ДЗ по мат. статx

1
Домашнее задание
по курсу Математическая статистика
(для РКТ1)
ЗАДАЧА 1
НАЙТИ
МЕТОДОМ
МОМЕНТОВ
НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
1 , 2
ПО
ВЫБОРКЕ
x1 ,..., xn
№ вар. f(x)
1.
3
f ( x)  x 2  e x , x  0
2!
2.
  x
f ( x) 
e ,x 0
x
x
3.

1
f ( x)  2 1
 x2  e 1 , x  0, 2  1, 1  0
1 (2  1)
4.
12
f ( x) 
 x2 1  e1x , x  0
( 2 )
5.
1
f ( x) 
 x 1  e x , x  0
( )
6.
f ( x)   x ( 1) , x  1
8.
f ( x) 
4 3

x 2e x , x  0
2 2
f ( x)  3 3 x2e( x) , x  0
3

9.
f ( x) 
1 
x2 e

x
2

, x0
2 ( )
2
2
10.
f ( x)  2 2 xe x , x  0
11.
1 2 x
f ( x)  3 x e , x  0
2
1  x2
f ( x)  e  , x  2
12.
2 2

13.
1 4.
15 .
f ( x) 
1 1   x
x e , x0
( 2  1)
2
2
1
   1  x
f ( x) 
x e , x0
( )
 x
f ( x) 
x2
e , x0
ОЦЕНКУ
ДАННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ,
ЗАДАННОГО ПЛОТНОСТЬЮ ВЕРОЯТНОСТИ:
7.
ТОЧЕЧНУЮ
2
16.
1 3 x
f ( x)  4 x e , x  0
 3!
17.

x
x 1e 2
f ( x)  
, x0
2 ( )
18.
f ( x) 
19.
f ( x) 
20.
3 3  ( x )3
e
, x0
x4
 e
3

2x

x
, x0
4
f ( x )  f ( x) 
f ( x)  2 xe
22.

x2e

3!
 x2
21.
f ( x) 
4
x3e x , x  0
, x0
x
2
, x0

1
2 2 (  1)
2
23.
2x
f ( x)  
24.
f ( x) 

1
 
e x , x  0

e
( x 1)2
2
, x 1
ЗАДАЧА 2.
Найти методом максимального правдоподобия по выборке x1 ,..., xn точечные оценки неизвестного параметра  (параметров 1 , 2 ) данного распределения случайной величины, заданной плотностью или законом распределения вероятности.
№
f(x)
x1
x2
x3
x4
x5
1
3
4
5
7
2
4
3
5
10
вар.
1.
P( x) 
x
x!
e , x  0,1, 2,...
2.
f ( x)  2 xe x , x  0
3.
f ( x)   x 1e x , x  0
2
5
6
8
11
4.
f ( x)   e x , x  0
1
3
5
8
21
5.
f ( x) 
x 4e  x , x  0
3
4
6
7
9
1 2 x
f ( x)  3 x e , x  0
2
2
4
5
7
8
6.
2

5
4!
3
7.
f ( x)  3 x2e x , x  0
3
4
6
7
9
8.
   1  x
f ( x) 
x e , x0
( )
5
10
15
20
25
9.
f ( x)   x ( 1) , x  1
4
8
16
32
64
1
3
5
6
7
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
3
x
f ( x) 
1 2  2
x e , x0
2 6
f ( x) 
  x
e , x0
x
f ( x) 
3
x 2e x , x  0
2
 1
f ( x) 
f ( x) 
f ( x) 
f ( x) 
f ( x) 
 2
, x2
 
2x
4
6
x3e x , x  0
2 3

x 2e
e
x  x 2
2
x

1

2 2
ln x 1
2 2
, x0
e  | x  2|
1 3 x
f ( x)  4 x e , x  0
6
 1
f ( x) 
 4
, x4
 
4x
20.
f ( x)  4 x3e x , x  0
21.
f ( x)  f ( x) 
22.
23.
24.
4

2
e  | x 5|
f ( x) 
1 4 x
x e , x0
24 5
f ( x) 
1 3  2
x e , x0
6 8
x
 1
f ( x) 
 3
 
3x
, x3
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
2
4
7
8
9
0,4 0,8 1,6 3,2 6,4
6
8
10
12
14
1
2
3
4
5
e
e2
e3
e4
e5
-2
-1
0
3
4
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
8
10
16
20
32
1
1,2 1,4 1,6 2
2
4
6
8
10
10
12
14
15
18
4
7
9
12
14
6
12
15
24
30
4
Задача 3.
1. Из большой партии электрических ламп на испытание включили 100
ламп, из них 5 перегорели раньше гарантийного срока. Найти доверительный
интервал вероятности брака с доверительной вероятностью 0,95.
2. Некто купил 100 лотерейных билетов, из них 4 оказались выигрышными.
Найти доверительный интервал вероятности выигрыша по этой лотерее с доверительной вероятностью, равной 0,9.
3. Из предыдущих исследований известно, что месячный доход студентов
университета имеет нормальное распределение со стандартным отклонением
60 у.е. Опрошено случайным образом 225 человек. Их средний доход составил
310 у.е. Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего месячного дохода всех студентов.
4. Для случайно отобранных 100 шин фирмы АВС средний пробег составил
40000 км при стандартном отклонении 8000 км. Найти 99%-ный доверительный интервал для генерального среднего.
5. Из 30 взятых на выборку больных одной поликлиники 5 человек оказались больны гриппом. Найти доверительный интервал вероятности заболевания гриппом среди всех больных с доверительной вероятностью 0,85.
6. При контроле билетов в автобусе из 20 пассажиров 2 оказались без билета. Найти доверительный интервал вероятности безбилетных пассажиров с доверительной вероятностью 0,9.
7. Для случайно отобранных 16 студентов университета средний возраст составил 21 год. Найти 95%-ный доверительный интервал для генерального
среднего, если известно, что распределение возрастов всех студентов нормальное со стандартным отклонением 0,6.
8. Исследование 200 несчастных случаев, при которых требовалась срочная
медицинская помощь, выяснило, что 40% из них произошло у них дома. Найти
90%-ный доверительный интервал для доли несчастных случаев, которые случаются дома.
9. В одной городской местности для исследования было случайно отобрано
5 месяцев. Оказалось, что в среднем в каждый из них собаки кусают 8 почтальонов. Стандартное отклонение по выборке равно 3. Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего числа почтальонов, ежемесячно страдающих
от укусов собак.
10. В одном из городов на 200 родившихся в один день детей приходилось
120 мальчиков. Найти доверительный интервал для вероятности рождения
мальчика с доверительной вероятностью 0,85.
11. Среди кинозрителей взяли на выборку 2 ряда, что ставило 150 человек, из
них 60 мужчин и 90 женщин. С надежностью 90% найти доверительный интервал для вероятности того, что кинозритель – мужчина.
5
12. Средний возраст 12 медсестер в крупной городской больнице оказался
26,8 года. Стандартное отклонение выборки 4,8 года. Найти 95%-ный интервал для среднего возраста генеральной совокупности, состоящей из всех медсестер этой больницы.
13.
На основании 100 опытов было определено, что в среднем для производства детали требуется 5,5 секунды, а оценка среднего квадратичного отклонения – 1,7 секунды. Сделав допущение, что время для производства детали распределено по нормальному закону, определите доверительный интервал
для математического ожидания времени для производства детали с надежностью 0,85.
14. В результате 5 независимых равноточных измерений заряда электрона получены следующие результаты (в абсолютных электростатических единицах):
4,781∙10-10 ; 4,792∙10-10; 4,795∙10-10; 4,779∙10-10; 4,769∙10-10. Считая, что ошибки распределены по нормальному закону и измерения не имеют систематической ошибки, с надежностью 99% найдите доверительный интервал для величины заряда электрона.
15. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп средний срок службы оказался 3000 часов и оценка среднего квадратичного отклонения – 20 часов. Считая, что срок службы имеет нормальное распределение, найдите для
него доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,9.
16. При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных. Найдите 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.
17. Из большой партии транзисторов одного типа были проверены 100 штук.
Коэффициент усиления 36 транзисторов оказался меньше 10. Найдите 95%ный интервал доли таких транзисторов во всей партии.
18. Исследователь хочет определить с точностью до 25 у.е. среднюю сумму
почтовых расходов компании. Каков должен быть объем выборки для того,
чтобы иметь 85%-ную гарантию правильности результатов. Стандартное отклонение равно 80 у.е.
Задача 4
Найти оценки параметров по данной выборке методом наименьших
квадратов, если зависимость между переменными x и y имеет вид:
1. y  0  1 x   2 x 2
x 1
2
3
4
5
y 6,2 8,3 20,1 30,15 42,35
6
2. y   0 
1
x
x 1
2
3
4
8
y 2,51 1,52 1,16 0,95 0,74
3. y  0  1 ln x
х 2,72 7,40 20,12 54,74 148,88
у 3,02 3,96 5,12 5,87 7,09
4. y   0  1e  x
2
X -1
0
1
2
3
Y 1,18 1,55 2,35 4,71 11,09
5. y  0  1 sin x  2 cos x
x 0
30
45
60
90
y 1,48 1,87 1,23 1,83 1,52
6.
y   0  1 x   2 x 2
x 0
1
2
3
4
y 0,56 4,4 12,35 24,7 40,35
7. y   0 
1
x
x 1
2
3
4
8
y 4,9 3,1 2,3 1,95 1,6
8. y  0  1 ln x
х 0,37 2,72 7,40 20,12 54,74
у 1,98 6,07 7,88 10,11 11,93
9. y   0  1e  x
2
X 0
1
2
3
4
Y 5,14 6,69 11,43 24,08 54,77
7
10. y  0  1 sin x  2 cos x
x 0
30
45
60
90
у 2,98 4,67 8,11 4,72 4,93
11. y  0  1 x   2 x 2
x -1 0
1,5 2,5 4
y 6,7 0,8 3,1 11,9 36,65
12. y   0 
1
x
x 1
2
3
4
6
y 7,43 4,61 3,45 3,05 2,48
13. y  0  1 ln x
х 7,40 20,12 54,74 148,88 404,95
у 12,07 14,95 18,12 20,89 24,14
14. y   0  1e  x
2
x 1
2
3
4
5
y 13,08 20,10 39,18 91,11 232,32
15. y  0  1 sin x  2 cos x
x 0
30
45
60
90
y 4,56 8,61 9,87 10,68 10,49
16. y  0  1 x   2 x 2
x -1
0
1
2,5 3,5
y 24,8 9,1 0,9 4,15 17,85
17. y   0 
1
x
x 1
2
3
4
8
y 9,82 6,17 4,7 4,03 2,95
8
18. y  0  1 ln x
x 1
2,72 7,40 20,12 54,60
y 12,03 18,87 37,55 88,34 226,36
19. y   0  1e  x
2
x
y
20. y  0  1 sin x  2 cos x
x
y
21. y  0  1 x   2 x 2
x 0
1
2
3,5 4,5
y 30,8 10,7 0,8 4,45 11,3
22. y   0 
1
x
x 1
2
3
4
5
y 12,51 7,46 5,82 5,03 4,48
23. y  0  1 ln x
x 0,37 1,0
2,70 7,42 20,07
y 5,11 14,98 23,58 36,89 100,4
24. y   0  1e  x
2
x
y