1   x 2   1. Всё пространство –
область.
2
2
2
2
Определение. Градиентом функции f(х1,…, хn) в точке P( x01 , …, x0n ) в
заданной декартовой системе координат евклидова пространства (или его
области) называется вектор
n
f
 f 
grad f | p =  
=  i  i , где  i – базисные орты.
 t  x '  x0' i 1 x
Если рассматривать градиент как функцию от заданной точки P, то мы
получаем векторное поле, то есть когда в каждой точке пространства или
его области задан вектор, прикреплённый к этой точке.
Пусть заданы теперь в пространстве функция f(х1, …, хn) и некоторая
кривая xi = xi(t), i = 1, …, n, a  t  b . С какой скоростью изменяется функция f(х1(t)), …, f( хn(t)) =  (t) при изменении параметра t?
Найдем
n
n f
f
d f dx1
f dxn
  grad f v , где grad f   i  i , v    i ,  i
 1
 ...  n
dt x dt
x dt
i 1 x
n 1 x
– базисные орты.
34
Определение. Производной функции f(x1, …, xn) по направлению вектора  = (y1,…,yn), вычисленной в точке P = ( x0i ), называется скалярное произведение градиента функции f, вычисленного в точке Р, на вектор  .
df
Обозначается
d
f i i
y , x  x0i
i
i 1 x
n

P
Теорема. Если задана кривая xi = xi(t), i = 1, …, n, такая, что в точках
этой кривой скалярное произведение градиента f и вектора скорости равно
нулю, то функция f постоянна вдоль этой кривой.
◄Доказательство. Если xi = xi(t) – кривая,  t   f x i t  , то
 dx i 
df d
 – вектор скорости кривой. Так как

 grad f  v , где v  
dt dt
 dt 
d
grad f  v  0 , то
 0 ,  t  – const. ►
dt
Общеизвестны следующие типы координат (рис. 23):
1) декартовы координаты (x1, …, xn);
2) на плоскости – полярные координаты (r,  ); x = r cos  , y = r sin  ;
3) цилиндрические координаты (r,  , z); z = z, x = r cos  , y = r sin  , то
есть полярные координаты в плоскости 0ху;
4) сферическая система координат (r,  ,  ); z = r cos  , x = r sin  cos  ,
y = r sin  sin  .
1)
y
2)
M(r,  )
М(х, у)
0
r
x
3)

0
z
4)
z
М(r,  , z)
M(r,  ,  )

z
0
0
y

r
r

x
x
35
y
Рисунок 23
Пусть заданы декартовы (первичные) координаты (x1, …, xn). Пусть теперь заданы и какие-то другие координаты в той же области (z1, …, zn). Это
значит, что каждая хi = xi (z1, …, zn) или zi = zi(x1, …, xn).
Значит, каждой точке области можно сопоставить как набор первичных
координат (х) = (хi), так и набор новых координат (z) = (zj). Поэтому декартоn
вы координаты можно выразить через новые и наоборот. Пусть xi =  a ij z j ,
j
i = 1, …, n – линейная замена координат в пространстве. А чтобы теперь выразить z через х, необходимо и достаточно, как известно из линейной алгебры, чтобы матрица А = (a ij ) имела обратную матрицу: А-1 = В = ( b ij ). Обратная матрица В определяется так: В = ( b ij ), где
E  
i
k
 – единичная матрица.
Условимся делать такую запись:
n
 a ij z j
n
1, i  k
j 1

 bij akj   ki ;  ki  0, i  k ;
= aij z j , где суммирование будет
j
производиться по двум входящим в эту формулу индексам.
Итак, если точке P соответствовал набор координат (x1, …, xn), то в новых координатах этой точке будет соответствовать набор (z1, …, zn), приn
xi
чём xi =  a ij z j , i = 1, …, n, где a ij  j .
z
j
Рассмотрим произвольные координаты хi = xi (z1, …, zn), i = 1, …, n и
точку P = ( x01 , …, x0n ). Предположим, что координаты определяют каждую
точку в нашем пространстве, то есть любому набору чисел ( x01 , …, x0n ) соответствует хотя бы один набор ( z 01 , …, z0n ) такой, что x0i = x0i ( z 01 , …, z0n ).
Определение. Точка P = ( x01 , …, x0n ) называется неособой точкой системы координат (z1, …, zn) при zi = z 0i , где i = 1, …, n и x0i = xi( z 01 , …, z0n ),
 x i


  a i . Эта матрица и называется
тогда и только тогда, если A 
j
j
 z z q  z q 

0 
x
x
матрицей Якоби   , а J = | | называется якобианом.
 z 
z
n
xi
Известно, что если x = Az, х = (хi), a ij  j , z = (zi), где xi =  a ij z j ,
z
j
dxi
aij  j , i = 1, …, n, то z = Bx, где В есть обратная матрица по отношению
dz
к матрице А.
Поставим вопрос: вычислить длину кривой в общих координатах z, где
36
x1  x1 z1 , z 2 , x 2  x 2 z1 , z 2 , x1 , x 2  – декартовы координаты. Кривая
z1  z1 t , z 2  z 2 t  или x1  x1 z1 t , z 2 t , x 2  x 2 z1 t , z 2 t 
b
 dx1 dx2 
 – вектор скорости.
,
ℓ =  v(t ) dt , где v(t )  
a
 dt dt 
2
2
2
2 
 dx1   dx2 
dxi 
  
   
 . Так как x1  x1 z1 t , z 2 t ,
v  
i 1  dt 
 dt   dt 
dx1 x1 dz1 x1 dz 2 dx2 x 2 dz1 x 2 dz 2
2
2 1
2
,
,
x  x z (t ), z (t ) , то




dt z1 dt z 2 dt dt z1 dt z 2 dt
1
2
1
2
dx1
dx2
1 dz
1 dz
2 dz
2 dz
,
, v1x  a11v1z  a12vz2 , vx2  a12v1z  a22vz2 .
 a1
 a2
 a1
 a2
dt
dt
dt dt
dt
dt
2
2
2
2
2
vx  v1x   vx2   a11v1z  a12vz2   a12v1z  a22vz2   a11a11v1z v1z  2a11a12v1z vz2 
 a12 a12vz2vz2  a12 a12v1z v1z  2a12 a22v1z vz2  a22 a22vz2vz2  a11a11  a12 a12 v1z v1z 
 2a11a12  a12 a22 v1z vz2  a12 a12  a22 a22 vz2vz2 
2
 gik  vzi vzk ,
i , k 1
2
где gik   aij akj , i, k  1,2 .
j 1
Итак, для любого n можно записать, что
| V x |2 
n
g
,
ik
i k 1
n
n
dz i dz k
j j
j q

, где g  g   a a    a a .
ik
ki
i
k
jq
i
k
dt dt
j 1
j, q  1
Координаты z1, …, zn называются евклидовыми, если длина вектора в них
выражается формулой VZ
2
dz 1
dz n
,...,
).
  ( y ) , где V z  ( y ,..., y )  (
j 1
dt
dt
j
j 2
i
dxi
j
j
Если x  x ( z ), (a )  (
j
n
dz
1
n
)  A , то необходимо и достаточно для ев-
1, i  j
клидовости координат, чтобы выполнялось условие: g ij   ij  
.
0
,
i

j

Выясним, как преобразуются компоненты g ij матрицы G при переходе
к новым координатам. Пусть в системе (х) 1  11 ,..., 1n ,  2   21 ,...,  2n  . В системе (Z) 1  11 ,...,1n ,  2   21 ,..., 2n . Пусть заданы новые координаты (у) в
 z i 
i
j
j
1
n
той же области и z  z y ,..., y , i = 1, 2, …, n. Пусть B  B j    i  .
 y 
Векторы 1 ,  2 в координатах  y1 ,..., y n  имеют тогда компоненты 11 ,...,1n  ,

1
2

,...,  2n , причём
n
n
k 1
 1
1i   bki  1k ,  2j   bj 2 (*). Пусть матрица, дающая вы-
ражение для скалярного произведения в координатах (у), равна hij . Это
37
значит, что 1 2 
n
 hk1k  2 
k ,1
n
 gij1i2j .
i , j 1
Используя (*), имеем:
n
 hk1k  2 
k ,  1
n
 gij1i2j 
i , j 1
n
 n i

 n i k  n j  
g
b

b


 ij   k 1    2     bk gijbj 1k  2  hk 
i , j 1
 k 1
  1
 k ,  1  i , j 1

n
n

 bki gij bj .
i , j 1
Тема 9 Риманова и псевдориманова метрика
Пусть задано пространство (или область) с декартовыми координатами
(x ) и заданы новые координаты (zi), xi = xi(z1,…zn), причём новая система не
n x k x k
n
x k x q
имеет особых точек. Мы показали, что gij   i


 kq i j .
j
z z
k 1 z z
k , q 1
Значит, в координатах (z) имеем для скалярного произведения формулу
i
n
 gij1i 2j . Риманова метрика в области пространства с произвольныi , j 1
ми регулярными координатами (z) задаётся набором функций gij z   g ji z  ,
причём если задана кривая z i  z i t  , i = 1, …, n, то квадратом длины её
ξ1ξ2 =
 dzi 
z i z j
2
 в точке t  t 0 называется число   gij
вектора скорости vz  
.
dt
dt
dt

t t0
Определение. Будем говорить, что набор функций gij z   g ji z  задаёт
риманову метрику в координатах (z), если при любых (z1, …, zn) форма
n
 gij i
i , j 1
j
положительна. Если det( g ij )  0, но указанная форма знаконеопре-
делённая, то будем говорить, что набор задаёт псевдориманову метрику.
Определение. Длиной кривой по отношению к римановой или псевдоb
dzi dz j
римановой метрике будем называть число ℓ   gij
dt .
dt dt
a
Если заданы новые координаты (у) в той же области такие, что zi = zi(y),
z
 0 , то в новых координатах (у) риманова метрика определяется набоy
z k
z l
ром функций g (у), где g (у) = g (у) и g ij  i g kl i  g ij ( y1 ,..., y n ) . На
y
y
'
ij
'
ij
'
ji
 z i
матричном языке g   g , где    k
 y

38

 . g   g ij , g  gij  .

Определение. Будем говорить, что метрика евклидова, если найдутся
x i
1
n
i
i 1
n
 0 , такие, что
новые координаты (x , …, x ), x = x (z , …, z ),
z j
n
x k x k
x k x q


 kq i j . В координатах (x1, …, xn) имеем
i
j
z z
k 1 z z
k , q 1
1, i  j
, и координаты (х) называются евклидовыми.
gij   ij  
0
,
i

j

Мы всегда требуем, чтобы gij  0 или ещё говорят, чтобы метрика g ij
n
gij  
была невырожденной. Если матрица ( g ij (z)) определяет положительную
квадратичную форму, то есть длины всех ненулевых векторов положительны, то мы говорим, что g ij задаёт риманову метрику. Если gij  0 , но
форма
n
 gij i
j
знакопеременная, то будем говорить, что имеется псевдо-
i , j 1
риманова метрика.
Важен случай при n = 4 и форма
n
 gij i
i , j 1
j
в каждой точке ( z 01 , …, z0n )
может быть приведена к виду:     2    3    4  . Это такие метрики, на которых построена общая теория относительности.
1 2
2
2
2
Определение. Линейное вещественное пространство размерности n
называется псевдоевклидовым пространством индекса s, если в этом пространстве задана билинейная форма ξη = – ξ1η1 – … – ξsηs + ξs+1ηs+1 + …+
ξs+q=nηs+q=n.
Если s = 0, то получаем евклидово пространство Rn. Выше приведенное
пространство будем обозначать Rsn .
Пространство R14 является пространством специальных теорий относительности и называется пространством Минковского.
Длина вектора  в псевдоевклидовом пространстве Rsn определяется
следующей формулой:  s  ( ) s , где
( )   1 1  ...   s s   s  1 s  1  ...   s  q  n s  q  n .
s
Тема 10 Псевдоевклидово пространство
В отличие от пространства Rn в пространстве Rsn длины векторов могут
быть нулевыми и мнимыми. В пространстве Rn совокупность всех точек  ,
таких что    образует (n – 1)–мерную сферу, Sn-1 (гиперсфера). В псевдоевклидовом пространстве Rsn также рассматривается множество точек  ,
39
удаленных от начала координат на расстояние  , где  может быть действительным, мнимым числами или нулём. Это множество точек называется
псевдосферой индекса S и обозначается S sn 1 . Будем различать псевдосферы
действительного, мнимого и нулевого радиусов. Псевдосфера нулевого радиуса имеет уравнение: – (ξ1)2 – (ξ2)2 –… – (ξs)2 + (ξs+1)s + …+ (ξs+q=n)2 = 0. Это
есть конус второго порядка в пространстве Rsn с вершиной в начале координат. Все векторы, выходящие из начала координат и лежащие на этом
конусе, имеют нулевую длину. Векторы, лежащие вне этого конуса, имеют
длину, отличную от нуля.
Псевдосфера S sn 1 нулевого радиуса называется изотропным или световым конусом. Векторы, лежащие внутри конуса, имеют положительный
2
квадрат длины,  > 0 и, называются времениподобными, а векторы лежащие вне этого конуса имеют отрицательный квадрат длины,  < 0, и
называются пространственноподобными. Векторы, лежащие на изотропном конусе, называются изотропными или световыми,  = 0.
2
Примеры.
1) Пусть n = 1, s = 0. R01 совпадает с обычной вещественной прямой.
2) Пусть n = 2, s = 1 и пусть заданы декартовы координаты (х1, х2). Тогда получаем изотропный конус –(х1)2 + (х2)2 = 0  х1 =  х2. Этот конус
разбивает пространство R2 на две области. В одной из них скалярное произведение (ξξ)1 > 0, когда x 2 > x1 и (ξξ)1 < 0, когда x 2 < x1 (рис. 24).
x2
ξξ)1> 0
(ξξ)1< 0
(ξξ)1< 0 x1
(ξξ)1> 0
Рисунок 24
Псевдосфера действительного радиуса – это гипербола –(х1)2 + (х2)2 = α2(α=
=  ) и псевдосфера мнимого радиуса – гипербола –(х1)2 + (х2)2 = –α2(  = αi)
(рис. 25).
х2
 =0
 = αi
х1
 =α
40
Рисунок 25
3) Пусть n = 3, s = 1. Изотропный конус (псевдосфера нулевого радиуса) является обычным конусом второго порядка с осью х1:
–(х1)2 + (х2)2 + (х3)2 = 0.
Он разбивает всё пространство на две области: внутреннюю и внешнюю
(рис. 26).
х2
↓(ξξ)1 > 0
(ξξ)1 < 0
х1
0
х3
Рисунок 26
Псевдосферы вещественного радиуса – это однополостные гиперболоиды: –(х1)2 + (х2)2 + (х3)2= α2(α =  ), а псевдосферы мнимого радиуса – это
двуполостные гиперболоиды: –(х1)2 + (х2)2 + (х3)2= – α2(  = αi) (рис. 27).
 =α
 =0
0
 = αi
Рисунок 27
Изучим метрические свойства пространства R13 . Это пространство будем моделировать в пространстве R3. Через (х, у, z) обозначим декартовы
координаты пространства R3. Тогда псевдоскалярное произведение имеет
вид (ξξ)1 = –х2 + у2 + z2.
Гиперсферой или псевдосферой мнимого радиуса i в пространстве R13
является двуполостный гиперболоид –  2 = –х2 + у2 + z2. Так как этот гиперболоид вложен в R3, то можно сказать, что геометрия пространства R13
индуцирует некоторую геометрию на гиперболоиде или с точки зрения
римановой метрики метрика пространства R13 индуцирует некоторую метрику на гиперболоиде.
41
Рассмотрим гиперболоид –  2 = –х2 + у2 + z2, х > 0 (рис. 28).
z
0
x
аx + by + cz = 0
у
Рисунок 28
Точками индуцированной на гиперболоиде геометрии мы назовём
обычные точки гиперболоида, а прямыми индуцированной геометрии
назовём всевозможные линии на гиперболоиде, которые получаются при
пересечении гиперболоида плоскостями ax + by + cz = 0, проходящими через начало координат. Установим соответствие между геометрией на гиперболоиде и геометрией в круге на евклидовой плоскости. Такое преобразование называется стереографической проекцией.
R2
N
x
S
2
O
f(x)
Рисунок 29
Плоскость R2 проходит через центр О сферы S2 и стереографическая
проекция f : S2  R2 сопоставляет каждой точке х, не совпадающей с северным полюсом N сферы, точку f(x) – точку пересечения луча Nx с плоскостью R2 (рис. 29).
При этом северному полюсу соответствует бесконечно удалённая точка
расширенной комплексной плоскости. Стереографическая проекция псевдосферы S12 на плоскость R12 определяется подобным же образом. Центром
псевдосферы S12 = {–  2 = –х2 + у2 + z2} является начало координат О. Северный полюс есть точка с декартовыми координатами (  , 0, 0). Плоскость, на которую осуществляем проекцию, есть плоскость YOZ. Так как
мы рассмотрели только одну часть гиперболоида х > 0, то образ этой плоскости при проекции f покрывает не всю плоскость R2 = YOZ, а только открытый круг радиуса  .
Теорема. Пусть (x, y, z) – координаты точки х є S12 (х > 0), и пусть (u1, u2)
42
– координаты точки f(x) є YOZ, где f – стереографическая проекция.
Тогда


2 2
 ,
x     1 
1 2
2 2
2 
 (u )  (u )   

 2  u1
,
 (u1 ) 2  (u 2 ) 2   2
2 u 2
z
.
 (u1 ) 2  (u 2 ) 2   2
y
◄Доказательство.
Сечение гиперболоида плоскостью, проходящей через ось ОХ, имеет
следующий вид:
y
x
f x 
  ,0,0
 ,0,0
x
Рисунок 30
Тогда из рисунка 30 видно, что
y x z x


x
x
, 2
, y  u1 1   , z  u 2 1     2   x 2  y 2  z 2 . Так

1
u

u

 
 
2
2
2
2
как     x  y  z , то подставляя y и z в это уравнение, получим, что
 
   x  u
2
2
1 2
2

x
1    u 2
 
 
2
2



x
2 2
.
1    x    1 
2
2
1
2
2 

u

u


 


   
Аналогичное доказательство для у и z. ►
При стереографической проекции f : S12 → (y2 + z2 <  2) = D2 точки гиперболоида переходят в точки двумерного круга D2 радиуса  . В какие
кривые на круге D2 перейдут прямые геометрии на гиперболоиде, то есть
линии пересечения гиперболоида плоскостями ax + by + cz = 0?
Теорема. Каждая линия пересечения S12 плоскости ax + by + cz = 0
43
переходит при отображении f в дугу окружности, пересекающую окружность y2 + z2 =  2 под прямым углом.
◄Доказательство. Для доказательства достаточно подставить в уравнение плоскости ax + by + cz = 0 выражение х, у, z через u1 , u 2 , u  0 .
Тогда  a 
2a 2
   u 
 u
1 2
2 2

2

2bu 1
   u 
 u
1 2
2 2

2

2cu 2
   u 
 u
1 2
2 2

2
0
b 
c
b a

  u1     u 2   
  2 – окружности с центром в точке
2
a 
a
a

2
2
2
2
b2  c2
b c
  2 , пересекающая окружность y 2  z 2   2 в точках А
 ,  и r
2
a
a a
2
2
b
c
и В под прямым углом   r       . ►
a a
2
2
Итак, геометрия, индуцированная на псевдосфере S12 геометрией псевдоевклидового пространства R13 , совпадает с геометрией, возникающей в круге
радиуса  на евклидовой плоскости R, если в качестве точек этой геометрии
взять обычные точки этого круга, а в качестве прямых этой геометрии взять
дуги окружностей, пересекающих границу круга под прямым углом.
Геометрия, индуцированная на псевдосфере геометрией R13 , называется
геометрией Лобачевского, а её модель в круге радиуса  на евклидовой
плоскости называется моделью Пуанкаре геометрии Лобачевского. Сам
Лобачевский получил свою геометрию без псевдоевклидовых пространств.
Если  → ∞, то геометрия Лобачевского превращается в обычную геометрию Евклида.
Можно рассматривать ещё одну геометрию на сфере, в которой “точками ” являются обычные точки сферы  2 :  x  1âR2  , а “прямыми” являются
всевозможные экваторы сферы R2 (пересечение со всевозможными плоскостями, проходящими через центр сферы). Если в качестве точек взять пары
(х, –х), где х пробегает всю  2 , то в этой геометрии будут выполнены все
постулаты Евклида, кроме аксиом порядка и пятого постулата.
Подведем некоторые итоги.
Пусть задано пространство (область) с декартовыми координатами
(х ,…, хn) и заданы новые координаты (z1, …, zn), xi = xi(z1, …, zn), х = х(z),
x
причём новая система координат не имеет особых точек.   0 
– якоz
1
b
биан. Если длина кривой x = x (t) измерялась по формуле   
i
i
a
 dx i


i 1  dt
n
2

 dt ,

то мы имеем дело с евклидовыми координатами. В новых координатах (z)
44
имеем z i  z i t  , i = 1, …, n. Длина той же самой кривой в новых координа dxi 
  dt  ;
i 1 
a

k
k
k
q
i
i
j
n x x
n
1, i  j
x x
dx dx dz
. Поэтому gij   i
.

 j
  kq i j , где  ij  
j
z z
0
,
i

j
dt dz dt
k 1 z z
k , q 1

1
n
dz  dz
dz 
 – вектор скорости кривой в новых коорди 
,...,
Заметим, что
dt  dt
dt 
b
тах    gij
dzi dz j
dt , где xi = xi(z1(t),…, zn(t)) и
dt dt
dx  dx1
dx n
натах.

,...,
dt  dt
dt
g ij
dzi dz j

dt dt
n

 – тот же самый вектор в старых координатах:

dx
dz
 ,
  . Если имеются две кривые z i  f i t  и z i  g i t  , i = 1, …, n,
dt
dt
пересекающиеся в одной точке t  t0 ,  – угол между их векторами скоро df i 
 dg i 
 1 2
 ,  2  
 . В координатах (z)
сти, то cos  
, где 1  
1  2
 dt t t0
 dt t t0
для скалярного произведения имеем формулу: 1 2  gij1i 2j , i = 1, …, n.
Риманова метрика в области пространства с регулярными координатами
z1,…, zn задаётся набором функций gij ( z )  g ji ( z ) , причём, если задана кри-
вая z i  z i t  , i = 1, …, n, то квадратом длины её вектора скорости
 dzi 
z i z j
2
 в точке t  t0 называется число   gij
.
vz  
dt
dt
dt

t t0
Набор функций gij ( z )  g ji ( z ) адаёт риманову метрику (в координатах
(z1, …, zn)), если при любых z1, …, zn форма gij i j положительна. Если
det( g ij )  0, но указанная форма знакопеременная, то говорят, что набор задаёт псевдориманову метрику. Если заданы новые координаты у1,…,уn, таz
кие что zi = zi(у1, …, уn),
 0 , то в новых координатах у1, …, уn риманова
y
метрика определяется набором функций g ij' (у1, …, уn), g ij' = g 'ji , где
g ij' 
z k
z l
g
 g ij' ( y ' ,..., y n ) . На матричном языке g   A  g  AT , где
kl
i
j
y
y
 z i 
A   k  , g   g ij , g  gij  .
 y 
Метрика евклидова, если найдутся новые координаты x1, …, xn,
n x k x k
n
x i
x k x q

0
g



xi = xi(z1, …, zn),
,
такие,
что
 i j  kq i j . В коij
z j
z z
k 1 z z
k , q 1
45
1, i  j
ординатах x1, …, xn имеем g ij   ij  
, и координаты x1, …, xn назы0, i  j
ваются евклидовыми.
Линейное вещественное пространство размерности n называется псевдоевклидовым пространством индекса s, если в этом пространстве задана
билинейная форма  , s   1 1  ...   s s   s 1 s 1  ...   n n . Если s = 0, то
получаем евклидово пространство. Псевдоевклидово пространство индекса
s обозначается S sn . Пространство R14 является пространством специальных
теорий относительности и называется пространством Минковского. Длина
вектора  в псевдоевклидовом пространстве Rsn определяется следующей
формулой:  s  ( ) s .
Тема 11 Движение псевдоевклидового пространства
Изучим несколько подробнее псевдоевклидово пространство. Рассмотрим движение псевдоевклидовой плоскости R12 . Предположим, что это
движение оставляет неподвижным начало координат. И пусть в n-мерном
пространстве заданы две области:  x с координатами (х1, …, хn) = (x) и
z с координатами (z1, …, zn) = (z). И пусть каждой точке области z поставлена в соответствие точка области x , так, что хi = xi(z1, …, zn). Если
координаты z1, …, zn можно выразить через х1, …, хn, то есть zj = zj(x1,…,xn),
j = 1, 2, …, n, то будем говорить, что задано преобразование области z в
области x . При этом требуется, чтобы функции zi(х) и обратные им
функции zj(х) были гладкими. Пусть теперь в области  имеется риманова или псевдориманова метрика, которая задаётся в координатах х1, …, хn
симметричной невырожденной матрицей gij  g ji (x) . Если задано преобразование хi = xi(z), то в координатах (z) эта же метрика задаётся матрицей
x k
xl
'
gij  g ji (z ) , где gij  i g kl j .
z
z
Определение. Преобразование хi = xi(z) называется движением данной
метрики, если gij' ( z)  gij ( x( z)) .
Так как мы изучаем движение псевдоевклидовой плоскости, то рассматриваемое движение задаётся матрицей
 x 0  ay 0  by1
A: 1
,
(1)
0
1
 x  cy  dy
a b 
где (х0, х1) – псевдоевклидовы координаты, A  
 . Метрика в этих
c
d


46
координатах имеет вид: gij  g00  1, g11  1, g10  g01  0 . Так как преобразование (1) является движением, то
G  ( gij )  AT GA .
(2)
Учитывая, что det AT  det A и определитель произведения равен про2
изведению определителей, получаем: det A  1, det A = ±1. Таким образом, из равенства (2) имеем:
 1 0   a c  1 0  a b   a  c  a b   a 2  c 2 ab  cd 


  


  

  
2
2 
0

1
b
d
0

1
c
d
b

d
c
d
ab

cd
b

d

 


 

 

a 2  c 2  1

 b 2  d 2  1 . Полагаем, что а  0.
ab  cd  0

c
c
c2d 2
1
2 2
2
2
Пусть   , b  d ,
,
,
,
d



d


1

d

d


1
a
a
1  2
a2
1
. Рассмотрим a 2  c 2  1 ,
b  
2
1 
1
1
1
,
,
1  2  2 ,
a


a2 
2
a
1  2
1 
c  a  1,
2
2
a2  c2  1,
a2 c2
1
 2  2,
2
a
a
a
c2  a2  1,
1
11  2

c 
1 
, c
.
2
2
2
1 
1 
1 
Здесь знак а совпадает со знаком с, а знак b – со знаком d.

1
 



1  2
1  2 

A  
. Если обозначим  = tgφ, тогда chφ =

1 


2
2 

1


1




2
shφ =
1
,
1  2

. Итак,
1  2
 ch  sh 
(3)
 .
A  
sh


ch



Множество преобразований (1) псевдоевклидовой плоскости с матрицей А вида (3) образует группу, которая называется группой гиперболических поворотов или псевдоортогональной группой и обозначается О(1, 1):
 
 
  
  
 , A1  
 , A2  
 , A3  
 .
A0  
















Определение. Преобразования R12 с матрицами А0, А3 называются собственными движениями псевдоевклидовой плоскости, а с матрицами А1, А2
47
называются ортохронными преобразованиями.
Рассмотрим преобразование (1) в случае, когда А = А0, тогда
 y 0  y1
y 0   y1
0
1
x 
; x 
. Так как x 0  ct , x1  x , y 0  ct  , y1  y , то
2
2
1 
1 
t

y
ct   y
c
,
.
t

ct 

x

1  2
1  2
1  2
Найдём выражения y и t  через x и t :
ct   y
t  t 1   2 

c
y ; x 1   2  ct   y  t   t 1   2 
t

x
c


1   2  ct  ,
x
    

2
c
. Аналогично можно получить,
t 1  c    t  x  1   , t  
c  
c 

1  2
ct  x
что y  
.
2
1 
Выясним физический смысл параметра  . Пусть в системе координат Y
находится в состоянии покоя заданная точка М – начало координат. В этом
x
x
случае y = 0. А это значит, что x  ct  0, c  . Но  v есть скорость
t
t
точки М в системе координат Х, равная скорости в системе координат Y
v
относительно Х. Значит   .
c


t  2 y
t 2 x

c ; x   t  y ; t 
c ; y    t  x – преобразоИтак, t 
2

2
2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
c
c
c
c
вания Лоренца.
Приведем некоторые интересные выводы.
1 Замедление времени.
Пусть в системе координат Х на неподвижных часах происходит время
Δt = t2 – t1. Найдём значения t1 и t 2 , соответствующие соответственно t1 и
t 2 , в одной и той же точке с абсциссой y в системе координат Y. Из фор

t1  2 y
t 2  2 y
c ; t 
c ;
мул преобразования Лоренца имеем, что t1 
2
2

2
1 2
1 2
c
c
48
t  t2  t1 
t2  t1
1
2

t 
2
. Отсюда следует, что t   t . Таким обра-
1 2
c2
c
зом, движущиеся часы идут медленнее неподвижных часов.
2 Сокращение длин.
Пусть в системе координат Х находится стержень, длина которого ℓ, где
х1 – координаты начала стержня, х2 – координаты конца стержня, то есть
ℓ = х2 – х1. Если координаты концов этого стержня в системе координат Y
измерены в один и тот же момент времени t  , равный, y1 и y2 , то, исполь t   y1
зуя формулы преобразования Лоренца, имеем, что x1 
;
2
1
x2 

c2
 t   y2
;
2
1
c2
  x2  x1 
y2  y1
1

2
2


1

2
. Таким образом, длина  стержня в той си-
c
c2
стеме отсчёта, относительно которой этот стержень движется, меньше, чем
его длина ℓ в той системе отсчёта, относительно которой он находится в
состоянии покоя.
Тема 12 Кривые в псевдоевклидовом пространстве
Параметризованной кривой в евклидовом пространстве R3 называется
отображение r : I → R3, где t → (x(t), y(t), z(t)).
Пусть задано трёхмерное псевдоевклидово пространство R13 . Векторы


ортонормированного репера 0; a0 ; a1 ; a2 удовлетворяют условию: a0 a0  1 ,
ai a j  0 , i, j = 0, 1, 2, ai ai  1 , i = 1, 2.
Координаты любой точки в этом репере будем обозначать так:
a = (х0, х1, х2), х0 = ct, х1 = х, х2 = y, так как R13 – подпространство Минковского. В векторном пространстве R13 , связанным с точечным пространством R13 , существуют времениподобные, пространственноподобные и
изотропные векторы. В зависимости от того, каким будет в каждой точке
кривой вектор касательной, кривые в пространстве R13 также будем называть времениподобными, пространственноподобными и изотропными.
Определение. Отображение r : I → R13 : t → (x0(t), х1(t), х2(t)) будем
49
называть параметризованной кривой в псевдоевклидовом пространстве R13
и обозначать r (t) = (x0(t), х1(t), х2(t)).
Определение. Параметризованная кривая называется времениподобной
n-параметризованной кривой, если r ' t r t   1 . Будем обозначать через σ
натуральный параметр, а n-параметризованную кривую будем записывать
в виде: r (σ) = (x0(σ), х1(σ), х2(σ)).
dr
Найдём производную:
 r '       , где       1 . Из этого
d
 
 
2
равенства получаем, что d r  (d )2 . С другой стороны d r
2
= – dx0  +
2
+ dx1  + dx2  . Итак, d  = dx0  – dx1  – dx2  . Так как х0 = ct, х1 = х,
2
х2 = y, то d  = c2(dt)2 – (dx)2 – (dy)2. Следовательно,
2
2
2
  dx 2  dy 2 
dx
dy




 d 
2
2

  c         , где V       . Тогда
dt
 dt   dt 


  dt   dt  
2
2
2
2
2
2
b
2
 d 
2
2
   c      c  1  2 dt – длина дуги времениподобной криc
 dt 
a

2
вой,
в теории специальной относительности называется собственным
c
временем частицы.
Определение. Времениподобная кривая r   называется регулярной,
если r '    0 и бирегулярной, если r '     r '"  .
Определение. Вектором кривизны времениподобной n-параметризованной кривой в точке σ называется вектор k    r"   , а кривизной –
величина k    r"   .
К каждой точке времениподобной кривой прикрепим правый ортонорr"   k ( )
мированный репер:     r '   ,    
. Третий вектор   

k
(

)
r"  


должен быть ортогонален векторам  и  ,   1 . Чтобы его определить,
введём в пространстве R13 векторное произведение двух векторов так, чтобы для векторов ортонормированного базиса выполнялись следующие
 
  
  

условия: a0 , a1   a2 ; a1 , a2   a0 ; a2 , a0   a1 (рис. 31).

a2

a0
50

a1
Рисунок 31
Для векторов  , , должны выполняться соотношения (рис. 32):
   , ,     ,  ,    ,
 
 
 


`
Рисунок 32


Репер r  ;  ;  ;    называется репером Френе кривой r = r(σ)



в точке σ, где  – вектор касательной,  – главная нормаль,  – бинор

маль. Плоскость, содержащую вектора  и  , будем
называть соприкаса

ющейся, плоскость, содержащую вектора  и  , – нормальной, а вектора


 и  – спрямляющейся:
L  , – соприкасающаяся плоскость,
L  , – нормальная плоскость,
L  , – спрямляющаяся плоскость.
Выведем аналог формул Френе для времениподобной кривой. Так как
    r '   , то  '    r"   k ,     k . Так как репер Френе правый
ортонормированный репер, то для него выполнимы равенства:    1 ;
  1;    1 ;         0 . Нужно найти  ' . Вектор  ' ортогонален
векторам  и  , то есть он коллинеарен вектору  : так как


   1  2   0 , то есть    '  ;    0        0 . Значит, что
k

  

 
   k  k
      0      .
0



Таким образом,    k ;    æ . Так как    , , то
 '   ' ,   , '  -æ  ,  k  ,  k + æ  .
Итак,

   k



   k  æ – формулы Френе времениподобной n-параметризованной


кривой.
   æ
 
 
 
   
 
   
В этих формулах функции k(σ) и æ(σ) назовём кривизной и кручением.
Найдём формулы для их вычисления: r '   ; r"  k ; r" '  k 2 + k æ  .
   
 
Найдём векторное произведение: r ' , r"   , k  k  k  r ' , r" , то есть
51


k ( )  r ' ( )r" ( ) .
Найдём теперь произведение
r ' , r r '"   , k k 2  k æ  = k 3  ,   k 2 æ  ,   0  k 2 æ   k 2 æ .


 



 
 
0
1
r ' ( )r" ( )r" ' ( )
.


| [r ' ( ), r " ( )] |2
Пусть кривая r   имеет другую эквивалентную параметризацию, отлич
ную от n-параметризации, то есть пусть  (t) = (x0(t), х1(t), х2(t)), где t = t(σ) –
Таким образом, æ  



d  dt 
функция перехода, то есть r     t  . Тогда r   
  t  ;
dt d







2
3
r     t    t  ; r     t   3 t t    t  .
Подставив полученные формулы в выражения для вычисления кривиз 2 2

1
2
2
ны и кручения, получаем: r '     ' t ' . t '   2 , то есть
  '
1


t'
 2 , т. к. r ( )  r ( )  1 . Тогда
   '

 



k ( )  r ' ( )r" ( )   ' t ' ,  " (t ' ) 2   't"  (t ' )3  ' ,  " 

 ', "

3
,
1  ( ')
  
3
3
r ' ( )r" ( )r" ' ( ) [r ' , r " ]r '" (t ' )  ' ,  "  " ' (t ' )  3 " ' t ' t"  ' t" '
æ  
   2 

2
  2
3
[r ' , r " ]
[r ' , r " ]
(t ' )  ' ,  "


(t ' ) 6  '  "  '"


 '  "  '"
  ', "
(t ' )  ' ,  "
6
2
2
.
Итак,
кривизна: k (t ) 
r ' (t ), r"(t )


 1  r ' (t )  


2
кручение: æ(t ) 
3
,
r ' (t )r" (t )r '" (t )
.
r ' (t ), r" (t )


52

 
2

