Тема урока: Решение иррациональных уравнений

Тема урока: Решение иррациональных уравнений.
Автор – Кипреева Татьяна Владимировна, учитель математики.
Образовательное учреждение – Муниципальное общеобразовательное учреждение
Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа г. Черняховска Калининградской
области
Предмет алгебра и начала анализа
Класс 12
Раздел: Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа (36 ч.)
Тема урока «Решение иррациональных уравнений», 1-й урок по теме
Учебно-методическое обеспечение:
1) Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа 10-11. – М.:
«Просвещение», 2004.
2) Глазков Ю.А., Денищева Л.О. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к
ЕГЭ. Математика. – М.: «Интеллект –Центр», 2007.
3) Корешкова Т.А., Шевелева Н.В. ЕГЭ 2009. Математика. Тренировочные задания. –
М.: «Эксмо», 2008
4) Семенов А.В., Юрченко Е.В. Система подготовки к ЕГЭ по математике. –
Математика № 17-24, ИД «Первое сентября»
Время реализации – 45 минут
Оборудование и материалы для урока:
мультипроектор, презентация для сопровождения урока, листы самоконтроля ответов
учащихся.
Цели:
Образовательные: повторить различные методы решения иррациональных уравнений,
осознанно применять знания, формировать навыки, которые
обеспечат успешное выполнение заданий ЕГЭ;
Развивающие: развитие математического мышления, интеллектуальных и
познавательных способностей, развитие умения обосновывать свое
решение, обобщать и систематизировать полученные знания,
контролировать и оценивать результаты своих действий.
Воспитательные: воспитание культуры общения, познавательной активности, чувства
ответственности за выполненную работу, дисциплинированности,
аккуратности, самостоятельности и добросовестности.
Структура урока
1. Организационный момент. Вступительное слово учителя
2. Подготовка к основному этапу занятия.
3. Обобщение, систематизация знаний.
4. Закрепление знаний и способов действий (самостоятельная работа).
5. Подведение итогов урока.
6. Постановка домашнего задания.
7. Рефлексия.
1
Ход урока.
1. Организационный момент.
Слайд 1,2
Вступительное слово учителя. Сообщение темы урока: Решение иррациональных
уравнений. Рассмотрим вопрос о решении иррациональных уравнений. Простейшие
иррациональные уравнения встречались в курсе алгебры, начиная с 8 класса.
Иррациональные уравнения всегда были в экзаменационном материале выпускных и
вступительных экзаменов. В современных контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по
математике явно или неявно они также присутствуют. Поэтому целесообразно заново
переосмыслить общие идеи и методы решения таких уравнений. Этим мы и займемся с
вами на сегодняшнем уроке.
На уроке вы будете выполнять различные задания, и постепенно будете заполнять лист
самоконтроля учащегося. Подпишите лист самоконтроля учащегося и познакомьтесь с его
содержанием.
2. Подготовка к основному этапу занятия.
Проверка домашнего задания для способных учеников.
1. Вычислить: (3+2 6 )2 + (3 -2 6 )2
Решение. (3+2 6 )2 + (3 -2 6 )2 = 9 + 12 6 + 24 + 9 -12 6 + 24 = 18 + 48 = 66.
2. Найти значение выражения
2 3
2 3
2
Решение.
 2  3    2  3 

 

2  3 2  3 
+
2 3
2 3
.
2
=
2 32 3
43
=4
Иррациональные уравнения.
Иррациональными называются уравнения, в которых переменная
знаком корня.
Фронтальная работа с классом.
- Какие из следующих уравнений являются иррациональными?
1) х + х = 2; 2) х 2 = х + 1; 3) х2 + 2х 3 = 1; 4) 3 х  2 = - 1 .
- Является ли число хо корнем уравнения?
1) х  2 = 2  х , хо = 4;
2) 3 5  х = 2 , хо = -3 .
- решите уравнение
1.
х 2 = 9;
2.
х  4 = 5;
3.
х2 =
2х  3
4.
Слайд 3
содержится под
Слайд 4
Слайд 5
5 х = - 2
Заполняем листы самоконтроля учащихся:
Слайд 6, Слайд 7
3
А1. Вычислите:
125 0,027
1) 15
2) 0,015
3) 0,15
4) 1,5
А2. Вычислите: 4 0,0016  81
1) 0,6
2) 6
3) 0,06
4) 0,006
А3. При каких значениях х выражение 3  х имеет смысл?
1) (-  ; +  )
2) [ 0; +  )
3) (- ∞ ; 3 ]
4) [ 3; + ∞ )
А4. Возведите в квадрат ( х – 2)
1) х2 – 4;
2) х2 + 4;
3) х2 + 4х +4
4) х2 – 4х + 4
3. Обобщение, систематизация знаний.
2
Методы решения иррациональных уравнений:
1) переход к рациональному уравнению-следствию с последующей проверкой корней;
Слайд 8
Рассмотрим основные приемы решения
иррациональных уравнений.
уравнений.
1. Простейшие иррациональные уравнения,
уравнения, для
решения которых используется свойство
 a
n
n
a
Пример Решить уравнение
4
x2  9  2
Возведем обе части уравнения в четвертую степень и
получим x2 – 9 = 16, x2 = 25, х1 = - 5, х2 = 5 .
Проверим,
Проверим, что полученные числа являются
решениями уравнения.
уравнения. При подстановке их в данное
уравнение получаем верные числовые равенства
4
52  9  2 и
4
(  5) 2  9  2
Следовательно,
Следовательно, х1 = - 5, х2 = 5 - решения уравнения.
уравнения.
2) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна);
Рассмотрим уравнение вида
Слайд 9
f (x) = φ(x)
2. Уравнения вида
 (x)  0,
f(x)   (x)  
2
f(x)   ( x)
Способ решения
Решить уравнение
f(x)   (x)
22  2 х
=х+1
Решение.
Решение.
х  1  0
 х  1

 2
22

2
х

(
х

1
)

 х  4 х  21  0
22  2 х = х + 1  

х =3.
2
 х  1

 х  3 
  х  7

Ответ: 3.
Решить уравнение:
22  2 х = х + 1
Решение.
х  1  0
 х  1
22  2 х = х + 1  

 2
2
22  2 х  ( х  1)
 х  4 х  21  0
х =3. Ответ: 3.
Рассмотрим уравнение
f (x) =  х 
 f ( x)   ( x)
 f ( x)   ( x)
или 
f (x) =  х   
 f ( x)  0
 ( x)  0
Из двух систем решают ту, которая решается проще.
 х  1

  х  3
  х  7


Слайд 10
3
3. Уравнения вида
f(x)   (x)
Способ решения
f(x)   (x) ,

f(x)   (x)  f(x)  0 ,
( либо  (x)  0 )

Пример.
Пример. Решить уравнение
x  3  x 2  2x  7
Решение.
Решение.
 x  4,
x  3  x 2  2x  7,  x 2  3x  4  0,  


 x   1 x  4.
x  3  0 ;
 x  3;
 x  3;

Примеры. Решить уравнение:
 2х  1 =
Решение.
х 2  36
 2х  1 =
 х  5
 2 х  1  х 2  36
 х 2  2 х  35  0


  х  7 
х  36  
 2 х  1  0
2 х  1
 х  0,5

2
х = - 7. Ответ : - 7.
«Найди ошибки». Заполнить лист самоконтроля.
Слайд 11
1. х  25 , х=  5, 2. х3 = 8, х =  2. 3. х3 = - 27, нет корней.
Запишите верный ответ.
1. х = 625, 2. х = 2 , 3. х = - 3 , 4. х = - 27
4.
3
х = - 3, х=  27.
Физкультминутка
Упражнения для глаз.
1.Вертикальные движения глаз вверх-вниз;
2. Горизонтальные вправо-влево;
3. Вращение глазами по часовой стрелке и против;
4. Закрыть глаза и представить перед собой большой белый экран. Мысленно раскрасить
этот экран поочередно любым цветом: например, сначала желтым, потом оранжевым,
зеленым, синим, но закончить раскрашивание нужно самым любимым цветом.
5. Смотрите на указательный палец правой руки, который поставьте перед глазами на
расстоянии от глаз 20-25 см. Затем палец удалите от глаз на вытянутую руку. Переведите
взгляд от пальца на какую-то дальнюю точку - на окно, вид в окне, на картину, затем
снова на палец, приближаясь к глазам опять на расстояние 20-25 см.. Это упражнение
можно делать в любое время и где угодно. И можно повторять его по 20 раз.
Упражнение для улучшения мозгового кровообращения
1. Поверните голову максимально направо, затем налево, сделайте в обе стороны по 10
раз.
2. Максимально нагните голову влево, а затем, не спеша, нагните её в правую сторону.
Сделайте 10 раз.
3.Медленно, не торопясь поворачивайте голову налево, откиньте назад, поверните её
направо и опустите на грудь.. Повторите упражнение в обратном направлении.
4. Поднимите оба плеча как можно выше и в этом положении отведите их максимально
назад, затем опустите оба плеча вниз и сблизьте впереди груди. Затем повторите это
движение наоборот: вверх, вперед, вниз, назад.
4
5. Руки за голову; локти развести пошире, голову наклонить назад. Локти вперед, но вниз,
голову наклонить вперед. Повторить 4-6 раз. Темп медленный.
Упражнение для снятия утомления с мелких мышц кисти
Руки подняты вверх или вперед, сжать кисти в кулак, разжать кисти. Повторить 6-8 раз,
затем руки расслаблено опустить вниз и потрясти кистями.
Уравнение вида f(x)   (х) = 0
Слайд 12
 ( x)  0

  f ( x)  0
Способ решения: f(x)   (х) = 0
  ( x)  0

4. Уравнения вида
Способ решения
f(x)   (x)  0
  (x)  0,

f(x)   (x)  0   f(x)  0,
  (x)  0

Пример.
Пример. Решить уравнение
Решение.
Решение.
 2 x 0,
 2
 x  3x  0 ,

 2  x  0 ;
 x 2,

 x(x  3)  0 ,
 2  x  0 ;

(x 2  3x)  2  x  0
 x 2,

 x  0 ,

 x   3 ,
 x   2 ;

 x 0,
 x   2.

Примеры. Найдите сумму корней уравнения: ( х + 1 ) х 2  х  2 = 2х + 2.
Решение. ( х + 1 ) х 2  х  2 = 2(х + 1).
х 2  х  2  0
 х  2, х  1


(х + 1)( х 2  х  2 - 2 ) = 0   x  1  0
   x  1




2

2
 x  x  2  4
 x  x  2  2
 х  2, х  1
 х  2, х  1


 x  1
  x  1
 
х = 2, х = - 3.
x

2

 x2  x  6  0


 x  3

Сумма корней: 2 – 3 = - 1.
Ответ: - 1.
Слайд 13,14
5
Пример.
Пример. Решить уравнение
Образец решения.
решения.
Пусть
Тогда получим
4
2 x 4 3 x

2
3 x
2x
4
4
2x
t,
3 x
4
Следовательно,
Следовательно,
2 x 4 3 x

2
3 x
2x
4
Проверка
3 x 1
 , t  0.
2x t
2x
2x
 1,
 1,
3 x
3 x
2  x  3  x , 2x   1 , x   0,5 .
4
2  0,5

3  0,5
4
2,5

2,5
1
t   2 , t 2  1  2t , (t  1) 2  0 , t  1 .
t
4
4
3  0,5
2 ,
2  0,5
2,5
 2 , 11 2.
2,5
Ответ:
Ответ: - 0,5.
2х  1
х 1
2
 1.
х 1
2х  1
2
2х  1
 y , у  0 . тогда у -  1 , у2- у – 2 =0, у = -1, у = 2  0 ,
y
х 1
Найти корни уравнения:
Решение. Пусть
2х  1
2х  1
= 4, 2х+1 = 4х – 4, 2х = 5, х = 2,5
 2,
х 1
х 1
Ответ: 2,5.
4. Самостоятельная работа.
1 вариант.
1. Решите
1) -2
уравнение:
2) 3
3) 6
1. Решите уравнение:
х  2  х2  8  0
1  2х  х 2  х  3
4) -2; 3.
1) 4
2.
Решите уравнение:
Слайд 15,16
2 вариант
2) 1
3) – 4
у  10  2  у
2. Решите уравнение:
1) – 1
2) 1
3) – 6
4) – 1
х3  5 х
4) 6 .
1) 7
3.Укажите промежуток, которому
принадлежат все корни уравнения:
5  2х  1  х
2) 4
3) 4; 7
4) нет корней
3. Укажите промежуток, которому
принадлежат все корни уравнения
2 х  10 =х+1
1) (- 2; 2] 2) (- 4; - 3) 3) (- 3; - 2] 4) [0;2]
1)[3; 6] 2) (-2; 0)
4.
3) (0; 2)
4) [- 4; - 1)
Найдите произведение корней уравнения
4. Найдите сумму корней уравнения
х  5х  36  6
2
3
х 2  14 х  16  4
5. Найдите суму корней уравнения
5. Найдите произведение корней уравнения
( х + 2) х 2  4 х  5  0
(х – 5) х 2  5х  6  0
6.Решите уравнение:
х 2  56   х
Ответы:1. 2); 2. 1); 3. 3); 4.0; 5.10; 6.-8.
Записать ответы в листы самоконтроля.
6. Решите уравнение:
х 2  30   х
Ответы: 1. 3); 2. 2); 3. 1); 4.– 14; 5.10; 6.-6
6
5. Подсчитайте количество баллов и внесите в лист самоконтроля. Подсчитайте свой
рейтинг за урок по листку самоконтроля. Определите свою оценку за урок.
6. Домашнее задание § 9, №155 (1,3), № 158 (для способных учеников)
Слайд 17
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа
10-11 Алимов Ш.А.
Стр. 58-60 9 № 155(1,3)
№158 (для способных учеников)
Лист самоконтроля учащегося ________________________________________
(фамилия, имя)
К уроку алгебры и начал анализа по теме « Решение иррациональных уравнений»
№ 1. Тест
№ А1 А2 А3 А4
1
2
3
4
№2 «Найди ошибки» Запиши правильный ответ
1
2
3
4
Ответ
№ 3 Самостоятельная работа.
№ 1
1
2
3
4
За каждый верный ответ – 1 балл
Если вы набрали 12 – 14 баллов – оценка «5»
9 – 11 баллов – оценка «4»
4 – 8 баллов – оценка «3»
2
3
4
5
6
Я набрал ________баллов
Моя оценка «____»___________________
(подпись учащегося)
Ответьте на вопросы и поставьте оценку по 5-ти бальной системе
Как, на ваш взгляд, прошел урок, все ли вам было понятно? _______________
Вы себя уверенно чувствовали на уроке? ___________________
Достаточно ли было вам знаний, полученных ранее? ____________
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7