первая интерполяционная формула ньютона

ПЕРВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА
1. Описание
задачи. Пусть
для
функции
заданы
значения
для
переменной:
подобрать полином
значения
,
равноотстоящих
значений
независимой
, где - шаг интерполяции. Требуется
степени не выше , принимающий в точках
,
.
Условия (1) эквивалентны тому, что
Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:
(1)
при
.
.
(2)
Легко видеть, что полином (2) полностью удовлетворяет требованиям
поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома
не
выше , во-вторых,
Заметим, что при
функции :
и
,
.
формула (2) превращается в ряд Тейлора для
.
Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона
(2) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введём
новую переменную
по формуле
; тогда получим:
,
где
(3)
представляет собой число шагов, необходимых для достижения
точки ,
исходя
из
точки
.
Это
и
есть
окончательный
вид интерполяционной формулы Ньютона.
Формулу
(3)
выгодно
использовать
для
интерполирования
функции
в окрестности начального значения
, где
мало по
абсолютной величине.
Если дана неограниченная таблица значений функции , то число в
интерполяционной формуле (3) может быть любым. Практически в этом
случае число
выбирают так, чтобы разность
была постоянной с
заданной степенью точности. За начальное значение
можно принимать
любое табличное значение аргумента .
Если таблица значений функции конечна, то число
ограничено, а
именно: не может быть больше числа значений функции ,
уменьшенного на единицу.
Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы
Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как
тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей
горизонтальной строке таблицы.
2. Пример. Приняв шаг
, построить интерполяционный полином
Ньютона для функции
, заданной таблицей
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
-3
-3,685 -4,445 -5,285 -6,207 -7,218 -8,321
Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1).
Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3)
полагаем
. Приняв
,
, будем иметь:
,
или
,
где
Ньютона.
. Это и есть искомый интерполяционный полином
Таблица 1
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
-3
-3,685
-4,445
-5,285
-6,207
-7,218
-8,321
0,685
0,76
0,84
0,922
1,011
1,103
-0,075
-0,08
-0,082
-0,089
-0,092
0,005
0,002
0,007
0,003
Полученный полином дает возможность прогнозирования. Достаточную
точность получаем при решении интерполяционной задачи, например,
. Точность падает при решении экстраполяционной задачи, например,
.
Интерполяционная формула Лагранжа
Поставим задачу. Требуется найти алгебраический многочлен
не выше, чем
, который совпадал бы с функцией
точках
степени
в заданных
. Таким образом, должны выполняться условия
.
Многочлен
единственный. Если предположить, что существует еще
один многочлен
с теми же свойствами, то разность
обратится в нуль в
точке
многочленом степени не выше, чем
нулю и
и будет алгебраическим
, значит, разность тождественно равна
.
Из единственности следует, что если исходная функция
алгебраическим многочленом степени
всех
, то она совпадает с
для
.
Сначала найдем алгебраический многочлен степени
точках
сама является
равен нулю, а в точке
, который в
равен единице. Очевидно, что
,
где постоянная
находится из условия
, т. е.
.
Таким образом, искомый многочлен имеет вид
.
Поставленную задачу решает многочлен
.
(1)
Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Интерполяционный многочлен Лагранжа находит применение
в приближенном вычислении производных функции
известны только в точках
Например, если
. А именно, полагают
известна в точках
точкам многочлен Лагранжа
, когда ее значения
, то, построив по этим
, найдем, что
.