Уравнения, неравенства, системы с параметром

Введение.
Основной целью математического образования должно быть воспитание умения
математически исследовать явления реального мира, в формировании такого способа
мышления, который называют «математикой-философией», заставляющей человека
думать о всех реалиях окружающего мира. Формирование у учащихся умения строить
математические модели простейших реальных процессов, исследовать эти процессы по
их математическим моделям, давать содержательную интерпретацию полученным
результатам, умение видеть общее в различных на первый взгляд процессах, описываемых
одной и той же математической моделью, является одним из приоритетных направлений
модернизации математического образования.
Другим направлением модернизации математического школьного образования
является
отработка
механизмов
итоговой
аттестации
через
введение
единого
государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть
С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны
такие задания и на вступительных экзаменах в вузы.
Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно. Задачи с параметром
создают условия для развития у обучаемых устойчивых представлений о процессе
моделирования, учат реагировать на изменение данных в условии, видеть, как такие
изменения влияют на полученную модель, определять полноту постановки условия
задачи, составлять новые задачи и т. д. В своих исследованиях В.А. Далингер говорит о
том, что задачи с параметрами способны развивать все компоненты математической
подготовки: знания и умения, установленные программой обучения; мыслительные
операции и методы, присущие математической деятельности; математический стиль
мышления; рациональные, продуктивные способы учебно-познавательной деятельности.
Задачи с параметрами обладают высокой диагностической и прогностической
ценностью. Кроме того задачи такого рода выполняют ряд важных дидактических
функций:

формируют навыки математического моделирования;

позволяют осуществлять неформальное изучение

математических понятий, межпредметные связи;

организуют тесное взаимодействие прикладной линии с другими

содержательно-методическими линиями курса математики;

вырабатывают умения, связанные с анализом прикладных задач;

помогают осознать сущность математического подхода к
1

изучению реальных явлений.
Особенностью задач, содержащих параметры, является то, что параметр, будучи
фиксированным, но неизвестным, имеет как бы двойную природу. Во-первых,
предполагаемая известность позволяет обращаться с параметром как с числом или
известным данным, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его
неизвестностью. Поэтому в зависимости от того, какая роль отводится параметру при
решении
задач
(параметр-число,
параметр-переменная,
параметр-слово),
можно
соответственно определиться с выбором решения определенной задачи.
Изучением задач с параметрами, их роли в обучении, понятий, связанных с их
решением, в разные годы занимались М.И. Башмаков, Ю.М.Важенин, В.А.Далингер,
Г.В.Дорофеев, А.Г.Мордкович, Г.И.Саранцев, Г.А.Ястребинецкий, В.В.Сильвестров,
В.В.Мочалов и др. При этом большинство авторов характеризуют эти задачи как
исследовательские, требующие высокой логической культуры и техники исследования.
Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания.
Укажем разделы общеобразовательной математики, в которых вообще присутствует сама
идея параметра:
- функция прямая пропорциональность: у = кх, где х и у – переменные, к –
параметр, к≠ 0;
- линейная функция: у = кх + b, где х и у – переменные, к , b – параметры;
- линейное уравнение: ax + b = 0, где х –переменная, а,b – параметры, а≠ 0;
- квадратное уравнение: ах 2 +bx+ c = 0, где х – переменная, а, b,c– параметры, а≠ 0.
В используемых в настоящее время школьных учебниках только в учебниках, автором
которых является Мордкович А.Г., «Алгебра 7-9» и «Алгебра и начала анализа 10-11
класс» задачи с параметром предлагаются как для углубленного изучения пройденных тем, так
и для изучения непосредственно самого параметра. Главным плюсом этих учебников является то,
что авторы применяли уравнения, содержащие параметр, именно там, где его использование
очень широко – при изучении квадратных уравнений. При изучении курса алгебры 9 класса
уравнения, содержащие параметр предлагаются только в задачах для внеклассной работы.
К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести,
например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование
количества их корней в зависимости от значений параметров. Естественно, такой
небольшой класс задач многим не позволяет хорошо усвоить приемы и методы решения
задач с параметрами. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими
задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие
системы заданий по данной теме в школьных учебниках, недостаточное количество часов
2
на изучение базового курса математики. В рамках профильного обучения возникает
острая необходимость в изучении данной темы на элективных курсах, которые связаны с
удовлетворением
индивидуальных
образовательных
интересов,
потребностей
и
склонностей каждого школьника, т. к. владение приемами решения задач с параметрами
можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня
математического и логического мышления. Кроме того, задачи с параметрами дают
прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.
Целью моей методической разработки является знакомство учащихся с новым для
них классом задач, отработка умений и навыков
их решений, развитие научно-
исследовательских приемов деятельности и подготовка к выпускному экзамену.
Конечную цель в обучении я вижу в том, чтобы современный молодой человек
был востребованным со своими умениями и навыками в современном и очень сложном
мире; чувствовал себя уверенно и сумел стать настоящим профессионалом в своем деле,
коим он станет именно благодаря своим знаниям в области математики.
3
I. Знакомство с параметром.
Задачи с параметрами – это высший пилотаж, ибо человек, умеющий решать
задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет ее применять не
механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует» ее, считает ее своим
другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает о ее существовании. Если
ученик умеет решать задачи с параметрами, он ас в математике. На начальной стадии
знакомства с указанной темой возникает естественный вопрос о толковании термина
«параметр».
Определение 1. Параметром называется независимая переменная, значение
которой в данной задаче считается заданным фиксированным, или произвольным
действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному
множеству.
Определение 2. Допустимым значением параметра называется такое его
значение, при котором область определения данной задачи есть непустое множество.
Определимся с тем, что означает решить задачу с параметром. Это зависит от
вопроса, поставленного заданной задачей. Если, например, требуется решить уравнение,
неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный
ответ
либо
для
любого
значения
параметра,
либо
для
значения
параметра,
принадлежащего заранее оговоренному множеству. Если же требуется найти значения
параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет
объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных
значений параметра. Основной класс задач с параметром составляют уравнения,
неравенства, системы относительно одной
неизвестной и с одним параметром либо
задачи, к ним сводимые. Многообразие задач с параметрами условно можно разделить на
следующие четыре типа :
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо
решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра,
принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами»,
поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении всех других основных
типов.
4
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется
определить количество решений в зависимости от значений параметра.
При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные
уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т.д., ни приводить эти решения;
такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей
к неоправданным затратам времени.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется
найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их
системы и совокупности имеют заданное число решений. Легко видеть, что задачи типа 3
в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при
искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям.
Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики, но
подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному
из перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.
Далее рассматриваем основные способы решения таких задач.
Способ 1.( графический). В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а)
рассматриваются графики или в координатной плоскости (х,у), или в координатной
плоскости ( х,а ).
Способ 2. (аналитический ). Это способ так называемого прямого решения,
повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметров.
Аналитический способ решения задач с параметром является самым трудным способом,
требующим высокой математической подготовки.
Способ 3.( решение относительно параметра). При решении задач этим способом
переменные х и а считаются равноправными и выбирается та переменная, относительно
которой аналитическое решение является более простым. После естественных упрощений
возвращаются к исходному смыслу переменных х и а и заканчивают решение.
Метод решения относительно параметра удобно применять, когда:
1) выражение имеет высокую степень, как многочлен относительно переменной х
и одновременно является линейным или квадратным относительно параметра;
2) если формулировка задачи подсказывает, что переменную по смыслу задачи
удобно считать параметром, а параметр – считать переменной;
3) если геометрическое место точек, определяемое заданным в условии задания,
удается изобразить на координатной плоскости «переменная – параметр ».
Существенным этапом решения задач с параметром является запись ответа.
Особенно это относится к тем примерам, в которых
5
решение как бы «ветвится» в
зависимости от параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее
полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы
решения.
II. Линейные уравнения, неравенства и их системы, содержащие
параметры.
II.1. Линейные уравнения с параметрами.
Определение. Линейным уравнением называется уравнение вида
ах +b = 0,
где а,b – некоторые выражения, зависящие от параметров, х – переменная.
Оно приводится к виду ах = b и при а ≠ 0 имеет единственное решение х =
b
a
при
каждой системе допустимых значений параметров (допустимыми мы будем считать те
значения параметров, при которых а и b действительны).При а=0 и при b =0 х – любое
число, а при а=0 и b≠ 0 решений нет. Итак, мы получили следующую схему решения
линейного уравнения.
С х е м а 1. Решение линейных уравнений.
ax=b
a≠0
a=0
b≠0
Нет
корней
b=0
X=
b
a
хлюбое
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как
уравнение с параметрами : ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого
уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором
обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
6
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются
случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а = 0.
II.1.1. Параметр и поиск решений линейных уравнений.
П р и м е р 1 . Решить уравнение для всех значений параметра а
2а(а — 2) х = а — 2.
Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых
коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих
значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то
же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно.
Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений
параметра разбить на подмножества
A1={0}, А2={2} и Аз= {а≠0, а≠2} и решить уравнение на
каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение как семейство
уравнений, получающихся из него при следующих значениях
параметра:
1) а=0; 2) а=2; 3) а≠0, а≠2
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=0 уравнение принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2 уравнение принимает вид 0∙х=0. Корнем этого уравнения является
любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 из уравнения получаем, х =
1
a2
, откуда х =
.
2a
2a (a  2)
0 т в е т: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2, то х — любое действительное
число;
3) если а≠0, а≠2 , то х=
1
.
2a
П р и м е р 2.Для всех значений параметра а решить уравнение
( a 2 - 1)x = a + 1.
Р е ш е н и е. Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому исследуем
его по общей схеме 1.
а) если a 2 - 1 = 0, т.е. a = 1 или a = - 1, то при a = 1 уравнение имеет вид :
x = 2, которое не имеет решений,
при а = -1 уравнение имеет вид: 0x =0, где х-любое число.
b) если
a 2 - 1 0, имеем х =
1
.
a 1
7
О т в е т. Если а = -1, то х-любое ; если а = 1, то нет решений;
если а  -1, а  1, то х =
1
.
a 1
П р и м е р 3. Решить уравнение для всех значений параметра р:
.
p
 x  p 1  0
p 1
Р е ш е н и е. Запишем уравнение в стандартном виде :
p
 x  ( p  1).
p 1
Eсли р=1, то уравнение не имеет смысла, поэтому х.
Если р1, то р-1 0 и, умножив обе части уравнения на р-1,
получим : рх = - ( р -1)( р + 1).
а) если р=0, то уравнение имеет вид 0x = 1, которое не имеет
решений;
1 p
b) если р0, то х =
.
p
2
О т в е т. При р=1 и при р= 0 х,
1 p
при р1 и р0 х =
.
p
2
II.1.2. Параметр и количество решений линейных уравнений.
В приведенных выше разобранных примерах искомые значения х выступали в
роли зависимой переменной, а параметр – независимой. Отсюда и возникло «расслоение
решения» с учетом определенных значений параметра. Условие задачи отводило
параметру скромное место, - не ясно было, повлияет ли его присутствие на ход решения.
Далее выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладываются
какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие
формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два,
бесконечно много, ни одного; решением уравнения является какое-то подмножество
действительных чисел и др.
П р и м е р 4.Найти все значения параметра а при каждом из которых
решение
уравнения 2х – 5а = 3 – 4ах не больше 2.
Р е ш е н и е. Приведем уравнение к стандартному виду:
( 2 + 4а )х = 3 + 5а.
8
а) если
2 +4а =0, т.е. а = - 0,5, то уравнение имеет вид 0х = 0,5 и оно не имеет
решений.
b) если 2 + 4а  0, т. е. а  - 0,5, то х =
3  5a
.
2  4a
Условию задачи удовлетворяют только те значения а , при которых
х  2, следовательно, решаем неравенство:
О т в е т. а( - ; -
3  5a
 2, откуда получаем ответ.
2  4a
1
1
)   - ; +  ).
2
3
П р и м е р 5. При каких значениях параметра а
уравнение
( а 2 - 1) х = а 2 - 2а – 3
имеет единственное решение, принадлежащее лучу  -1 ; +).
Р е ш е н и е. а) Контрольными значениями здесь будут:
а 2 - 1= 0, откуда а = 1 или а = - 1.
При а = 1 уравнение имеет вид 0х = - 4 и не имеет решений, значит, условие
задачи при а = 1 не выполняется.
При а = -1 уравнение имеет вид 0х = 0, откуда хR. В данном случае условие
задачи тоже не выполняется.
При а   1 уравнение имеет единственное решение х =
Оно должно удовлетворять неравенству
a3
.
a 1
a3
 - 1, решая которое найдем
a 1
а( - ; 1)   2; +  ). Из найденного множества значений
параметра а надо исключить значение а = -1, при котором уравнение не имеет
единственного решения.
О т в е т . а( - ; -1)  (-1; 1)   2; +  ).
II.1.3. Параметр и свойства решений уравнений.
П р и м е р 6. Найти рациональные решения уравнения
х+
2 =х
2 + а2, где а – рациональный параметр.
Р е ш е н и е. Данное уравнение выгодно записать так:
х – а2 =
2 (х – а).
В силу условия левая часть этого уравнения принимает только рациональные
значения. Тогда структура правой части позволяет сделать вывод, что если исходное
9
уравнение имеет рациональный корень, то он обязательно равен единице. Понятно, что
при х=1 получаем а = ± 1. Легко установить справедливость обратного утверждения.
О т в е т. Если а = ± 1, то х = 1, при других рациональных а данное уравнение
рациональных корней не имеет.
II.1.4.Дробно-рациональные уравнения с параметрами,
сводящиеся к
линейным.
После того, как отработаны навыки решения линейных уравнений, можно перейти к
рассмотрению дробно-рациональных уравнений с параметрами.
Рассмотрим некоторые уравнения, приводимые к линейным. Увидеть при первом взгляде
на уравнение, что его можно привести к линейному, нельзя. Просто после преобразований
вдруг появляется уравнение, которое не имеет переменных в степенях выше первой.
Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение
заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой
и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое
уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий
знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь,
чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра,
обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения
относительно параметра.
П р и м е р 7. Решить уравнение
3bx  5
3b  11 2 x  7


.
(b  1)( x  3)
b 1
x3
Р е ш е н и е.Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, то имеем
(b-1)(x+3) ≠ 0, т.е. b≠ 1 и x≠ -3.
Умножив обе части уравнения на (b-1)(x+3) ≠ 0, получаем уравнение
3bx – 5 + ( 3b – 11 )(x+3) = ( 2x + 7)( b – 1),
( 4b – 9) x = 31 – 2b.
Это уравнение является линейным относительно переменной х.
При 4b -9 = 0, т.е. при b = 2,25 уравнение принимает вид 0х= 26,5, которое не
имеет решений;
При 4b-9 ≠ 0, т.е. при b≠ 2,25 корень уравнения х =
31  2b
.
4b  9
Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение
х равно -3.
10
31  2b
 3 , откуда b = - 0,4.
4b  9
О т в е т. При b=2,25, b = - 0,4 решений нет;
при b≠ 2,25 и при b ≠- 0,4 х =
31  2b
.
4b  9
II.1.5. Линейные уравнения с параметрами, содержащие модуль.
Модуль или абсолютная величина │f(x)│ определяется соотношением
 f ( x), еслиf ( x)  0,
│f(x)│= 
 f ( x), еслиf ( x)  0.
Поэтому всегда │f(x)│≥0. Это нужно учитывать при решении уравнений и
неравенств с модулями. При решении уравнений, содержащих переменную под знаком
модуля, часто удобно пользоваться равносильными переходами:
│f(x)│ = q (x)

 f ( x )  q ( x),

 f ( x )   q ( x ),
 q ( x )  0.

П р и м е р 8. Для всех значений параметра а решить уравнение:
│х - а│= х – 2.
Р е ш е н и е. Уравнение равносильно системе:
 x  a  x  2,

 x  a  ( x  2),
 x  2  0.

или
 x  a  x  2,

 x  2  0,
 x  a   x  2,

 x  2  0.
Решением первой системы будет: а=2 при х≥2.
Если а=2, то решением является множество х≥2, если а ≠ 2, то решений нет.
Решением второй системы будет: х = 0,5 ( а +2) при
х≥2. Найдем значения
параметра а, при которых выполняется условие х≥2.
Имеем 0,5 ( а + 2 )≥2, откуда а ≥2. Таким образом, если
а ≥2,
то х = 0,5( а+2), при а=2 решение х = 0,5( 2 + 2 )= 2 входит в решение первой
системы.
О т в е т. Если а >2, то х= 0,5(а+2), если а=2, то х≥2, если а<2, то решений нет.
П р и м е р 9. Решить уравнение
ax  1 | x  2|
11
Р е ш е н и е.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение
относительно а :
x 1
 x , x  2
|x  2|1
или a  
a
x
  x  3 , x  2
 x
График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного
уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой
у=а.
1 
 , то прямая у=а пересекает график уравнения
2
 
Если а  (-;-1](1;+) 
одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения
a
в
x 1
x
относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение имеет решение
a
x 1
1
.
 ax  x  1  x 
x
a 1
Если а 
 1
 1,  ,
 2
то прямая у=а пересекает график уравнения в двух точках.
Абсциссы этих точек можно найти из уравнений
a
x 1
x
и
a
x3
,
x
1
3
и x2  
.
a 1
a 1
1 
Если а   , 1 , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1),
 2 
получаем
x1 
следовательно, решений нет.
12
О т в е т:
1
1 
,
то
;
x


2
a

1
 
Если а  (-;-1](1;+) 
Если а 
 1
 1,  ,
 2
Если а 
1 
 , 1 , то решений нет.
2 
то
x1 
1
a 1
,
x2  
3
;
a 1
II.2. Линейные неравенства с параметрами.
Определение. Неравенство, обе части которого являются линейными функциями
относительно переменной, называется линейным.
В общем виде линейное неравенство записывается так :
kx+l > mx +n.
Определение. Два неравенства с одной переменной называются равносильными,
если их решения совпадают.
При
решении
неравенств
опираемся
на
следующие
теоремы
о
равносильных
преобразованиях:
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства
в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без
изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же
положительное число, оставив при этом знак неравенства без изменения,
то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же
отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный, то получится неравенство, равносильное данному
Выполнив равносильные преобразования неравенства kx+l > mx +n,
получим ( k-m)x > n-1. Обозначив k – m = a, n – l = b, получим ах > b.
Как и в линейном уравнении, опять контрольными будут те значения параметра, при
которых коэффициент при х обращается в нуль. Но для оценки качественного изменения
неравенства следует учесть, что процедура решения неравенства зависит от знака
коэффициента при х.
13
Если он положителен, то мы используем теорему 2, если же он отрицателен, то
используем теорему 3. Поэтому надо рассмотреть 3 случая для коэффициента а :
а=0, а >0, a<0.
С х е м а 2. Решение неравенства ах >b
ax>b
то x >
Если а=0,
то
0∙х > b
Если а < 0,
то
Если
а>0,
b
a
x<
b
a
При
b≤0
хR
При b≥0
неравенст
во
решений
не имеет
П р и м е р 10. Для всех значений параметра а решить неравенство
2а(а-2)х >а-2.
Р е ш е н и е. Данное неравенство является линейным относительно переменной х.
Рассмотрим
значения
а
при
которых
2а∙(а-2)=0,
а=0 или а=2. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка :
( -∞; 0), ( 0; 2 ), ( 2; +∞). Значит, надо рассмотреть пять случаев:
1) а=0;
2) а=2 ;
3) а< 0 ;
4) 0 < a < 2 ;
5) a > 2
При а=0 неравенство принимает вид 0∙х > -2, то есть х- любое действительное число.
При а = 2 неравенство принимает вид 0∙х > 0, то есть не имеет решений.
При а <0 коэффициент а(а-2) положителен, поэтому х >
1
2a
1
2a
При 0 < a < 2 коэффициент а(а-2) отрицателен, поэтому х <
При а >2 коэффициент а(а-2) положителен, поэтому
14
х>
1
2a
.
т.е.
О т в е т. При а=0 х –любое, при а=2 решений нет,
1
при 0< a< 2 х < 2 a
, при а <0 или а > 2
х>
1
2a
П р и м е р 11. Найти все значения параметра р при каждом
x p2
0
x  3p 1
из которых неравенство
ни для одного значения х[0;1) не выполняется.
Р е ш е н и е. Найдем нули числителя и знаменателя дроби:
х+р- 2=0, откуда х = 2 – р, х - 3р + 1 = 0, откуда х = 3р – 1.
Рассмотрим три случая расположения этих точек на числовой прямой :
1) 2 – р < 3p – 1, откуда р > 0,75
Условие задачи будет выполняться, если промежуток [0;1) принадлежит лучу ( -∞; 2 – р]
или лучу [ 3p -1 ; +∞), причем концы промежутка могут совпадать с концами лучей. Для
этого должны выполняться неравенства
2 – р ≥ 1 или 3р – 1 ≤ 0. Учитывая условие р > 0,75, получим 0,75 < p ≤ 1.
2) 2 – p = 3p – 1, откуда р = 0,75
Тогда неравенство
имеет вид :
x  1,25
 0  x  Ǿ.
x  1,25
Следовательно, при р=0,75 условие задачи выполняется.
3) 2-р > 3p – 1, откуда р < 0,75.
Условие задачи выполняется, если выполняются следующие неравенства :
или 2 – р < 0.
Учитывая
условие
О т в е т: р [
р < 0,75,
2
получим 3  р <0,75.
2
; 0,75)
3
15
3р – 1  1
П р и м е р 12. При каких значениях m неравенство
( m – 4 )x + m – 5 < 0 справедливо при всех х, удовлетворяющих условию │х│≤ 3 ?
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию f(x) = ( m – 4)x + m – 5 , которая является линейной.
Функция f(x) отрицательна на промежутке в следующих случаях:
1)
-3
y
2)
3
х
y
у
3)
-3
3
-3
x
По первому случаю соответствует следующая система:
f(-3)<0,
-2m +7<0,
m > 3,5,
f( 3)<0,
4m – 17 <0,
m < 4,25,
m -4 >0;
m >4;
m > 4;
то есть 4< m <4,25.
Второму случаю соответствует следующая система:
f(- 3)<0,
- 2m + 7 < 0,
m > 3,5,
f( 3)<0,
4m – 17 < 0,
m < 4,25,
m - 4 < 0;
m < 4;
m<4;
то есть 3,5 < m < 4.
Третьему случаю соответствует система:
f(3) < 0,
m < 4,25,
m – 4 = 0;
m = 4;
то есть m = 4.
О т в е т: При 3,5 < m < 4,25.
16
3
x
П р и м е р 12 . ( Демовариант 2007. С3.) Найдите все значения х,
удовлетворяют неравенству ( 2а – 1 ) х2 < ( а + 1 )х + 3а
которые
при любом значении
параметра а, принадлежащем промежутку ( 1 ; 2 ).
Р е ш е н и е. Неравенство приводится к виду ( 2х2 – х -3 )а + ( -х2 – х ) <0, в котором
левая часть, рассматриваемая как функция от
а, есть линейная функция
f(a)
с
коэффициентами, зависящими от х. В задаче требуется, чтобы
f(a) = ( 2x2 – x – 3 )a + ( - x2 – x ) была отрицательна на данном промежутке.
Изобразим возможные варианты на графике :
1)
y
1
2)
2
y
1
3)
2
a
y
1
2
a
a
В первом случае получаем систему:
f(1)< 0,
x - 2x -3 < 0,
( x – 3 )( x + 1 ) < 0,
f( 2 )  0;
3x – 3x – 6  0;
( x – 2 )( x + 1 )  0;
решением которой является -1<x ≤ 2.
Во втором случае : f(1)  0,
( x – 3 )( x + 1 )  0,
f(2) < 0;
( x – 2 )( x + 1 ) < 0;
значит, -1< x < 2.
В третьем случае :
2 (x+1)( x – 1,5) = 0,
- x ( x + 1 ) < 0;
то есть х= 1,5.
Выполнение всех полученных условий уже достаточно для отрицательности
f(a) на
данном промежутке. Таким образом, искомые значения х - это решения этих трех систем.
О т в е т. -1 < x  2 .
II.3. Cистемы линейных уравнений с двумя переменными, содержащие
параметры
О п р е д е л е н и е . Системой линейных уравнений с двумя переменными
называется два линейных уравнения, рассматриваемых совместно:
a1 x + blу = cl,
a2x + b2y = с2
17
Решениями системы линейных уравнений называются такие пары чисел (Х0; у0), которые
являются решениями одновременно и первого, и второго уравнения системы.
Если система уравнений имеет решения, то говорят, что она совместна. Если же система
уравнений не имеет решений, то говорят, что она несовместна.
Совместную систему уравнений называют определенной (однозначной), если она имеет
единственное решение.
Совместную систему уравнений называют неопределенной, если она имеет более одного
решения. Две совместные системы называются эквивалентными, если множества их
решений совпадают.
Пусть числа а2, b2, с2 отличны от нуля.
а1
Если
b1
— ≠ — , то система имеет единственное решение, то есть
а2
b2
определенная.
а1
b1
с1
Если --- = ----  ----, то система не имеет решений, то есть
а2
b2
b1
c1
с2
несовместна.
а1
Если — =
а2
— = — , то система имеет бесконечно много решений, то есть
b2
с2
неопределенная.
Если с1, с2 равны нулю, то система называется однородной и всегда имеет решение
(0; 0). Если однородная система имеет ненулевое решение (хо',уо), значит, она имеет
бесконечное множество решений (кх0; ку0).
18
С х е м а 3 . Зависимость количества решений системы
линейных уравнений от коэффициентов системы
П р и м е р 13. При каких значениях параметра а система
2х-3у = 7,
ах-6у = 14:
а)
имеет бесконечное множество решений;
б)
имеет единственное решение?
Р е ш е н и е. Данная система уравнений является линейной, причем коэффициенты
первого уравнения отличны от нуля. Воспользуемся данными схемы 2.
а)
Система имеет бесконечное множество решений, если
а  6 14

 , а  4.
2 3 7
б)
Система имеет единственное решение, если
а 6

, а  4.
2 3
Нужно обратить внимание на то, что уравнения поменяли местами, так как число а
неопределенно. В нашем случае а = 0 является решением в случае б), чтобы не было
недоумений с делением на нуль, лучше вторым считать то уравнение, в котором все
коэффициенты определены и не равны нулю.
О т в е т: а) если а = 4, то система имеет бесконечное множество решений;
б) если а ≠ 4, то решение единственное.
19
.П р и м е р 14. Графики функций у = (4- а)х + аиу = ах + 2 пересекаются в точке с
абсциссой, равной -2. Найдите ординату точки пересечения.
Р е ш е н и е. Так как графики пересекаются в точке с абсциссой, равной -2, то х = -2
является решением следующей системы:
\у = (4-а)х + а,
\у = ах + 2.
Тогда имеем:
y = ( 4 – a )( - 2 ) + a,
y = -8 + 3a,
y = a(- 2 ) + 2;
откуда a = 2, y=-2.
y = -2a + 2;
О т в е т. y= - 2
II.4. Системы линейных неравенств с параметрами.
П р и м е р 15. При каких значениях параметра а система неравенств не имеет
решений ?
3 – 7x < 3x – 7,
1 + 2x < a + x.
Р е ш е н и е. Выполним равносильные преобразования системы:
- 10x < - 10,
5x < a – 1;
x > 1,
x < 0,2( a – 1).
Возможны следующие три случая взаимного расположения точек 1 и 0,2(а – 1 ):
1) 1< 0,2( a – 1);
2) 1 = 0,2( a – 1);
3) 1 > 0,2( a – 1).
Полученная система не имеет решений во втором и в третьем случае, т.е. если
0,2( а – 1 )  1, откуда а  4.
О т в е т. При а  4.
20
III. Квадратные уравнения, неравенства и их системы,
содержащие
параметры.
Определение. Уравнение вида Ах 2 + Вх + С = 0, где А,В,С – выражения,
зависящие от параметров, А0, х – неизвестное, называется квадратным
уравнением с параметрами.
Во множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей
схеме:
1) Если А = 0, то имеем линейное уравнение Вх + с = 0.
2) Если А0 и дискриминант уравнения D = В 2 - 4АС  0, то
уравнение не имеет действительных решений.
3) Если А0 и дискриминант уравнения D = В 2 - 4АС =0,то уравнение
имеет единственное решение х = -
B
.
A
4) Если А0 и дискриминант уравнения D = В 2 - 4АС  0, то уравнение
имеет два различных корня
Х=
B D
.
2A
При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те
значения параметра, при которых первый коэффициент А обращается в ноль. Дело
в том, что если этот коэффициент равен нулю, то уравнение
превращается в
линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент
отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному
алгоритму (меняется процедура решения, а в этом и состоит качественное
изменение уравнения). Дальнейшее решение зависит от D.
Квадратные уравнения занимают, без преувеличения, значительное место в школьном
курсе математики, научившись исследовать квадратные уравнения с параметрами, ученик
получает хорошую базу при изучении многих тем старшей школы.
21
Это наглядно представлено на следующей схеме:
С х е м а 4.
Квадратный трехчлен Ах2 + Вх + С , где А ≠ 0
Элементарное исследование
Решение квадратных уравнений,неравенств
Корни и дискриминант, разложение на
множители
Отрицательность дискриминанта, сохранение знака
трехчлена,доказательство неравенств.
Теорема Виета
Решение симметрических систем уравнений
Расположение корней относительно нуля
Пропедевтика решения показательных уравнений и
неравенств
Расположение корней относительно точки р
Решение иррациональных уравнений и неравенств
Расположение корней относительно [ p;q ]
Решение логарифмических уравнений и неравенств
Расположение корней относительно [- 1;1]
Решение тригонометрических уравнений и неравенств
П р и м е р 16 . Решить уравнение для всех значений параметра а
(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0;
Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том,
что при a=1 уравнение является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит
качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть это уравнение
как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) а=l; 2) а≠1.
Рассмотрим эти случаи.
1) При a=1 уравнение примет вид бх+7=0. Из этого
уравнения находим х= -
7
.
6
2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при которых
дискриминант обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе значения D
через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при а>ао
D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных
22
корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао корней нет, так как D< 0, а
при а>ао D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном
изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0
дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения :
D
D
=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем
= 5а+4.
4
4
Из уравнения
D
4
=0 находим а =  — второе контрольное значение параметра а.
4
5
При этом если а < 
4
, то D <0; если
5
a≥ 
4
, , то D≥0.
5
a≠1
Таким образом, осталось решить уравнение в случае, когда а< 
когда { a≥ 
4
, a ≠ 1 }.
5
Если а< 
{ a≥ 
4
и в случае,
5
4
, то уравнение
5
не имеет действительных корней; если же
4
 (2a  1)  5a  4
, a ≠ 1 }, то находим x1, 2 
5
a 1
О т в е т: 1) если а< 
3)
a≥ 
4
,
5
4
7
, то корней нет ; 2) если а = 1, то х = - ;
6
5
то
x1, 2 
 (2a  1)  5a  4
a 1
,a≠1
III. 1. Дробно-рациональные уравнения с параметрами,
приводимые к квадратным.
П р и м ер 17.Для всех значений параметра а решить уравнение:
1-
3
5a
.

x  a  1 ( x  a  1)( x  1)
Р е ш е н и е. Уравнение имеет смысл при х  1-а, х -1.
При х  1-а, х -1 переходим к уравнению-следствию:
(х + а – 1)( х +1) – 3( х + 1 ) = 5а,
23
х 2 + ( а-3)х – 4а-4 =0,
х 1 = 4, х 2 = -а -1.
Для того, чтобы найденные значения были корнями данного уравнения,
достаточно потребовать: х 1  1-a, х 2  -1, х 1  -1,
х 2  1- a. Выполнение двух последних требований очевидно.
Если х 1 = 1-а, т.е. 4 = 1 – а, откуда а = -3, следовательно, при
а = -3 х 1 = 4 не может быть корнем данного уравнения. Здесь важно не сделать
ошибочный вывод о том, что при а = -3 вообще нет корней. При а = -3 имеем х 2 = 2,
и ничто не мешает х 2 = 2 быть корнем исходного уравнения.
Если х 2 = -1, т. е. – а – 1 = - 1, то а = 0. Отсюда при а = 0
х 2 - не корень, а
х 1 - корень данного уравнения.
О т в е т. Если а = -3, то х = 2, если а = 0, то х = 4,
если а  0, а  -3, то х = 4 или х = -а -1.
П р и м е р 18.Решить уравнение:
x
2
3  a2


a( x  1) x  2 a( x  1)( x  2)
Ре ш е н и е. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение теряет
смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то после преобразований уравнение
примет вид:
х2+2 (1 — а) х +а2 — 2а — 3=0.
Найдем дискриминант уравнения
D
= (1 — a)2 — (a2 — 2а — 3) = 4.
4
Находим корни уравнения :
х1 =а + 1, х2 = а — 3.
При переходе от данного уравнения к уравнению-следствию расширилась область
определения уравнения , что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому
необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х1+1=0,
х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.
Если
х1+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а= — 2. Таким образом, при а= — 2 х1 —
посторонний корень уравнения .
24
Если х1+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а= — 3. Таким образом, при а= — 3 x1 —
посторонний корень уравнения .
Если х2+1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х2 — посторонний
корень уравнения (4)'.
Если х2+2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х2 — посторонний
корень уравнения (4).
От в ет: 1) если a= - 3, то х=- 6; 2) если a=- 2, то х=- 5; 3) если a=0, то корней нет;
4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;
6) если а≠ -3 ; а≠ -2 ; а≠ 0 ;
а≠ 1 ;
то х1 = а + 1,
х2 = а – 3. а≠ 2,
III.2. Использование свойств квадратичной функции.
Многие задачи с параметрами сводятся к исследованию расположения корней
квадратного трехчлена относительно данной точки или заданного промежутка. Приведем
схему решения таких задач:
1. Исследование случая А = 0 ( если А зависит от параметров).
2. Нахождение дискриминанта D в случае А0.
3. Если D- полный квадрат, то нахождение корней и подчинения их
условиям задачи.
4. Если корень из D не извлекается, то графический анализ задачи.
5.Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы, для чего
учитываются:
- знак первого коэффициента;
- знак ( значение ) дискриминанта;
- знаки ( значения ) квадратичной функции в изучаемых точках;
- расположение вершины параболы относительно изучаемых точек.
6. Объединение некоторых неравенств ( систем).
7. Решение полученных систем.
Рассмотрим функцию f(x)= ax2 + bx + c. Основные свойства графика этой функции:
- ветви параболы направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0;
- дискриминант D показывает, пересекается ли парабола с осью ОХ
При решении многих задач требуется знание следующих теорем и следствий.
Пусть f(x)= ax2 + bx + c
имеет действительные корни х1 , х2 ( которые могут быть
кратными), а M,N – какие-нибудь действительные числа, причем M<N. Тогда:
25
Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а > 0,
a < 0,
D ≥ 0,
D ≥ 0,
x0=

b
 M,
2a
или
f( M) > 0;
x0 < M ,
f( M) <0.
Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число
М, а другой больше, чем М, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а > 0,
a < 0,
или
f( M) < 0;
f( M) >0.
Эти две системы можно заменить формулой
а ∙f(M) < 0
Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а > 0,
a < 0,
D ≥ 0,
D ≥ 0,
x0=

b
 M,
2a
или
f( M) > 0;
x0 >M,
f( M) <0.
С л е д с т в и е 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем
число М, но больше числа N необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а > 0,
a < 0,
D ≥ 0,
D ≥ 0,
N<x0 < M ,
или
N< x0 < M ,
f( M) > 0;
f( M) <0.
f( N) > 0
f( N ) < 0.
C л е д с т в и е 2. Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в
интервале между М и N, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а > 0,
f( M)< 0,
f( N) > 0;
a < 0,
или
f( M) >0,
f( N ) < 0.
26
С л е д с т в и е 3. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в
интервале между М и N, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а > 0,
a < 0,
f( M) > 0,
f( M) <0,
f( N ) < 0;
или
f( N ) > 0.
С л е д с т в и е 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше,
чем число М, а другой больше, чем N, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия:
а > 0,
f( M) < 0,
f( N ) < 0;
a < 0,
или
f( M) > 0,
f ( N ) > 0.
Объединим вышеизложенное в таблице, которая представлена в Приложении 1.
П р и м е р 19. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения
х2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию f(x)= х2 + (а + 1)х + 3.
f(2)<0;
f(2)=4+2a+2+3=2a+9<0
2a<-9
a<–4.5
О т в е т. a(–;–4.5)
П р и м е р 20. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения
(2–a)x2-3ax+2a=0 больше ½.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию f(x)= (2–a)x2-3ax+2a.
Решений нет.
О т в е т. Решений нет.
27
П р и м е р 21. Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного
уравнения x2- 6ax+(2-2a+9a2)=0 больше 3.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию f(x)= x2-6ax+(2-2a+9a2)
откуда
О т в е т. a
a
.
III.3. Использование теоремы Виета при решении квадратных
уравнений с параметрами
При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими
параметр, используются следующие теоремы.
Теорема Виета.
Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения А х2 + Вх + С = 0, А≠ 0,
то
х1 + х2 =
х1 ∙х2 =
B
,
2A
C
.
B
Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были действительны и
имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
D ≥ 0 и х1 ∙х2 =
C
> 0.
B
При этом оба корня будут положительны, если х 1 + х2 =
отрицательными , если х1 + х2 =
B
<0.
2A
28
B
> 0, и оба корня будут
2A
Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были действительны и
оба неотрицательны или оба неположительны, необходимо и достаточно выполнение
следующих условий:
D ≥ 0 и х1 ∙х2 =
C
≥ 0.
B
При этом оба корня будут неположительны, если х1 + х2 =
неотрицательными , если х1 + х2 =
B
≤ 0, и оба корня будут
2A
B
≥0.
2A
Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были действительны и
имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
х1 ∙х2 =
C
< 0.
B
При этом условие D ≥ 0 выполняется автоматически.
П р и м е р 22. При каких значениях параметра а квадратное уравнение
( а – 1)х2 – 2( а – 2 )х + а + 3 = 0
имеет: а) корни разных знаков; б) корни одного знака;
в) положительные корни.
Р е ш е н и е. По формулам Виета
х1 + х2 =
2( a  2)
,
a 1
х1х2 =
a3
a 1
а) Согласно теореме 3 уравнение имеет корни разных знаков,
если х1х2 =
a3
< 0, откуда - 3 < a < 1.
a 1
б) Согласно теореме 1 уравнение имеет корни одного знака, если :
D ≥ 0 и х1 ∙х2 =
C
> 0, т.е. выполняются условия:
B
7

4(7  6a)  0,
a  6 ,
7


отсюда а  ( -∞; -3)  (1; ].

a  3
a  3,
6
 a  1  0


a  1.
в) Согласно теореме 1 уравнение имеет корни положительных знаков, если :
7

a ,


6

4(7  6a )  0,
a  3,
 D  0,



a  3
 0,
 a  1,
 x1 x 2  0,  
x  x  0
 a 1
a  1,
2
 1
 2(a  2)

 a  1  0
  a  2.


29
Отсюда а  ( -∞; -3).
О т в е т. Если а  ( -3; 1), то уравнение имеет корни разных знаков;
если а  ( -∞; -3)  (1;
7
], то оно имеет корни одного знака;
6
если а  ( -∞; -3), то оно имеет положительные корни.
П р и м е р 22. Найдите сумму целых положительных значений параметра а, при
которых решением
неравенства (а-3)х2-4х+1≤ 0 является отрезок.
Р е ш е н и е: Данное условие выполняется, если
a
а=4+5+6=15.
О т в е т: 15.
III. 4. Квадратные неравенства с параметрами.
Определение. Неравенства видов Ах 2 + Вх +С > 0 ( ≥ 0 ) , Ах 2 + Вх +С < 0 ( ≤ 0), где
А,В,С – выражения, зависящие от параметров, причем А ≠ 0, а х – неизвестное,
называются квадратными неравенствами с параметрами.
Неравенство Ах 2 + Вх +С > 0 исследуется по следующей схеме:
1. Если А =0, то имеем линейное неравенство Вх +С > 0.
2. Если
А ≠ 0 и дискриминант D >0,
то разлагая квадратный трехчлен на
множители, получим неравенство А( х - х 1 )( х - х 2 ) > 0, где
х 1 ,х 2 - корни уравнения Ах 2 + Вх +С =0.
3. Если А≠ 0 и D=0, то имеем неравенство А( х - х 1 ) 2 >0.
4. Если А≠ 0 и D<0, то при А >0 решением будет все множество действительных
чисел R ; при А < 0 неравенство решений не имеет.
Остальные неравенства исследуются аналогично.
Часто при решении квадратных неравенств используются следующие свойства
квадратного трехчлена Ах 2 + Вх +С:
1. Если А> 0 и D < 0, то Ах 2 + Вх +С >0 при всех x.
2. Если А < 0 и D < 0, то Ах 2 + Вх +С < 0 при всех х.
При решении квадратных неравенств, а также других задач, связанных с квадратичной
функцией, в большинстве случаев достаточно знать лишь расположение графика этой
функции относительно оси абсцисс. В таких случаях ось ординат можно вовсе не
30
изображать. Если же для выполнения какого-нибудь условия задачи важно расположение
параболы как относительно оси ОХ, так и относительно оси OY, то необходимо
изображать всю систему координат.
П р и м е р 23. Для всех значений параметра р решить неравенство
х 2 + 2( р+1)х + р 2 > 0.
Р е ш е н и е. Найдем дискриминант D = 4( р + 1 ) 2 - 4р 2 = 8р + 4 = 4( 2р + 1).
1. Если D < 0 , т.е.2р + 1 <0, откуда р < - 0,5.
Так как первый коэффициент равен 1>0, то неравенство выполняется при
всех х  R.
D = 0, т.е. р = - 0,5. При этом неравенство имеет вид х 2 + х + 0,25 > 0,
2.
( х + 0,5) 2 >0 , откуда х  ( - ∞; - 0,5)  ( - 0,5; + ∞).
D > 0 , тогда р > - 0,5. В этом случае квадратный трехчлен,
3.
расположенный в левой части имеет корни;
x1 = - р – 1 -
2 p 1 , х 2 = - р – 1 +
2 p  1 , причем x 1 < х 2 .
Разлагая этот трехчлен на множители, имеем:
( х - x 1 )( х - х 2 ) > 0 , откуда методом интервалов находим:
x  ( - ∞; x 1 )  ( х 2 ; + ∞). Случаи 2 и 3 можно объединить.
О т в е т. Если р < - 0,5, то х  R,
если р ≥ - 0,5 , то х  ( - ∞;- р – 1 -
2 p 1 )  ( - р – 1 +
2 p  1 ; + ∞).
П р и м е р 24 . При каких значениях параметра а неравенство
( 1 – а )х 2 + ( 1 – а )х + 3  0
имеет пустое множество решений.
Р е ш е н и е. 1) Если а – 1 = 0, т.е. а=1, то неравенство имеет вид 0х2 + 0х + 3 ≤ 0, откуда
решений неравенство не имеет. Следовательно, значение а = 1 удовлетворяет условию
задачи.
2) Если
а≠1, то неравенство является квадратным. Оно имеет пустое
множество решений тогда и только тогда, когда трехчлен
(1 – а )х 2 + ( 1 – а )х + 3 при любом х положителен, т.е.
1 – а > 0, 
a < 1,
a< 1,
( 1 – a)2 – 12( 1 – a ) < 0 ;
D<0
a2 + 10a – 11 < 0 ; ( a – 1)(a + 11)<0
Решая неравенство методом интервалов, получим:
a < 1,

a<1,
-11 < a < 1.
- 11 < a < 1
О т в е т. При а  ( - 11; 1 ).
31
III. 5. Системы неравенств с двумя переменными второй степени,
содержащие параметр.
П р и м е р 25. При каких значениях параметра а имеет решение система
x 2  ( 5a  2 )x  4a 2  2a  0


x 2  a 2  4
(1)
(2)
Р е ш е н и е.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
x1  4a  2,
x2   a
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на
четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
x 2  ( 5a  2 )x  4a 2  2a  ( x  4a  2 )( x  a )
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром
в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение
заштрихованной области с окружностью, где
и
a  ( a1 ; a2 )  ( a3 ; a4 ), а значения a1
a4 находятся из системы
x  a  0
 2
2
x  a  4
а значения a1 и a4 находятся из системы
 x  4a  2  0
 2
2
x  a  4
Решая эти системы, получаем, что
a1   2 ,
О т в е т:
a4  2 ,
a2  
16
,
17
a  (  2 ; 1617 )  ( 0; 2 ).
32
a3  0.
IV.Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами.
Существует
несколько
способов
решения
иррациональных уравнений
параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.
a  x 2 = 1.
П р и м ер 26 . Решить уравнение х Р е ш е н и е:
Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с
последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
a  x2 = х – 1
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения
тождественных преобразований получим:
2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.
Особое значение : а = 0,5. Отсюда :
2a  1 );
1)
при а > 0,5 х1,2 = 0,5 ( 1 ±
2)
при а = 0,5 х = 0,5 ;
3)
при а <0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
при подстановке х = 0,5 в уравнение , равносильное исходному,
1)
получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением последнего
уравнения и , значит, и исходного уравнения .
2a  1 ) в уравнение получим:
при подстановке х1 = 0,5 ( 1 ±
2)
-0,5 ( 1 +
2a  1 ) =
2a  1 ))2
a – ( 0,5 ( 1 -
Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет
исходному уравнению.
3)
Подставим х2 в уравнение :
a
1  2a  1
2
2

=
1  2a  1
2
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если
квадрат:
2a  1  1
 0 , то можно возвести полученное равенство в
2
a  2a  1

2
2a  1  1
2
2
33
с
Имеем истинное равенство при условии, что
2a  1  1
0
2
Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х 2
может быть корнем исходного уравнения
при а > 0,5, следовательно, х2 – корень
уравнения при а ≥1.
П р и м е р 27. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
x  a  2a  x  a  1  3  a  0
Р е ш е н и е.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
a  1  0
,

3

a

0

a  [1;3]
данное неравенство равносильно системе неравенств
x  a  0
,

2
a

x

0

Если
x  [ a ;2a ].
a  [1;3] , то решения исходного неравенства заполняют отрезок [ a ;2a ] .
От в е т:
a [1;3] , x [ a ;2a ] .
IV.2.Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.
Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к
решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких
уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций
у = sin x и y = cos x. Рассмотрим примеры.
П р и м е р 28. Решить уравнение: cos
x  1 =2а.
Р е ш е н и е: Так как Е(соs t)=[-1; 1], то имеем два случая.
1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.
2. При |a| ≤0,5 имеем:
x  1 =arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если
а)
arccos2а+2πn≥0, то n может принимать значения n=0, 1, 2, 3,.... Решением
уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а)2
б)
x  1 =-аrссоs2а+πn. Так как уравнение имеет решение при
условии, что
-аrссоs2а+2πn>0, то n=1, 2, 3,..., и решение уравнения.
х=1+(2πn-arccos2a)2 .
34
О т в е т: если |a| > 0,5, решений нет;
если |a| ≤0,5 , х = 1+(2πn+аrссоs2а)2при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2πn-arccos2a)2
при
n  N.
П р и м е р 29. Решить уравнение: tg ax2 = 3
Р е ш е н и е:.

+πn, n  Z
3
ах2 =
Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется
особое значение параметра. В данном случае:
1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.
2. Если а  0, то х2 =
Уравнение

3a

n
a
имеет
, n Z

решение, если
3a

n
a
≥0. Выясним, при
значениях n и а выполняется это условие:
1  3n  0,

 n
 (1  3n)
a  0,

≥0 
0
1  3n  0,
3a a
3a

a  0.
откуда n ≥ 
1
1
и а > 0 или n ≤  и а < 0.
3
3
Итак, уравнение имеет решение х = ±
1) а > 0

3a

n
a
, если
и n = 1,2,3,… или
2) а < 0 и n  Z.
О т в е т: при а = 0 решений нет;
при а > 0
и n = 1,2,3,… или а < 0 и n  Z х = ±

3a

n
a
П р и м е р 30. Решите уравнение: а sin bx = 1
Р е ш е н и е: Особое значение параметра а : а = 0.
1.
При а = 0 решений нет.
2.
При а  0 sin bx =
2.1. Если
1
. Имеем 2 случая:
a
1
> 1, то решений нет.
a
35
.
каких
2.2. Если
1
≤ 1, то особое значение b = 0:
a
2.2.1. Если b = 0, то решений нет.
2.2.2. Если b  0, то х =
О т в е т: при а = 0 или
при а  0 и
1
1
(( 1) n arcsin  n), n  Z
b
a
1
> 1 и а  0 или а  0 b = 0
a
1
≤1 и b 0
a
х=
решений нет;
1
1
(( 1) n arcsin  n), n  Z
b
a
IV. 5.Показательные уравнения с параметрами.
Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к
элементарным показательным уравнениям вида а f (x) = b φ(х) (*), где а > 0, b > 0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как
пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения
уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:
1)
При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его
допустимых значений D.
2)
При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение
уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D.
3)
уравнения
4)
уравнению
5)
При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение
f(х) = 0 на области D.
При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно
f(х) = φ(х) на области D.
При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно
уравнению
log c a f(x) = log c b φ(x) (c > 0, c ≠ 1) на области D.
П р и м е р 30 . Решите уравнение: а х + 1 = b 3 – х
Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения: х  R, а > 0, b >0.
1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.
2) При а = b = 1, х  R.
3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0  х = 3.
4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0  х = -1.
5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х  х = 1.
36
6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное
уравнение по основанию а, получим:
log a a x 1  log a b 3 x ,
х + 1 = ( 3 – х ) log a b , x 
3 log a b  1
log a b  1
О т в е т: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;
при а = b = 1, х  R;
при а = 1, b ≠ 1 х = 3.
при а ≠ 1, b = 1 х = -1
при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1
при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) x 
3 log a b  1
log a b  1
IV. 6. Логарифмические уравнения с параметром.
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к
нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом
решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных
корней ОДЗ исходного уравнения.
П р и м е р 31. Решите уравнение
2 – log
a2
x  1 - log
(1 + х) = 3 log а
a2
( х 2 – 1 )2
Р е ш е н и е. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.
Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного
уравнения:
log а а2 + log
a2
( х2 - 1) = log а ( x  1 )3 + log a
log а ( а2 (х2 - 1)) = log а (( x  1 )3
а2 (х2 - 1) = (х - 1)
x 1 ,
x  1 ),
( x  1)( x  1) ,
а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1)
( x  1)( x  1)
Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на
(х - 1)
а2
( x  1)( x  1) ≠ 0
x 1 =
x 1
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
а4 (х + 1) = х – 1  а4 х + а4 = х – 1  х( 1 - а4 ) = а4 + 1
1 a4
Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то x 
1 a4
37
Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно
1 a4
выполняться условие х > 1, то есть
1
1 a4
Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:
2a 4
1 a4
0
1  0 ,
1 a4
1 a4
Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при
а < 1.
Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит, при 0 < a < 1 х является
корнем исходного
уравнения.
О т в е т: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;
при а > 1 решений нет;
при 0 < a < 1 x 
1 a4
1 a4
П р и м е р 31. Решить уравнение
log0 ,2 ( 5  x )  log5 ( 2|x  a|)  0
Р е ш е н и е.
Использовав равенство
log0 ,2 ( 5  x )   log5 ( 5  x ), заданное уравнение
перепишем в виде
log5 ( 2|x  a| )  log5 ( 5  x )
Это уравнение равносильно системе
2|x  a| 0

5  x  0
2|x  a| 5  x

Уравнение 2|x  a| 5  x
|x  a| x  3.
перепишем в виде
(*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения.
Построим графики функций
x3
y |x  a| и y  x  3 Из графика следует, что при
графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.
a  3, то при x  3 графики функций совпадают и, следовательно, все
x  3 являются решениями уравнения (*).
Если
значения
38
a3
.
2
a3
Таким образом, при a  3 уравнение (*) имеет единственное решение - x 
.
2
При
a  3 графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой x 
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут
удовлетворять условиям
2|x  a| 0

5  x  0
Пусть
a  3, тогда x  3. Система примет вид
|x  3| 2

5  x  0
Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что
при
x  3 , можно заключить, что
a  3 исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).
a3
Рассмотрим случай, когда x  3, x 
. Система неравенств примет вид
2
 a3
| 2  a| 2
|3  a| 4
 

a

3
a  7
5 
0

2
Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но a  3, поэтому при а (3;7) исходное
уравнение имеет единственное решение
О т в е т: если a (3;7), то
x
x
a3
.
2
a3
;
2
если a [7;), то решений нет.
если а (-;3), то решений нет;если а=3, то х [3;5);
39
V. Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметры,
предлагавшиеся на ЕГЭ.
В последние годы задачи с параметрами на выпускных экзаменах по математике
занимают все больше места, такие задачи можно встретить не только в группе С ( высокий
уровень сложности), но и в группе Б ( повышенный уровень сложности) и даже такие
задачи встречаются в заданиях базового уровня сложности ( группа А). Например:
Задание А2( 2007). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
ах + 1 =2х имеет своим корнем число 4.
Задание В4(2003). При каком наибольшем значении параметра а функция
f(x)= 2x3 – ax2 + 7ax + 5 возрастает на всей числовой прямой ?
П р и м е р 31. ( Задание С3) При каких значениях параметра а сумма
logа ( sin x + 2 ) и logа ( sin x + 3 ) будет равна единице хотя бы при
одном значении х ?
Р е ш е н и е. 1) Оба выражения определены при всех значений х.
Их сумма равна : Loga (sin x +2 ) + loga ( sin x + 3 ) = loga ( sin x + 2 )( sin x + 3 ),
Уравнения logа ( sin x + 2 )( sin x + 3 ) = 1 и
( sin x + 2 )( sin x + 3 ) = а
равносильны.
2) Пусть sin x = t , где -1 ≤ t ≤ 1.Тогда получаем: ( t + 2) ( t + 3 ) = a,
Функция f ( t )= ( t+2)( t + 3) квадратичная, ветви параболы направлены вверх,
нули – это точки
-2 и -3.Значит, на отрезке [ -1;1] эта функция возрастает,
непрерывна и принимает все значения от y ( -1) = 2
до y(1) = 12, поэтому
уравнение ( t+2)( t+3) = a имеет корни в том случае,
когда 2 ≤ a ≤ 12.
О т в е т.
2;12
П р и м е р 32 .( Задание С3) Найти все значения параметра а , при
которых выражение
( 11а –3а2 )х – 7а
больше выражения
6х - 3 а2 -6 при
любом значении х , принадлежащем промежутку ( 2; 5).
Р е ш е н и е 1. (официальное).
Приведем неравенство к виду ( 3а2-- 11а + 6 ) х + ( - 3 а2 + 7а +6 ) < 0.
Левая
часть неравенства представляет собой линейную функцию
f (x)
с
коэффициентами, являющимися функциями от а . Требуется, чтобы эта функция
на интервал ( 2; 5 ) была отрицательна. Это выполнимо тогда и только тогда,
когда f(2) и f( 5) не равны нулю одновременно и
40
 f (2)  0,

 f (5)  0.
a 2  5a  6  0,
2  a  3,

 2  a  3.
 2
a  4a  3  0
1  a  3,
при а=3, т.е.
f(2)=f(5)=0
точку а=3 нужно исключить из найденного
промежутка.
О т в е т.
2;3
Р е ш е н и е 2. Преобразуем данное неравенство:
(3x  3)( a 
2( x  1)
)  (a  3)  0
3( x  1)
Так как х ( 2 ; 5), то 3х – 3 >0
и 0
данного неравенства является промежуток
Пусть f(x)

2( x  1)
)  3 Тогда решением
3( x  1)
2( x  1)
)a3
3( x  1)
2( x  1)
2
4
) 
3( x  1)
3 3( x  1)
Эта функция убывает и непрерывна на ( 2; 5), значит, f(x)( f(5); f(2))= ( 1; 2). Но
так как f(x)<a< 3 для любого х  ( 2; 5), то 2  а < 3.
О т в е т : 2  а < 3.
П р и м е р 33.( Задание С5) Даны 2 уравнения:
log5 (x( p2 + 6)) = p + 5 – 2x
и x+
3
x 2 (5 p  1)  (4  3 p) x  3
=
.
x
x(3 p  2)
Значение параметра р выбрано так, что 3р+2 ≠0 и число различных корней
первого уравнения равно сумме числа р-3 и числа различных корней второго уравнения.
Решите первое уравнение
при всех значениях параметра, выбранных таким
образом.
Решение.
Приведем схему решения уравнения:
41
1. Оценить сверху число корней первого уравнения.
2. Оценить сверху число k корней второго уравнения. Найти возможные
значения р
3. Выбрать то значение р, при котором выполняется условие задачи.
4. Подставить найденное значение р в первое уравнение и решить его.
1). Так как р2 + 6 > 0, то первое уравнение определено при х > 0. В его левой части
стоит возрастающая функция, так как при возрастании х возрастают
ж, х( р2 + 6), log5 (x( p2 + 6)). Его левая часть – убывающая линейная функция. Поэтому
число n корней первого уравнения (1) равно 0 или 1.
2). При х ≠ 0, 3р + 2 ≠ 0 второе уравнение (2) равносильно уравнениям :
х2(3р + 2) + 3( 3р + 2) = х2 ( 5р + 1 ) + (4 – 3р)х + 3,
( 2р – 1 )х2 – ( 3р – 4 )х – 3( 3р + 1) = 0,
( х – 3 )( (2р – 1)х + ( 3р + 1))= 0.
Поэтому число k корней уравнения (2) равно 1 или 2
Так как n = ( p -3 ) + k, p = n – k + 3, то р равно или 1, или 2, или 3.
3). Если р=1, то ( х – 3)(х +4) = 0, если р = 2, то ( х -3)(3х + 1) = 0,
если р= 3, то ( х – 3)(5х + 10) = 0, т.е. k = 2 и р = n + 1. Следовательно возможен случай
р = 2, n = 1 или случай р=1, n = 0.
4) При р = 2 уравнение (1) имеет вид log5 (10x) + 2x = 7. его единственный корень х = 2,5
находим подбором : log5 25 + 5 = 7. Следовательно, n = 1 и условие задачи n= ( p – 3) + k
выполнено.
При р= 1 уравнение (1) имеет вид : log5 (70x) + 2x = 6, если х = 1, то log5 (70x) + 2x < 6,
а если х = 3, то log5 (7x) + 2x > 6 . Так как при изменении х левая часть log5 (7x) + 2x
меняется непрерывно, то на промежутке ( 1 ; 3) уравнение имеет корень. Следовательно,
n = 1 и условие задачи n = ( p – 3) + k не выполнено, т.е. случай р = 1 невозможен.
О т в е т.2,5
42
Приложение 3
ТЕСТ 1
Вариант I.
1.
Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.
а) при k=-2 корней нет; при k  =-2 x 
б) при k  -2 корней нет; при k=-2 x 
4k  1
;
k2
4k  1
;
k2
в) при k=-2 корней нет; при k  =-2 и k  =0,25 x 
2.
4k  1
.
k2
Решите уравнение 2а( а - 2)х = а2 – 5а+6 относительно х
а) при а=2 х  R ; при а=0 корней нет; при а  0 и а  2 x 
(a  3)( a  2)
;
2a(a  2)
б) при а=2 х  R ; при а=0 корней нет; при а  0 и а  2 x 
a3
;
2a
в) при а=2 х  R ; при а=0 корней нет; при а  0 и а  2 x 
(a  2)
.
2a(a  2)
3.
При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет
отрицательное решение.
а) b<1 ;
4.
б) b>1 ;
в) b=1
При каких значениях а парабола у = ах2 – 2х +25 касается оси
х?
а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ;
5.
в) а=0,04.
При каких значениях k уравнение (k - 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0
имеет единственное решение?
а) k=-5, k= -2 ; б) k=5
6.
; в) k=5, k= 2 .
Решите относительно х уравнение
а)при b  +1, b  
3
5
x
5 x
2x
3b

 2
2b  2 1  b b  1
5b
3
; при b= 
реш.нет; при b=±1 нет
3  5b
5
смысла;
43
б)при b  
в)при b= 
3
5
3
5
x
x
5b
3
; при b= 
реш.нет; при b=±1 нет смысла;
3  5b
5
5b
; при b=±1 нет смысла.
3  5b
При каких значениях параметра а уравнение имеет решение
7.
3x  a  a  2 x
а) а≥ 3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0
При каких значениях а уравнение
8.
x  a  x имеет 2 корня?
а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25<а≤ 0 ; в) –0,25<а< 0
9.
При каких значениях параметра с уравнение
x  2 cx  c  3

имеет 2 корня?
4
3c
а) с  ( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с  ( - ∞ ; -1,5√3)
Вариант II.
1.
Решите уравнение 2х( а+1)= 3а(х+1)+7 относительно х.
а) при а=-2 корней нет; при а  -2 x 
3a  7
;
2a
б) при а  -2 корней нет; при а=-2 x 
3a  7
;
2a
в) при а  -2 и а  -
2.
7
3
корней нет; при а=-2 x 
3a  7
.
2a
Решите уравнение (а 2 - 81)х = а2 + 7а - 18 относительно х
а) при а=-9 х  R ; при а=9 корней нет; при а  -9 и а  9 x 
a2
;
a9
б) при а=9 х  R ; при а=-9 корней нет; при а  -9 и а  9 x 
a2
;
a9
в) при а= -9 х  R ; при а=9 корней нет; при а  -9
3.
x
a2
;
a9
При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет
отрицательное решение?
а) b<3 ;
б) b<2 ;
в) b>3
44
При каких значениях k уравнение kx2 – (k - 7)x + 9 =0 имеет
4.
два равных положительных корня?
а) k=49, k= 1 ; б) k=1
; в) k=49 .
При каких значениях а уравнение ax2 - 6x+а = 0 имеет два
5.
различных корня?
а) а  ( - 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а ( - 3 ; 3) ;
в) с  ( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)
Решите относительно х уравнение
6.
а)при а  1,а  2,25, а  -0,4, x 
3ax  5
3a  11 2 x  7


(a  1)( x  3)
a 1
x3
31  2a
; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет
4a  9
смысла;
б) при а  2,25, а  -0,4, x 
31  2a
; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет
4a  9
смысла;
в) при а  1, а  -0,4, x 
31  2a
; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.
4a  9
При каких значениях параметра а уравнение имеет решение
7.
3x  2  x  2  a ?
а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6
При каких значениях а уравнение
8.
x 1  a имеет 2 корня?
а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1
9.
При каких значениях параметра с уравнение
x  2 cx  c  3

имеет 2 корня?
4
3c
а) с  ( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с  ( - ∞ ; -1,5√3)
45
ТЕСТ 2
Вариант I.
Решите уравнение 3 cos x = 4b + 1 для всех значений
1.
параметра.
а) при b  ( -1; 0,5 ) х = ± arcos
4b  1
 2k , k  Z ; при b  (-∞;-1]U[0,5;+∞)
3
реш.нет;
б) при b  [ -1; 0,5 ] х = ± arcos
4b  1
 2k , k  Z ; при b (-∞;-1)U(0,5;+∞)
3
реш.нет;
в) b  (-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos
4b  1
 2k , k  Z ; b  ( -1; 0,5 ) при реш.нет;
3
Найдите все действительные значения параметра а, при
2.
которых уравнение sin2 x – 3sin x + a =0.
а) a  [ -4; 2 ]
б) а  ( -4 ; 2) ;
;
в) а  [ - 4; 2 ).
При каких значениях а уравнение cos4 x + sin4 x = a имеет
3.
корни?
а) a  [ 0,5; 1 ]
;
б) а  [ -1 ; 0,5 ] ;
в) а [ - 0,5; 1 ).
Решите уравнение a  ( x  0.5) a 0.5  a  a 2 x
4.
а) при а ≤ 0 х  R ; при а > 0, а  1 х = 2; при а = 1 не имеет смысла.
б) при а > 0 х  R ; при а = 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.
в) при а = 1 х  R ; при а > 0, а  1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.
При каких значениях параметра уравнение 4х – а2 х+1 – 3а2 + 4а
5.
= 0 имеет единственное решение?
а)
2;
6.
б) 1 ;
в) -1.
Решите уравнение log a x 2 + 2 log a ( x + 2) = 1.
а) при а ≤ 1 х = 0,5( 2+
4  2 lg a ) ; при а =100 х = 1.
б) при а > 100 реш. нет;при 1<a<100 х = 0,5( 2+
при а ≤ 1 не имеет смысла .
46
4  2 lg a ); при а =100 х = 1;
в) при а > 100 реш.нет ; при 1<a<100 х = 0,5( 2+
4  2 lg a ) ;
при а ≤ 1 не имеет смысла .
Найдите все значения параметра, для которых данное
7.
уравнение имеет только один корень 1+ log 2 (ax) = 2 log 2 (1 - x)
а) а > 0, а = 2 ; б) а > 0, а = - 2 ; в) а < 0, а = - 2 .
Решите уравнение x loga x  a 2 x, а > 0, а  1
8.
а) а ;
1
;
a
б) а2 ; -
1
a
; в ) а2 ;
1
a
Вариант II.
1.
Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений
параметра.
а) при |b| ≤ 1 х =
 1  arccos b4b  2k
, k  Z ; при |b| > 1 реш.нет;
3
б) при |b| ≤ 1 и b=0 х =
в) при |b| > 1 х =
2.
 1  arccos b4b  2k
, k  Z ; при |b| > 1 реш.нет;
3
 1  arccos b4b  2k
, k  Z ; при |b| < 1 реш.нет;
3
Найдите все действительные значения параметра а, при
которых уравнение cos2 x + asin x =2 a -7.
а) a  ( 2 ; 6 )
3.
;
б) а  ( 2 ; 4 ] ;
в) а [ 2 ; 6 ].
При каких значениях а уравнение cos6 x + sin6 x = a имеет
корни?
а) a  [ 0,25; 0,5 ]
;
б) а  [ 0,25 ; 1 ] ;
47
в) а  [ - 0,25; 1 ].
Решите уравнение a  ( x  0.5) a 0.5  a  a 2 x
4.
а) при а ≤ 0 х  R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла.
б) при а = 1 х  R ; при а > 0, а  1 х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.
в) при а > 0х  R ; при а = 1 , х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.
При каких значениях параметра уравнение а( 2 х + 2-х ) = 5
5.
имеет единственное решение?
а)
-2,5; 2,5
6.
;
б) 2; 2,5
;
в) –2,5.
Решите уравнение 3 lg (x – а) - 10 lg ( x - а)+1 = 0.
а) х = а + 1000, х = а + 3√10 ;
б) х = а - 3√10 , х = а –1000 ;
в) х = а - 3√10 , х = а + 1000 .
7.
Найдите все значения параметра, для которых данное
уравнение имеет только один корень
а) 4 ;
б) -4 ;
lg( kx)
2
lg( x  1)
в) - 2
.
8.
Решите уравнение x loga x  a loga x , а > 0, а  1
а) -1 ; а ;
3
б) 1 ; - а; в ) 1 ; а
48
Графическое решение уравнений, неравенств и систем с параметром
Алгоритм решения.
1.
Находим область определения уравнения.
2.
Выражаем a как функцию от х.
3.
В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех
значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
4.
Находим точки пересечения прямой а=с, где с  (-∞;+∞) с графиком
функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем
абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х)
относительно х.
5.
Записываем ответ.
П р и м е р. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет три различных корня.
Р е ш е н и е.
Переписав уравнение в виде
и рассмотрев пару
функций
, можно заметить, что искомые
значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика
функции
, при которых он имеет точно три точки пересечения с
функции
.
В системе координат хОу построим график функции
можно представить её в виде
графиком
). Для этого
и, рассмотрев четыре
возникающих случая, запишем эту функцию в виде
49
Поскольку график функции
оси Ох, равный
– это прямая, имеющая угол наклона к
, и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем,
что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая
касается графика функции
О т в е т:
. Поэтому находим производную
.
П р и м е р . Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
имеет решения.
Р е ш е н и е.
Из
первого
уравнения
системы
получим
при
Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы
“скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на
множители
Множеством точек плоскости
, удовлетворяющих второму уравнению,
являются две прямые
и
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол”
имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В
соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой
), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если
вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то
50
.
Случай касания “полупараболы” с прямой
определим из условия
существования единственного решения системы
В этом случае уравнение
имеет один корень, откуда находим :
Следовательно, исходная система не имеет решений при
или
, а при
имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а  (-∞;-3]  (
;+∞).
П р и м е р. Решить уравнение
Р е ш е н и е.
Использовав равенство
, заданное уравнение
перепишем в виде
Это уравнение равносильно системе
Уравнение
перепишем в виде
51
.
(*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения.
Построим графики функций
и
Из графика следует, что при
графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.
Если
, то при x ≥3 графики функций совпадают и, следовательно, все
значения x ≥3 являются решениями уравнения (*).
При
графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой
Таким образом, при
уравнение (*) имеет единственное решение -
.
.
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут
удовлетворять условиям
Пусть
, тогда cистема примет вид
Её решением будет промежуток х  (1;5). Учитывая, что х<5 , можно заключить,
что при
исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка
[3; 5).
Рассмотрим случай, когда
. Система неравенств примет вид
Решив эту систему, найдем а  (-1;7). Но
уравнение имеет единственное решение
, поэтому при а  (3;7) исходное
.
52
О т в е т:
если а  (-∞;3), то решений нет;
если а=3, то х  [3;5);
если a  (3;7), то
;
если a  [7;∞), то решений нет.
Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметры,
предлагавшиеся на ЕГЭ.
П р и м е р 2. При каких значениях параметра а сумма logа ( sin x + 2 )
и logа ( sin x + 3 ) будет равна единице хотя бы при одном значении х ?
Р е ш е н и е. 1) Оба выражения определены при всех значений х.
Их сумма равна :
Loga (sin x +2 ) + loga ( sin x + 3 ) = loga ( sin x + 2 )( sin x + 3 ),
Уравнения logа ( sin x + 2 )( sin x + 3 ) = 1 и
( sin x + 2 )( sin x + 3 ) = а
равносильны.
2) Пусть sin x = t , где -1 ≤ t ≤ 1.Тогда получаем: ( t + 2) ( t + 3 ) = a,
Функция f ( t )= ( t+2)( t + 3) квадратичная, ветви параболы направлены вверх,
нули – это точки
-2 и -3.Значит, на отрезке [ -1;1] эта функция возрастает,
непрерывна и принимает все значения от y ( -1) = 2
уравнение ( t+2)( t+3) = a имеет корни в том случае,
когда 2 ≤ a ≤ 12.
2;12
53
до y(1) = 12, поэтому
О т в е т.
П р и м е р . Найти все значения параметра а , при которых
выражение ( 11а –3а2 )х – 7а больше выражения 6х - 3 а2 -6 при любом
значении х , принадлежащем промежутку ( 2; 5).
Р е ш е н и е 1. (официальное).
Приведем неравенство
Левая
2
к виду ( 3а2-- 11а + 6 ) х + ( - 3 а2 + 7а +6 ) < 0.
часть неравенства представляет собой линейную функцию
f (x)
с
коэффициентами, являющимися функциями от а . Требуется, чтобы эта функция
на интервал ( 2; 5 ) была отрицательна. Это выполнимо тогда и только тогда,
когда f(2) и f( 5) не равны нулю одновременно и
 f (2)  0,

 f (5)  0.
a 2  5a  6  0,
2  a  3,

 2  a  3.
 2
a  4a  3  0
1  a  3,
f(2)=f(5)=0
при а=3, т.е.
точку а=3 нужно исключить из найденного
2;3
промежутка.
О т в е т.
Р е ш е н и е 2. Преобразуем данное неравенство:
(3x  3)( a 
2( x  1)
)  (a  3)  0
3( x  1)
Так как х ( 2 ; 5), то 3х – 3 >0
и
данного неравенства является промежуток
Пусть f(x)

0
2( x  1)
)3
Тогда решением
3( x  1)
2( x  1)
)a3
3( x  1)
2( x  1)
2
4
) 
3( x  1)
3 3( x  1)
Эта функция убывает и непрерывна на ( 2; 5), значит, f(x)( f(5); f(2))= ( 1; 2). Но
так как f(x)<a< 3 для любого х  ( 2; 5), то 2  а < 3.
О т в е т : 2  а < 3.
54
Пример
Даны 2 уравнения:
log5 (x( p + 6)) = p + 5 – 2x
2
Значение параметра
3
x 2 (5 p  1)  (4  3 p) x  3
и x+ =
.
x
x(3 p  2)
р выбрано так, что 3р+2 ≠0
и число различных корней
первого уравнения равно сумме числа р-3 и числа различных корней второго уравнения.
Решите первое уравнение
при всех значениях параметра, выбранных таким
образом.
Решение.
Приведем схему решения уравнения:
5. Оценить сверху число корней первого уравнения.
6. Оценить сверху число k корней второго уравнения. Найти возможные
значения р
7. Выбрать то значение р, при котором выполняется условие задачи.
8. Подставить найденное значение р в первое уравнение и решить его.
1). Так как р2 + 6 > 0, то первое уравнение определено при х > 0. В его левой части
стоит возрастающая функция, так как при возрастании х возрастают
ж, х( р2 + 6), log5 (x( p2 + 6)). Его левая часть – убывающая линейная функция. Поэтому
число n корней первого уравнения (1) равно 0 или 1.
2). При х ≠ 0, 3р + 2 ≠ 0 второе уравнение (2) равносильно уравнениям :
х2(3р + 2) + 3( 3р + 2) = х2 ( 5р + 1 ) + (4 – 3р)х + 3,
( 2р – 1 )х2 – ( 3р – 4 )х – 3( 3р + 1) = 0,
( х – 3 )( (2р – 1)х + ( 3р + 1))= 0.
Поэтому число k корней уравнения (2) равно 1 или 2
Так как n = ( p -3 ) + k, p = n – k + 3, то р равно или 1, или 2, или 3.
3). Если р=1, то ( х – 3)(х +4) = 0, если р = 2, то ( х -3)(3х + 1) = 0,
если р= 3, то ( х – 3)(5х + 10) = 0, т.е. k = 2 и р = n + 1. Следовательно возможен случай
р = 2, n = 1 или случай р=1, n = 0.
4) При р = 2 уравнение (1) имеет вид log5 (10x) + 2x = 7. его единственный корень х = 2,5
находим подбором : log5 25 + 5 = 7. Следовательно, n = 1 и условие задачи n= ( p – 3) + k
выполнено.
При р= 1 уравнение (1) имеет вид : log5 (70x) + 2x = 6, если х = 1, то log5 (70x) + 2x < 6,
а если х = 3, то log5 (7x) + 2x > 6 . Так как при изменении х левая часть log5 (7x) + 2x
меняется непрерывно, то на промежутке ( 1 ; 3) уравнение имеет корень. Следовательно,
n = 1 и условие задачи n = ( p – 3) + k не выполнено, т.е. случай р = 1 невозможен.
О т в е т.2,5
55