Примеры заданий итогового контроля

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
П о дг о т о в ит е л ь н о е о т де л е н ие
дл я по с т у па ю щи х в м а г и с т р а т у р у
Программа дисциплины
Дифференциальные уравнения
и вариационное исчисление
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика»
Автор программы: Романов Игорь Викторович
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 29.08.2011 г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель
[Введите И.О. Ф.]
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
[Введите И.О. Ф.]
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и слушателей направления подготовки 010100.68 «Прикладная математика»,
обучающихся на подготовительном отделении для поступающих в магистратуру и изучающих
дисциплину «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория
«Национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета, утвержденным в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление» являются:
 ознакомление студентов с основами методов решения дифференциальных уравнений и задач вариационного исчисления;
 формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
 знакомство с прикладными задачами дисциплины.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основы теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления,
необходимые для дальнейшего изучения последующих дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;
 Уметь применять методы дисциплины для решения задач, возникающих в дисциплинах, использующих соответствующие методы;
 Владеть навыками применения современного инструментария дисциплины.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-2
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-3
Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опроверже-
Стандартные (лекционно-семинарские)
Компетенция
Общенаучная
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ния и фальсификации, оценить
качество исследований в некоторой предметной области
ОНК-4
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-5
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные (лекционно-семинарские)
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления
баз данных
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-2
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-4
способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
своей профессиональной деятельности
Профессиональные
4
ПК-8
Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Стандартные (лекционно-семинарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Для слушателей подготовительного отделения для поступающих в магистратуру.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ;
 Геометрия и алгебра.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
 Навыками решения типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Дополнительные главы дифференциальных уравнений;
 Компьютерное моделирование.
5
№
Тематический план учебной дисциплины
Название темы
Всего
аудиторных
часов
Аудиторные занятия
Лекции
Семинары
Самост.
работа
5
4
1
8
7
6
1
8
13
8
5
8
Введение, основные понятия.
1
Уравнения с разделяющимися переменными.
Задача Коши. Теоремы суще-
2
ствования и единственности. Теорема
о выпрямлении.
3
Линейные дифференциальные
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
уравнения n-го порядка. Уравнение
Бесселя.
4
Линейные системы.
18
10
8
8
5
Теория устойчивости.
14
10
4
8
6
Автономные системы.
9
8
1
8
16
10
6
8
на.
8
6
2
8
Итого
90
62
28
64
Элементы вариационного ис7
числения.
Принцип максимума Понтряги-
8
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
1 год
Форма контроля
1
Итоговый
Зачет
Итоговый
Экзамен
Параметры
2
Письменный зачет
1
2
Письменный экзамен
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные
на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
7
Содержание дисциплины
Тема I. Введение. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными.
Основные определения теории дифференциальных уравнений, фазовые пространства, векторные поля, интегральные траектории, касательные пространства, дифференциальные 1-формы,
интеграл от дифференциальной 1-формы. Метод разделения переменных как интегрирование
дифференциальной 1-формы. Линейные уравнения. Существование и единственность решения
линейных уравнений.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
Дополнительная литература
1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Тема II. Задача Коши. Теоремы существования и единственности. Теорема о выпрямлении. Задача Коши для дифференциального уравнения. Метод последовательных приближений. Применение метода последовательных приближений для доказательства теоремы
𝑑𝑦
существования и единственности для дифференциального уравнения 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦), где 𝑓(𝑥, 𝑦)
непрерывна и удовлетворяет условию Липшица. Теорема Коши существования и единственно𝑑𝑦
сти для дифференциального уравнения 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) с голоморфной правой частью. Система
уравнений в вариациях. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных.
Теорема о выпрямлении векторного поля.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
Дополнительная литература
4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
5. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
6. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Тема III. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Уравнение Бесселя. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен, базис пространства решений. Линейные неоднородные уравнения, метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения
со специальной правой частью. Два типа правых частей, понятие резонанса, разыскание частного решения с учетом вида правой части. Интегрирование дифференциальных уравнений при
помощи рядов, уравнение Бесселя.
Основная литература.
1. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Дополнительная литература
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Тема IV. Линейные системы. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы. Основная теорема теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Формулировка теоремы о жордановой нормальной форме матрицы (ЖНФ). Практическое вычисление матрицы экспоненты в случае
кратных собственных значений, рассмотрение различных случаев, когда ЖНФ содержит одну
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
или несколько жордановых клеток. Вывод формул решения для систем второго и третьего порядка.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Тема V. Теория устойчивости. Устойчивость положения равновесия по Ляпунову.
Асимптотическая устойчивость. Функция Ляпунова, теорема об устойчивости по первому приближению. Классификация положений равновесия линейной однородной системы второго порядка. Нелинейные автономные системы второго порядка, линеаризация систем, применение
теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению для определения поведения решения в окрестности положения равновесия нелинейной системы.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Дополнительная литература
1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Тема VI. Автономные системы. Общие понятия. Теорема о трех видах траекторий автономной системы. Предельное поведение траекторий, предельные циклы. Теория индексов.
Теорема Боля – Брауэра о неподвижной точке и ее приложения.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
Дополнительная литература
1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Тема VII. Элементы вариационного исчисления. Основные определения. Простейшие
задачи классического вариационного исчисления. Постановка задачи. Правило решения. Необходимые условия экстремума (формулировка и доказательство основной теоремы). Принцип
Лагранжа для задачи Лагранжа. Постановка задачи. Правило решения. Необходимые условия
экстремума, теорема Эйлера - Лагранжа (формулировка теоремы и ее доказательство). Примеры применения принципа Лагранжа для разыскания экстремумов интегральных функционалов с
условиями связи в виде дифференциальных уравнений.
Основная литература.
1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. Москва:
Наука, 1979.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Дополнительная литература
1. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Тема VIII. Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи. Понятия управляемого процесса, оптимального управления. Доказательство принципа максимума в задаче со свободным концом. Лемма о свойствах элементарной вариации. Лемма о приращении функционала. Примеры применения принципа максимума для некоторых задач механики.
Основная литература.
1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. Москва:
Наука, 1979.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Примеры заданий итогового контроля
Решить следующие дифференциальные уравнения и системы:
𝑑𝑦
1.
(𝑥 + 1)
2.
𝑥𝑦 𝑑𝑥 − √𝑦 2 + 1 = 0.
3.
(𝑥 2 − 1)
4.
𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 + 1 = 0.
5.
𝑑𝑥
+ 𝑥𝑦 = 0.
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥𝑦 2 = 0, 𝑦(0) = 1.
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑦 2 𝑒 𝑥 .
𝑑𝑦
6.
𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 = 4.
7.
𝑥 2 𝑦 ′′ = 𝑦 ′ .
8.
𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′′ = 0.
9.
𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ + 𝑦 ′ = 0.
2
2
2
10. 𝑦 ′′′ − 6𝑦 ′′ + 9𝑦 ′ = 𝑥𝑒 3𝑥 + 𝑒 3𝑥 cos 2𝑥.
11. 𝑥 3 𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑦 ′′ + 2𝑥𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑥 3 .
𝑑𝑥
12.
𝑑𝑡
{𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
13.
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧
= 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑡𝑒 𝑡
= 5𝑥 − 𝑦 − 3𝑡𝑒 𝑡 .
= 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧
= 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧
{ 𝑑𝑡 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории
линеаризованных систем в окрестности положения равновесия автономных систем:
14.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
15.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑒 2𝑥+2𝑦 + 𝑥
𝜋
= arccos(𝑥 − 𝑥 3 ) − 2 .
= ln(𝑥 + 𝑦)
= 𝑥 3 + 𝑦 3 − 1.
Найти решение следующих задач оптимизации:
1
16. ∫0 𝑥 2 𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟; 𝑥(0) = 1, 𝑥(1) = 0.
𝜋
2
17. ∫0 𝑢2 𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟;
1
18. ∫0 𝑢2 𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟;
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
+ 𝑥 = 𝑢, 𝑥(0) =
𝑑𝑥(0)
𝑑𝑡
− 𝑥 = 𝑢, 𝑥(0) = 1,
𝜋
= 0, 𝑥 ( 2 ) = 1.
𝑑𝑥(0)
𝑑𝑡
= 0.
Используя принцип максимума Понтрягина решить следующую задачу быстродействия:
19. 𝑇 → 𝑖𝑛𝑓;
9
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑥2 ,
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 𝑢, 𝑢 ∈ [−1, 1], 𝑥1 (0) = 𝜉1 , 𝑥2 (0) = 𝜉2 , 𝑥1 (𝑇) = 𝑥2 (𝑇) = 0.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий
контроль осуществляется в виде проверки выполнения домашнего задания. Итоговый контроль
во втором модуле осуществляется в виде письменного зачета. Итоговая оценка Оитог. по 10балльной шкале формируется как взвешенная сумма
Оитог.=0,3*Од.з.+0,7*Озач.,
округленная до целого числа баллов. Од.з., Озач. и обозначают оценки по 10-балльной шкале за
домашнее задание и зачет соответственно.
Итоговый контроль в четвертом модуле осуществляется в виде письменного экзамена.
Итоговая оценка Оитог. по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма
Оитог.=0,3*Од.з.+0,7*Оэкз.,
округленная до целого числа баллов. Од.з., Оэкз. и обозначают оценки по 10-балльной шкале за
домашнее задание и экзамен соответственно.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
10.2 Основная литература
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»
для направления 010100.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
10.3 Дополнительная литература
1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.