(DOCX, 1.43MB)

Задание С2
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ
1
или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Задание №1.
Дана правильная четырёхугольная пирамида
миды равно
высота —
точки
и — середины ребер
Найдите расстояние от
и
соответственно.
с вершиной
середины
ребра
Ребро основания пирадо
прямой
где
Решение.
Пусть — центр основания, а — середина ребра
— середина ребра
Тогда
этому точки
лежат в одной плоскости и являются вершинами трапеции.
По теореме о средней линии треугольника
по-
так что трапеция равнобедренная.
Так как
Основания
трапеции
ты
и
Тогда
Заметим, что
равны
В
треугольнике
равно
точки
высо-
поэтому
Ответ:
Задание №2.
проведем
Дана правильная треугольная пирамида
с вершиной
.
. Боковое ребро пирамиды
, высота равна
. Найдите расстояние от середины бокового ребра
и — середины ребер
и
соответственно.
до прямой
, где
Решение.
Пусть
ка
— середина ребра
, — середина ребра
. По теореме о средней линии треугольни, следовательно, точки , , , лежат в одной плоскости.
, следовательно,
перпендикулярах
(так как
мое расстояние есть длина отрезка
— параллелограмм. Кроме того,
, а по теореме о трёх
), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, иско. По теореме Пифагора
;
тогда
,а
.
Ответ:
Задание №3. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна
6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Решение.
Пусть MH — высота правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF с вершиной M, тогда треугольник AMH прямоугольный, MA = 10, MH = 6, откуда
Треугольник ABH равносторонний, следовательно, AB = AH = 8. В треугольнике AMB высота
В правильном треугольнике AHB высота
Центр O сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому
где r — радиус сферы. Площадь сферы
Ответ:
Задание №4.
Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирами-
ды равна
, высота равна
. Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ, где
точки М и Т — середины ребер АС и AВ соответственно.
Решение.
Пусть Q — середина ребра CD, P — середина ребра ВD. По теореме о средней линии треугольника
; следовательно, точки М, Т, Р, Q лежат в одной плоскости.
, следовательно, точки М, Т, Р, Q являются вершинами параллелограмма. Кроме того,
, а по теореме о трёх перпендикулярах (так как
), поэтому
этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, искомое расстояние есть длина отрезка РТ. Отрезок АО равен
.
По теореме Пифагора
;
а
Задание №5.
вания равна
Ответ:
.
В правильной четырехугольной призме
Точка
— середина ребра
.
высота равна
Найдите расстояние от точки
а сторона осно-
до плоскости
Решение.
Рассмотрим треугольную пирамиду
1)
.
2)
, где
искомое расстояние.
Ее объем можно выразить двумя способами:
Приравняем выражения для объемов и выразим его:
Найдем площадь равнобедренного треугольника
Проведем в нем высоту
.
.
Следовательно, искомое расстояние
Ответ:
Задание
№6.
Основанием прямой призмы
является равнобедренный
ник
Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой
стью
треугольи плоско-
Решение.
Поскольку призма
сти
Поэтому прямая
углу
Так как
Отсюда
прямая, то высота
— проекция прямой
треугольника
на плоскость
перпендикулярна плоскоЗначит, искомый угол равен
имеем:
Следовательно,
Ответ:
Задание №7. В правильной четырёхугольной призме
ковые ребра равны . На ребре
отмечена точка так, что
плоскостями
и
.
Решение.
сти
и
Прямая
пересекаются по прямой
.
пересекает прямую
стороны основания равны , а бо. Найдите угол между
в точке
. Плоско-
Из точки
рен прямой
ми
и
опустим перпендикуляр
на прямую
, тогда отрезок
(проекция
) перпендикуля. Угол
является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостя.
Поскольку
, получаем:
Из подобия треугольников
В прямоугольном треугольнике
откуда высота
и
находим:
с прямым углом :
;
;
,;
.
Из прямоугольного треугольника
с прямым углом
получаем:
.
Задание №8.
Основанием прямой призмы
Ответ:
.
является равнобедренный треугольник
ковая сторона которого равна
а угол
равен
Найдите расстояние от точки
мой
если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.
бодо пря-
Решение.
Опустим из точки перпендикуляр
на прямую
плоскости грани
прямую
параллельную прямой
Так как
то и
чит, прямая
является проекцией прямой
на плоскость
Поскольку
следовательно, и
согласно теореме о трех перпендикулярах.
Далее находим:
и проведем в
а, знато
а,
1) из
2) из
О т в е т : 15.
В правильной треугольной призме
боковое ребро равно
Точка — середина ребра
Найдите объём пятигранника
Задание №9.
ния равно
а ребро основа-
Решение.
Пусть
— высота треугольника
плоскости, поскольку в правильной призме
. Тогда
по признаку перпендикулярности прямой и
и, значит,
Пятигранник
— четы-
рехугольная пирамида с вершиной в точке
миды
и основанием
— прямоугольной трапецией. Высота пира-
Площадь основания равна
Ответ: 3.
В правильной шестиугольной призме
10, найдите расстояние от точки до прямой
Задание №10.
все рёбра которой равны
Решение.
Так как
мые
и
пендикулярна
— правильный шестиугольник, прямые
и
перпендикулярны. Поскольку пряпараллельны,
перпендикулярно
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
пер, поэтому длина отрезка
равна искомому расстоянию.
По условию
для треугольника
диагональ правильного шестиугольника
находим, что
. Тогда по теореме Пифагора
Ответ: 20.
Задание №11.
В
рёбра:
от вершины
точки
и
Решение.
прямоугольном
параллелепипеде
известны
Точка принадлежит ребру
и делит его в отношении
считая
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через
Сечение
плоскостью
пересекает ребро
в точке Отрезок
зок
параллелен
Следовательно, искомое сечение — параллелограмм
Значит,
параллелен
отре(рис. 1). Далее имеем:
— ромб. Найдем его диагонали:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому
Ответ:
Задание №12.
Расстояние между боковыми ребрами
и
прямой треугольной призмы
расстояние между боковыми ребрами
и
равно 8. Найдите расстояние от прямой
сти
если известно, что двугранный угол призмы при ребре
равен 60°.
равно 5, а
до плоско-
Решение.
Поскольку
― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, следовательно, расстояние между боковыми ребрами
и
равно
а расстояние между
боковыми ребрами
и
равно
Кроме того, угол
― линейный угол двугранного угла при
ребре
Таким образом,
Пусть
отрезок
―
высота
основания
(см.
рисунок).
Поскольку
и
то
и, значит, длина отрезка
и есть искомое расстояние от прямой
до
параллельной ей плоскости
Рассматривая треугольник
находим:
Ответ:
Задание №13.
Основанием
зой
стью
прямой
призмы
и катетом
Решение.
пендикулярна плоскости
искомый угол равен углу
является
Высота призмы равна
Поскольку призма
Поэтому прямая
прямоугольный
треугольник
с
гипотену-
Найдите угол между прямой
и плоско-
прямая, то высота
треугольника
пер— проекция прямой
на плоскость
Значит,
Так как
Рассмотрим прямоугольный треугольник
:
Ответ:
Задание №14.
В правильном тетраэдре
грани
.
найдите угол между высотой тетраэдра
и медианой
боковой
Решение.
Пусть и
чит,
и, следовательно,
— средняя линия треугольника
. Кроме того,
Пусть длина ребра тетраэдра равна , тогда имеем:
. Тогда
, зна.
Ответ:
.
Задание №15.
Дана правильная четырехугольная пирамида
равна . Найдите расстояние от точки до плоскости
Боковое ребро
сторона основания
где
— середина ребра
Решение.
мая
сти
Построим сечение
где — середина ребра
Пряпараллельна
значит, искомое расстояние равно расстоянию от точки до плоскогде — середина
Пусть
— середина
Рассмотрим сечение
.
от
Значит,
треугольник
до
где — середина
ние равно
.
равносторонний.
Искомое
расстояние
равно
расстоянию
— медиана и высота треугольника
Поэтому искомое расстояОтвет: .
Задание №16.
В правильной треугольной призме
стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3,
точка — середина ребра
Найдите угол между плоскостями
и
Решение.
Прямая
пересекает прямую
в точке
Плоскости
и
пересекаются по прямой
Из
точки опустим перпендикуляр
на прямую
тогда отрезок
(проекция
), по теореме о трех
перпендикулярах, перпендикулярен прямой
Угол
является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями
и
Точка — середина ребра
поэтому
Из равенства треугольников
и
получаем:
В равнобедренном треугольнике
угол равен
,
биссектрисой, откуда
Из прямоугольного треугольника
с прямым углом получаем:
высота
, тогда
является высотой и
.
Ответ:
Замечание: Ответ
может
быть
представлен
и
в
другой
форме:
Задание №17.
В правильной шестиугольной призме
стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от точки С до прямой
.
Решение.
Так как ABCDEF правильный шестиугольник, то прямые FC и DE параллельны, параллельны также прямые
иDE, следовательно, прямые
и FC параллельны. Расстояние от точки С до прямой
,
равно расстоянию между прямыми
и FC.
В трапеции
:
,
,
,
,
тогда
.
Ответ:
.
Задание №18.
В правильной треугольной призме
Изобразите сечение, проходящее через вершины
Решение.
стороны основания равны , боковые рёбра равны
и середину ребра
. Найдите его площадь.
.
Обозначим через
и средины ребер
и
соответственно.
По теореме о средней линии треугольника
так что прямые
и
лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию
Основания трапеции
по теореме Пифагора найдем боковую сторону:
Проведем в трапеции высоту
Отрезок
равен полуразности оснований трапеции:
Следовательно, высота трапеции
Зная её, находим площадь трапеции:
Ответ:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите
синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.
Задание №19.
Решение.
Пусть точка — центр основания, а
— середина ребра
Поскольку
и
плоскость
перпендикулярна прямой
Это значит, что плоскость
и есть плоскость, проходящая
через точку перпендикулярно
Проведем отрезки
и
Так как треугольник
правильный,
Так как треугольник
— равнобедренный,
Следовательно, искомый угол равен углу
Найдем стороны треугольника
По теореме косинусов:
Отсюда
Ответ:
Примечание.
Решение существенно
упрощается,
если
заметить,
что
треугольник
—
прямоуголь-
ный:
Задание №20.
На ребре
прямыми
и
куба
отмечена точка
так, что
Найдите угол между
Решение.
Примем ребро куба за . Тогда
Поскольку
, получаем:
и
Проведем через точку прямую, параллельную
. Она пересекает ребро
в точке
угольники
и
равны. Искомый угол равен углу
(или смежному с ним).
В прямоугольном треугольнике
с прямым углом
В прямоугольном треугольнике
с прямым углом
В треугольнике
откуда
Тогда
Ответ может быть представлен и в другом виде:
или
, причем тре-
Ответ:
Задание №21.