ФНП Ч.2 - Камышинский технологический институт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ЧАСТЬ II
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Волгоград
2008
УДК 517.5(07)
Ф 94
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.
ЧАСТЬ II: методические указания к практическим занятиям по
дисциплине «Математика» / Сост. Л. П. Ирушкина, С. В. Мягкова;
Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 11 с.
Рассматриваются вопросы приложения частных производных к
решению задач: составление уравнений касательных плоскостей и
нормалей к поверхностям, исследование функций двух переменных на
экстремум. Дается понятие производной функции в данном направлении.
Приводятся краткие теоретические сведения и подробно решенные
примеры. Предлагаются задания для самостоятельного решения с
ответами. В помощь студентам при подготовке к практическому занятию
даны контрольные вопросы.
Предназначены для студентов СПО специальности 230102.51
«Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Могут использоваться студентами ВПО очной и очно-заочной форм обучения.
Ил. 2.
Библиогр.: 2 назв.
Рецензент: Е. В. Морозова
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2008
Практическое занятие № 3
Тема: УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛИ К
ПОВЕРХНОСТИ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Продолжительность занятия: 2 часа.
Цель занятия. Научить студентов, используя частные производные,
составлять уравнения касательных плоскостей и уравнения нормалей к
поверхностям в заданных точках, определять направляющие косинусы и
находить производные в заданных направлениях.
Порядок проведения:
 ответить на контрольные вопросы;
 разобрать предложенные примеры;
 выполнить самостоятельно задания.
Студент должен:
знать: определения касательной плоскости, нормали и уравнения,
которыми они задаются; определения производной по направлению для
функции двух и трех переменных;
уметь: составлять уравнения касательных плоскостей, нормалей,
вычислять производные по заданному направлению в данной точке.
Указание 1
Определение 1. Плоскость, проходящая через точку поверхности,
заданной функцией z  f x; y  , в которой лежат все касательные к
кривым, проходящим через эту точку, называется касательной
плоскостью к поверхности в данной точке (называемой точкой касания)
(рис.1).
Уравнение касательной плоскости в точке M 0 x 0 , y 0 , z 0
к

поверхности z  f x; y  имеет вид

f x0 , y0 
f x0 , y0 
(1)
 x  x0  
 y  y0 
x
y
Если поверхность задана неявной функцией F x; y; z   0 , то
z  z0 
уравнение касательной плоскости примет вид:
F x0 , y 0 , z 0 
F x0 , y 0 , z 0 
F x0 , y 0 , z 0 
x  x0  
 y  y0  
z  z 0   0 (2)
x
y
z
Определение 2. Прямая, проходящая через точку M поверхности
F x; y; z   0 , перпендикулярно к касательной плоскости в этой точке,
называется нормалью (рис.1).
Уравнения нормали в точке M 0 x 0 , y 0 , z 0

3

x  x0
y  y0
z  z0


F  x0 , y 0 , z 0  F  x0 , y 0 , z 0  F  x0 , y 0 , z 0 
x
y
z
(3)
z
Нормаль к
поверхности
м
Касательная
плоскость
0
y
x
Рис. 1
Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности шара x 2  y 2  z 2  14 в точке P1; 2; 3 .
Решение. Приведем уравнение поверхности к виду F x; y; z   0
x 2  y 2  z 2  14  0 .
Находим частные производные функции F x; y; z  в точке P,
координаты которой x  1 , y  2 , z  3 .
F P 
F P 
F P 
;
 2z P  6 .
 2x P  2 ;
 2y P  4
x
z P
y
Составляем уравнение касательной плоскости, используя уравнение (2)
2x  1  4 y  2  6z  3  0 .
Упрощаем
x  1  2 y  4  3z  9  0 ,
x  1  2 y  2  3 z  3  0 ,
x  2 y  3z  14  0 .
Составляем уравнения нормали, используя уравнение (3)
x  1 y  2 z  3 ; после упрощения x  1 y  2 z  3 .




1
2
3
2
4
6
Задания
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к данной
поверхности в указанной точке:
1. x 2  2 y 2  13z 2  10  0 , M 1;  1;1;
4
2. z  x 3  y 3  9 xy , A 1;1; 9 ;
3. z  3x 2  xy 2  9 xy , N 1; 2;  1 .
Ответы
1) x  2 y  13z  10  0 , x  1  y  1  z  1 ;
2
1
 13
2) 6 x  12 y  z  9  0 , x  1 y  1 z  9 ;


6
1
12
3) 2 x  4 y  z  5  0 , x  1  y  2  z  1 .
4
2
1
Указание 2
Производная по направлению
Рассмотрим в области D функцию z  f x; y  . Зададим в точке
M x; y  вектор S  S x i  S y j (рис.2).
y
S
y+∆y
y
M1
M ∆S
∆x
∆y
D
0
x
x+∆x
x
Рис. 2
Возьмем точку M 1 x0  x; y0  y  в направлении вектора S
( M1  D ). Функция получит приращение z , которое выражается через
частные производные по формуле
z
z
z  x  y   1x   2 y , где  1 и  2 – бесконечно малые.
x
y
z z x z y
x
y
 
 
 1
2
S x S y S
S
S

y
x
 cos  .
 cos  ,
S
S
α и β – углы, которые вектор S составляет с положительными
направлениями оси Ox и оси Oy. cos и cos  называются
направляющими косинусами.
5
Перейдем к пределу z при S стремящемся к нулю. Так как
S
S  x  y , то при S  0 , x  0 и y  0 .
Таким образом lim z  z cos   z cos   0  0 .
S  0  S
x
y
2
2
Производная функции z  f x; y  в направлении вектора S
находится по формуле
z z
z
(3)
 cos  cos  .
s x
y
Аналогично для функции трех переменных u  f x; y; z  , точки
M  x; y; z  из области определения G производная по направлению
вектора S  S xi  S y j  S z k находится по формуле
u u
u
u
 cos  cos   cos .
s x
y
z
(4)
Пример. Найти производную функции z  x  x y в точке M 1; 2
в направлении вектора S  3i  4 j .
Решение. Найдем частные производные в точке M
3
z M 
 3x 2  2 xy x 1  7,
y 2
x
2
z M 
 x 2 x1  1.
y
Найдем направляющие косинусы
S  S x2  S y2  9  6  5 , cos  S x  3 , cos   S y  4 .
S 5
S 5
Находим производную по формуле (3)
z M 
3
4 21  4
 7   1 
5
s
5
5
5
Задания
1. Найти производную функции z
 x2  y2
направлению, составляющему с осью ОХ угол 30 .
2
2. Найти производную функции z  x 
в точке P3; 4  по
0
A1;  1 по направлению вектора
 

s  3i  j .
y 2  xy
в точке
3. Найти производную функции u  xyz в точке A5;1; 2 по
направлению идущему от этой точки к точке B9; 4;14 .
6
4. Найти производную функции u  x 2 y  xy 2  yz 2 в точке
M 2;  2;  1 по направлению от М к началу координат.
Ответы
1) 3 3  4 ;
2)
3  1 ; 3) 98 ; 4) 18.
2
13
Контрольные вопросы
1. Какая плоскость называется касательной к поверхности?
2. Каким уравнением задается касательная плоскость к поверхности
z  f  x, y  в точке M 0 x0 , y0 , z0 ?
3. Каким уравнением задается касательная плоскость, если
поверхность задана неявной функцией F  x, y, z   0 ?


4. Что называется нормалью?
5. Как задается нормаль к поверхности F  x, y, z   0 в точке
M 0  x0 , y 0 , z 0  ?
6. Как определяется производная функции двух переменных в
данном направлении?
7. Что называется направляющими косинусами?
8. Как определяется производная функции трех переменных по
заданному направлению?
Используемая литература:
[1] глава IX, § 45, стр. 273-274,
[2] глава VIII, § 3, стр. 203-204
7
Практическое занятие № 4
Тема: ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Продолжительность занятия: 2 часа
Цель занятия. Научить студентов исследовать на экстремум
функции двух переменных.
Порядок проведения:
 ответить на контрольные вопросы;
 разобрать предложенный пример;
 выполнить самостоятельно задания.
Студент должен:
знать: определения максимума и минимума функции двух
переменных; необходимое и достаточное условия существования
экстремумов функции двух переменных; правило исследования на
экстремум;
уметь: проводить исследование на экстремум функции двух
переменных.
Указание 1
Точка M 0 x0 , y0  называется точкой максимума (минимума)
z  f x, y  , если существует такая окрестность точки M 0 , что
для всех точек M x, y  из этой окрестности, отличных от M 0 ,
функции
выполняется неравенство
f M 0   f M   f M 0   f M  .
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а
значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом
(минимумом) или экстремумом функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е.
точки, принадлежащие области определения функции, в которых все ее
частные производные обращаются в ноль или не существует хотя бы
одна из них.
Для
функции
двух
переменных
z  f x, y  , дважды
дифференцируемой в критической точке M 0 составим дискриминант

''
z xx
''
z xy
z 'yx'
z 'yy'
Тогда 1) если M 0   0 , то M 0 - точка экстремума, причем
8
если z xx  0 , точка максимума;
''
''
если z xx
 0 , точка минимума;
M 0   0 , то случай неопределенный и требуется
дополнительное исследование.
Пример. Найти экстремумы функции z  x 3  y 3  9 xy .
Решение. 1) Найдем частные производные
z
z
 3x 2  9 y ,
 3y 2  9x .
x
y
2) Найдем критические точки. В данном случае критическими
служат те точки, в которых частные производные обращаются в ноль.
Решаем систему уравнений
2) если

x2
2
2

x2

,
3 x  9 y  0, или  x  3 y, или  y 
y
,

или
или
3
 2
 2

3



3
y

9
x

0
,
y

3
x
,


 x 4  27 x  0,
 xx 3  27   0,


 x1  0, x2  3,

 y1  0, y2  3.
Получили две критические точки A0, 0 и B3, 3 .
3) Находим частные производные второго порядка:
2z
 6x ,
x 2
2 z
2 z

 9 ,
xy yx
Составим дискриминант
6x  9

 36 xy  81.
9 6y
2 z
 6y .
y 2
4) Исследуем точку A0, 0 :
 A  36  0  0  81  81  0.
В точке A экстремума нет.
Исследуем точку B3, 3 :
B  36  3  3  81  324  81  0.
В точке B экстремум есть.
Поскольку z '' ( B)  6  3  18  0 , точка B3, 3 является точкой
минимума. Значение функции в этой точке Z 3; 3  33  33  9  3  3  27 .
Задание.
Исследовать на экстремум следующие функции:
9
1) z  x 2  y 2  8 x  2 ;
2) z  3x 2  y 2  4 y  5 ;
3) z  x 2  xy  2 y 2  x  y ;
4) z   x 2  xy  y 2  3x  6 y ;
5) z  x 3  xy2  6 xy ;
6) z  x 3  8 y 3  6 xy  1 .
Ответы:
1) zmin  z4, 0  18 ;
2) нет экстремума;
3) zmin  z1; 1  0 ;
4) z max  z 0; 3  9 ;


5) z min  z 3 ,  3  6 3 ;


zmax  z  3;  3  6 3 ;
6) z max  z  1;  0,5  0 ;
Контрольные вопросы
1. Как определяется точка максимума функции двух переменных?
2. Как определяется точка минимума функции двух переменных?
3. Какое условие является необходимым условием существования
экстремума?
4. Какое условие является достаточным условием существования
экстремума?
5. По какому правилу проводится исследование на экстремум
функции двух переменных?
Используемая литература:
[1] глава IX, § 46, 46.1, 46.2, стр. 274-277,
[2] глава VIII, § 4, стр. 204-207,
Используемая литература
1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и
задачах. ч.1. - М., Высшая школа, 1999 г.
2. Пехлецкий И.Д. математика: учебник- М.: изд. Центр «Академия»,
«Мастерство», 2002г., 304 с.
10
Составители:
Людмила Петровна Ирушкина
Светлана Васильевна Мягкова
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ЧАСТЬ II
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией авторов
Темплан 2008 г., поз. № 84К.
Подписано в печать 06. 10. 2008 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 0,69. Усл. авт. л. 0,5.
Тираж 60 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
11