Козельский филиал ГБОУ СПО МО Дмитровского

Козельский филиал ГБОУ СПО МО Дмитровского государственного
политехнического колледжа
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИКА»
На тему: «Алгоритмический метод в обучении математики»
Базовый уровень среднего профессионального образования
Выполнила: Михайлян Е.И.
Козельск
2013 г.
ОДОБРЕНА
УТВЕРЖДЕНА
предметно-цикловой комиссией
Общеобразовательных дисциплин
«Технология машиностроения»
Зам.директора по УВР
_______________ Денисов С.В.
«_____»___________ 2013 г.
Председатель __________________
Протокол № ____от _____________
Автор: Михайлян Елена Ивановна,
Козельский филиала ГБОУ СПО МО ДГПК,
преподаватель высшей категории
Рецензент:
Рыбакова Людмила Григорьевна,
Козельский филиала ГБОУ СПО МО ДГПК,
преподаватель высшей категории.
2
СОДЕРЖАНИЕ:
стр.
1.
2.
3.
4.
5.
Пояснительная записка …………………………………… 4
Алгоритмический метод в обучении математики ………. 5
Составление алгоритмов ………………………………… 8
Заключение……………………………………………….
Литература………………………………………………..
3
Пояснительная записка
Данная методическая разработка составлена в соответствии
с
государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки
выпускника по специальности 151901 «Технология машиностроении».
Методическая разработка предназначена как преподавателям, так и
студентам 1 курса средних специальных ученых заведений. В ней дано
теоретическое изложение алгоритмического метода обучения, принципы
составления алгоритмов и составлены алгоритмы по всем темам дисциплины
«Математика» для студентов 1 курса.
Известно, что решение задач по математике у студентов часто бывает
сопряжено со многими трудностями. Основное назначение данной разработки
состоит в том, чтобы помочь студенту преодолеть эти трудности и научить его,
благодаря алгоритму, решению задач.
4
Алгоритмический метод обучения в математике.
Под «методом обучения» в дидактике понимают упорядоченные способы
взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на
достижение учебно – воспитательных задач. В настоящее время в
педагогической литературе наблюдается тенденция подразделения методов
обучения на «новые» более прогрессивные, и старые, традиционные.
Традиционные методы обучения разрабатывались в свое время наиболее
опытными педагогами, формировались в результате длительной практики
обучения. Необходимо использовать этот опыт в максимальной мере. Только
комбинируя различные методы, преподаватель может добиться успехов в своей
работе. А для этого надо отчетливо представлять достоинства и недостатки
каждого метода, условия его применимости.
Положение, которое складывается с изучением математики в средних
специальных учебных заведениях, становится более сложным, так как, именно,
математика создает главную основу для всех наук технического профиля. В
усложненных условиях обучения у студентов не возникает полноценной
системы математических представлений. Знание многочисленных формул,
алгоритмов недолго сохраняется в памяти, если к ним не обращаются достаточно
часто. Ориентация на максимум усвоения материала приводит к заметной
перегрузке относительно более слабых студентов. Большая часть учащихся
находятся в дискомфортном положении, не справляющихся с учебой, что
приводит к целому ряду негативных последствий; потере интереса к обучению,
отрицательному отношению к учебному труду. Поэтому очень важно развивать
интерес к дисциплине. И, конечно, здесь отводится главная роль преподавателю.
Почти на каждом уроке учителю приходится объяснять новый материал. И
он всегда хочет, чтобы ответы учащихся были грамотны, аргументированы. Но
тогда и сам преподаватель должен достаточно часто давать образцы таких
ответов в виде связного рассказа, лекции. Подобное объяснение учителя – это и
есть образец ответа для учащихся. Основное требование к данному методу
сводится к тому, что объяснения преподавателя надо рассматривать как образцы
ответов. Причем имеются в виду не только образцы изложения теоретических
вопросов, но и, что, пожалуй, главное, - образцы решения задач. Образец ответа
при решении задачи – это один из важнейших способов обучения связному
рассказу.
Формирование умений безупречно объяснять, комментировать
выполняемое упражнение в виде цельного рассказа начинается с объяснения
учителя. Он показывает, как выполняется упражнение нового типа, как следует
располагать записи, в какие моменты и каким образом необходимо
комментировать выполняемые операции. Образец ответа, излагаемый
преподавателем – необходимый этап в обучении связному рассказу. Образец
выполнения преподавателем упражнения нового типа включает в себя не только
содержательные элементы (как выполнять), но и чисто методические
компоненты (каким образом комментировать, как располагать записи,
5
демонстрировать рисунки). Эти чисто методические компоненты образца ответа
может дать сначала только учитель.
Выполнение первого упражнения нового типа, как правило, начинают с
беседы. Учащимся предлагается найти способ решения, обсуждаются их
предложения. Это развивает инициативу и творчество учащихся. Но если вслед
за беседой вызвать сразу студента для объяснения найденного решения он не
сможет дать образец ответа с включением всех необходимых методических
компонентов, если не видел, как это делается.
Следовательно, после обсуждения с группой способа выполнения
упражнения нового типа желательно учителю самому изложить в виде образца
найденное решение.
Для того чтоб исправить такое положение мало показать образец ответа.
Учащиеся не усваивают его с одного – двух раз. Чтобы обеспечить каждому
студенту возможность выполнения упражнения с объяснениями в полном
соответствии с образцом, данным преподавателем необходимо рассказ учителя
сочетать с другими методами и приемами обучения. Один из таких методов
является алгоритмический.
Чтобы каждому студенту обеспечить возможность выполнения
упражнения с необходимыми объяснениями и той же последовательности, какую
показал учитель, дается алгоритм, точнее – список указаний. Он предлагается
или в готовом виде, или составляется вместе с группой. Учащиеся читают его и
одновременно выполняют упражнение.
Успешное использование алгоритмического метода зависит от ряда
условий.
Прежде всего, необходимо сочетание алгоритмического метода с
применением образца ответа. Иначе указания алгоритма приходится давать
чрезмерно громоздкими и неудобными для применения.
Алгоритм должен быть по возможности наиболее кратким. С кратким
алгоритмом учащиеся работают значительно охотнее. Он является для них как
бы планом, схемой, своеобразным стимулом, помогающим восстанавливать в
памяти только что прослушанные, но еще хорошо не запомнившиеся
рассуждения преподавателя. Краткие указания легко запоминаются, и уже после
выполнения нескольких упражнений многие учащиеся перестают читать
отдельные указания, свободно воспроизводят их по памяти, ограничиваясь лишь
беглым взглядом на них.
Важное значение имеет следующая рекомендация преподавателя; «Читая
и применяя алгоритм, старайтесь запоминать его». Подобная рекомендация, а
также соответствующие требования и поощрения учителя вызывают у учащихся
установку
лучшему запоминанию, облегчает его. Без такой установки
формирование умений замедляется, и многие студенты долго не запоминают
алгоритм, путаются при объяснении решения задачи.
Также очень важно, пунктуальное соблюдение данного преподавателем
образца решения задачи. Учитель сам продумывает и алгоритм, и образец его
6
применения,
но
затем
по
возможности
соблюдает
выбранную
последовательность рассуждений.
В алгоритм желательно включать указания, побуждающие учащихся
контролировать свои действия. Это позволяет предупреждать типичные ошибки.
Действия учащихся по контролю неоднократно повторяются, и потому,
постепенно свертываясь, они входят в сформированную обобщенную
ассоциацию как ее необходимый компонент.
Указания в алгоритме желательно давать в таком виде, чтобы они
содержали в себе все необходимые объяснения, какие преподаватель хочет
слышать от учащихся по ходу решения задач.
7
Составление алгоритмов.
С приходом ребят учиться в колледж очень часто можно наблюдать, что
они не знают простых арифметических действий с числами с разными знаками.
Поэтому составляем сразу такого типа алгоритмы:
Алгоритм: «Сложения чисел с разными знаками»
При сложении чисел с разными знаками надо:
1. Поставить знак большего по модулю слагаемого;
2. А модули вычесть.
Алгоритм: «Сложения чисел с одинаковыми знаками»
При сложении чисел с одинаковыми знаками надо:
1. Поставить общий знак;
2. А модули сложить.
Алгоритм: «Произведения и деления чисел с одинаковыми знаками»
При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками надо:
1. Поставить знак + ;
Алгоритм: «Произведения и деления чисел с разными знаками»
При умножении и делении чисел с разными знаками надо:
1. Поставить знак - ;
Большую трудность представляет собой арифметические действия с
обыкновенными дробями. Составляем такие алгоритмы:
Алгоритм: «Сложения и вычитания дробей»
При сложении и вычитании дробей надо:
1. Найти наименьший общий знаменатель;
2. Определить дополнительные множители для каждой дроби;
3. Перемножить их с числителями;
4. Сложить дроби с одинаковыми знаменателями.
Алгоритм: «Умножения дробей»
При умножении дробей надо:
1. Перемножить числители и знаменатели между собой.
Алгоритм: «Деления дробей»
При делении дробей надо:
1. Первую дробь умножить на перевернутую вторую дробь.
8
Курс математики в колледже начинаем с повторения математики за
основной курс школы, а именно с решения линейных уравнений:
Алгоритм: «Решения линейного уравнения»
1. Определить степень уравнения (по показателю степени
неизвестного слагаемого;
2. При решении линейного уравнения выполнить необходимые
преобразования ( освободиться от знаменателей; раскрыть скобки;
привести подобные слагаемые;
3. Перенести слагаемые с неизвестной переменной в левую часть
уравнения, а известные - в правую;
4. При переносе необходимо менять знаки;
5. Получить уравнение вида: ах = в;
6. Найти значение переменной как неизвестный множитель: х = в\а;
7. Записать ответ уравнения.
Алгоритм: «Решения системы уравнений»
А) Способ подстановки:
1. В каком – либо уравнении выразить одну переменную через
другую;
2. Подставить это выражение в другое уравнение;
3. Выполнить необходимые преобразования как в уравнении с
одним неизвестным;
4. Найти значение одной переменной;
5. Подставить это значение в выраженное выражение;
6. Найти значение другой переменной;
7. Ответ записать в виде (х; у); либо х = ; у = .
В) Способ сложения:
1. Добиться равных по модулю, но разных по знаку одного из
коэффициентов, при какой - либо переменной;
2. Выполнить сложение уравнений;
3. Получить уравнение с одной переменной;
4. Найти значение этой переменной;
5. Подставить это значение в любое уравнение;
6. Найти значение другой переменной;
7. Ответ записать в виде (х; у); либо х = ; у = .
9
Алгоритм: «Решения системы уравнений методом Крамера»
1. Привести систему линейных уравнений к стандартному виду;
а 1 х + в 1 у = с1 ;
а 2 х + в 2 у = с2 ;
2. Найти главный определитель:
= а1 в1 = а1 в2 - а2 в1 ;
а2 в2
3. Найти
х = с1 в1 = с1 в2 - с2 в1 ;
с2 в2
4. Найти
у = а 1 с1
а2 с2
5. Вычислить х =
6. Вычислить у =
=
а1 с2 - а2 с1 ;
х;
у;
7. Ответ записать в виде (х; у); либо х = ; у = .
Алгоритм: «Решения квадратных уравнений »
а) Полное квадратное уравнение:
1. Привести к стандартному виду:
а х2 + в х + с = 0
2. Определить дискриминант:
Д=в2 -4ас,
3. Найти корни уравнения:
х 1,2. = - в +_ Д
2а
4. Записать ответ в виде: х 1 = ; х 2 = .
б). Неполные квадратные уравнения:
а. вида ах2 + вх = 0 когда с = 0
1. вынести общий множитель за скобку:
х ( ах + в ) = 0
2.приравнять каждый множитель к нулю и решить отдельно
полученные уравнения
х = 0 или ах + в = 0
ах = - в
х=-в\а
3.Записать ответ:
10
в). вида ах 2 = с когда в = 0.
х2 = с\ а
х=+- с\а
Записать ответ:
При прохождении темы «Решение неравенств методом интервалов» можно
составить следующий алгоритм. Алгоритм можно заранее записать на доске или
продемонстрировать на экране.
Алгоритм «Решение неравенств методом интервалов».
1. принять левую часть неравенства за функцию;
2. найти нули функции и область определения функции;
3. на числовой прямой отметить нули функции и область
определения;
4. определить знаки на полученных промежутках;
5. записать ответ неравенства.
Пример:
Решить неравенство: х 2 - х – 12 < 0.
1. принимаем левую часть неравенства за функцию;
пусть f ( х ) = х 2 - х – 12;
2. находим нули функции и область определения функции;
D ( х ) = R;
х 2 - х – 12 = 0
х 1 = 4 х 2 = - 3.
3. на числовой прямой отмечаем нули функции и область определения;
4. определяем знаки на полученных промежутках;
+
-3
-
4
+
х
5. записываем ответ неравенства.
Ответ: х € ( - 3 ; 4; ).
Многие учащиеся воспринимают метод интервалов формально. Они
«механически» без должного объяснения проставляют знаки в каждом
интервале. Поэтому здесь необходимо приучать учащихся, чтобы они находили
знак в конкретном интервале, а затем, используя свойства непрерывности
функции, проставляли знаки в остальных интервалах.
11
Алгоритм исследования функции по графику
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Д (у) – область определения функции т.е. множество значений
аргумента при которых задана функция . ( проекция графика на ось
х ).
Корни функции, т.е. точки в которых функция обращается в нуль или
решение уравнения у (х) = 0.( точки пересечения графика с осью х ).
Четность функции ( четная – график симметричен относительно оси
оу; нечетная – график симметричен относительно начало координат ).
Промежутки постоянного знака т.е. промежутки на которых функция
положительна или отрицательна т.е. решение неравенства у (х) > 0,
у (х) < 0 (участки оси х, соответствующие точкам графика, лежащие
выше ( ниже ) оси х).
Точки экстремума, т.е. точки, лежащие внутри области определения
на данном промежутке принимает самое большое (максимум) или
самое маленькое ( минимум) функции. («вершины» на графике
функции).
Промежутки монотонности, т.е. промежутки на которых функция
либо возрастает либо убывает. ( участки оси х, где график идет вверх
или вниз).
Наибольшее или наименьшее значение функции на всем промежутке
задания функции (ординаты самой высокой и низкой точек графика ).
Область значения функции т.е. множество чисел, состоящее из всех
значений функции. ( проекция графика на ось у ).
Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида:
а х = в, где а > о, а ≠ 1.
Уравнение а f ( х ) = а
g (x)
равносильно уравнению f ( x ) = g ( x ).
Алгоритм «Решение показательных уравнений и неравенств».
Методы решения показательных уравнений.
а. Приведение степени к одинаковому основанию:
12
1. привести уравнение к одинаковому основанию степени
2. приравнять показатели степени
3. решить традиционно полученное уравнение
4. записать ответ.
Примеры:
3 х = 9 х+1
3 х = 3 2х+2
х=2х+2
х = - 2.
Ответ: х = - 2.
1 \ 27 = 9 – 2 х
3 –3 = ( 3 2 ) –2х
3 –3 = 3 –4х
-3 = -4х
х = 3 \4
Ответ: х = 3 \4.
б. Вынесение общего множителя за скобки;
1. преобразовать уравнение, чтобы видеть общий множитель,
применяя свойства степени
2. вынести общий множитель за скобки
3. найти неизвестный множитель
4. привести к одинаковому основанию степени
5. приравнять показатели степени
6. решить полученное уравнение
7. записать ответ
Примеры:
х
2 + 3 * 2 х = 64
3 х+1 - 4 * 3 х – 2 = 69;
2 х ( 1 + 3 ) = 64
2 х + 1 + 5 * 2 х – 2 =104;
2 х = 16
2 х + 1 + 5 * 2 х – 2 =104;
2х =24
2 х ( 2 + 5\4 ) = 104
х=4
2 х = 104 : 3, 25
Ответ: х = 4.
2 х = 32
2х = 2 5
х=5
Ответ: х = 5.
в. Введение новой переменной:
1. преобразовать показательное уравнение, чтобы слагаемые с
неизвестным в показателе степени имели одинаковое
основание
2. ввести новую переменную
3. заменить на новую переменную слагаемые с неизвестными в
показатели степени, получить при этом квадратное уравнение
4. решить стандартно данное уравнение
5. вернуться к старой переменной решить полученное уравнение
6. записать ответ.
13
Пример:
4 х + 2 х + 3 = 20.
2 2 х + 2 х * 8 = 20
2 х = t, t > 0.
t 2 + 8 t - 20 = 0
D = 64 + 80 = 144
х 1 = 2; х 2 = - 10 - не удовл. услов.
2 х = 21
х = 1.
Ответ: х = 1.
«Решение показательных неравенств».
Способы решения показательных неравенств
аналогичны методам
решения показательных уравнений. Но необходимо применить свойства
показательных неравенств:
При решении показательных неравенств необходимо учитывать основание
степени:
Если основание степени больше единицы, то функция возрастает и при
переходе к показателям знак неравенства не меняется.
Если основание степени меньше единицы, то функция убывает и при переходе к
показателям знак неравенства меняется на противоположный.
Пример : ( 1\2 ) 2 х > (1 \ 2) х + 1
2х < х + 1
х < 1
Ответ: х € ( - ∞ ; 1 ).
Алгоритм «Решение логарифмических уравнений и неравенств».
Опр. Уравнение называется логарифмическим, если в нем неизвестное
содержится под знаком логарифма. Уравнение вида log а х = в.
К простейшим логарифмическим уравнениям относятся уравнения, которые
можно преобразовать следующими 3 способами:
1. по определению:
lоg a х = в,
х = а в , где а > 0, а ≠ 1, х > 0.
Пример:
lоg 5 х = 2 ;
х = 5 2 ;
х = 25.
Ответ: х = 25
2. приведение к одинаковому основанию обоих частей уравнения. Затем
потенцируем.
Пример:
lоg а x = 2 log а 3 + log а 5
х > 0,
log а x = log а 3 2 + log а 5
х > 0,
log а x = log а 45
x = 45
14
Ответ: х = 45.
3. введение новой переменной и замена неизвестных уравнения, что
приводит данное уравнение к алгебраическому уравнению второй, третьей и
т.д. степени относительно новой переменной.
Пример:
log 2 5 x - log 5 x = 2
log x = t;
x > 0,
t 2 - t - 2 = 0.
D = 1 + 8 = 9
t 1,2 = -1; 2
log 5 x = -1 ,
log 5 x = 2.
x = 1 \ 5,
x = 25.
Ответ: х = 1 \ 5;
х = 25.
При решении
логарифмических
неравенств необходимо учитывать
основание логарифма.
Если основание логарифма больше единицы, то при потенцировании знак
неравенства не меняется.
Если основание логарифма меньше единицы, то при потенцировании знак
неравенства меняется на противоположный.
Пример:
log 1\2 x > log 1\2 5
x < 5
Ответ: х € ( - ∞ ; 5 ).
Методы решение тригонометрических уравнений ».
Общие решения:
sin х = а,
1.
х = ( - 1 ) k аrcsin а + пn,
где n прин. Z.
2.
соs х = а,
х = +_ аrссоs а + 2 пn ,
где n прин. Z.
3.
tg х = а,
х = аrctg а
где n прин. Z
4.
сtg х = а,
х = аrcctg а + пn,
+ пn,
где n прин. Z.
Частные решения:
15
1. sin х = 0,
sin х = 1,
sin х = - 1,
х = пn,
х = п \ 2 + 2пn,
х = - п \ 2 + 2пn,
2. соs х = 0,
cos х = 1,
cos х = -1,
х = п \ 2 + пn,
х = 2пn,
х = п + 2пn,
3.
n прин. Z
n прин. Z.
n прин. Z.
n прин. Z
n прин. Z.
n прин. Z.
sin 2 х = а,
х = +_
аrcsin
а + пn,
n прин. Z.
cоs 2 х = а,
х = +_
аrссоs
а + пn,
n прин. Z
tg 2 х = а,
х = +_
аrctg
а + пn,
n прин. Z.
ctg 2 х = а,
х = +_
аrcctg
а
n прин. Z.
+ пn,
Существуют два общих метода решения тригонометрических уравнений:
а). метод подстановки;
б). метод разложения на множители;
Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется
уравнение вида:
а sin х + в соs х = 0.
Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется
уравнение вида:
а sin2 х + в sin х соs х + с соs 2 х = 0.
В этих случаях можно сделать подстановку соs 2 х = 1 - sin 2 х,
либо при условии, соs х = 0, обе части уравнения
разделить на соs х
или на соs 2 х , получится уравнение, равносильное
данному, рациональное относительно tg х.
Арифметические действия с векторами.
Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат
конца вектора и его начала. И обозначается а { х2 - х1, у2 - у1, z 2 - z 1 }
Длина отрезка, изображающего
вектор, называется длиной вектора,
модулем или абсолютным значением. И обозначается | а |, | АВ|.
16
Модуль вектора находится как квадратный корень из суммы квадратов
координат вектора.
| а | =
х2 + у2 + z2
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые модули и
одинаковые направления.
Могут быть сонаправлены и противоположно направлены.
1. | а | = | в |
2. направление.
3. х a = х в , у а = у в,
z a = z в,
Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным.
Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинаково с
данным вектором и имеет модуль, равный единице.
Углом между двумя векторами а
и
в называется меньший из
ориентированных углов между направленными отрезками АВ = а и АС = в,
исходящими из одной точки.
Два вектора а и в называются ортогональными ( взаимно
перпендикулярными), если
(а, в) = + п \ 2.
Частные случаи:
1. а | | в и (а, в) = 0.
В этом случае векторы параллельны и одинаково направлены;
2. а | | в и (а , в) = п.
В этом случае векторы противоположно направлены.
Два вектора называются коллинеарными,
если они имеют одинаковые
модули, расположены на одной прямой или на параллельных прямых и могут
быть направлены в одну сторону либо в противоположные стороны.
Условием коллинеарности
(параллельности)
пропорциональность координат векторов.
а | | в,
если
векторов
является
хa = ув = za
хв
ув
zв
Вектор, противоположный вектору а, обозначается через - а.
Любой вектор в пространстве разложим следующим образом:
а
=
х i + у j + z k,
где i , j, k
- единичные векторы, так как:
1. их модули равны 1.
17
2. они расположены соответственно на осях координат.
Действия над векторами:
1. сложение векторов: а + в = с,
2. умножение вектора на число
с { хa + хb ; у a + у b ; z a + z b };
с = в а,
с { в х ; в у ; в z };
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется произведение модулей
этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается а * в = | а | | в| соs j , где j угол между векторами.
Скалярное произведение векторов равно 0 , если векторы перпендикулярны.
а
в , то
а* в = 0, так как соs j = 0.
Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его модуля
называется скалярным квадратом вектора.
Если
а
{ хa; уa; za}
а* в =
хa хb +
и можно выразить соs j
=
и
в { хb;
уa уb +
и
у b ; z b } , то
za zb
а * в
| а |* | в |
отсюда соs j =
х a х b + у a у b + z a zb
х 2a + у 2a + z 2a
х 2b + у 2b + z 2b
таким образом можно находить угол между векторами. Но надо учитывать,
что необходимо принимать меньший угол между векторами.
Алгоритм нахождения производной функции через приращение
Изменение какой-либо величины называют приращением этой величины.
х = x - хo
- приращение независимой переменной (приращение
аргумента).
18
у =
функции).
у
-
у
-
o
приращение зависимой переменной (приращение
ОПР.
Производной функции в точке называется число, к которому
стремится разностное отношение при х , стремящемся к нулю. и обозначается
f | (х) = lim у
x
Правило нахождения производной функции:
1. найти приращение функции:
у = у - уo;
2. найти отношение приращения функции к приращению аргумента:
у \
х.
3. найти число, к которому стремится данное отношение при условии, что
х
0.
Правила дифференцирования
Функцию, имеющую производную в точке, называют дифференцируемой в
этой точке.
Нахождение
производной
данной
функции
называется
дифференцированием.
Правила вычисления производных:
1. Если функции u и
v
дифференцируемы в точке, то их сумма
дифференцируема в этой точке:
( u + v )| = u| + v|
производная суммы равна сумме производных.
2. Если функции
u
и
v дифференцируемы в точке, то их
произведение дифференцируемо в этой точке и
( u v ) | = u |v + u v |
Следствие: Если функция
u
дифференцируема в точке, а С постоянная, то функция С дифференцируема в этой точке и ( С u ) | = С
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.
3. Если функции u и v дифференцируемы в точке и функция
не
равна нулю в этой точке, то частное u \ v также дифференцируемо в этой
точке.
u
v
ОПР.
обозначается
|
=
u|v - uv|
v2
,
v ≠ 0
Сложной функцией называется функция
в
функции и
f (х) = y ( g (х)).
19
Чтобы найти производную сложной функции необходимо
производную от каждой функции, а затем их перемножить.
найти
ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.
1). Найти область определения функции;
2). Исследовать функцию на четность и нечетность;
3). Исследовать функцию на периодичность;
4). Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;
5). Определить, если возможно, точки пересечения графика функции с осями
координат;
6). Найти критические точки 1 рода ( определить интервалы монотонности
функции и экстремумы);
7). Найти критические точки 2 рода ( определить интервалы выпуклости и
точки перегиба);
8). Найти асимптоты графика функции;
9). При необходимости определить дополнительные точки;
10). По данным исследования построить график функции.
20
Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью определенного
интеграла.
Опр. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная
линиями: у = f ( х ), у = 0, х = а, х = в.
С геометрической точки зрения площадь фигуры, ограниченной линиями
у = f ( х ), где f ( х ) > 0,
у = 0,
х = а,
х = в, выражается
определенным интегралом
в

в
f ( х ) d х = F (х)
а
= F ( а ) - F ( в ).
а
Алгоритм нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного
интеграла:
1.в прямоугольной декартовой системе координат построить графики
данных функций;
2. провести штриховку, части плоскости, ограниченной этими линиями;
3. найти пределы интегрирования ( при необходимости решить систему
уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков данных функций;
4. применить формулу определенного интеграла.
Пример:
Определить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х + 2,
у = 0, х = 2, х = 4.
1. в прямоугольной декартовой системе координат строим графики данных
функций;
у
х =2
у=х+2
2
у =0
0
2
4 х = 4
21
2. проводим штриховку, части плоскости, ограниченной этими линиями;
3. находим пределы интегрирования : х = 2. х = 4.
4. применяем формулу определенного интеграла.
4
S =

4
(х+2) dх = (х2 \2 + 2х)
2
= 8 + 8 – 2 – 4 = 10 ( кв.ед.)
2
Ответ: площадь фигуры равна 10 кв. ед.
Данный алгоритм приводится при условии f ( х ) > 0, и предусматривает
наличие уравнения у = 0, т.е. наша замкнутая область прилежит к оси абсцисс.
Именно это условие позволяет применить формулу определенного интеграла. Но
в общем случае, функция может быть отрицательна. Поэтому в данном случае
необходимо брать интеграл по модулю так как площадь не может выражаться
отрицательным числом. Если криволинейная трапеция, площадь которой надо
определить, не прилежит оси абсцисс, в этом случае искомую площадь
необходимо находить как разность между фигурами.
Решение дифференциальных уравнений первого порядка с
разделяющими переменными:
Опр. Уравнение, содержащее производные или дифференциалы не выше
первого порядка, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
На первом курсе колледжа изучаем дифференциальные уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными.
Опр.
Уравнения, в которых переменные разделяются, называются
дифференциальными уравнениями с разделяющими переменными.
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с
разделяющими переменными..
1. запишите данное уравнение через дифференциал функции;
22
2. произведите разделение переменных ( путем преобразований);
3. возьмите интеграл от обеих частей уравнения;
4. запишите общее решение;
5. при необходимости ( если даны начальные условия) найдите значение
постоянной интегрирования;
6. запишите ответ в виде частного решения.
Пример 1.
Решить уравнение x y | = y,
если при х = 5 будет у = 10.
1. записываем уравнение в виде х d у = у d х;
2. производим разделение переменных, разделив обе части уравнения на
произведение х * у, получим:
dу \ у = d х \ х.
3. интегрируя обе части последнего уравнения, найдем:

dу\у =

dх\х,
или ln | у | = ln | х | + ln | С | .
В правой части прибавлено постоянное в виде
ln | C | для облегчения
потенцирования. Освобождаясь от символа логарифма, т.е. потенцируя,
получим:
| у | = | С х |, или у = +- Сх.
4. общее решение исходного уравнения можно написать в виде:
у = С х.
5. для определения постоянного С подставим в полученное решение
начальные условия х = 5 и у = 10, что дает
10 = 5 С,
откуда
С = 2.
6. следовательно, искомое частное решение будет:
у = 2 х.
23
С геометрической точки зрения, из всех прямых ( семейства прямых ),
проходящих через начало координат, выделяем одну, на которой лежит
точка с координатами ( 5; 10; ).
Пример 2.
Решить уравнение у | = 2 ( у – 3 ), если при х = 0 будет у = 4.
1. записываем уравнение в виде d у = 2 ( у – 3 ) d х;
2. производим разделение переменных, разделив обе части уравнения на
( у – 3 ), получим:
d у \ ( у – 3 ) = 2 d х,
3. интегрируя обе части последнего уравнения, найдем:

dу\(у–3) =

2 d х,
или ln | у – 3 | = 2 х + ln | С |.
Для потенцирования нужно и правую часть последнего равенства
написать со знаком логарифма имеем:
2 х = ln е 2 х ;
4. следовательно, общее решение можно переписать в виде:
ln | у – 3 | = ln е 2х + ln | С |;
отсюда потенцируя, получаем:
у – 3 = с е 2х .
5. для определения постоянного С подставим в полученное решение
начальные условия х = 0 у = 4 ; сделав подстановку. Получим:
4 – 3 = С е 0 = С , т.е. С = 1.
6. следовательно, искомое частное решение будет:
у – 3 = е 2 х , или у = е 2 х + 3.
Решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка.
24
Опр. Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго
порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Простейшее из этих уравнений имеет вид:
у || = f ( х )
или
d 2 у \ d х 2 = f ( х ).
Алгоритм решения простейшего дифференциального уравнения второго
порядка .
1. запишем данное уравнение через дифференциал функции;
2. произведем понижение порядка дифференциала, путем введения новой
переменной: р = d у \ d х;
3. получим:
d 2 у \ d х 2 = d р \ d х = f ( х );
4. избавляемся от знаменателя, умножая на d х;
5. интегрируем обе части уравнения:

6. находим:

dр =
f(х)\dх ;
р = F(х) + С1
7. возвращаемся к старой переменной:
d у \ d х = F ( х ) + С 1;
8. интегрируем обе части уравнения:

dу=

(
F ( х ) + С 1 ) d х;
9. получаем общее решение данного уравнения:
у = F 1 ( х ) + С 1 х + С 2.
10. при наличии начальных условий находим частное решение.
Пример: Решить уравнение у | | = 1 – 2 х.
1. запишем данное уравнение через дифференциал функции;
d 2 у \ d х 2 = 1 – 2 х.
25
2. произведем понижение порядка дифференциала, путем введения новой
переменной: р = d у \ d х;
3. получим:
d 2 у \ d х 2 = d р \ d х = 1 – 2 х.
4. избавляемся от знаменателя, умножая на d х;
5. интегрируем обе части уравнения:

6. находим:

dр =
(1
–2х) dх ;
р = х - х2 + С1
7. возвращаемся к старой переменной:
d у \ d х = х - х 2 + С 1;
8. интегрируем обе части уравнения:

dу=

(
х - х 2 + С 1 ) d х;
9. получаем общее решение данного уравнения:
у = х 2 \ 2 - х 3 \ 3 + С 1 х + С 2.
10. при наличии начальных условий находим частное решение:
Чтобы получить частное решение , необходимо найти числовые значения
постоянных С 1 и С 2 ; для этого надо иметь начальные условия. Пусть кривая,
определяемая частным решением, проходит, через точки с координатами ( 0; 1 )
и ( 1; 1 \ 6 ); тогда, подставив значения х и у в уравнение, получим следующую
систему уравнений относительно С 1 и С 2 .
1 = С2,
1 \ 6 = 1 \ 2 - 1 \ 3 + С 1 + С 2.
откуда
С1 = -1 и С2 = 1.
следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения
при указанных начальных условиях будет:
у = х 2 \ 2 - х 3 \ 3 - х + 1.
26
Заключение
Алгоритмический
метод
является
неотъемлемой
частью
урока,
проводимого по методу П.Я.Гальперина. П.Я.Гальперин приобрел мировую
известность благодаря разработанной им теории поэтапного формирования
умственных действий. В своей теории он отвергает механическое заучивание
схем, алгоритмов. Учащиеся должны постоянно обращаться к опоре, объясняя
материал, сначала друг другу по очереди, затем проговаривая материал самим
себе, тем самым в работу включаются основные виды памяти: зрительная,
моторная и слуховая. Студент должен разъяснить, даже пусть своими словами,
смысл выполняемого действия. Преподаватель обязан научить студента умению
рассуждать.
Главная задача математики состоит в том, что вместе с решением одной
конкретной задачи она создает общие приемы и способы, используемые во
многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть. Большинство
задач, решаемых при изучении математики, носят тренировочный характер. Без
тренировки в проведении простых операций невозможно совершенствование ни
в каком серьезном деле.
мыслительной
Основная
деятельности
задача педагога – добиться активной
учащихся.
Именно
алгоритмический
метод
позволяет развивать монологическую речь учащихся, выстраивать цепочку
рассуждений. В дальнейшем, научившись применять данный список указаний,
учащиеся самостоятельно составляют ему подобный для решения любой задачи
и успешно с ней справляются.
27
Литература:
1. Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа»
М.; Просвещение, 2007
2. Башмаков М.И. «Алгебра и начала анализа»
М.; Дрофа, 2005
3. Богомолов Н.В. «Практические задания по математике»
Москва «Высшая школа» 2004
4. Дадаян А.А. «Математика»
ИД «Форум», 2005
5.Зайцев И.Л. «Элементы высшей математики»
ИД «Наука» Москва 1972
6. Пехлецкий И.Д «Математика»
М.; Мастерство, 2001
Михайлян Елена Ивановна
КФДГПК
Алгоритмический метод обучения в математике.
Даная методическая статья предназначена как преподавателям, так и
студентам 1 курса средних специальных ученых заведений. В ней дано
теоретическое изложение алгоритмического метода обучения, принципы
составления алгоритмов и приведено, для примера, несколько разработанных
алгоритмов, с помощью которых учащиеся смогут самостоятельно выполнять
поставленные задачи.
Известно, что решение задач по математике у студентов часто бывает
сопряжено со многими трудностями.
Основное назначение данной статьи
состоит в том, чтобы помочь студенту преодолеть эти трудности и научить его,
благодаря алгоритму, решению задач.
28
Под «методом обучения» в дидактике понимают упорядоченные способы
взаимосвязанной
достижение
деятельности
учебно
–
учителя
воспитательных
и
учащихся,
задач.
В
направленные
настоящее
время
на
в
педагогической литературе наблюдается тенденция подразделения методов
обучения
на
«новые»
более прогрессивные,
и
старые,
традиционные.
Традиционные методы обучения разрабатывались в свое время наиболее
опытными педагогами, формировались в результате длительной практики
обучения. Необходимо использовать этот опыт в максимальной мере. Только
комбинируя различные методы, преподаватель может добиться успехов в своей
работе. А для этого надо отчетливо представлять достоинства и недостатки
каждого метода, условия его применимости.
Положение, которое складывается с изучением математики в средних
специальных учебных заведениях, становится более сложным, так как, именно,
математика создает главную основу для всех наук технического профиля. В
усложненных условиях обучения у студентов не возникает полноценной
системы математических представлений. Знание многочисленных формул,
алгоритмов недолго сохраняется в памяти, если к ним не обращаются достаточно
часто. Ориентация на максимум усвоения материала приводит к заметной
перегрузке относительно более слабых студентов. Большая часть учащихся
находятся в дискомфортном положении, не справляющихся с учебой, что
приводит к целому ряду негативных последствий; потере интереса к обучению,
отрицательному отношению к учебному труду. Поэтому очень важно развивать
интерес к дисциплине. И, конечно, здесь отводится главная роль преподавателю.
Почти на каждом уроке учителю приходится объяснять новый материал. И
он всегда хочет, чтобы ответы учащихся были грамотны, аргументированы. Но
тогда и сам преподаватель должен достаточно часто давать образцы таких
ответов в виде связного рассказа, лекции. Подобное объяснение учителя – это и
есть образец ответа для учащихся. Основное требование к данному методу
сводится к тому, что объяснения преподавателя надо рассматривать как образцы
ответов. Причем имеются в виду не только образцы изложения теоретических
29
вопросов, но и, что, пожалуй, главное, - образцы решения задач. Образец ответа
при решении задачи – это один из важнейших способов обучения связному
рассказу.
Формирование умений безупречно объяснять, комментировать
выполняемое упражнение в виде цельного рассказа начинается с объяснения
учителя. Он показывает, как выполняется упражнение нового типа, как следует
располагать
записи,
комментировать
в
какие
моменты
выполняемые
операции.
и
каким
образом
необходимо
Образец
ответа,
излагаемый
преподавателем – необходимый этап в обучении связному рассказу. Образец
выполнения преподавателем упражнения нового типа включает в себя не только
содержательные элементы
компоненты
(каким
(как выполнять), но и чисто
образом
комментировать,
как
методические
располагать
записи,
демонстрировать рисунки). Эти чисто методические компоненты образца ответа
может дать сначала только учитель.
Выполнение первого упражнения нового типа, как правило, начинают с
беседы. Учащимся предлагается найти способ решения, обсуждаются их
предложения. Это развивает инициативу и творчество учащихся. Но если вслед
за беседой вызвать сразу студента для объяснения найденного решения он не
сможет дать образец ответа с включением всех необходимых методических
компонентов, если не видел, как это делается.
Следовательно, после обсуждения с группой способа выполнения
упражнения нового типа желательно учителю самому изложить в виде образца
найденное решение.
30
Но следует иметь в виду, что образец ответа сам по себе, без умелого
сочетания с другими методами и приемами обучения не приносит ожидаемых
результатов. Учащиеся не запоминают сразу все рекомендации из объяснения
преподавателя, не запоминают
приступая
к
выполнению
последовательность рассуждений. Поэтому,
упражнений,
многие
учащиеся
оказываются
совершенно беспомощными. Многие учащиеся работают у доски молча или с
трудом объясняют решение задач. Для того чтоб исправить такое положение
мало показать образец ответа. Учащиеся не усваивают его с одного – двух раз.
Чтобы обеспечить каждому студенту возможность выполнения упражнения с
объяснениями
в полном соответствии с образцом, данным преподавателем
необходимо рассказ учителя сочетать с другими методами и приемами обучения.
Один из таких методов является алгоритмический.
Чтобы
каждому
студенту
обеспечить
возможность
выполнения
упражнения с необходимыми объяснениями и той же последовательности, какую
показал учитель, дается алгоритм, точнее – список указаний. Он предлагается
или в готовом виде, или составляется вместе с группой. Учащиеся читают его и
одновременно выполняют упражнение.
Успешное использование алгоритмического метода зависит от ряда
условий.
Прежде всего, необходимо сочетание алгоритмического метода с
применением образца ответа. Иначе указания алгоритма приходится давать
чрезмерно громоздкими и неудобными для применения.
Алгоритм должен быть по возможности наиболее кратким. С кратким
алгоритмом учащиеся работают значительно охотнее. Он является для них как
бы планом, схемой, своеобразным стимулом, помогающим восстанавливать в
памяти только что прослушанные, но еще хорошо не запомнившиеся
рассуждения преподавателя. Краткие указания легко запоминаются, и уже после
выполнения нескольких упражнений многие учащиеся перестают читать
отдельные указания, свободно воспроизводят их по памяти, ограничиваясь лишь
беглым взглядом на них.
31
Важное значение имеет следующая рекомендация преподавателя; «Читая
и применяя алгоритм, старайтесь запоминать его». Подобная рекомендация, а
также соответствующие требования и поощрения учителя вызывают у учащихся
установку
лучшему запоминанию, облегчает его. Без такой установки
формирование умений замедляется, и многие студенты долго не запоминают
алгоритм, путаются при объяснении решения задачи.
Также очень важно, пунктуальное соблюдение данного преподавателем
образца решения задачи. Учитель сам продумывает и алгоритм, и образец его
применения,
но
затем
по
возможности
соблюдает
выбранную
последовательность рассуждений.
В алгоритм желательно включать указания, побуждающие учащихся
контролировать свои действия. Это позволяет предупреждать типичные ошибки.
Действия учащихся по контролю неоднократно повторяются, и потому,
постепенно
свертываясь,
они
входят
в
сформированную
обобщенную
ассоциацию как ее необходимый компонент.
Указания в алгоритме желательно давать в таком виде, чтобы они
содержали в себе все необходимые объяснения, какие преподаватель хочет
слышать от учащихся по ходу решения задач.
Так, например, при прохождении темы «Решение неравенств методом
интервалов» можно составить следующий алгоритм. Алгоритм можно заранее
записать на доске или продемонстрировать на экране.
32
Алгоритмический
метод
является
неотъемлемой
частью
урока,
проводимого по методу П.Я.Гальперина. П.Я.Гальперин приобрел мировую
известность благодаря разработанной им теории поэтапного формирования
умственных действий. В своей теории он отвергает механическое заучивание
схем, алгоритмов. Учащиеся должны постоянно обращаться к опоре, объясняя
материал, сначала друг другу по очереди, затем проговаривая материал самим
себе, тем самым в работу включаются основные виды памяти: зрительная,
моторная и слуховая. Студент должен разъяснить, даже пусть своими словами,
смысл выполняемого действия. Преподаватель обязан научить студента умению
рассуждать.
Главная задача математики состоит в том, что вместе с решением одной
конкретной задачи она создает общие приемы и способы, используемые во
многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть. Большинство
задач, решаемых при изучении математики, носят тренировочный характер. Без
тренировки в проведении простых операций невозможно совершенствование ни
в каком серьезном деле.
мыслительной
Основная
деятельности
задача педагога – добиться активной
учащихся.
Именно
алгоритмический
метод
позволяет развивать монологическую речь учащихся, выстраивать цепочку
рассуждений. В дальнейшем, научившись применять данный список указаний,
учащиеся самостоятельно составляют ему подобный для решения любой задачи
и успешно с ней справляются.
33
Литература:
1. Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа»
М.; Просвещение, 2007
2. Башмаков М.И. «Алгебра и начала анализа»
М.; Дрофа, 2005
3. Богомолов Н.В. «Практические задания по математике»
Москва «Высшая школа» 2004
4. Дадаян А.А. «Математика»
ИД «Форум», 2005
5.Зайцев И.Л. «Элементы высшей математики»
ИД «Наука» Москва 1972
6. Пехлецкий И.Д «Математика»
М.; Мастерство, 2001
34
35