Приложение 1. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Точка

Приложение 1.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1.
Точка движется по окружности радиусом R=4 м. Закон ее
движения выражается уравнением S =A+Bt2, где А=8 м; В= -2 м/с2. Найти
момент времени t, когда нормальное ускорение точки аn= 9м/с2; скорость ;
тангенциальное а и полное а ускорения точки в этот момент времени.
2.
Две материальные точки движутся согласно уравнениям:
2
х1=А1t+В1t + С1t3 и х2=А2t + В2t2+ С2t3, где А1=4 м/ с; B1=8 м/с2; С1=-16 м/с3;
А2=2 м/с; B2=-4 м/с2; С2 =1 м/с3. В какой момент времени t ускорения этих
точек будут одинаковы? Найти скорости  1 и  2 точек в этот момент.
3.
Движения двух материальных точек выражаются уравнениями
х1=А1 + В1t+ С1t2 и х2=А2 + В2t+ С2t2, где А1=20 м; B1=2 м/с; С1=-4 м/с2; А2=2
м; B2=2 м/с; С2=0,5 м/с2. В какой момент времени скорости этих точек будут
одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?
4.
Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение
движения имеет вид х=Аt + Вt3, где А=3 м/с; B=0,06 м/с3. Найти скорость  и
ускорение точки в момент времени t1=0 и t2=3 с. Каковы средние значения
скорости и ускорения за первые 3 с движения?
5.
Точка движется по прямой согласно уравнению х=Аt + Вt3, где
А=6 м/с; B=0,125 м/с3. Определить среднюю скорость
точки в
интервале времени от t1=2 c до t2=6 с.
6.
Две материальные точки движутся согласно уравнениям
х1=А1+В1t+С1t2 и х2=А2+С2t2, где А1=10 м; B1=32 м/с; С1=-3 м/ с2; А2=5 м;
С2=5 м/с2 . В какой момент времени скорости этих точек одинаковы? Чему
равны скорости и ускорения точек в этот момент?
7.
Искусственный спутник обращается вокруг Земли по круговой
орбите на высоте H=3200 км над поверхностью Земли. Определить
линейную скорость спутника.
8.
Колесо радиусом R=0,3м вращается согласно уравнению 
3
=Аt+Bt , где А=1 рад/с; В=0,1 рад/с3. Определить полное ускорение точек на
окружности колеса в момент времени t=2 с.
9.
Материальная точка движется по окружности радиуса R=2 м
согласно уравнению S=Аt + Вt3 , где А=8 м/с; B=-0,2 м/с3. Найти скорость  ,
тангенциальное а , нормальное аn и полное а ускорения в момент времени
t=3 с.
10. Диск радиусом R=0,2м вращается согласно уравнению 
=А+Вt+Сt3, где А=3 рад; В=-1 рад/с; С=0,1 рад/с3. Определить
тангенциальное а , нормальное аn и полное а ускорения точек на окружности
диска для момент времени t=10 с.
11. По дуге окружности радиуса R=10 м вращается точка. В
некоторый момент времени нормальное ускорение точки аn=4,9 м/с2 , вектор
полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального
ускорения угол  =600. Найти скорость  и тангенциальное ускорение а
точки.
12. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент
времени смещение точки х=5 см, скорость  =20 см/с и ускорение а=-80
см/с2. Найти циклическую частоту и период колебаний; фазу колебаний в
рассматриваемый момент времени и амплитуду колебаний.
13. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых
имеет вид х=Аsin t, где А=5 см;  =2 с-1. Найти момент времени
(ближайший к началу отсчета), в который потенциальная энергия точки
П=10-4 Дж, а возвращающая сила F=+5 · 10-3 Н. Определить также фазу
колебаний в этот момент времени.
14. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой,
имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно
колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний.
15. Точка совершает одновременно два гармонических колебания,
происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых
уравнениями: х=А1cos 1t и у=А2cos 2 (t+ ), где А1=4 см;  1= с-1; А2 =8
см;  2= с-1;  =1 с. Найти уравнение траектории и начертить ее с
соблюдением масштаба.
16. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со
скоростью  =15 м/с. Период колебаний точек шнура Т=1,2 с. Определить
разность фаз  колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от
источника волн на расстояниях х1=20 м и х2=30 м.
17. Определить скорость v распространения волны в упругой среде,
если разность фаз колебаний двух точек, отстоящих друг от друга га 10
см, равна 60о. Частота колебаний v=25 Гц.
18. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются
волны со скоростью v=50 м/с. Период колебаний Т=0,5 с., расстояние между
точками x=50 см. Найти разность фаз  колебаний в этих точках.
19. Шар массой m1=10 кг сталкивается с шаром массой m2=4 кг.
Скорость первого шара  1=4 м/с, второго -  2=12 м/с. Найти общую
скорости шаров после удара в двух случаях: когда малый шар нагоняет
большой шар, движущийся в том же направлении, и когда шары движутся
навстречу друг другу. Удар считать прямым, центральным, неупругим.
20. В лодке массой М=240 кг стоит человек массой m=60 кг. Лодка
плывет со скоростью  =2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном
направлении со скоростью  =4 м/с (относительно лодки). Найти скорость
лодки после прыжка человека: вперед по движению лодки; в сторону,
противоположную движению лодки.
21. Шар массой m1=200 г, движущийся со скоростью  1=10 м/с,
ударяет неподвижный шар массой m2=800г. Удар прямой, центральный,
абсолютно упругий. Определить скорости шаров после удара.
22. Снаряд массой m=10 кг обладал скоростью  =300 м/с в верхней
точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая массой
m1=2 кг получила скорость  1=500 м/с. С какой скоростью и в каком
направлении полетит большая часть, если меньшая полетела вперед под
углом  =600 к плоскости горизонта?
23. Шарик массой m=200 г ударился о стенку со скоростью  =10 м/c
и отскочил от нее с такой же скоростью. Определить импульс p, полученный
стенкой, если до удара шарик двигался под углом  =300 к плоскости стенки?
24. Шарик массой m=100 г свободно падает с высоты h1=1 м на
стальную плиту и подпрыгивает на высоту h2=0,5 м. Определить импульс p
(по величине и направлению), сообщенный плитой шарику.
25. Шарик массой m1=100 г ударился о стенку со скоростью  =5 м/с
и отскочил от нее с той же скоростью. Определить импульс, полученный
стенкой, если до удара шарик двигался под углом  =600 к плоскости стенки.
26. На тележке, свободно движущейся по горизонтальному пути со
скоростью 1=3 м/с, находится человек. Человек прыгает в сторону,
противоположную движению тележки. После прыжка скорость тележки
изменилась и стала равной u1=4 м/с. Определить горизонтальную
составляющую скорости u2х человека при прыжке относительно тележки.
Масса тележки m1=210 кг, масса человека m2=70 кг.
27. Снаряд, летящий со скоростью 0=500 м/с, разорвался на два
осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 20% от общей массы
снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью u1=200м/с.
Определить скорость u2 большего осколка.
28. На железнодорожной платформе установлено орудие. Орудие
жестко скреплено с платформой. Масса платформы и орудия М=20 т. Орудие
производит выстрел под углом  =600 к линии горизонта в направлении
пути. Какую скорость u1 приобретает платформа с орудием вследствие
отдачи, если масса снаряда m=50 кг и он вылетает из канала ствола со
скоростью u2=500 м/с?
29. Две одинаковые лодки массами М=200 кг (вместе с человеком,
находящимся в лодке) движутся параллельными курсами навстречу друг
другу с одинаковой скоростью 1=1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с
первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно
перебрасывают груз массой m=20 кг. Определить скорости лодок после
перебрасывания грузов.
30. Шар массой m1= 2 кг движется со скоростью 1=3 м/с и
сталкивается с шаром массой m2= 1 кг, движущимся ему навстречу со
скоростью v2= 4 м/с. Определить скорости шаров после прямого
центрального удара. Удар считать абсолютно упругим.
31. Шар массой m1= 6 кг движется со скоростью 1=2 м/с и
сталкивается с шаром массой m2= 4кг, который движется ему навстречу со
скоростью 2=5 м/с. Найти скорость шаров после прямого центрального
удара. Шары считать абсолютно упругими.
32. Молот массой m=10 кг ударяет по небольшому куску мягкого
железа, лежащего на наковальне. Масса наковальни М=0,4 т. Определить
к.п.д. удара молота при данных условиях. Удар считать неупругим. Полезной
в данном случае является энергия, пошедшая на деформацию куска железа.
33. Шар массой m1= 2 кг движется со скоростью v1=4 м/с и
сталкивается с покоящимся шаром массой m 2=5 кг. Определить скорости
шаров после прямого центрального удара. Шары считать абсолютно
упругими.
34. На покоящийся шар налетает со скоростью  =4 м/с другой шар
одинаковой с ним массы. В результате столкновения шар изменил
направление движения на угол  =300. Определить скорости шаров после
удара. Удар считать абсолютно упругим.
35. На спокойной воде пруда находится лодка длиной l=4 м,
расположенная перпендикулярно к берегу. На корме лодки стоит человек.
Масса лодки с человеком М=240 кг, масса человека m=60 кг. Человек
перешел с кормы на нос лодки. На сколько переместились при этом
относительно берега человек и лодка?
36. Из пружинного пистолета выстрелили пулькой, масса которой
m=5 г. Жесткость пружины k=1,25 кН/м. Пружина была сжата на  l=8 см.
Определить скорость пульки при вылете ее из пистолета.
37. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным
шаром и передал ему 64% своей кинетической энергии. Шары абсолютно
упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара
больше массы первого?
38. Боек свайного молота массой m1=0,6 т падает с некоторой
высоты на сваю массой m2= 150 кг. Найти к.п.д. бойка, считая удар
неупругим. Полезной считать энергию, пошедшую на углубление сваи.
39. Шар массой m1=5 кг движется со скоростью 1=2 м/с и
сталкивается с покоящимся шаром массой m2=3 кг. Вычислить работу А,
совершенную при деформации шаров при прямом центральном ударе. Шары
считать неупругими.
40. Деревянный шар массой М=10 кг подвешен на нити длиной l=2м.
В шар попадает горизонтально летящая пуля массой m=5 г и застревает в
нем. Определить скорость  пули, если нить с шаром отклонилась от
вертикали на угол  =30. Размером шара пренебречь. Удар пули считать
центральным.
41. Вагон массой m=40 т движется на упор со скоростью =0,1 м/с.
При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на l=10см.
Определить максимальную силу Fмакс сжатия буферных пружин и
продолжительность t торможения.
42. Атом распадается на две части массами m1=1,6 · 10-25 кг и m2=2,3 ·
10-25 кг. Определить кинетические энергии Т1 и Т2 частей атома, если их
общая кинетическая энергия Т=2,2 · 10-11 Дж. Кинетической энергией и
импульсом атома до распада пренебречь.
43. Тело массой m=0,2 кг соскальзывает без трения с горки высотой
h=2 м. Найти изменение импульса p тела.
44. Какую максимальную часть своей кинетической энергии может
передать частица массой m1=2 · 10-22 г, сталкиваясь упруго с частицей массой
m2=8 · 10-22 г, которая до столкновения покоилась?
45. Абсолютно упругий шар массой m1=1,8 кг сталкивается с
покоящимся упругим шаром большей массы. В результате центрального
прямого удара шар потерял 36% своей кинетической энергии. Определить
массу m2 большого шара.
46. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться около
оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра m1= 12 кг. На цилиндр
намотали шнур, к которому привязали гирю массой m2=1 кг. С каким
ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяжения шнура во время
движения гири?
47. Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к
концам которой привязаны грузы с массами m1=100 г и m2=300 г. Массу
колеса М=200 г считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц
пренебречь. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силы
натяжения нити по обе стороны блока.
48. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили
одинаковую угловую скорость =63рад/с и предоставили их самим себе. Под
действием сил трения первый маховик остановился через одну минуту, а
второй сделал до полной остановки N=360 оборотов. У какого маховика
тормозящий момент был больше и во сколько раз?
49. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой h=90 см.
Какую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар
скатится с наклонной плоскости?
50. На верхней стороне горизонтального диска, который может
вращаться вокруг вертикальной оси, проложены по окружности радиуса r=50
см рельсы игрушечной железной дороги. Масса диска М=10 кг, его радиус
R=60 см. На рельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик
массой m=1 кг и выпущен из рук. Он начал двигаться относительно рельсов
со скоростью  = 0,8 м/с . С какой угловой скоростью будет вращаться диск?
51. Платформа в виде диска вращается по инерции около
вертикальной оси с частотой n1=15 об/мин. На краю платформы стоит
человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до
n2=25 об/мин. Масса человека m=70 кг. Определить массу М платформы.
Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.
52. Вычислить массу m атома азота.
53. Плотность газа  при давлении р=720 мм рт. ст. и температуре
0
t=0 С равна 1,35 г/л. Найти массу киломоля  газа.
54. Каково будет давление газа, в объеме V=1 см3 которого
содержится N=109 молекул при температуре Т1=3 К и Т2=1000 К?
55. При температуре t=350 С и давлении р=7 атм плотность
некоторого газа  =12,2 кг/м3. Определить молярную массу М газа.
56. Какой объем V занимает смесь азота массой m1=1кг и гелия
m2=1кг при нормальных условиях?
57. В баллоне емкостью V=15 л находится смесь, содержащая m1=10
г водорода, m2=54 г водяного пара и m3=60 г окиси углерода. Температура
смеси t=270 С. Определить давление.
58. Найти полную кинетическую энергию, а также кинетическую
энергию вращательного движения одной молекулы аммиака NH3 при
температуре t=270 С.
59. Определить удельные теплоемкости сv и сp газообразной окиси
углерода СО.
60. Определить удельные теплоемкости сv и сp газа, состоящего по
массе из кислорода (О2) и 15% озона (О3).
61. Определить удельные теплоемкости сv и сp смеси, содержащей
m1=3 кг азота и m2=1 кг водяного пара, принимая эти газы за идеальные.
62. Молекула газа состоит из двух атомов; разность удельных
теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме равна
260 Дж/(кг·К). Найти молярную массу газа и его удельные теплоемкости сv и
сp .
63. Найти среднюю длину свободного пробега <l> молекулы
водорода при давлении р= 0,001 мм рт. ст. и температуре t=-1730 С.
64. Водород занимает объем V1=10 м3 при давлении р1=0,1 Па. Газ
нагрели при постоянном объеме до давления р2=0,3 МПа. Определить
изменение  U внутренней энергии газа, работу А, совершенную газом, и
теплоту Q , сообщенную газу.
65. Кислород при неизменном давлении р=80 кПа нагревается. Его
объем увеличивается от V1=1 м3 до V2=3 м3. Определить изменение U
внутренней энергии кислорода, работу А, совершенную им при расширении,
а также теплоту Q , сообщенную газу.
66. В цилиндре под поршнем находится азот, имеющий массу m=0,6
кг и занимающий объем V1=1,2 м3 при температуре Т1=560 К. В результате
нагревания газ расширился и занял объем V2=4,2 м3, причем температура
осталась неизменной. Найти изменение U внутренней энергии газа,
совершенную им работу А и теплоту Q , сообщенную газу.
67. Какую энергию надо затратить, чтобы выдуть мыльный пузырь
диаметром d=12 см? Каково будет добавочное давление внутри этого
пузыря?
68. Трубка имеет диаметр d=0,2 см. На нижнем конце трубки
повисла капля воды, имеющая вид шарика. Найти диаметр этой капли.
69. В сосуд с ртутью частично погружены две вертикально
расположенные и параллельные друг другу стеклянные пластинки.
Расстояние между пластинками d=1 мм. Определить разность h уровней
ртути в сосуде и между пластинками. Краевой угол принять равным 1380.
70. Два шарика массой m=1 г каждый подвешены на нитях, верхние
концы которых соединены вместе. Длина каждой нити l=10 см. Какие
одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол
 =60о?
71. Расстояние d между зарядами Q1=100 нКл и Q2 =-50 нКл равно 10
см. Определить силу F, действующую на заряд Q3=1 мкКл, отстоящий на
r1=12 см от заряда Q1 и на r2=10 см от заряда Q2.
72. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной
плотностью  =1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии d=12
см от его конца находится точечный заряд Q=0,2 мкКл. Определить силу
взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
73. Длинная прямая тонкая проволока несет равномерно
распределенный заряд. Вычислить линейную плотность  заряда, если
напряженность поля на расстоянии r=0,5 м от проволоки против ее середины
E=2 В/см.
74. С какой силой, приходящейся на единицу площади,
отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные
плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда  =2 мкКл/м2?
75. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти
электрон, чтобы получить скорость =8000 км/с?
76. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с
поверхностной плотностью  =10 нКл/м2. Определить разность потенциалов
двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена
от нее на расстояние а=10 см.
77. Электрон с начальной скоростью 0=3 106 м/с влетел в
однородное электрическое поле напряженностью Е=150 В/м. Вектор
начальной
скорости
перпендикулярен
линиям
напряженности
электрического поля. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2)
ускорение, приобретаемое электроном; 3) скорость электрона через t=0,1
мкс.
78. К батарее с э.д.с. =300 В подключены два плоских конденсатора
емкостью С1=2 пФ и С2=3 пФ. Определить заряд Q и напряжение U на
пластинах конденсаторов в двух случаях: 1) при последовательном
соединении; 2) при параллельном соединении.
79. Конденсатор емкостью С1=600 см зарядили до разности
потенциалов U=1,5 кВ и отключили от источника напряжения. Затем к
конденсатору присоединили параллельно второй, незаряженный конденсатор
емкостью С2=400 см. Сколько энергии, запасенной в первом конденсаторе,
было израсходовано на образование искры, проскочившей при соединении
конденсаторов.
80. На концах медного провода длинной l=5 м поддерживается
напряжение U=1 В. Определить плотность тока  в проводе.
81. Сопротивление r1=5 Ом, вольтметр и источник тока соединены
параллельно. Вольтметр показывает напряжение U1=10 В. Если заменить
сопротивление на r2=12 Ом, то вольтметр покажет напряжение U2=12 В.
Определить э.д.с. и внутреннее сопротивление источника тока. Током через
вольтметр пренебречь.
82. Определить заряд, прошедший по проводу с сопротивлением r=3
Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U1=2 В
до U2=4 В в течение времени t=20 с.
83. Определить силу тока в цепи, состоящей из двух элементов с
э.д.с. 1 =1,6 В и  2=1,2 В внутренними сопротивлениями r1=0,6 Ом и r2= 0,4
Ом, соединенных одноименными полюсами.
84. Три батареи с э.д.с. 1 =8 В, 2=3 В и 3=4 В с внутренними
сопротивлениями r=2 Ом каждое соединены одноименными полюсами.
Пренебрегая сопротивлением соединительных проводов, определить токи,
идущие через батареи.
85. Две электрические лампочки с сопротивлениями R1=350 Ом и
R2=240 Ом включены в сеть параллельно. Какая из лампочек потребляет
большую мощность? Во сколько раз?
86. Источник
тока,
амперметр
и
резистор
соединены
последовательно. Если взять резистор из медной проволоки длиной L=100 м
и поперечным сечением S=2 мм2, то амперметр показывает ток I1=1,43 А.
Если же взять резистор из алюминия длиной L=57,3 м и поперечным
сечением S=1 мм2, то амперметр показывает ток I2=1 А. Сопротивление
амперметра RА=0,05 Ом. Найти ЭДС источника тока и его внутреннее
сопротивление r.
87. Напряженность магнитного поля H=100 А/м. Вычислить
магнитную индукцию В этого поля в вакууме.
88. По двум длинным параллельным проводам текут в одинаковом
направлении токи I1=10 А и I2=15 А. Расстояние между проводами а=10 см.
Определить напряженность Н магнитного поля в точке, удаленной от первого
провода на r1=8 см и от второго r2=6 см.
89. Решить задачу № 88 при условии, что токи текут в
противоположных направлениях, точка удалена от первого проводника на
r1=15 см и от второго на r2=10 см.
90. По тонкому проводнику, изогнутому в виде правильного
шестиугольника со стороной а=10 см, идет ток I=20 А. Определить
магнитную индукцию в центре шестиугольника.
91. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг
другу витков провода диаметром d=0,2 мм. Определить магнитную
индукцию В на оси соленоида, если по проводу идет ток I=0,5 А.
92. В однородное магнитное поле с индукцией B=0,01 Т помещён
прямой проводник длиной l=20 см (подводящие провода находятся вне
поля). Определить силу F, действующую на проводник, если по нему течёт
ток I=50 А, а угол между направлением тока и вектором магнитной индукции
 =300 .
93. Рамка с током I=5 A содержит N=20 витков тонкого провода.
Определить магнитный момент pм рамки с током, если её площадь S=10 см2.
94. По витку радиусом R=10 см течёт ток I=50 А. Виток помещён в
однородное магнитное поле индукцией В=0,2 Т. Определить момент сил М,
действующий на виток, если плоскость витка составляет угол  =60 с
линиями индукции.
95. Протон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям
индукции и описал дугу радиусом R=10 см. Определить скорость протона,
если магнитная индукция В=1 Т.
96. Определить частоту n обращения электрона по круговой орбите в
магнитном поле с индукцией В=1 Т.
97. Электрон в однородном магнитном поле движется по винтовой
линии радиусом R=5 см и шагом h=20 см. Определить скорость электрона,
если магнитная индукция В=0,1 мТ.
98. Кольцо радиусом R=10 см находится в однородном магнитном
поле с индукцией В=0,318 Т. Плоскость кольца составляет угол  =300 c
линиями индукции. Вычислить магнитный поток, пронизывающий кольцо.
99. По проводнику, согнутому в виде квадрата со стороной а=10 см,
течёт ток I=20 А. Плоскость квадрата перпендикулярна магнитным силовым
линиям поля. Определить работу А, которую необходимо совершить для
того, чтобы удалить проводник за пределы поля. Магнитная индукция В=0,1
Т. Поле считать однородным.
100. Проводник длиной l=1 м движется со скоростью  =5 м/с
перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля.
Определить магнитную индукцию В, если на концах проводника возникает
разность потенциалов U=0,02 B.
101. Рамка площадью S=50 см2, содержащая N=100 витков,
равномерно вращается в однородном магнитном поле (В=40 мТ). Определить
максимальную э.д.с. индукции, если ось вращения лежит в плоскости рамки
и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой n=960
об/мин.
102. Кольцо из проволоки сопротивлением r=1 мОм находится в
однородном магнитном поле (В=0,4 Т). Плоскость кольца составляет угол 
=900 с линиями индукции. Определить заряд, который протечёт по кольцу,
если его выдернуть из поля. Площадь кольца S=10 см2.
103. Соленоид содержит N=4000 витков провода, по которому течёт
ток I=20 A. Определить магнитный поток Ф и потокосцепление ?, если
индуктивность L=0,7 Г.
104. На картонный каркас длиной l=50 см и площадью сечения S=4
2
см намотан в один слой провод диаметром d=0,2 мм так, что витки плотно
прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Определить
индуктивность L получившегося соленоида.
105. Определить силу тока в цепи через t=0,01 c после её размыкания.
Сопротивление цепи r=20 Ом и индуктивность L=0,1 Г. Сила тока до
размыкания цепи I0=50 A.
106. По обмотке соленоида индуктивностью L=0,2 Г течёт ток I=10 А.
Определить энергию W магнитного поля соленоида.
107. На пути луча света поставлена стеклянная пластинка толщиной
d=1 мм так, что угол падения луча i1=300. На сколько изменится оптическая
длина пути луча?
108. На мыльную плёнку с показателем преломления n=1,33 падает по
нормали монохроматический свет с длиной волны =0,6 мкм. Отражённый
свет в результате интерференции имеет наибольшую яркость. Какова
наименьшая возможная толщина плёнки?
109. Радиус второго тёмного кольца Ньютона в отражённом свете
r2=0,4 мм. Определить радиус кривизны плосковыпуклой линзы, взятой для
опыта, если она освещается монохроматическим светом с длиной волны
=0,64 мкм.
110. На пластину со щелью, ширина которой а=0,05 мм, падает
нормально монохроматический свет длиной волны =0,7 мкм. Определить
угол  отклонения лучей, соответствующих первому дифракционному
максимуму.
111. Дифракционная решётка, освещённая нормально падающим
монохроматическим светом, отклоняет спектр третьего порядка на угол 
=300. На какой угол отклоняет она спектр четвёртого порядка?
112. Угол преломления луча в жидкости i2=350. Определить
показатель n преломления жидкости, если известно, что отражённый луч
максимально поляризован.
113. На сколько процентов уменьшается интенсивность света после
прохождения через призму Николя, если потери света составляют 10%?
114. При какой скорости  масса движущейся частицы в три раза
больше массы покоя этой частицы?
115. Определить скорость  электрона, имеющего кинетическую
энергию Т=1,53 МэВ.
116. Электрон движется со скоростью  =0,6·с (где с – скорость света
в вакууме). Определить импульс p электрона.
117. Вычислить энергию, излучаемую за время t=1 мин с площади
S=1 см2 абсолютно чёрного тела, температура которого Т=1000 К.
118. Длина волны, на которую приходится максимум энергии
излучения абсолютно чёрного тела 0=0,6 мкм. Определить температуру Т
тела.
119. Определить энергию  , массу m и импульс p фотона с длиной
волны  =1,24 нм.
120. На пластину падает монохроматический свет ( =0,42
мкм).Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов
U=0,95 В. Определить работу А выхода электронов с поверхности пластины.
121. На цинковую пластину падает пучок ультрафиолетовых лучей (
=0,2 мкм). Определить максимальную кинетическую энергию Тмакс и
максимальную скорость  макс фотоэлектронов.
122. Определить максимальную скорость  макс фотоэлектрона,
вырванного с поверхности металла  - квантом с энергией  =1,53 МэВ.
123. Поток энергии, излучаемый электрической лампой, Фэ=600 Вт.
На расстоянии r=1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам
расположено круглое плоское зеркальце диаметром d=2 см. Определить силу
F светового давления на зеркальце. Лампу рассматривать как точечный
изотропный излучатель.
124. Параллельный пучок монохроматических лучей длиной волны 
=0,663 мкм падает на зачернённую поверхность и производит на неё
давление p=0,3 мкН/м2. Определить концентрацию n фотонов в световом
пучке.
125. Определить энергию  фотона, испускаемого при переходе
электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на основной.
126. Определить первый потенциал возбуждения  атома водорода.
127. Вычислить длину волны де Бройля  для электрона, прошедшего
ускоряющую разность потенциалов U=22,5 В.
128. Вычислить длину волны де Бройля  для протона, движущегося
со скоростью  =0,6·c (с – скорость света в вакууме).
129. Оценить
с
помощью
соотношения
неопределённостей
минимальную кинетическую энергию T мин электрона, движущегося внутри
сферической области диаметром d=0,1 нм.
130. Если допустить, что неопределённость координаты движущейся
частицы равна дебройлевской длине волны, то какова будет относительная
неопределённость p/p импульса этой частицы?
131. Вычислить энергию связи Е ядра дейтерия 1Н2 и трития 1Н3.
132. Вычислить
энергетический
эффект
Q
реакции
.
133. Вычислить
энергетический
эффект
Q
реакции
.
134. Определить число N атомов радиоактивного препарата йода
131
(53J ) массой m=0,5 мкг, распавшихся в течение времени: 1) t1=1 мин; 2)
t2=7 сут.
135. Определить активность а радиоактивного препарата 38Sr90 массой
m=0,1 мкг.
136. Из какого миллиарда атомов препарата радиоактивного изотопа
каждую секунду распадается 1600 атомов. Определить период Т полураспада.
137. Активность а препарата некоторого изотопа за время t=5 суток
уменьшилась на 30%. Определить период Т полураспада этого препарата.
138. Найти период полураспада Т радиоактивного препарата 15P32,
если активность за время t=20 суток уменьшилась на 62% по сравнению с
первоначальной.
139. Определить, какая доля радиоактивного препарата 38Sr90
распадается в течение времени t=10 лет.
140. Определить массу m препарата изотопа 27Co60, имеющего
активность а=1 Ки.
141. Определить массу N ядер, распадающихся в течение времени: 1)
t=1 сутки; 2) t=1 год, в радиоактивном препарате церия 58Cе144 массой m=1
мг.
142. Во сколько раз уменьшится активность препарата 89Ac225 через
время t=30 суток?
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1.
Уравнение движения материальной точки вдоль оси x имеет вид
x=A+Bt+Ct3 , где А=2 м, В=1 м/с, С=-0,5 м/с3. Найти координату x, скорость
 и ускорение а точки в момент времени t=2 c.
Решение.
Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые
значения коэффициентов А, В и С и времени t:
Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по
времени
.
В момент времени t=2 с
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по
времени:
В момент времени t=2 c
Пример 2.
При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой
m=20 г поднялась на высоту h=5 м. Определить жесткость k пружины
пистолета, если она была сжата на s=10 см. Массой пружины пренебречь.
Решение.
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии в
механике. Но прежде проследим за энергетическими превращениями, с
которыми связан выстрел.
При зарядке пистолета сжимается пружина. При этом совершается
работа А1, в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию
П1. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в
кинетическую энергию Т2 пули, а затем при подъеме ее на высоту h
превращается в потенциальную энергию П2 пули. Если пренебречь потерями
энергии в этой “цепочке” энергетических превращений, то на основании
закона сохранения энергии можно записать
А1=П2
(1)
Выразим работу А1. Сила F1, сжимающая пружину, является
переменной: в каждый момент она по направлению противоположна силе
упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине
при ее деформации, определяется по закону Гука:
F=-kх,
где х - абсолютная деформация пружины.
Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ.
Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулой
dА1=F1dх,
dА1=kxdx.
Интегрируя в пределах от 0 до s, получим
(2)
Потенциальная энергия пули на высоте h определится по формуле
,
(3)
где g - ускорение свободного падения.
Подставив в (1) значение A1 из (2) и П1 из (3), найдем
,
откуда
.
(4)
Проверим, дает ли полученная формула единицу измерения жесткости
k. Для этого в правую часть формулы (4) вместо величин подставим единицы
их измерения (единицу измерения какой-либо величины принято обозначать
символом этой величины, заключенной в квадратные скобки.)
Убедившись, что полученная единица – 1 Н/м - является единицей
измерения жесткости, можем подставить в формулу (4) числовые значения и
произвести вычисления:
Пример 3.
Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью 1,
столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Шары абсолютно упругие,
удар прямой, центральный. Какую долю  своей кинетической энергии
первый шар передал второму?
Решение.
Доля  энергии, переданной первым шаром второму, выразится
соотношением
,
(1)
где Т1 - кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Т2 - скорость
и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из формулы (1), для определения  надо найти u2 закона
сохранения: 1) закон сохранения импульса и 2) закон сохранения
механической энергии. Пользуясь этими законами, найдём u2. По закону
сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получим
.
По закону сохранения механической энергии
(2)
.
Решая совместно уравнения (2) и (3), найдём
(3)
.
Подставив это выражение u2 в формулу (1) и сократив на 1 и m1,
получим
.
Из полученного соотношения видно, что доля переданной энергии
зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии
не изменится, если шары поменяются местами.
Пример 4.
Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой
m1=180 кг вращается по инерции волкруг вертикальной оси с частотой n=10
об/мин. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую
линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если
он перейдет на край платформы?
Решение.
Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних
сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью
платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса Lz системы
платформа-человек остается постоянным:
,
(1)
где Jz - момент инерции платформы с человеком относительно оси z; 
- угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел,
входящих в состав системы, поэтому Jz=J1+J2, где J1 - момент инерции
платформы; J2 - момент инерции человека.
С учетом этого равенство (1) примет вид
,
или
,
(2)
где не штрихованные значения величин относятся к начальному
состоянию системы, штрихованные - к конечному состоянию.
Момент инерции платформы (сплошного диска) относительно оси z
при переходе человека не изменяется:
.
Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться.
Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент
инерции J2 в начальном положении (в центре платформы) можно считать
равным нулю. В конечном положении ( на краю платформы) момент инерции
человека
J'2=m2 R2.
Подставим в формулу (2) найденные выражения моментов инерции, а
также выразим начальную угловую скорость  вращения платформы с
человеком через частоту вращения n ( =2 n) и конечную угловую скорость
' через линейную скорость  человека относительно пола
:
.
После сокращения на R и простых преобразований находим
интересующую нас скорость:
2
.
Подставим числовые значения физических величин в СИ и произведем
вычисления:
Пример 5.
Точка совершает гармонические колебания с частотой =10 Гц . В
момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение
xмакс=1 мм. Написать уравнение колебаний точки.
Решение.
Уравнение колебаний точки можно записать в виде
,
(1)
или
,
(2)
где А - амплитуда колебаний;  - циклическая частота; t - время; 1 и
2- начальные фазы, соответствующие форме записи (1) или (2).
По определению, амплитуда колебаний
A = x макс.
(3)
Цикличная частота  связана с частотой  соотношением
 = 2  .
(4)
Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Если
использовать форму (1), то начальную фазу можно определить из условия:
в момент времени t=0
,
откуда
,
или
.
Изменение фазы на 2 не изменяет состояния колебательного
движения, поэтому можно принять
.
В случае второй формы записи получаем:
(5)
,
или
.
По тем же соображениям, что и в первом случае, находим
.
(6)
С учетом равенств (3), (4), (5), и (6) уравнения колебаний примут вид:
и
где xмакс=1 мм =10-3 м;  =10 Гц .
Пример 6.
Два точечных электрических заряда Q1=1 нКл и Q2=-2 нКл находятся в
воздухе на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить напряжённость E и
потенциал  поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от
заряда Q1 на расстояние r1=9 см и от заряда Q2 на r2=7 см.
Решение.
Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд
создаёт поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов.
Поэтому напряжённость
электрического поля в искомой точке может быть
найдена как геометрическая сумма напряжённостей
создаваемых каждым зарядом в отдельности:
и
полей,
.
Напряжённость электрического поля, создаваемого в воздухе ( =1)
первым зарядом,
;
(1)
.
(2)
вторым зарядом
Вектор
направлен по силовой линии от заряда Q1, так как заряд Q1
положителен; вектор
направлен также по силовой линии, но к заряду Q2,
так как заряд Q2 отрицателен.
Абсолютное значение вектора
найдём по теореме косинусов:
,
где  - угол между векторами
треугольника со сторонами r1, r2 и d:
и
(3)
, который может быть найден из
.
В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение
cos  вычислить отдельно:
.
Подставляя выражение E1 из формулы (1) и E2 из формулы (2) в
равенство (3) и вынося общий множитель
за знак корня, получим
.
(4)
Подставив числовые значения величин в формулу (4) и произведём
вычисления:
.
При вычислении E знак заряда Q2 опущен, так как знак заряда
определяет направление вектора напряжённости, а направление E2 должно
быть учтено при его графическом изображении.
В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей
потенциал  результирующего поля, созданного двумя зарядами Q1 и Q2,
равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.
.
(5)
Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным
зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой
(6)
В вашем случае согласно формулам (5) и (6) получим
,
или
.
Подставив в это выражение числовые значения физических величин,
получим
.
Пример 7.
Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым
текут в одном направлении токи силой I=60 А, расположены на расстоянии d
=10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля,
создаваемого проводниками с током в точке А, отстоящей от одного
проводника на расстоянии r1=5 см, от другого на расстоянии r2=12 см.
Решение.
Для нахождения магнитной индукции
в указанной точке А
воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого
определим направления векторов магнитной индукции
создаваемых каждым проводником в отдельности, и
геометрически:
и
полей,
сложим их
.
Абсолютное значение магнитной индукции В может быть найдено по
теореме косинусов:
,
(1)
где  - угол между векторами и
.
Значения магнитных индукций (проводник находится в вакууме, т.е.
=1) B1 и В2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r1 и
r2 от проводов до точки А:
Подставляя выражения В1 и В2 в формулу (1) и вынося
корня, получим
.
Вычислим cos a . По теореме косинусов запишем
за знак
(2)
,
где d – расстояние между проводами.
Отсюда
.
После подстановки числовых значений найдём
.
Подставляя в формулу (2) значения I, r1, r2 и cos  , определяем
искомую индукцию:
Пример 8.
На дифракционную решетку в направлении нормали к её поверхности
падает монохроматический свет. Период решётки d=2 мкм. Какого
наибольшего порядка дифракционный максимум даёт эта решётка в случае
красного света ( 1=0,7 мкм) и в случае фиолетового ( l 2=0,41 мкм)?
Решение.
На основании известной формулы дифракционной решётки запишем
следующее выражение порядка дифракционного максимума:
,
(1)
где d – период решётки;  - угол между направлением на
дифракционный максимум и нормалью к решётке;  - длина волны
монохроматического света.
Так как sin не может быть больше 1, то, как это следует из формулы
(1), число m не может быть больше d/l, то есть
.
(2)
Подставив в формулу (2) числовые значения, получим:
для красных лучей
;
для фиолетовых лучей
.
Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то
найдём, что для красного света mмакс=2 и для фиолетового mмакс=4.
Пример 9.
Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с
поверхности
серебра:
1) ультрафиолетовыми лучами с длиной волны  1=0,155 мкм;
2)  - лучами с длиной волны  2=0,01 A.
Решение.
Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из
уравнения Эйнштейна для фотоэффекта
,
(1)
где  - энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А – работа
выхода; Тмакс – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.
Энергия фотона вычисляется по формуле
,
(2)
где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме;  - длина
волны.
Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по
классической формуле
,
или по релятивистской формуле
(3)
(4)
в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону.
Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего
фотоэффект: если энергия  фотона много меньше энергии покоя E0
электрона, то может быть применена формула (3), если же  сравнима по
величине с E0, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, во
избежание которой необходимо кинетическую энергию фотоэлектрона
выражать по формуле (4).
1.
Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей по формуле
(2):
,
или
.
Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя
электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая
энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической
формуле (3):
,
откуда
.
(5)
-18
Выпишем числовые значения величин: 1=1,28·10 Дж (вычислено
выше);
A=4,7эВ=4,7·1,6·10-19Дж=0,75·10-18Дж; m0=9,11·10-31кг.
Подставив числовые значения в формулу (5), найдём
.
2.
Вычислим энергию фотона  - лучей:
,
или
.
Работа выхода электрона (А=4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению
с энергией фотона (2=1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная
кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:
.
Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его
энергии покоя, то для вычисления скорости электрона взять релятивистскую
формулу кинетической энергии
.
Выполнив преобразования, найдём
.
Заметив, что =c и Тмакс=2, получим
.
Сделаем подстановку числовых значений величин и произведём
вычисления:
.
Пример 10.
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел
ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля  для
двух случаев: 1) U1=51 B; 2) U2=510 кВ.
Решение.
Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса p и
определяется формулой
,
(1)
где h – постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая
энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для
нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы меньше её
покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с
энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
,
где m0 – масса покоя частицы.
В релятивистском случае
(2)
,
(3)
где E0=m0 c - энергия покоя частицы.
Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется в
нерелятивистском случае
2
,
(4)
в релятивистском случае
.
(5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в
условии задачи разности потенциалов U1=51 B и U2=510 кВ, с энергией
покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, которую из формул
– (4) или (5) – следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего
ускоряющую разность потенциалов U,
.
В первом случае T1=eU1=51эВ=0,51·10-4МэВ, что много меньше
энергии покоя электрона E0 =m0 c2=0,51МэВ. Следовательно, в этом случае
можно применить формулу (4). Для упрощения расчётов заметим, что T1=104
m0c2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде
.
Учтя, что
есть комптоновская длина волны , получим
.
Так как =2,43 пм (см. справочную табл. 1), то
.
Во втором случае кинетическая энергия
,
то есть равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо
применить релятивистскую формулу (5). Учтя, что T2=0,51МэВ=m0 c2, по
формуле (5) найдём
,
или
.
Подставим значение  и произведём вычисления:
.
Пример 11.
Вычислить дефект массы и энергию связи ядра 3Li7 .
Решение.
Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне
ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы
ядра ( m ) и есть разность между суммой масс свободных нуклонов
(протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.
,
(1)
где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число
(число нуклонов, составляющих ядро); mp, mn, m – соответственно массы
протона, нейтрона и ядра.
В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но
не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в неё
входила масса М нейтрального атома.
Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и
электрона, составляющих электронную оболочку атома:
,
откуда
.
Выразив в равенстве (1) массу ядра по последней формуле, получим
,
или
.
Замечая, что mp+me=MH, где MH – масса атома водорода, окончательно
найдём
.
(2)
Подставив в выражение (2) числовые значения масс (согласно данным
справочных табл. 15 и 17), получим
Энергией связи Е ядра называется энергия, которая в той или иной
форме выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов.
В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии
,
(3)
где с – скорость света в вакууме.
Коэффициент пропорциональности с2 может быть выражен двояко:
,
или
.
Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами,
то
С учётом этого формула (3) примет вид
.
(4)
Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра в формулу
(4), получим
.