urok_po_algebre_v_10_klasse_po_temex

Урок по алгебре и математическому анализу в 10 классе по теме
«Решение тригонометрических неравенств с помощью метода
интервалов»
Обучающая цель: Изучить возможности применения метода интервалов для решения
тригонометрических неравенств
Развивающая цель: Развивать навыки сравнения, обобщения, анализа.
Воспитательная цель: Воспитывать ответственные отношения за результаты своего труда
I Устная работа
1.1.(х+1.5)(х-1)≤0
1.2.(х+1.5)⁷(х-1)2001 ≤0
1.3.(х+1.5)(х-1)≤0
Повторить суть метода интервалов для рациональных неравенств
2.Найти период: F(x)
2.1.у=Sinx+Cos2x
2.2.у=SinxCosx
Обзор по теме: «Нахождение периода тригонометрических функций»
Нахождение периода
тригонометрических
функций
1)y=l(wc), где l- одна из тригонометрических
функций
Пример : y= Sin 2x , T₁=∏
y= tg 3x , T₁=∏/3
2)Период тригонометрических функций,
приводимых к простейшей функции.
Пример: 1) y= 2 Sin² 2x
y= 1-Cos 4x, T₁=∏/2
2) y= Sinx Cosx Cos2x Cos4x
y= 1/8 Sin8x,T₁=∏/4
Период функции, представляющих
алгебраическую сумму простейших функций
Пример: 1) y= Sin 2x +Sin 2x/3
T₁=∏, T₂=3∏
T₁/ T₂=1/3
T= T₂=3 T₁=3∏
2) y= Cos2x Cos 3x
Необходимо привести к алгебраической сумме
y=1/2(Cos (2x+3x)+Cos (2x-3x))
y= 1/2Cos5x+ 1/2Cosx
T₁=2∏/5
T₂= 2∏
T₁/ T₂=1/5
T= 5T₁= T₂= 2∏
3.Решить неравенства:
3.1.Sinx≥0
3.2.Sinx≥1
3.3.Cosx≤0
3.4.Sin3xCosx≥0
Акцент на неравенство. Обсудить версии
Одна из них - составление систем неравенств. Ученики - исследователи, решавшие
неравенства этим путем, показывают, насколько этот путь трудоемкий. Формируется тема урока,
ставятся его цели и задачи.
Sin3x≥0
Sin3x≤0
Cosx≥0
Cosx≤0
II Изучение нового материала
1)Ученица рассказывает решение неравенства Sin2t - Sin3t>0, опираясь на мультимедийную
презентацию. Учащиеся должны уловить алгоритм, перечислить и записать шаги (опора на
слайд).
1)
T₁= π ; T₂=
T=2T₁=3T₂=2π
2)
y(t)=sin2t-sin3t=0 – непрерывна на R. Найдём её нули
на [0;2π).
sin2t-sin3t=0
a)
б)
При kϵ{0,1,3,5,7,9} tϵ[0;2π).
Это числа
3)
Вынесем нули функции на числовую прямую,
выбрав удобный масштаб:
- соответствует 1 клетке, тогда
- 10 клеткам.
+
+
+
0
4)
Определим знак функции y(t) при
5)
Проведём кривую знаков.
Видим, что данное неравенство выполняется на
6)
.
Учитывая периодичность функции, получим
1.
2.
Найти основной период l функции f.
Найти корни уравнения f(t)=0, лежащие на
промежутке [0;l), а также точки разрыва функции
f на этом промежутке.

3.
4.
5.
Найденные точки делят промежуток [0;l) на такие
части, что на каждой из них функция f имеет
постоянный знак.
Методом пробных точек определить знак на
каждой из частей.
Отобрать те части, где знак имеет требуемое по
условию значение.
Записать ответ, учитывая периодичность
функции.
В ходе объяснения учитель задает вопросы :
1)Можно ли было взять в качестве интервала для исследования [-π;π] (удобство: нечетность
функции – удобно ли это?)
2)Др. интервал
3)При каком значении t удобна проверка знаков?
Какому промежутку
принадлежит это значение аргумента?
4)Можно ли было использовать тригонометрический круг?
( Да, если Т=2π)
5)На каком свойстве функции основано применение метода? (непрерывность функций)
Алгоритм на странице 12 брошюры (Пример 2)
«Решение неравенств методом интервалов»
А) Изучается по книжке. Пример 3
(это комментарий к домашнему заданию)
Б) Как решить это неравенство проще и быстрее ?
IV Закрепление
Решается неравенство:
sin 3 x * cos x ≥0
y = sin 3 x * cos x
непрерывная функция
1
y = sin 3 x * cos x = (sin 4 x - sin2x)
2
1) T = 2
2) a) sin 3x = 0
n
x=
3
б) cosx = 0

x = + k
2
0;
x=
Масштаб :
 2
3

2

6
;
3
; ;
; x=
4 5
;
3 3
3
2
- 1 клетка
на
R
𝜋 3𝜋
=
2
6
3𝜋 9𝜋
=
2
6
2𝜋 4𝜋
=
3
6
4𝜋 8𝜋
=
3
6
𝜋
𝜋
𝜋
3) 𝑦 ( ) = 𝑠𝑖𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 > 0
6
2
6
Ответ: [0 + 2𝜋𝑛;
𝜋
3
𝜋
2
+ 2𝜋𝑛) ; [ + 2𝜋𝑛;
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑛] ; [𝜋 + 2𝜋𝑛;
4𝜋
3
3𝜋
2
+ 2𝜋𝑛] ; [
+ 2𝜋𝑛;
5𝜋
3
+ 2𝜋𝑛]
Можно ли было решить это неравенство по кругу?
Ответ: да
Это удобно, если период 2𝜋. Если Т >2𝜋, то нельзя использовать метод интервалов на круге.
V Итог.
Выясняется вопрос:
«Чем отличается применение метода интервалов для тригонометрических неравенств?»
(Период, значение функции проверяется на удобном промежутке)
1)Чему научились на уроке?
2)Возможности метода интервалов?
(Универсальный метод, применяемый для решения рациональных и иррациональных тригонометрических
неравенств. В 11 классе будет применяться при решении показательных и логарифмических неравенств.)
Выясняется вопрос:
«Кто готов к самостоятельному решению неравенств подобного типа?»
VI Домашнее задание: стр. 305 №667(8,4)