Рассмотрим функционал

Введение
Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь
в той мере, в какой может быть применена в ней математика.
И. Кант
... Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности
математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало
присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле
оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии
постигнуть реальность.
А.Эйнштейн
Из практических соображений, а именно для того, чтобы выжить
или иметь возможность улучшить условия бытия в реальном мире, мы
определенно хотим знать об этом мире как можно больше, мы вынуждены
расширять наши знания о внешнем мире.
Окружающий нас реальный мир мы воспринимаем с помощью
наших органов чувств – слуха, зрения, осязания, вкуса, обоняния. Они
многое говорят нам о реальном мире, но в основном они слишком грубы и
способны вводить нас в заблуждение. Нетрудно назвать случаи, когда
наши чувства обманывают нас. На рисунке (предположил в 1899г. Франц
Мюллер - Лабнер)
равные горизонтальные отрезки воспринимаются как отрезки разной
длины (иллюзии Эрнеста Маха). Хорошо известные эффекты линейной
перспективы широко используются при изображении трехмерной сцены
на плоском (двумерном) холсте.
Ряд других оптических иллюзий связан с явлением рефракции, или
преломления, света. Всем нам приходилось замечать, что палка, частично
погруженная в воду, кажется переломленной в том месте, где она входит в
воду.
Ошибки свойственны и другим типам ощущений: температуры,
вкуса, громкости и высоты звука, скорости движения.
Различные инструменты и приборы для научных исследований, как,
например, телескоп, микроскоп, ускорители, существенно расширяют
границы доступного нашему чувственному восприятию, но лишь в
определенных пределах.
Многие явления окружающего нас реального мира вообще скрыты от
наших органов чувств. Они ничего не говорят нам о том, что Земля
вращается вокруг своей оси и вращается вокруг Солнца. Они умалчивают
о природе силы, удерживающей планеты на их орбитах, об
электромагнитных волнах, позволяющих нам принимать радио- и
телепередачи за сотни и тысячи километров от передающей станции, о
строении атома и т.д.
Но человек наделен разумом и одно из его творений это математика.
Опыт познания реального мира показал, что математика является не
только инструментом, позволяющим получать знание, но и средством
получения нового знания, причем столь эффективного, что до сих пор нет
однозначного ответа на такой вопрос, в чем сила математики?
Математика
подарила
нам
прекрасно
согласующуюся
с
повседневным опытом евклидову геометрию, необычайно точную
гелеоцентрическую теорию Коперника и Кеплера, величественную и
всеохватывающую механику Галилея, Ньютона, Лагранжа и Лапласа,
физически необъяснимую, но имеющую весьма широкую сферу
приложений
теорию
электромагнитизма
Максвелла,
теорию
относительности Энштейна с ее тонкими и необычными выводами и
позволила многое понять в строении атома. Все эти блестящие
достижения опираются на математические идеи и математические
рассуждения.
Математика как логический вывод и средство познания – творение
древних греков. Не сохранилось никаких документов VI-V вв. до н. э.,
способных рассказать нам, что заставило древних греков прийти к новому
пониманию математики и ее роли. По-видимому, у греков, начиная с VI в.
до н. э. сложилось определенное миропонимание, сущность которого
сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления
протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете
является математическим. Человеческий разум всесилен, и если эту
могучую силу приложить к изучению природы, то лежащий в основе
мироздания математический план удастся раскрыть и познать.
Первым из греков, кому мы обязаны наиболее существенным
продвижением в математическом исследовании природы был Платон
(423-347 до н.э.). В своем диалоге "Филеб" он рассуждает так. Реально мир
построен на математических принципах. То, что воспринимают наши
органы чувств, не более чем несовершенное представление реального
мира. Реальность и рациональность физического мира может быть
постигнута только с помощью математики, ибо "Бог вечно геометризует".
Аристотель и его последователи также отстаивали версию о
математическом плане, лежащем в основе мироздания.
Греческая цивилизация погибла под натиском завоевателей. С ее
падением Европа вступила в период средневековья, продолжавшийся
целое тысячелетие - с 500 по 1500 в. XVI век часто называют эпохой
Ренессанса – возрождение греческой мысли. Европейские умы восприняли
идею приложения разума к исследованию природы и поиска
математического плана, лежащего в основе мировоздания, но с тем
оттенком, что этот план создан христианским богом. Работа математиков
2
на протяжении XVI-XVIII вв. была по существу религиозным исканием.
В поисках материалистических законов природы они священнодействовали, раскрывая славу и величие творения божьего.
К началу XVII в. в Европе сложились предпосылки того, что нередко
называют "научной революцией". Многие события способствовали или
ускоряли ее наступление: географические экспедиции открыли новые
земли и народы; изобретение телескопа и микроскопа позволило
обнаружить новые явления; компас облегчил навигацию в условиях
открытого моря; гелеоцентрическая теория Коперника заставила поновому взглянуть на нашу планетарную систему. Реформация пошатнула
догмы католицизма. Математика вскоре снова стала играть роль
инструмента и средства познания реального мира.
Рассмотрим существенные особенности математического метода.
Первая отличительная особенность – введение основных понятий.
Некоторые из таких понятий, например, точка, линия и целое число,
подсказаны непосредственно материальным или физическим миром.
Помимо элементарных понятий в математике немаловажную роль играют
понятия, созданные человеческим разумом. Примерами таких понятий
могут служить понятие отрицательного числа, функции, всевозможные
кривые, бесконечные ряды, понятия математического анализа,
дифференциальные уравнения, матрицы и группы, многомерные
пространства.
Некоторые из перечисленных нами понятий полностью лишены
интуитивной основы. Другие, например, понятие производной
(мгновенной скорости изменения), имеют под собой некую интуитивную
основу в физических явлениях, но ее в гораздо большей степени можно
рассматривать как конструкцию, созданную разумом.
На протяжении всей истории математики новые понятия поначалу
вызывали
весьма
настороженное
отношение.
Даже
понятие
отрицательного
числа
сначала
было
отвергнуто
серьезными
математиками. Тем не менее, каждое новое понятие, хотя и неохотно,
принималось после того, как становилась очевидной его полезность в
приложениях.
Вторая существенная особенность математики – ее абстрактность.
Платон в диалоге "Государство" так сказал о геометрии:
"... Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают
отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры,
подобием которых он служит. Выводы они делают только для
четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали,
которую они начертили".
Если математика должна быть могучей, то в одном абстрактном
понятии она должна охватывать существенные особенности всех
физических проявлений этого понятия. Например, математическая прямая
должна включать в себя наиболее значительные особенности туго
3
натянутых веревок, краев линии, границ полей и траекторий световых
лучей.
Еще одна отличительная особенность математики – идеализация.
Математик идеализирует, намеренно отвлекаясь от толщины меловой
линии при рассмотрении прямых или принимая Землю при решении
некоторых задач за идеальную сферу. Сама по себе идеализация не
является серьезным отступлением от реальности, но при любой попытке
приложить ее к реальности возникает вопрос, достаточно ли близок
исследуемый объект (например, реальная частица) к ее реальному образу.
Наиболее поразительной особенностью математики является
используемый ее метод рассуждения. Основу ее составляет набор аксиом
и применение к этим аксиомам дедуктивного доказательства (вывода).
Помимо математических аксиом значительную часть должно
составлять и физическое знание. Оно может принимать форму физических
знаков
(например,
законов
движения
Ньютона),
обобщений
экспериментальных наблюдений или чистой интуиции. Эти физические
допущения формируются на языке математики, что позволяет применить к
ним математические аксиомы и теоремы.
Но сколь ни фундаментальны понятия и аксиомы, именно
дедуктивные выводы из аксиом дают нам возможность получить новое
знание, вносящее надлежащие поправки в наши чувственные восприятия.
Из многих типов рассуждений (индуктивных, по аналогии, дедуктивных и
т.д.) только дедуктивное рассуждение гарантирует правильность
заключения.
В дедуктивном процессе для обоснования рассуждения используется
логика. При этом по существу, мы до сих пор применяем так называемую
аристотелеву логику.
Еще одна важная черта математики: использование специальных
обозначений. Без них математики погрязли бы в неразберихе слов.
Резюмируя суть тех средств, которыми математики добывают факты
о внешнем мире, можно заключить следующее: математика строит модели
целых классов реальных явлений. Понятия, обычно идеализированные (не
зависимо от того, почерпаны они из наблюдений природы или являются
плодами человеческого разума), аксиомы, которые также могут быть
подсказаны физическими фактами или придуманы людьми, процессы
идеалзации, обобщения и абстракции, а также интуиция – все идет в ход
при построении моделей. Наиболее известная модель – евклидова
геометрия.
Математика прочно входит в современный мир не только как метод,
позволяющий компенсировать несовершенство наших органов чувст, но и
в гораздо большей степени как метод расширения того знания, которое
человек способен обрести об окружающем мире. Как сказал Гамлет, "и в
небе, и в земле сокрыто больше, чем снится вашей мудрости, Горацио".
4
Глава 1. Понятие математической модели и требования,
предъявляемые к ним
1.1. Понятие математической модели
Пусть требуется исследовать некоторую совокупность S свойств
объекта O
с помощью математики. Для этого выбирается
"математический объект" O  – система уравнений или арифметических
соотношений, или геометрических фигур – исследование которого
средствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о
свойствах S объекта O . При этом O  называют математической моделью
объекта O относительно совокупности S его свойств.
Рассмотрим пример. Пусть груз массы m колеблется на
горизонтальной плоскости под действием пружины нулевой массы с
жесткостью k . Предположим, что сила трения мала и требуется
определить характер и частоту колебаний.
Рис. 1
Направим ось x вдоль линии колебаний и выберем на ней начало
отсчета, соответствующее равновесному положению груза, при котором
пружина ни сжата, ни растянута. Если груз займет положение,
соответствующее координате x , то на него будет действовать сила kx . По
второму закону Ньютона получим дифференциальное уравнение
d 2x
d 2x
m 2   kx или m 2  kx  0 .
(1.1)
dt
dt
Общее решение этого уравнения имеет вид
k
k
x (t )  c1 cos
t  c2 sin
t,
(1.2)
m
m
где c1 и c 2 – произвольные постоянные, которые могут быть определены
из начальных условий. Из вида общего решения следует, что груз
совершает гармонические колебания с центром в точке x  0 с
k
произвольной амплитудой и с угловой частотой  0 
. Итак, свойства
m
5
объекта установлены не из непосредственного рассмотрения
механической системы (рис.1), а из решения уравнения (1.1). Это
уравнение является математической записью физических условий и
законов, определяющих процесс колебаний, и поэтому называется
математической моделью системы.
Ясно, что уравнение (1.1) описывает не все свойства системы.
Например, из него нельзя определить амплитуду колебаний груза, для
этого требуются дополнительные данные – начальные условия.
В реальной системе колебания затухают, но решение уравнения (1.1)
не содержит об этом никаких сведений.
Итак, в рассмотренном примере объектом O была колебательная
система, "математическим объектом" O  – уравнение (1.1), совокупностью
свойств S – характер и частота колебаний.
1.2. Общая схема применения математики
Как следует из п.1.1, математика применяется не к реальному
объекту, а к его математической модели. На рис. 2 представлена схема
применения математики.
Реальный объект
Содержательная модель
Математическая модель
Решение математической задачи
Рис. 2
На первом этапе моделирования для реального объекта O
формулируются интересующие исследователя его свойства S на языке
той или иной науки, т.е. строится механическая, или физическая, или
биологическая, или социальная модель объекта. Такую модель называют
содержательной. В рамках содержательной модели формируются и
соответствующие гипотезы или постулаты модели (в рассмотренном
примере – это гипотезы о линейной зависимости силы упругости пружины
от растяжения, об отсутствии сил трения). Кроме того, построение
содержательной модели в рамках той или иной науки дает возможность
6
применять законы и иные утверждения из этой науки (в рассмотренном
примере это второй закон Ньютона).
По содержательной модели выписываются соответствующие
уравнения или каким-то другим образом она переводится на формальный
математический язык – тем самым получается математическая модель
объекта. На этом заканчивается первый этап моделирования – построение
модели.
Второй этап заключается в изучении математической модели,
другими словами – в решении полученной математической задачи.
Выбирается метод решения и его реализация, сюда входит и проведение
необходимых вычислений. На этом этапе имеется возможность при
решении математической задачи привлекать дополнительные сведения
(штриховые стрелки на рис. 2), которые упрощают процесс решения, либо
позволяют выделить из нескольких решений нужное.
Полученное решение математической задачи подвергается анализу,
определяется его реальный смысл и делаются выводы. В этом суть
третьего этапа – этапа интерпретации результатов исследования
математической модели. В него входит и контроль правильности модели
на основе сравнения, например, с данными экспериментов.
1.3. Множественность и единство моделей
Каждый объект может иметь несколько различных математических
моделей. В первую очередь это связано с необходимостью исследования
разных совокупностей S 1 , S 2 ,... его свойств. Но даже принципиально
разные математические модели могут появиться и при исследовании
одной и той же совокупности свойств. Так объект можно описать
непрерывной и дискретной математической моделью, детерминированной
и стохастической. Выбор типа математической модели, важный для
исследования объекта, может быть основан в виде моделируемого объекта
и на традиционных в данной предметной области моделях. Для сложного
объекта сравнение результатов его исследования с помощью моделей
разного типа может обогатить знания о нем, а также повысить их
достоверность.
Построение различных моделей одного и того же объекта может
иметь целью различную точность, детализацию его свойств. Так, в
рассмотренном примере можно учесть влияние противодействующих сил.
Взяв за основу гипотезу вязкого трения, по которой противодействующая
сила пропорциональна скорости, придем к уравнению
d2x
dx
m 2  f
 kx  0 .
(1.3)
dt
dt
С малым (по предположению) коэффициентом трения f , т.е. к другой
математической модели.
7
Возможно и обратное: различные реальные объекты или их
содержательные модели имеют одинаковую математическую модель. Так,
известно, что сила j  j (t ) электрического тока, возбужденного в
замкнутом контуре, состоящем из последовательного соединенных
сопротивления R , индуктивности L и емкости C , удовлетворяет
уравнению
d2 j
dj 1
L 2  R   j  0,
(1.4)
dt
dt C
которое с точки зрения математики совпадает с уравнением (1.3), т.к.
обозначение и физический смысл величин несущественны. Изучение
математической модели позволяет делать выводы о свойствах различных
объектов. Кроме того, одинаковость математической модели позволяет
моделировать один из объектов другим. Например, исследование
колебаний сложной механической системы можно заменить измерениями
в соответствующим образом подобранной электрической цепи, имеющей
ту же математическую модель.
На этом основано действие электромеханических, оптикомеханических и других аналоговых преобразователей.
1.4. Адекватность и простота математической модели
Одним из требований, предъявляемых к математической модели,
является требование ее адекватности (правильного соответствия)
изучаемому реальному объекту O относительно выбранной совокупности
S его свойств. При этом возможно:
1) правильное качественное описание рассматриваемых свойств
объекта O (например, на основании исследования математической модели
сделать правильный вывод о направлении изменения качественных
характеристик реального объекта, об их взаимосвязи, об устойчивости
состояния объекта и т.п.);
2) правильное количественное описание этих свойств с заданной
точностью.
В первом случае модель называется качественной, а во втором –
количественной. Вместо количественной адекватности говорят о точности
модели.
В новых областях исследования, еще не подготовленных к
применению количественных математических методов, или в областях,
где количественные закономерности проявляются не особенно четко,
математические модели являются, как правило, лишь качественными.
Даже в технике, где количественные зависимости уже установлены,
математическая модель из-за сложности объекта также может быть лишь
качественной.
Очевидно, что об адекватности математической модели реальному
8
объекту, можно говорить лишь применительно к той совокупности S
свойств, которое исследуется.
Например, для колебательной системы с медленным затуханием
модель (1.1) адекватна объекту по отношению к частоте колебаний и в
определенной степени к характеру колебаний, т.к. на небольшом
интервале времени затуханием можно пренебречь. Однако, если
исследовать скорость этого затухания, то модель (1.1) становится не
адекватной, а в качестве адекватной модели выступает уравнение (1.3).
Для сложных объектов неадекватность или низкая адекватность
модели реальному объекту лишь относительна, и говорить об
адекватности можно лишь с некоторой долей уверенности. Очевидно, что
эта уверенность повышается, если выводы из принятой математической
модели хорошо согласуются, например, с выводами экспериментов.
Если говорить только об адекватности, то сложные модели следует
предпочитать простым. Усложняя модель, можно учесть большее число
факторов, которые могут повлиять на изучаемую совокупность свойств.
Например, при рассмотрении частоты колебаний математическая модель
(1.3) имеет более высокую адекватность, т.к. из уравнения (1.3) значение
угловой частоты с учетом малого трения
f2
f2
k
k
.
0 


1
m 4m 2
m
4 km
В данном случае решение усложненного уравнения не вызвало
затруднений, однако в других случаях чрезмерное усложнение модели
может привести к уравнениям, не поддающимся изучению и решению.
Таким образом, одним из важных требований, предъявляемых к
математической модели, является ее достаточная простота по отношению
к изучаемой совокупности свойств реального объекта. Модель считается
достаточно простой, если современные средства исследований (в
частности, вычислительные) позволяют провести при экономных затратах
труда и средств, с разумной точностью анализ (качественный или
количественный) исследуемых свойств объекта и интерпретировать
полученные результаты.
Очевидно, что требование простоты модели противоположно
требованию ее адекватности. Однако возможны случаи, когда усложнение
модели не улучшает ее адекватность (например, когда привлекаются
параметры, значения которых известны с низкой точностью, или характер
добавляемых уравнений весьма сомнителен). Зачастую бывает так, что
первоначально построенную модель приходится упрощать, причем
упрощению можно подвергать и содержательную модель, и
математическую.
9
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение математической модели и приведите пример.
2. Каковы основные этапы применения математики при математическом
моделировании.
3. В чем проявляется множественность и единство математических
моделей.
4. В чем заключается различие между качественной и количественной
адекватностью математических моделей.
10
Глава 2. Типы математических моделей и их построение
2.1. Структурные и функциональные модели.
Обычно математическая модель отражает структуру моделируемого
объекта и взаимосвязи его отдельных компонентов. Такая модель
называется структурной. Если модель отражает только то, как объект
реагирует на входные воздействия, т.е. как он функционирует, то модель
называется функциональной.
Рассмотрим это на примере. Пусть на платформе массы m 1, упруго
закреплен груз массы m 2  m 1 (рис. 3). Платформа, столкнувшись со
стеной, под действием упругого буфера откатывается назад. Исследуем
зависимость амплитуды колебаний груза массы m 2 после взаимодействия
платформы со стенкой от скорости  накатывания платформы (силами
трения пренебрегаем). Жесткость k1 буфера и k 2 груза заданы. Введем
обозначения: t - время отсчитываемое от момента столкновения, T время взаимодействия платформы со стенкой, x 1 ( t ) - координата
платформы, x 2 (t ) - координата груза, относительно платформы,
отсчитываемые от их положений при t  0 . На основании законов
механики получаем систему уравнений
 d 2 x1
m 1 dt 2  k 1 x 1  0,
(2.1)

2


d
x

x
1
2
m
 k 2 x 2  0, 0  t  T 
2
 2
dt
и начальные условия
dx 2
dx1
x 1 ( 0 )  0,
 0,
  , x 2 ( 0 )  0,
dt t 0
dt t 0
которые и определяют математическую модель рассматриваемого
механического объекта.
Рис. 3
Из полученного ранее решения с учетом начальных условий находим
11
k1


sin  1t ,  1 
иT 
1
m1
1
(взаимодействие со стенкой заканчивается при первом значении t  0 при
котором x 1 (t )  0 ). Подставив x 1 ( t ) во второе уравнение системы (2.1)
получим с учетом начальных условий
 sin  2 t sin  1t 
 12
k2
 ,  2 
x 2 (t )  2
  

.
2
1   2   2
1 
m2
При t  T имеем
 12
 2

x 2 (Т )  2


sin
 1   22  2
1
и

dx 2
 12
 
 2
  1  cos 2   .
(2.2)
2
dt t T  1   2



1
Начиная с момента t  T груз массой m 2 совершает гармонические
колебания с амплитудой A , определяемой этими начальными условиями
(2.2). Из закона сохранения полной энергии колебательной системы имеем
2
2
  
k2 2 k2 2
m 2  dx 2
 2  12 

 cos2  2   .
A 
x 2 (T ) 
(T )   2 k 2 2  2

2 
2
2
2  dt
 2  1   2 

 1 2 
Откуда
  
 12
2
 cos 2 
(2.3)
A  h   , где h 
2
2
 2 1   2

2
 1 
Таким образом, с помощью структурной модели получена формула
для коэффициента пропорциональности между скоростью платформы и
амплитудой колебаний груза. Зная значения параметров k 1 , k 2 , m 1 и m 2
для каждой конкретной системы можно вычислить значение этого
коэффициента.
Так,
например,
для
4
5
5
получаем
m1  10 кг, m 2  200 кг, k 1  9,8  10 н/м,
k 2  1,96  10 н/м
3
h  1,79  10 с
и
(2.4)
A( м )  1,79  10 3  м / с
Эту формулу можно рассматривать как функциональную модель
рассматриваемой колебательной системы при выбранных значениях
параметров. Эту формулу для выбранных значений параметров можно
получить непосредственно, проводя физический эксперимент для какого
либо одного значения  . Однако явное выражение (2.3) коэффициента h
через параметры системы можно использовать при ее проектировании.
x 1 (t ) 
12
2.2. Дискретные и непрерывные модели.
Подобно тому как величины бывают двух типов, так и модели, как
содержательные, так и математические могут быть либо дискретными,
либо непрерывными. Между этими типами моделей нет принципиальной
разницы и при уточнении или видоизменении модели возможен переход
от дискретного типа к непрерывному и наоборот. Таким образом, при
составлении математической модели и при выборе метода ее
исследования надо предполагать возможность применения дискретного и
непрерывного подходов (для дискретного подхода характерно применение
суматематическая модеь, для непрерывного - производных и интегралов).
Пусть, например, изучается прогиб балки от груза на интервале
сравнительно малой длины. Хотя это воздействие непрерывно, можно, без
существенной ошибки, заменить его сосредоточенным воздействием.
Пусть балка прямолинейна и ось направим вдоль нее. Если груз
распределен на малом интервале ( a  l, a  l ) около точки x  a с
плотностью q(x ) , то после замены, получим груз
Q   q ( x )dx ,
2e
сосредоточенный в точке x  a . Сосредоточенный груз Q можно
рассматривать как распределенный с плотностью q( x )  Q   ( x  a ) , где
 ( x  a ) - дельта функция. Такой подход позволяет переходить от
дискретных моделей к непрерывным и наоборот.
Рассмотрим переход от дискретной модели к непрерывной более
подробно на примере продольных свободных упругих колебаний (с
линейным законом упругости) прямолинейного однородного стержня.
Обозначим через U ( x, t ) смещение в момент времени t сечения стержня с
координатой x . Тогда U ( x, t ) удовлетворяет уравнению
2
 2U
2  U
a
(2.5)
t 2
x 2
E
, E - модуль Юнга,  - плотность материала.
где a 

Заменим непрерывный стержень дискретной моделью, состоящей из
последовательности с шагом h материальных точек массы m ,
соединенных пружинами нулевой массы и жесткости k . В качестве m
естественно взять массу соответствующего элемента стержня, т.е.
m  Sh , где S - площадь поперечного сечения стержня. Жесткость k
выберем так, чтобы в обеих моделях относительному удлинению 
SE
соответствовала одинаковая упругая сила, т.е. hk  ES . Значит k 
.
h
Обозначим через U i (t ) смещение i -й точки и применим к ней второй
13
закон Ньютона, тогда получим уравнение
d 2U i
m
 k U i 1  U i   k U i  U i 1  ,
dt 2
которое после преобразований запишется в следующем виде
d 2U i
2 U i 1  2U i  U i 1
.
(2.6)

a
dt 2
h
Полученное равенство имеет место для любого i  1,2,..., значит
математическая модель для дискретной модели непрерывного стержня
имеет вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Покажем, что от дискретной математической модели (2.6) можно
перейти к непрерывной математической модели (2.5). Для этого будем
считать x непрерывной переменной, тогда по формуле Тейлора
1
U i 1  U x i  h, t   U x i , t   U x x i , t h  U x2 x i , t h 2  ...,
2!
U i U (x i ,t ) ,
1
U i 1  U x i  h, t   U x i , t   U x x i , t  h   U x2 x i , t ( h ) 2  ... .
2!
Подставив эти выражения в (2.6) получим переходя к пределу при h  0
уравнение (2.5). Решение системы (2.6) при малом h хорошо представляет
решение уравнения (2.5) как в качественном, так и в количественном
отношении.
2.3. Линейные и нелинейные модели. Линеаризация моделей.
В математике известно понятие линейной зависимости одной
величины от другой, при которой пропорциональны их приращения, т.е.
зависимости вида y  ax  b . Известные линейные зависимости между
физическими величинами - закон Гука, закон Ома, закон теплового
расширения и другие в действительности являются линейными лишь
приближенно, но в определенных, устанавливаемых экспериментально
диапазонах изменения величин предположение о линейности выполняется
с хорошей точностью, что существенно упрощает исследование.
Аналогично вводится понятие линейной модели. Оно применяется к
моделям объектов, рассматриваемых как преобразователи, в которых
каждому входу соответствует определенный выход. Так, например, при
изучении вынужденных колебаний осциллятора, входом можно считать
внешнюю силу F (t ) , а выходом - закон колебаний x (t ) .
Допустим, что начало отсчета входа и выхода выбраны так, что
нулевому значению на входе соответствует нуль на выходе. Тогда модель
называется линейной, если для нее выполнен принцип суперпозиции, т.е.
при сложении входов складываются и выходы, и при умножении входа на
число выход умножается на это же число. Если этот принцип не
14
выполняется, то модель называется нелинейной. Линейные модели
обычно описываются линейными неоднородными уравнениями алгебраическими, дифференциальными и т.д. в которых неоднородный
член соответствует входу, а решение -выходу. Так на примере колебаний
осциллятора решается задача Коши для линейного неоднородного
уравнения 2-го порядка
d2x
0  t  ,
m
 kx  F (t ),
2
dt
dx
=0
при t  0 .
(2.7)
x  0,
dt
Линейность модели существенно упрощает построение и исследование
решения математической задачи. Так, например, если модель описывается
линейным дифференциальным уравнением, то известно, что его решение
выражается через фундаментальную систему решений. Многие методы
решения дифференциальных и других уравнений были впервые
разработаны для случая, когда эти уравнения линейны. К ним относятся,
например, классический метод разделения переменных при решении
линейного дифференциального уравнения в частных производных.
Широко
известен
также
операционный
метод
решения
дифференциальных и интегральных уравнений, который также
применяется в основном к линейным уравнениям. Линейность задачи
весьма существенно упрощает нахождение решения приближенными
методами, например, методом Галеркина и другими.
Нужно иметь в виду, что существуют объекты принципиально
нелинейные, для которых применение линейных моделей приводит к
грубым ошибкам: это прежде всего объекты для которых изменение
величин воздействия приводит к качественному изменению результата.
Примером могут служить механические системы с сухим трением, в
которых малая сила не порождает движения, а большая - порождает.
В практике исследователей весьма распространена приближенная
замена нелинейных соотношений линейными, нелинейных моделей на
линейные, т.е. линеаризация соотношений, моделей и т.д. Такая
линеаризация осуществляется обычно в 2-х случаях: либо в результате
эксперимента выясняется, что отклонение от линейной зависимости в
рассматриваемых диапазонах изменения переменных невелико, либо, если
малы эти диапазоны, то приращения переменных заменяются их
дифференциалами, и отбрасываются члены высшего порядка малости.
Рассмотрим формальный пример. Пусть величины x, y и z связаны
нелинейным уравнением
x 4  2 xy 2
 e 5t  0
(2.8)
3
2
y x z
15
которое удовлетворяется при x  1, y  1 и z  0.
Проведем линеаризацию уравнения (2.8) около точки x  1, y  1 и z  0.
Дадим x, y и z малые приращения  x,  y и  z :
x  1   x, y  1   y и z   z.
Продифференцируем уравнение (2.8).
(4 x 3 dx  2dx  y 2  4 xy  dy)( y 3  x 2 z )  ( x 4  2 xy 2 )  (3 y 2 dy  2 xdxz  2 x 2 dz)

3
2
2
( y  x z)
 5e 5 z dz  0.
Подставив вместо x, y и z их значения, а вместо дифференциалов –
приращения, получим
 2x  y  3z  0.
Полученное линеаризованное уравнение существенно проще исходного
нелинейного уравнения. Подставив x  x  1, y  y  1 и z  z получим
 2 x  y  3z  1  0.
линеаризованное уравнение в переменных x, y и z :
Рассмотрим пример линеаризации дифференциального уравнения
y   (1  y 2 )  sin y   y  1,
(2.9)
которое имеет частное решение y ( x )  1. Рассмотрим решение
0
y ( x)  y ( x)   ( x)  1   ( x) близкое к y ( x ) и получим для функции
0
0
 (x) линеаризованное уравнение. Проварьируем уравнение (2.9)
(y )   2 y  y  sin y   (1  y 2 ) cos y   (y )   y  0.
Подставив y  1 и y   ( x) получим искомое уравнение
   2     0,
которое легко решается.
На линеаризации также основан один из эффективных методов
приближенного решения нелинейных уравнений – метод Ньютона.
2.4. Детерминированные и вероятностные модели
Математическая модель может включать случайные компоненты и
параметры – случайные скалярные и векторные величины, случайные
последовательности и функции, случайные структуры и т.п.,
распределенные по некоторым статистическим законам. Такие модели
называются вероятностными или стохастическим, в отличии от
детерминированных моделей, которые таких компонентов не содержат.
Так, например, случайными величинами описываются отклонения
параметров изделий массового производства от их номинальных значений,
16
которые могут существенно повлиять на исследуемые свойства объекта.
Случайными функциями описываются воздействия ветра на инженерные
сооружения, шумы элементов радиоэлектронной аппаратуры, шумы и
помехи при приеме сигналов и т.д.
Вероятностные модели изучаются с помощью методов теории
вероятностей. Однако, зачастую, вероятностные характеристики
случайных компонентов (математическое ожидание, дисперсия и закон
распределения вероятностей) оказываются известными с невысокой
точностью или вовсе не известны. Для их оценки используются методы
математической статистики, но и они не всегда позволяют получить
эффективные и несмещенные оценки. Если вероятностные характеристики
не поддаются определению с необходимой точностью, то можно
попытаться построить другую математическую модель, может быть более
грубую, но и более устойчивую к погрешностям исходных данных. Так,
например, иногда удается провести исследование по максимальным
отклонениям рассматриваемых параметров. Пусть x(t ) - решение задачи
Коши
dx
 (2  sin  t )  x  0 и x(0)  1,
dt
где  - случайная величина с неизвестным законом распределения. Тогда
x(t ,  ) - случайная функция, случайные характеристики которой зависят
от закона распределения случайной величины  . Если использовать
очевидное неравенство
1  2  sin  t  3,
то для функции x(t ,  ) получается гарантированная оценка
e  3t  x(t ,  )  e  t ,
из которой, например, следует, что x(t ,  )  0 при t  .
Наряду с предложенной классификацией математических моделей
существуют классификация и по другим признакам, например,
статические и динамические (эволюционные) модели. Промежуточное
место занимают так называемые квазистатические, стационарные и
квазистационарные модели.
2.5. Построение математической модели
Математической моделью называется описание процесса, явления,
или системы объектов выполненного на языке математики. Это могут
быть те или иные формулы, одно уравнение или система уравнений:
алгебраических, дифференциальных, разностных и т.д. В конечном итоге,
любая система соотношений, записанных на математическом языке может
представлять собой математическую модель.
Если в физике и технических науках математика является
17
общепринятым языком, то относительно таких дисциплин, как, например,
биология, медицина, психология, социология, экология в полной мере
этого сказать нельзя. Как правило, в отмеченных дисциплинах описание
наблюдаемых процессов дается в словесном виде, используя понятийный
аппарат соответствующей науки. В результате возникает то, что называют
«Содержательной моделью». Однако уровень знаний в упомянутых науках
в последние годы стал настолько высоким, что возникла потребность в
абстракции, чтобы осмыслить накопленные сведения. Так появляется
необходимость в использовании математического аппарата. В связи с
этим, возникает проблема - перевод словесной (вербальной,
содержательной) модели в математическую форму.
Схематически, в общих чертах, процесс такого перехода и
дальнейшей работы с математической моделью состоит из следующих
этапов:
1. Возникает задача в некоторой области знания (например, в экологии).
Собирается вся относящаяся к задаче информация. Формируется проблема
в понятиях соответствующей науки.
2. На основе этой информации строится математическая модель:
формируется чисто математическая проблема.
3. Проблема решается математическими методами.
4. От математических результатов возвращаются к реальности, т.е. к той
задаче, которая была сформирована в пункте 1. Делаются выводы. Иногда
результаты решения математической проблемы позволяют предсказать
будущее состояние реальности.
5. При необходимости повторяется этот процесс заново: собирается
дополнительная информация, строится уточненная математическая
модель, решается математическая проблема (возможно с привлечением
новых методов), сравнивается с реальностью, делается прогноз на
будущее.
Таким образом, процесс работы с математической моделью носит
четко выраженный итерационный характер. Причем вмешательство в
указанный процесс может иметь место на любом этапе. Изменению может
подвергнуться и сама модель в результате уточнения (изменения)
информации, и средства, применяемые для ее исследования.
Разъясним здесь принятую методологию, положенную в основу
изложения материала. Несложно представить себе, что в приведенном
ранее списке наук есть отрасли знания, которые между собой имеют
совсем немного общего. Скажем такие, как медицина и экономика
(говорят, что эти науки имеют различную феноменологическую основу).
Изложение сколько-нибудь подробных сведений о содержательных
описаниях, которые могут быть положены в основу математических
абстракций, представляется крайне затруднительным. Именно этим
обстоятельством объясняется, что изложение, после обсуждения
некоторых общих вопросов, связанных с построением математических
18
моделей в данных науках, сосредоточено на содержательных примерах.
Для
их
понимания
вполне
достаточно
обычных
курсов
дифференциального и интегрального исчисления, геометрии и
элементарной алгебры. Аналогичная методология была применена в книге
Дж.Касти, посвященной системному анализу и опыт себя целиком
оправдал. Уместно здесь привести следующее высказывание: «По нашему
мнению пояснение основных положений с помощью примеров, а не
экзотических теорий поможет читателю понять суть дела, не слишком
вдаваясь в подробности».
Рассмотрим подробнее перечисленные
этапы построения
математической модели.
Первый этап: а) состоит в сборе информации, в выборе объекта и
процессов исследования, постановке цели и назначении критериев, по
которым можно судить об успехе в решении задачи; б) разбиение всей
совокупности объектов и процессов на два класса - собственно изучаемая
система и внешняя среда.
Такое разбиение производится путем последовательного перебора
объектов и процессов, оценкой их значимости относительно конечной
цели исследования и принятия решения: включать или отбросить тот или
иной процесс (объект).*) Эта процедура носит название: первичная
структуризация.
Строго говоря, эти задачи не относятся собственно к построению
математической модели: они принадлежат другой дисциплине системному анализу (важнейшей частью которого является построение
моделей). Однако, нельзя исключить, что в практике построения
математических моделей придется задеть и первый этап. Во всяком случае
о нем следует иметь представление.
Перейдем ко второму этапу - составление математических моделей
изучаемых процессов (систем объектов). Начинать следует с
параметризации, т.е. с описания выделенных элементов системы и
элементарных воздействий на нее с помощью параметров.
Эта процедура позволит каждому аспекту изучаемого процесса поставить
в соответствие определенный математический символ.
Как результат - становится более отчетливой и наглядной взаимосвязь,
существующая
между
различными
параметрами
процесса.
Параметризация представляет собой наиболее сложный и трудоемкий шаг,
включающий в себя не только формализацию (процедура присвоения
математических символов), но и метризацию (установление размерности),
стандартизацию и классификацию параметров и процессов.
Затем следует перейти к установлению различного рода связей и
зависимостей между введенными параметрами. Для количественных
(числовых) параметров связи удобно задавать в виде уравнений
---------------------------------------------------------*) Система объектов и процессов в этом случае может рассматриваться как слабо
19
связанная с внешней средой.
Если полностью пренебречь влиянием среды - тогда получим замкнутую
систему. (алгебраических, дифференциальных, разностных и т.д.); для
качественных параметров могут использоваться таблицы, построенные на
перечислении всех возможных комбинаций значений параметров. Именно
на этом этапе следует учесть все условия и ограничения: начальные,
граничные, физические и т.д.
Модель должна правильно отражать процессы, которые с помощью
этого описания задаются. *) Но не менее важным условием является то,
что модель должна быть удобной для использования. Здесь следует
принять правило: степень детализации модели определяются целями
исследования. Одна и та же система, например, система водохранилищ
может быть по разному описана. Одно описание будет, когда поставлена
цель - использование водохранилищ для полива сельскохозяйственных
земель; другой уровень описания, если ставится задача гидроэнергетики,
и, наконец, если поставлена задача - изучение фильтрации. Необходимо
предусмотреть анализ построенный модели на ее адекватность реальному
процессу и степень сложности. Эта процедура, как правило, приводит к
уточнению первоначальной структуризации и параметризации и к
коррекции цели. Некоторые авторы в этих случаях пишут, что нельзя
говорить о модели вообще: существует ряд моделей, каждая из которых
отвечает на вполне определенный круг вопросов о течении процесса. При
этом каждая из них имеет свою математическую структуру .**)
На третьем этапе речь идет о нахождении решения чисто
математической задачи. Замечания можно сделать те же, что и к первому
этапу. Здесь следует сочетать аналитические и численные методы: от их
разумного сочетания зависит успех исследования. ***)
К четвертому этапу необходимо сделать замечание о разной роли
математических моделей в различных науках. В физике и технике
исследование математических моделей стало одним из основных методов
исследования, проектирования и конструирования реальных систем.
Роль математических моделей в биологии, социологии и т.д. несколько
иная. Говорят, что модели в данных науках имеют прогностический
характер, то есть служат не столько для нахождения точных
количественных данных, сколько для определения оценок, позволяющих
указать пределы наших действий, или возможности исследуемых
процессов, или тенденции их развития. «Весьма велика роль
-------------------------------------------------------------*) Говорят, что модель должна быть адекватной процессу, который с ее помощью
исследуется.
**) Следует иметь ввиду, что какой-либо универсальной процедуры упрощение
моделей не существует.
**) Примеры исследования моделей будут приведены.
20
математических моделей как единого языка описания, позволяющего
структуризовать и канонизировать усилия исследователей». Пятый этап
(этап итераций) - следует предусмотреть, если
а) возникли сомнения в адекватности модели;
б) при необходимости уточнения (или изменения) параметров модели;
в) при переходе к более сложному описанию.
К пятому этапу следует сделать следующие коматематическая
модеьентарии. Всякая модель реального процесса предполагает
идеализацию и абстракцию. При этом не должны быть утрачены
существенные стороны моделируемого процесса, т.е. модель должна быть
адекватной реальности. Однако, если построить сложную модель,
учитывающую весь спектр свойств изучаемого процесса, то это может
нарушить смысл моделирования, одна из целей которого - упростить
постановку задачи так, чтобы сделать доступной ее изучение. Искусство
математического моделирования
состоит в том, чтобы учесть как можно больше факторов по возможности
более простыми средствами. Именно на этой стадии процесс
моделирования становится итерационным. На первой итерации следует
выбрать модель, относительно простую; затем проверить: все ли
существенные стороны процесса оказались включенными в это описание?
В случае отрицательного ответа - переходить к уточнению и усложнению
модели.
Выше было названо «моделирование» - искусством. Это не случайно.
Дело в том, что построение моделей связано с массой неформальных
факторов и требуется немалая доля творческих усилий для их
преодоления. Научиться искусству построения моделей можно только в
результате собственной практики. Также как научиться решению задач
можно только решая их, а не глядя, как решают другие. Однако,
приблизиться к пониманию этого искусства можно, разбирая примеры,
которые демонстрируют особенности процесса моделирования.
2.6. Понятие о вычислительном эксперименте
В
настоящее
время
основным
способом
исследования
математических моделей и проверки ее качественных показателей служит
вычислительный эксперимент.
Вычислительным экспериментом называется методология и
технология исследований, основанные на применении прикладной
математики и ЭВМ как технической базы при использовании
математических моделей. Вычислительный эксперимент основывается на
создании математических моделей изучаемых объектов, которые
формируются с помощью некоторой особой математической структуры,
21
способной отражать свойства объекта, проявляемые им в различных
экспериментальных условиях, и включает в себя следующие этапы.
1. Для исследуемого объекта строится модель, обычно сначала
физическая,
фиксирующая
разделение
всех
действующих
в
рассматриваемом явлении факторов на главные и второстепенные,
которые на данном этапе исследования отбрасываются; одновременно
формулируются допущения и условия применимости модели, границы, в
которых будут справедливы полученные результаты; модель записывается
в математических, терминах, как правило, в виде дифференциальных или
интегро-дифференциальных
уравнений;
создание
математических
моделей проводится специалистами, хорошо знающими данную область
естествознания или техники, а также математиками, представляющими
себе возможности решения математической задачи.
2. Разрабатывается метод решения сформулированной математической
задачи. Эта задача представляется в виде совокупности алгебраических
формул, по которым должны вестись вычисления и условия,
показывающие последовательность применения этих формул; набор этих
формул и условий носит название вычислительного алгоритма.
Вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер, так как
решения поставленных задач часто зависят от многочисленных входных
параметров. Тем не менее, каждый конкретный расчет в вычислительном
эксперименте проводится при фиксированных значениях всех параметров.
Между тем в результате такого эксперимента часто ставится задача
определения оптимального набора параметров. Поэтому при создании
оптимальной установки приходится проводить большое число расчетов
однотипных вариантов задачи, отличающихся значением некоторых
параметров. В связи с этим при организации вычислительного
эксперимента можно использовать эффективные численные методы.
3. Разрабатываются алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ.
Программирование решений определяется теперь не только искусством и
опытом исполнителя, а перерастает в самостоятельную науку со своими
принципиальными подходами.
4. Проведение расчетов на ЭВМ. Результат получается в виде некоторой
цифровой информации, которую далее необходимо будет расшифровать.
Точность информации определяется при вычислительном эксперименте
достоверностью модели, положенной в основу эксперимента,
правильностью алгоритмов и программ (проводятся предварительные
«тестовые» испытания).
5. Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы. На этом этапе
могут возникнуть необходимость уточнения математических моделей
(усложнения или, наоборот, упрощения), предложения по созданию
упрощенных инженерных способов решения и формул, дающих
возможности получить необходимую информацию более простым
способом.
22
Вычислительный эксперимент приобретает исключительное значение
в тех случаях, когда натурные эксперименты и построение физической
модели
оказываются
невозможными.
Особенно
ярко
можно
проиллюстрировать значение вычислительного эксперимента при
исследовании
влияния
городской
застройки
на
параметры
распространения радиосигнала. В связи с интенсивным развитием систем
мобильной связи данная задача в настоящее время является особенно
актуальной. С целью снижения затрат при частотно-территориальном
планировании производится оптимизация частотно-территориального
плана с учетом таких факторов как рельеф местности, конфигурация
городской застройки, атмосферные воздействия. Кроме этого, с учетом
динамичности развития города необходимо постоянное уточнение
соответствующих моделей. То, что принято называть уровнем сигнала
(средняя напряженность электромагнитного поля) представляет собой
результат сложного взаимодействия физических процессов, протекающих
при распространении сигнала: прохождение сигнала сквозь здания и
сооружения; воздействие на сигнал помех искусственного и естественного
происхождения; атмосферная рефракция сигнала; отражения сигнала от
зданий и от земной поверхности; потери энергии сигнала в осадках и др. В
данном случае окружающую среду можно исследовать, строя
соответствующую математическую модель, которая должна позволять
предсказывать уровень сигнала при заданной конфигурации застройки,
рельефе местности, погодных условиях и т. п. Масштабы среды
распространения сигнала настолько грандиозны, что эксперимент даже в
одном каком-то регионе требует существенных затрат.
Таким образом, глобальный эксперимент по исследованию
распространения сигнала возможен, но не натурный, а вычислительный,
проводящий исследования не реальной системы (окружающей среды), а ее
математической модели.
В науке и технике известно немало областей, в которых
вычислительный эксперимент оказывается единственно возможным при
исследовании сложных систем.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Покажите на примере различие между структурными и
функциональными моделями.
2. Как осуществляется переход от дискретных моделей к непрерывным и
обратно. Приведите пример.
3. Приведите примеры линеаризации нелинейных математических
моделей (для конечных и дифференциальных уравнений).
4. Что включается в понятие «содержательная модель».
23
Глава 3. Введение в вариационное исчисление
Вариационное исчисление – это раздел функционального анализа, в
котором рассматриваются экстремальные значения функционалов.
Создателями вариационного исчисления являются Эйлер, Лагранж,
братья Бернулли.
Рассмотрим два множества U и V любой природы.
Определение. Если любому элементу u U по некоторому закону
ставится в соответствие определенный элемент v V, то говорят, что на
множестве U задан оператор v=L(u) с множеством значений,
принадлежащим V. Говорят также, что задано отображение L множества U
на множество V.
Замечание. Если элементами множества U является функция, то это
множество называют функциональным пространством. При этом, если V–
числовое множество, то оператор L называется функционалом.
В вариационном исчислении функционал обычно обозначают
символом I [y(x)], где y(i) M, I R, M– некоторый класс (множество)
функций, заданных на отрезке x 0 , x1 . В качестве М часто рассматривают
следующие классы:
1) С x 0 , x1  – множество непрерывных на отрезке [a,b] функций;
2) С 1 x 0 , x1  – множество непрерывно дифференцируемых на отрезке
[a,b] функций.
x1
Пример функционала: I  y ( x)   y ( x)dx , где y ( x)  C x 0 , x1  .
x0
Определение. Функционал I  y  x  достигает на функции (кривой)
y  y 0 ( x) строгого максимума, если значения функционала на любой
близкой кривой у=у(х) меньше, чем на кривой y  y 0 ( x) :
I  y o ( x)  I  y ( x) .
При этом кривая y  y 0 ( x) называется экстремалью.
Если в этом неравенстве знак поменять на противоположный, то на
кривой y  y 0 ( x) достигается строгий минимум.
Речь идет о локальных экстремумах, т.е. рассматриваются только
близкие к экстремали кривые. Если функционал достигает локального
экстремума по отношению ко всем кривым, для которых в области
задания функции y  y ( x ) модуль yx   y0 ( x) мал, то экстремум
называется сильным; если же мал не только этот модуль, но и модуль
yx   y0 ( x) , то экстремум называется слабым.
24
3.1. Простейшая задача вариационного исчисления
Рассмотрим функционал
x1
I   F  x, y, y  dx .
x0
Предполагается, что функция F имеет непрерывные частные
производные по переменным x , y , y  до второго порядка включительно.
Ставится следующая задача: среди гладких функций y ( x ) , заданных
на отрезке x0 , x1  и удовлетворяющих на концах отрезка граничным
условиям y ( x0 )  y0 , y ( x1 )  y1 , требуется отыскать такую функцию, на
которой функционал I принимает экстремальное значение.
В дальнейшем экстремаль будем обозначать через y ( x ) , опуская
индекс 0 .
Включим экстремаль y  y ( x ) в однопараметрическое семейство
кривых:
y( x,  )  y( x)   h( x) ,
где  – малый параметр.
y  y ( x ,  )  y ( x )  h( x )
Выражение
называется
вариацией
экстремали; h( x)  C1 x0 , x1 . Так как концы экстремали закреплены
(заданы), то h( x0 )  h( x1 )  0 .
Рассмотрим функционал
I y (x ,  )  I y (x )  h(x )  ( ) ,
x1
( )   F  x, y  h( x), y   h( x) dx .
x0
Пусть функционал I принимает экстремальное значение на кривой
y ( x ) . Тогда
1
d
d
или


0,
 0
 0
 F yh  Fy h dx  0 .
d
d
x0
Выражение I   0 называется первой вариацией функционала I..
x
Так как
x1
F
y
x0
и
то
d

   Fy h( x)dx

x0  dx
h x1   h x0   0 ,
hdx  Fy h( x)
x1

x0
I    F y 
x1
x0
x1
d

Fy h( x)dx  0 .
dx 
(3.1)
25
3.2. Основная лемма вариационного исчисления
Если функция g ( x ) непрерывна на отрезке [ x0 , x1 ] и
x1
 g ( x)h( x)dx  0
x0
для любой непрерывно дифференцируемой функции h x , x  x 0 , x1 ,
такой, что h( x0 )  h( x1 )  0 , то g ( x )  0 при всех x  x0 , x1  .
Доказательство. Предположим противное: существует точка
x   x0 , x1  такая, что g ( x )  0 ; для определенности положим g ( x )  0 . В
силу непрерывности функции g ( x ) существует интервал  x0 , x1  , на
котором эта функция сохраняет знак.
В силу произвольности функции h(x) выберем ее в виде
x  x0 , x1 .
 x  x0 4   x  x1 4 при
h( x )  
при x  x , x .
0
0 1
Тогда
x1
x1
x0
x0
 g ( x)  h( x)dx   g ( x)  h( x)dx  0 ,
что невозможно.
В силу основной леммы из формулы (3.1) следует уравнение Эйлера
d
(3.2)
Fy 
Fy  0,
dx
или в развернутой форме
Fy  Fyx  Fyy  y   Fyy  y   0 .
Это уравнение должно интегрироваться при граничных условиях
y ( x0 )  y0 , y ( x1 )  y1 .
Следует отметить, что решение такой краевой задачи существует не
всегда (даже если уравнение Эйлера – линейное с постоянными
коэффициентами).
Это уравнение допускает понижение порядка в следующих случаях:
1) Пусть функция F не содержит в явной форме переменную y ,
тогда уравнение Эйлера примет вид
d
Fy  0  Fy x, y  c1 .
dx
2) Функция F не содержит в явном виде переменную x .
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что
уравнение Эйлера можно записать в виде:
d
F  y Fy  Fx  0 .
dx


26
Так как Fx  0 , то отсюда следует
F  yFy  c1 .
3) Пусть F  F ( x , y ) . Уравнение Эйлера: F ( x , y )  0 . Это – не
дифференциальное, а конечное уравнение; удовлетворить
заданным граничным условием, вообще говоря, нельзя. Мы имеем
дело с вырожденной вариационной задачей.
4) Пусть F  F ( y  ) . Уравнение Эйлера
Fy ( y  )  c
имеет общее решение y  c1 x  c2 .
3.3. О достаточном условии существования слабого экстремума
Вновь рассмотрим простейший функционал
x
1
I y (x )   F (x , y , y  )dx.
xo
Его полное приращение можно записать в виде
I  I  y  h  I  y   0 
2
Здесь (0)  I – первая, а
2!
2
2!
(0)  ...
(0)   2 I  вторая вариация
функционала.
Если y  y ( x ) – экстремаль, то (0)  0 и при малых  знак I будет
определяться знаком  (0) при 0  0 приращение I также будет
положительным и, следовательно, на этой кривой будет достигаться
минимальное значение функционала; при (0)  0  максимальное
значение.
Можно показать, что
x1
d2
2
2
 ( I )  2 I  y  h  0    Fyy h 2  2 Fyy hh  Fyy h 2 dx .
d
x0


Пример. Найти кратчайший путь, соединяющий две точки на
плоскости: A0 ( x0 , y0 ) и A1 ( x1 , y1 ) .
Здесь I  y ( x) 
x1

1  y  2 dx.
x0
Уравнение Эйлера допускает понижение порядка,
y
Fy  c,
 c  y  c1 , y  c1 x  c2 .
2

1 y
Постоянные c1 и c2 найдем из условия прохождения прямой линии
через точки A0 и A1 :
27
x  x0
y  y0
.

x1  x 0 y1  y0
Так как
(0) 
x1
h 2
x0
1  

3
2 2

y
dx  0 h( x)  C1 x0 , x1  ,
то эта прямая – кратчайший путь, соединяющий точки A0 и A1 .
Замечание. На практике проверка достаточных условий весьма
затруднена; поэтому для решения вопроса о характере экстремума часто
обращаются к физическим соображениям и к инженерной инструкции.
Отметим еще, что для того, чтобы отличить слабый минимум от
слабого максимума используют вторую производную Fy y  : если Fy y  >0,
то на кривой y  y ( x ) может достигаться минимум функционала; если
Fy y  <0, то слабый максимум.
Задача о брахистохроне. Среди всех гладких кривых, соединяющих
две точки А и В, требуется найти такую кривую, по которой материальная
точка переместится под действием силы тяжести за кратчайшее время.
Скорость начальной точки предполагается нулевой (рис.4).
При движении материальной точки
вдоль кривой на всем пути имеет место
закон сохранения энергии:
mV 2
(3.2)
 mgy  C.
2
В силу начального условия V ( A)  0
x2
x
x1
C  mgy1 ,
Рис. 4
Из (3.2) имеем
2
C  mgy  2 c  gy  ,
V 
(3.3)
m
m

С другой стороны, по определению:
dS
dx
(3.4)
V
 1  y2 
dt
dt
Сравнивая формулы (3.3) и (3.4) получим:
dx
c
dt
1  y 2


1  y   2  gy  ,

,
dt
m
2c m  gy

 dx
2
dt

dx
2
2g
1  y2
,
y
(3.5)
28
c
.
mg
Интегрируя это равенство по x от x1 до x 2 и обозначая через T –
время спуска материальной точки по дуге AB получим:
x
1 2 1  y2
T
dx.

2 g x1   y
Видно, что T – есть функционал, зависящий от кривой y  y ( x ) .
Поставленная
задача
эквивалентна
задаче
минимизации
функционала:
x2
1  y2
I  y ( x)  2 g  T  y ( x)  
dx .
y
x1
Так как подынтегральная функция не содержит в явной форме
независимую переменную, то уравнение Эйлера допускает первый
интеграл:
F  yFy  C1 ,
где F – подынтегральная функция:
1  y2
1   y 2 y
 y 

 C1.
y
2 1  y2   y
После приведения к общему знаменателю получим:
1
(3.6)
(1  y2 )(a  y )  2 .
C1
Решение этого уравнения будем искать в параметрической форме;
введем параметр  с помощью равенства:
y   tg ;
тогда из равенства (3.6) имеем
1
1
y 2
 2  cos2  
2
C1 1  y  C1
1  cos 2
.
(3.7)
y  
2C12
dx
Найдем x( ):
 ctg  dx  ctg  dy , или в силу (3.7)
dy

1 
   2 sin 2 d ;
dx  ctg   
2 
2
C

1 
1  cos 2
d , отсюда
после преобразований получим: dx 
C12
1 
sin 2 
x   2   
(3.8)
  C2 .
C1 
2 
где

29
Уравнения (3.7) и (3.8) и определяют искомую кривую –
брахистохрону. Используя достаточные условия существования
экстремума можно показать, что на этой кривой действительно
достигается минимум функционала.
Замечание. Уравнения (3.7) и (3.8) можно записать в более
компактной форме:
 x(t )  C0 t  sin t   C 2
,
(3.9)

 y (t )    C0 1  cost 
1
где t  2 ; C0 
.
2C12
Равенства (3.9) определяют параметрические уравнения циклоиды.
Постоянные C 0 и C 2 определяются из условий прохождения циклоиды
через фиксированные точки A и B .
3.4. Простейшая задача с незакрепленными (подвижными) концами
Рассмотрим функционал
x
1
I ( y )   F (x; y; y  )dx .
(3.10)
xo
Рис. 5
Пусть левый конец закреплен, т.е. точка A задана, а правый конец
свободен (точка B не закреплена); требуется найти кривую y  y ( x ) и
координаты x1 и y1 , реализующие экстремум функционала (3.10) (рис.5).
Полное приращение этого функционала можно записать в виде:
x1  x1
I 
 ( F ( x1 y  y, y  y)  F ( x, y, y))dx . (3.11)
x0
Здесь y  h(x) – вариация экстремали y  y(x) (рис.5).
Видно, что
y1  y x x  y ( x1 )  x1  0(x1 ) .
(3.12)
1
Приращение (3.11) можно записать в виде:
x1
x1x1
J   ( F ( x, y  y, y   y )  F ( x, y, y )dx   F  x, y  y, y   y  
x1
x0
 F ( x, y, y )dx.
Обозначим через J 1 первый из этих интегралов, а второй интеграл
через J 2 . Интеграл J 1 представляет собой полное приращение
30
функционала в простейшей задаче с закрепленными концами; известно,
что его первая вариация имеет вид:
x
1
x
1
d
J 1   ( Fy  Fy ) ydx  Fy   y .
dx
x0
x0
Так как задача с подвижными концами более общая, чем задача с
закрепленными концами, то для нее имеет место уравнение Эйлера и так
как левый конец закреплен, то y xx0  0 .
Следовательно,
I1  Fy  y x  x .
(3.13)
1
Используя теорему о среднем, интеграл I 2 можно записать в виде:
I2  F
Поэтому:
x  x1 x1
0 1
x1  F
x  x1
x1  O x1 .
I 2  F x, y, y x x1 x1 .
(3.14)
С учетом формул (3.13) и (3.14) вариация функционала (3.10) запишется в
виде:
I  Fy  y x x1  F x x1 x1  0 .
Учитывая теперь формулу (3.12), окончательно получим:
F  yFy  xx1  x1  Fy xx1  y1  0 .
(3.15)
Равенство (3.15) называется условием трансверсальности; оно служит
для определения неизвестных (оптимальных) координат x1 и y1 ; при этом
возможны следующие случаи:
Случай 1.
Координаты x1 и y1 независимы. Тогда из (3.15) имеем
 F  y   Fy x x  0;
1



Fy x x1  0.

Эта система служит для определения координат x1 и y1 точки B .
31
Случай 2.
Координата x1 – фиксирована; y1 –
неизвестна. Следовательно,
x1  0, y1  0 .
Условие трансверсальности Fy
x  x1
 0.
Рис.6
Отсюда находится y1 .
Случай 3.
Координата y1 - фиксирована, x1 неизвестна. Условие трансверсальности:
F  y Fy 
 0.
x  x1
Рис.7
Случай 4. Координаты x1 и y1
зависимы: y1   ( x1 ) (рис.8).
Здесь  y1   ( x1 )  x1 .
Условие трансверсальности примет
вид
F  (   y ) Fy  x  x  0.
1
Рис. 8
Пример. Найти экстремаль функционала:
x1
1  y 2
I
dx , если y(0)  0
y
0
и точка ( x1 ; y1 ) движется по прямой: y1  x1  5 . Можно показать, что
уравнение Эйлера имеет решение: x  C1   y 2  C12 , удовлетворяющее
условию y( 0)  0 .
Условие трансверсальности
F     yFy x x1  0
2
здесь примет вид
1  y2
y
 1  y
y
y 1  y 2
или после преобразований y  x1   1 .
x x1
0
У нас три неизвестных: x1 , y1 , C1 ; для их определения имеем систему:
32
 y1  x1  5;


2
2
2
 x1  C1   y1  C1 ;

2 x  C   2 y  1  0;
1
1
 1
C1  5;

y1 
5
;
2
x1  5 
5
.
2
3.5. Вариационные задачи с несколькими независимыми переменными
Рассмотрим функционал
I  z ( x; y )   F x , y , z ( x , y ), z x ( x , y ), z y ( x , y ) dxdy .
S


Требуется найти функцию z  z ( x , y ) , реализующую экстремальное
значение функционала I , при условии, что значения этой функции на
контуре  заданы.
С геометрической точки зрения это означает, что требуется найти
поверхность  , натянутую на фиксированный контур  (рис.9.
Можно
показать,
что
необходимое
условие экстремума функционала приводит к
уравнению в частных производных 2-го
порядка:*)
 
где
Fz  Dx Fz  Dy  Fz   0 – уравнение
 y
x
Рис.9
Остроградского,
F
F
F
Fz 
; Fz 
; Fz 
;
x
y
z
z x
z y
D x и D y – операторы полного дифференцирования соответственно по
переменным x и y
Dx 




 z x  z xx
 z yx
;
x
z
z x
z y
Dy 




 z y  z yy
 z xy
.
y
z
z y
z x
Пример.
*)
Молчаливо предполагается, что z  достаточно гладкая функция своих переменных.
33


I   z x2  z y2 dxdy.
S
Здесь F  z x2  z 2y , Fz  2 z x , Fz  2 z y , уравнение Остроградского
x
y
примет вид z xx  z yy  0 . Это уравнение Лапласа; оно должно
интегрироваться при краевом условии: z    (x , y ); (x , y )  , т.е. мы
приходим к классической задаче Дирихле.
3.6. Прямые методы вариационного исчисления
При решении практических задач интегрирование уравнения Эйлера
или уравнения Остроградского представляет собой весьма сложную
математическую проблему; аналитическое решение удается найти в
редчайших случаях и, как правило, приходится обращаться к численным
методам.
Прямыми методами в вариационном исчислении называются те
методы, которые позволяют найти экстремаль, не интегрируя уравнения
Эйлера или Остроградского. Суть этого метода поясним на простейшей
задаче:
x1
I  y ( x)   F  x, y, y dx ;
(3.16)
x0
y  x0   y0 ; y  x1   y1 ;
(3.17)
Пусть функции
U 1 ( x), U 2 ( x),...,U n ( x)
(3.18)
– линейно независимы на отрезке x0 , x1  и образуют на нем полную
систему функций, т.е. любую непрерывную функцию y ( x ) , заданную на
этом отрезке, можно аппроксимировать линейной комбинацией данных
функций с любой степенью точности. Экстремаль y ( x ) будем искать в
виде:
Yn ( x)  C1U 1 ( x)  C 2U 2 ( x)  ...  C nU n ( x);
(3.19)
U k ( x)  C1 x0 , x1 , (k  1, n).
Здесь функции: U 1 ( x),U 2 ( x),...,U n ( x) называются базисными
(координатными) функциями; они выбираются таким образом, чтобы
выполнялись граничные условия.
Подставляя (3.19) в (3.16) и интегрируя по x , получим:
I  I C1 , C 2 ,...,C n .
Необходимое условие экстремума этой функции имеет вид:
34
I
 0;


C
 1
  I
 0;
(3.20)


C
 2
 I

 0.
 C n
Это система линейных алгебраических уравнений относительно
неизвестных постоянных С1 , C 2 ,...,C n . Данный метод называется методом
Ритца.
Пример.
1
Задан функционал I   ( y2  y 2  2 xy )dx y (0)  y (1)  0 .
0
Пусть U1 ( x)  x( x  1), U 2 ( x)  x 2 ( x  1).
Уравнение экстремали будем искать в виде:
y2 ( x)  C1 x( x  1)  C2 x 2 ( x  1).
Подставляя y 2 в исходный функционал, получим:*)
I  I (C1 , C2 )  min
69
I

0
;
C

;
1
 C
473
 1

 I
7
 0;
C2  .

43
 C 2
1
y 2 ( x) 
(77 x 3  8 x 2  69 x).
473
Точное решение, т.е. решение уравнения Эйлера имеет вид:
e
y ( x)  2
(e x  e  x )  x.
e 1
Результаты вычислений приведены в таблице:
x
y(x)
y2(x)
0
0
0
0,2
-0,0285
-0,0287
0,4
-0,0506
-0,0505
0,6
-0,0585
-0,0583
0,8
0,0442
0,0444
1,0
0
0
Замечание. Подставляя (3.19) в (3.16), мы получаем числовую
последовательность: I y n (x) . Ниоткуда не следует, что эта
последовательность будет стремиться к экстремальному значению
функционала; однако в некоторых случаях доказано, что она будет именно
*)
Читателю рекомендуется получить явный вид функции I (C1 , C 2 ).
35
такой, а функция y n ( x ) при n   будет стремиться к решению
уравнения Эйлера y ( x ).
Вариационная задача со многими функциональными аргументами.
Рассмотрим:
x1
I  y1 ( x); y 2 ( x);...; yn ( x)   F ( x; y1 ; y2 ;...; yn ; y1; y2 ;...; yn )dx .
x0
Можно показать, что необходимое условие экстремума представляет
собой систему дифференциальных уравнений вида:
d
F  F  0 (i=1,n ).
y
y
i dx i
Эта система интегрируется при граничных условиях:
yi ( x0 )  yi 0 ; yi ( x1 )  yi1 (i=1,n),
где yi 0 , yi1 заданы.
3.7. Понятие о методе Канторовича
Рассмотрим функционал
x1   2 ( x )



(3.21)
I z ( x, y )     F ( x, y, z ( x, y ), z x ( x, y ), z y ( x, y ))dy dx.

x0  1( x )


Уравнение экстремальной поверхности ищется в виде
z n ( x, y )  U 1 ( x)W1 ( x, y )  U 2 ( x)W2 ( x, y )  ...  U n ( x)Wn ( x, y ) . (3.22)
Здесь


Wi (x, y) i  1, n –
базисные
функции; они считаются известными и
удовлетворяющими краевым условиям;
функции U i ( x ) – неизвестны.
Подставляя (3.22) в (3.21), мы
Рис.10
переходим к функционалу:
I U 1 ( x); U 2 ( x);...;U n ( x), U 1( x), U 2 ( x),...,U n ( x)
от нескольких функциональных аргументов; записывая для него систему
уравнений Эйлера, найдем неизвестные функции U i ( x ) .
Пример.
I z  x, y     z
a b
2
x
 z y2  2 z dxdy .
 a b
Граничные условия: z (x , y )   0 . Уравнение Остроградского здесь примет
вид z xx  z yy  1.
36
Пусть z1 ( x, y)  U ( x)b2  y 2 ,
где U ( a )  U ( a )  0 ;
z1x  U ( x)b2  y 2 ;
z1 y  U ( x) 2 y  .
Рис.11
Подставляя эти выражения в исходный функционал, получим:
a
8
8
 16

I z1 ( x, y )    b 5U 2 ( x)  b 3U 2 ( x)  b 3U ( x) dx .
3
3

 a  15
Уравнение Эйлера
5
5
U   2 U   2 ; U (a)  U (a)  0.
2b
b
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, имеет

 x 5 
ch


b
2


1
U (x )   1 
вид:
.
2
 a 5 

ch
 

 b 2

Тогда уравнение экстремальной поверхности приближенно задается
уравнением:

 x 5 
ch


b 2
1 2
2 
z1 ( x , y )  b  y  1 
.
2
 a 5 

ch
 

b
2





Замечание. Можно было бы использовать и метод Ритца при тех же
базисных функциях, однако точность вычислений была бы меньше, чем
при использовании метода Канторовича.
3.8.Обратная задача вариационного исчисления
Она ставится так: задано дифференциальное уравнение в оперативной
форме
Lu   f ,
где L – линейный дифференциальный оператор, а U – искомая функция:
f – заданная функция. Если U зависит от одной независимой переменной,
то это обыкновенное дифференциальное уравнение, если от нескольких,
то
это уравнение в частных производных. Рассмотрим для
определенности уравнение Пуассона
37
 2U  2U
 2  f ( x, y ) .
x 2
y
 2U  2U
Здесь L  2  2 – оператор Лапласа. Напомним, что скалярное
x
y
произведение функций f (x) и  (x) , заданное на отрезке  a , b ,
определяется по формуле:
b
 f ,     f (x ) (x )dx .
a
Для функций двух переменных f ( x , y ) и  (x, y) :
 f ,    f (x, y) (x, y)dxdy.
S
Пусть L удовлетворяет двум условиям:
а) LU ,V   U , LV  ,
т.е. оператор L обладает свойством симметричности;
б) LU ,U   0 ,
т.е. этот оператор неотрицателен. При этом это скалярное произведение
равно нулю только при U  0 .
Доказано, что при выполнении этих условий интегрирование
уравнения LU   f сводится к задаче минимизации функционала:
I U    LU , U   2U , f  .
Пример. Рассмотрим дифференциальное
уравнение
LU  U xx  U yy  f (x , y ),
2 2
L 2  2.
 x y
где
Рис.12
Требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее
краевым условиям:
U ( x , y )  0 при (x, y)  (рис.12.
Покажем, что этот оператор обладает свойством симметричности:
LU ,V   U , LV     U xx  U yy V  U Vxx  Vyy  dxdy 
S



   UVx  VU x  
UV y  VU y  dxdy .

y
S  x
Используя формулу Грина-Остроградского:
 Q P 
S  x  y dxdy   Qdy  Pdx ,



получим


38
LU ,V   U , LV  




 UVx  VU x dy  UV y  VU y dx  0



в силу нулевых краевых условий. Таким образом, оператор
симметричен. Покажем, что он неотрицателен:
LU,U    U xx  U yy Udxdy 
L
S




  U x2  U y2  UU x   UU y dxdy 
x
y
S 

2
2
  U x  U y dxdy    UU x dy  UU y dx 

S
  U x2  U y2 dxdy  0 .
S
Тогда искомый функционал примет вид:
I U    U x2  U y2 dxdy  2 U  f dxdy   U x2  U y2  2Uf dxdy .
S
Теперь уже
исчисления.
S
можно
использовать
S
прямые
методы
вариационного
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что называется функционалом?
Дайте определение сильного и слабого экстремумов.
Как формируется простейшая задача вариационного исчисления?
Что понимают под вариацией экстремума?
Что называют первой вариацией функционала?
Докажите основную лемму вариационного исчисления.
Вывести уравнение Эйлера и записать его в развернутой форме.
Укажите случаи понимания порядка уравнения Эйлера.
Запишите достаточные условия существования максимума (минимума)
функционала.
10. Сформируйте и решите задачу Ньютона о форме тела минимального
волнового сопротивления в гиперзвуковом потоке.
11. Как ставится задача о брахистохроне?
12. Как выглядит условие трансверсальности в простейшей задаче с
подвижными правым концом?
13. Напишите 4 частных случая трансверсальности для подвижного
правого конца.
14. Запишите необходимое условие экстремума для двойного интеграла.
15. Какова идея метода Ритора?
16. Сформулируйте идею метода Канторовича для двойного интеграла.
17. Как ставится обратная задача вариационного исчисления?
18. Сформируйте обратную задачу вариационного исчисления для
уравнения Пуассона.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
39
4. Вариационные принципы
При математическом описании физических процессов составление
дифференциального уравнения, характеризующего процесс, вообще
говоря, представляет значительную трудность.
Вариационные принципы в механике и физике дают общее начало
для составления дифференциальных уравнений, описывающих различные
процессы. Это общее начало состоит в том, что из всех возможных
состояний или процессов, удовлетворяющих некоторым заданным
условиям, реализуются только те, которые придают соответствующему
функционалу стационарное значение.
Наличие стационарного значения функционала выражается
дифференциальным уравнением (в простейшем случае уравнением
Эйлера). Это дифференциальное уравнение и является уравнением,
описывающим изучаемое явление.
Часто один и тот же вариационный принцип характеризует различные
по своей физической природе явления.
4.1. Принцип Гамильтона
Системой материальных точек называется совокупность таких
точек, движение каждой из которых обусловлено положением и
движением остальных. Эта обусловленность определяется связями,
налагаемыми на систему. Простейшими связями являются связи
геометрические, которые выражаются уравнениями, связывающими
координаты точек системы.
Например, система двух точек A x0 , y0  и B x1 , y1  , соединенных жестким
стержнем длины  , подчинена связи
x
1
 x0    y1  y0    ,
2
2
(4.1)
а система тех же точек, соединенных гибким стержнем длины  ,
подчиняется связи
x
1
 x0    y1  y0    .
2
2
(4.2)
Пусть некоторая система точек под действием силы пришла в движение и
за промежуток времени [ t1 ,t 2 ] переместилась из одного положения в
другое.
Возможными будем называть перемещения системы, совместимые со
связями.
Принцип Гамильтона состоит в том, что среди всех возможных
40
движений системы реализуется то, при котором достигает минимума
интеграл действия
t2
 T  U dt,
(4.3)
t1
где Т– кинетическая энергия системы; U - ее потенциальная энергия.
Задача 1. Найти уравнение движения
материальной точки с массой m , брошенной
под углом  к горизонту с начальной
скоростью  o (рис.13).
Принимая t за параметр, будем искать
уравнение движения точки в параметрической
форме:
Рис. 13
x  x ( t ),

 y  y ( t ).
Компоненты вектора скорости в момент времени t соответственно
будут x  x;  y  y . Компоненты вектора начальной скорости  o будут
 ox  x t  0   o cos ,
 oy  y t  0   o sin  .



(4.4)
Кинетическая энергия точки

2

2
m 2 m  ds 
m 2
m 2
2
T        x  y  
x  y 2 .

2
2  dt 
2
2
Потенциальная энергия точки U  mgy .
Составим интеграл действия:
t
1 m



2
2
  x  y  mgydt .

0 2
(4.5)
Согласно принципу Гамильтона, действие реализуется при условии,
что интеграл (4.3) достигает минимума.
Система соответствующих уравнений Эйлера имеет вид:
d
 dt mx   0,

 d my   mg  0;
 dt
или
41
x  0,
(4.6)


y


g
.

Система дифференциальных уравнений (4.6) описывает закон
движения материальной точки с массой т. Решая систему (4.6), находим
уравнение движения точки:
x  c1t  c2 ,
g
y   t 2  c3t  c4 .
2
В силу начальных условий получим c1   cos  ; c3  0 sin  , C4  C2  0 .
Таким образом, окончательно получаем
x   o cos   t ,
y
g 2
t   o sin   t .
2
Задача 2. Найти закон качания маятника с массой m и длиной  для
малых углов отклонения  (рис.14).
Пусть за время dt маятник отклонится на угол
d . Тогда путь, который он пройдет за это время
ds  d .
Кинетическая энергия маятника определится по
формуле
m 2 m  ds  m  d  m 2  d 
T       
 

.
2
2  dt 
2  dt 
2  dt 
2
2
По условию  мало, а следовательно, sin
Рис.14
можно приближенно заменить на
2

2

. Тогда потенциальная энергия
2
маятника определится соотношением
U  mgAB  mg   cos   mg  2 sin 2

2

m
g 2 .
2
Интеграл действия запишем в виде
 m 2  d  2 m

2


g





dt .

2
 dt 
t1  2

Соответствующее уравнение Эйлера будет
t2
42
d 2 g
   0.
dt 2 
Откуда, решая и используя начальное условие  (0)  0 , находим
 g 
  c sin t .
  
Задача3. Вывести уравнение свободных малых поперечных колебаний
однородной струны с плотностью  длины  .
Поместим начало координат в один из концов струны. Струна в
состоянии покоя под влиянием силы натяжения T0 расположена вдоль
некоторой прямой, по которой направим ось абсцисс. Будем считать, что
сила T0 в процессе колебаний не меняется. Такое допущение справедливо,
поскольку по условию колебания малы по амплитуде. Отклонение струны
от положения равновесия в точке x в момент времени t обозначим через
u(x , t ) .
Потенциальная энергия бесконечно малого элемента абсолютно
гибкой струны пропорциональна его растяжению. Участок струны dx в
деформированном состоянии обозначим через ds . Тогда ds  1  ux2 dx с
точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Следовательно,
удлинение элемента равно 1  ux2  1 dx . Учитывая, что колебания малы,
а следовательно, высокими степенями u x мы можем пренебречь, по
формуле Тейлора получаем:
1
1  ux2  1  ux2 .
2
Следовательно, удлинение элемента можем переписать в виде
1 2
 1 2 
1  u x  1dx  ux dx,
2
 2

и потенциальная энергия его
1
dU  ku x 2 dx ,
2
где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от T0 .
Потенциальная энергия всей струны


u
1 2
 ku x dx .
20
Кинетическая энергия элемента струны
1
1
1
 u 
dT  m 2  dx    ut 2 dx .
2
2
2
 t 
2
Кинетическая энергия всей струны
43
1
T   ut 2 dx.
20
Интеграл действия имеет в данном случае вид
 1 2 1 2 
(4.7)
 ut  2 ku x  dxdt.
t0 0  2
Уравнение движения струны будет уравнением Остроградского для
функционала (4.7). Уравнение Остроградского приводится к виду
t1 


ut    kux   0.
t
x
Поскольку струна однородна, то  и k постоянны, и, обозначая
получаем
utt  a 2uxx  0 .
k

 a2 ,
(4.8)
Уравнение (4.8) есть уравнение движения струны и называется
уравнением свободных колебаний струны.
4.2. Принцип Дирихле (принцип минимума потенциальной энергии)
Для устойчивого равновесия системы необходимо, чтобы
потенциальная энергия ее была минимальной.
Принцип Дирихле сводит условия статического равновесия системы к
условию существования минимума функционала, которым выражается
потенциальная энергия этой системы.
Задача 4. Стержень длины  оперт своими концами и подвержен
действию силы Р, направленной вдоль стержня. Найти уравнение кривой,
форму которой принимает ось прогнутого стержня (кривой упругости).
Обозначим через  линейную плотность стержня, через ds – элемент
изогнутой оси стержня, через  – угол, образованный касательной с осью
Ох , через k – постоянный коэффициент, зависящий от модуля упругости.
Потенциальную энергию элемента стержня в какой-либо его точке,
вызванную упругими силами при изгибе, принимают пропорциональной
квадрату его кривизны в этой точке:
2
k  d 
dU1  
 ,
2  ds 
а для всего стержня соответственно
2
k   d 
U1   
 ds.
2 0  ds 
Элемент длины d величины смещения конца стержня под действием
44
силы Р определяется равенством
d  ds  ds cos  1  cos ds .
Тогда потенциальная энергия, вызываемая нагрузкой Р для элемента d ,
будет dU 2  P1  cos  ds , а для всего стержня

U 2   P1  cos  ds .
0
Таким образцом, полная
определяется интегралом


0
потенциальная
 k    2

    P1  cos  ds .
 2  s 

энергия
стержня
(4.9)
Согласно принципу Дирихле, положение равновесия стержня
определяется условием минимума функционала (4.9). Подынтегральная
функция не содержит независимой переменной s , следовательно, для
уравнения Эйлера можно сразу выписать первый интеграл:
 d  4 P 2 
sin
 c1 .

 
k
2
 ds 
2
(4.10)
Решение уравнения (4.10) выражается эллиптическим интегралом первого
рода. Для упрощении положим, что угол  достаточна мал. Это дает
возможность в уравнении (4.9) приближенно заменить sin  на  , ds на
dx и  на tg  y  . Тогда уравнение (4.10) перепишется в виде
 d  P 2

    c1 .
dx

 k
Продифференцировав обе части (4.10) по x , получим
d d 2 2 P d
2


0
dx dx 2
k
dx
или
d 2 P
   0,
dx 2 k
откуда
P
P
  y   A cos
x  B sin
x.
k
k
2
(4.11)
Следовательно, уравнение изогнутой оси стержня или кривой упругости
будет
45
y
k
P
P 
x  B cos
x  c.
 A sin
P
k
k 
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как формируется вариационный принцип Гамильтона?
2. Получите уравнение движения материальной точки с помощью
принципа Гамильтона.
3. Найдите закон качания маятника с помощью вариационного принципа.
4. Получите уравнение свободных малых поперечных колебаний
однородной струны
5. Сформируйте принцип Дирихле и найдите уравнение кривой
упругости (формы от прогнутого стержня).
46
Глава 5. Разностные модели
Разностные модели возникают при разностной аппроксимации
дифференциальных уравнений, описывающих те или иные процессы.
Кроме того, разностные модели могут быть получены непосредственно из
физических законов (например, законов сохранения количества,
движения, массы, импульса, энергии), положенных в основу вывода
данного дифференциального уравнения.
5.1. Разностная аппроксимации дифференциальных операторов
Пусть D– область изменения переменных X и t:0  x   , 0  t  T .
Разобьем отрезок  0,  точками xi  ihi  0,1,..., N  на N частей, длина
каждой из которых равна h   N . Для отрезка  0, T : t k  k  k  0,1,..., P,
  T P . Множество точек (узлов)  xi , t k  , которые для краткости будем
обозначать i , k  , образуют прямоугольную сетку  h в области D.
Пусть u ( x , t ) – функция, определенная в области D. Значения этой
функции в узловых точках будем обозначать через ui ,k : ui ,k  u xi , t k  .
u
Рассмотрим дифференциальный оператор вида L  . Значение этого
u x
дифференциального оператора в узле (i , k ) можно найти разными
способами, например, с помощью оператора правосторонней разности
(разности вперед)
ui 1,k  ui ,k
u
(5.1)

 O(h),
(i ,k )
x
h
с помощью оператора левосторонней разности (разности назад)
ui ,k  ui 1,k
u
(5.2)
 O(h),
(i ,k ) 
x
h
с помощью оператора центральной разности
u
u
u
i  1, k
i  1, k
(5.3)

 O h 2 .
 
x (i, k )
2h
Справедливость этих формул легко может быть установлена с помощью
разложения значений функции в ряд Тейлора. Докажем, например,
справедливость формулы (5.2). Для этого разложим значение функции и в
узле i  1, k  в ряд Тейлора с центром в точке (i , k ) :

 

ui 1,k  u xi 1 , tk  u xi  h , tk 
u
1  2u
1  3u
2
  h 
  h 
  h 3  ...
 ui ,k 
2
3
x i , k 
2! x i , k 
3! x i , k 
47
Тогда
u
i ,k
i
u
1  2u
1  3u
i 1,k u


h
h2 ...,
2
3
h
x i , k  2! x i , k 
3! x i , k 
где сумма всех слагаемых в правой части, начиная со второго, есть
величина порядка О h , откуда и следует формула (5.1).
Частную производную 2-го порядка
 2u
, как правило, заменяют
x 2 i , k 
следующим разностным оператором:
ui 1,k  2ui ,k  ui 1,k
 2u

 O h2 .
x 2 i , k 
h2
(5.4)
Для оценки функции u x , t  на сетке h введем норму u  max u .
i ,k
i,k
Говоря, что разностный оператор L приближает дифференциальный
оператор L , если для любой функции u x , t  , дифференцируемой
достаточное число раз,
Lu   L u  0 при h  0,   0 ,
если, кроме того, выполняется неравенство
Lu   L u  c h p   q ,


где с– константа, не зависящая от h и  , то порядок приближения
разностным оператором дифференциального оператора равен р по
переменной х и q по переменной t.
5.2.Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений
Рассмотрим один из возможных способов построения разностной
аппроксимации дифференциального уравнения на примере уравнения
теплопроводности при наличии внутреннего распределенного источника
тепла интенсивности f  x , t :
u
 2u
 a 2 2  f x, t 
t
x
Для
получения
0  x  l,
разностного
0  t  T .
уравнения
разностными отношениями: производную
u
t
(5.5)
заменим
производные
в узле сетки
i , k 
правосторонней разностью:
u
u
u
i,k 1 i,k

.
 t i, k 

 2u
Для аппроксимации производной 2 воспользуемся формулой (5.4)
x
48
ui 1,k  2ui ,k  ui 1,k
 2u

.
x 2 i , k 
h2
(5.6.)
В результате получим разностный аналог уравнения (5.5)
ui ,k 1  ui ,k
a2 
(5.7)
 2  ui 1,k  2ui ,k  ui 1,k   f i ,k .

h
В этом уравнении ui ,k 1 – значение функции u x , t  на  k  1 -м слое по
t явным образом выражается через значения функции на k-м слое:


u
   u
 2u  u
u  f
i ,k 1
i 1,k
i ,k
i 1,k  i ,k
i ,k

a 2 
  2  .
h 

Схема (5.7) называется явной. Если производную
u
t
заменить
левосторонней разностью
u u
u
i,k
i,k 1

,
 t i, k 

сохраняя аппроксимацию (5.6) для производной
 2u
, то получим из (5.5)
x 2
разностное уравнение
u u
i ,k
i ,k 1


a2 

u
 2ui ,k  ui 1,k   fi ,k .
h2  i 1,k
Заменяя в этом уравнение k на k  1, получим
u
u
i ,k 1 i ,k


a2 

u
 2ui ,k 1  ui 1,k 1  fi ,k .
h2  i 1,k 1
(5.8)
Уравнение (5.8) не позволяет значение функции u x , t  в узле i , k  1
явно выразить через значения функции на k-м слое и для определения
значений функции на  k  1 -м слое необходимо решать систему линейных
алгебраических уравнений
ui 1,k 1  1  2  ui ,k 1  ui 1,k 1   ui ,k  f i ,k 1.
Схема (5.8) называется неявной.
Умножая обе части уравнения (5.8) на произвольный действительный
параметр  , обе части уравнения (5.7) на 1    и суммируя полученные
выражения, получим разностную схему
u i , k 1  u i , k a 2
 2  u i 1, k 1  2u i , k 1  u i 1, k 1   1   u i 1, k  2u ii, k  u i 1, k  f i , k . (5.9)

h
Параметр  называется весом ( k  1)-го слоя. Так как параметр 
произвольный,
то
уравнение
(5.9)
описывает
фактически
однопараметрическое семейство схем – семейство схем и весами. При
  0 получим отсюда явную схему (5.7), при   1 – неявную схему (5.8).
5.3.Методы построения конечно-разностных схем
49
Для заданного дифференциального уравнения и заданной сетки
конечно-разностный аналог этого уравнения может быть построен
разностными методами. Выделим насколько конструктивных подходов к
построению конечно-разностных аппроксимаций для дифференциальных
уравнений:
 разложение функций в ряд Тейлора;
 интегральный метод;
 интегро-интерполяционный метод.
5.3.1.Разложение функций в ряд Тейлора
Используя разложение функций в ряд Тейлора, можно формально
получать конечно-разностные выражения, удовлетворяющие заданным
условиям.
Пусть, например, требуется построить конечно-разностную
аппроксимацию производной
u
, имеющую погрешность аппрокx i , k 
симации Оh2  , используя лишь значения ui ,k , ui 1,k , ui  2,k . Для этого
разложим функции ui 1,k и ui 2,k в ряд Тейлора с центром в точке i , k  .




u
1  2u
1  3u
2
u
 u xi  h, t  u 
h
h 
h3 ...
2
3
i 1,k
k
i ,k x i , k 
i
,
k
i
,
k
2! x  
3! x  
(5.10)
u
1  2u
1  3u
2
 2h  
 2h 3 ... (5.11)
u
 u xi  2h, t  u 
2h 
2
3
i  2, k
k
i ,k x i , k 
2! x i , k 
3! x i , k 
Сложим умноженное на а уравнение (5.10) с умноженным на b
уравнением (5.11)
u
au
 bui  2, k   a  b u
 a  2b 
h
i 1,k
i ,k
x i, k 

2
3
1
a  4b   u2 i, k h 2  1 a  8b   u3 i, k h 3  ...
2!
x  
3!
x  
Разрешим полученное уравнение относительно
 a  b u  au
 bu
u
i,k
i1,k
i2,k


a  2b h
x i, k 
u
:
x i , k 
(5.12)
1  a  4b   u
1  a  8b   u
h 
h 2  ...

 2
 3
2!  a  2b  x i, k 
3!  a  2b  x i, k 
Сумма слагаемых в правой части этого равенства, содержащих
производные, имеет порядок О h . Для получения заданного порядка

2
3
50
u
положим a  4b  0 , откуда a  4b .
x i , k 
аппроксимации производной
Тогда равенство (5.12) примет вид
 3ui ,k  4ui 1,k  ui  2,k
u

 Oh2 .
x i , k 
2h
(5.13)
Это и есть требуемая аппроксимация производной. Аналогично могут
быть получены и рассмотренные выше разностные аппроксимации
производных (5.1), (5.2), (5.3).
5.3.2.Интегральный метод
Конечно - разностные аналоги уравнений в частных производных
могут быть построены путем использования интегрального метода,
основанного на интегрировании этих уравнений. Рассмотрим уравнение
2
u
2  u
a
.
(5.14)
t
x 2
Проинтегрируем это уравнение по t и x в окрестности узла i, k 
h
h
xi 

t k   xi  2
2  t k 1

u 
 2u 

2

 h  t t dt dx  a t   h x 2 dx dt .

k
xi   k
 xi  2

2
Вычислив внутренние интегралы, получим
h
xi 
2
 u x, t
k
    u  x, t k dx  a 2
h
xi 
2
t k 
 u 
h  u 
  x  x  2 , t   x  x

i
tk
y0
i
h 
 , t dt.
2 
(5.15)
y
~
~
 f  y dy  f  y  y , где y – некоторое
значение y из отрезка  y ; y  y  , f  y  – непрерывная функция на этом
y   y ; y  y  теорема о среднем
отрезке. Для производного значения ~
Согласно теореме о среднем

y0
0
0

0

0
будет выполняться лишь приближенно.
Поэтому
h
xi 
2
 u x, t
h
xi 
2
t k 

tk
k
x  xi 
    u  x, t k dx  u  xi , t k     u  xi , t k h; ~
(5.16)
h  u 
h 
h
h
 u 
 u 
 u 

 x  xi  2 , t   x  xi  2 , t  dt   x  xi  2 , t k     x  xi  2 , t k    . (5.17)






 
 
 ~t  t k
   t k 1 
Очевидно, что
u  xi  h, t k     u  xi , t k    
u
 x x, t   dx 
xi h
k
xi
51
 u xi , t k    
u 
h

 xi  , t k   h,
x 
2

откуда
h


u  xi  , t k     u  xi , t k   
u 
h
2



.
 xi  , t k    
x 
2
h

Аналогично
xi
u
x, tk   dx 
uxi , tk     uxi1 , tk     
xi 1 x
 u  xi 1 , t k    
(5.18)
u 
h

 xi  , t k    ,
x 
2

откуда
u 
h
 u xi , tk     u xi 1 , tk   
.
 xi  , tk    
x 
2
h

(5.19)
Итак, с учетом (5.16), (5.17), (5.18), (5.19) уравнение (5.15) примет вид
ux , t   ux , t h  a
i
k 1
i
k
2
 u xi1 , tk 1   2u xi , tk 1   u xi1 , tk 1 


h
или
ui ,k 1  ui ,k
 2ui ,k 1  ui 1,k 1 
u
 a 2  i 1,k 1
.

h2


Это неявная схема (5.8). Если же при вычислении интеграла в первой
части (5.15) по теореме о среднем взять ~
t  t k , то получим явную схему
(5.7)
ui ,k 1  ui ,k
 u  2ui ,k  ui1,k 
 a 2  i1,k
2
.

h


5.3.3. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса)
Рассмотрим одномерное стационарное уравнение теплопроводности с
переменным коэффициентом теплопроводности  x 
d 
du 



x
 q ,
(5.20)
0  x  ,
dx 
dx 
которое в случае непрерывно дифференцируемой функции  x  можно
переписать в виде
d 2u d du
 x  2 
 q ,
(5.21)
dx
dx dx
52
где q – линейная плотность мощности внутреннего источника теплоты.



Вводя равномерную сетку  h   xi  ih, h  , i  0,1,..., N  и следующие
N


аппроксимации для входящих в это уравнение производных
ui  1  ui  1 d 
i  1  i  1 d 2 u
u
 2 ui  ui  1
du

,

,
 i1
,
i
i


2
dx
2h
dx
2h
dx
h2


где u  u x ,    x , получим разностную схему
i
i
i
i
u  2ui  ui1 i1  i1 ui1  ui1
(5.22)
i i1

 q ,
h2
2h
2h
аппроксимирующую дифференциальное уравнение (5.20) со вторым
порядком по h .
Отметим,
что
разностная
схема
(5.22)
соответствует
дифференциальному уравнению (5.20), полученному на основе записи
закона сохранения энергии. Обычно к подобным схемам предъявляют
требование выполнения закона сохранения и для разностного решения.
Очевидно, что для точного непрерывного решения закон сохранения
выполняется для произвольной области тела. Разностное решение ищется
в дискретных точках тела. Если разбить тело на такое же число
элементарных объемов, каждый из которых будет включать одну точку
(узел), и потребовать выполнения закона сохранения как для
произвольного элементарного объема, так и для любой области,
составленной из этих элементарных объемов, то закон сохранения будет
выполняться для произвольной области тела. В рассматриваемом случае
последнее требование будет выполнено, если обеспечить условие
согласования тепловых потоков для любых соседних объемов,
заключающееся в равенстве значений протекающих через общую границу
тепловых потоков.
Таким образом, обычно требуют точного выполнения закона
сохраненря при конечном разбиении расчетной области, а не только при
стремлении максимального размера элементарной области к нулю. Это
позволяет получать правдоподобные решения даже на грубых сетках.
Разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения,
называют консервативными схемами.
Покажем, что разностная схема (5.22) не является консервативной.
Для этого разобъем отрезок 0,  на элементарные объемы, выбрав в
качестве границ элементарных объемов середины отрезков, образованных
соседними узлами сетки  h . При этом элементарными объемами будут
отрезки
h
h  h 
 h 
0
;
,
x

;
x

,...,   ;  .
1
1
 2  
2
2   2 
53
Рис.15
Для точного решения закон сохранения для элементарного объема
h
h

, как следует из (5.21), записывается в виде
x

;
x

i
i

2
2 

du
dx
h
xi 
2

du
dx
h
xi 
2

h
xi 
2

q dx
(5.23)
h
xi 
2
или
h 
h

(5.24)
 q xi    q xi    q  h,
2 
2

и условие согласования выполняется автоматически, поскольку поток,
протекающий через общую границу двух объемов, равен для любого из
du
них значению 
в их общей граничной точке.
dx
Для разностного решения закон сохранения записывается также в
виде (5.24), но значения тепловых потоков должны быть теперь выражены
через разностное решение.
Для получения разностного аналога соотношения (5.23) перепишем
уравнение (5.22) в виде
u  u   ui  ui1  i 1   ui1  ui   ui  ui1 
 i i 1 i

 q h ,
h
2
2h
откуда получим уравнение
    u  u  
    u  u 

 i  i 1 i 1  i i 1   i  i 1 i 1  i 1 i  q h ,
4
h
4
h




(5.25)
  i1  и   i1  i1  являются оценками
в котором члены i  i 1
i
4
4
h
h


значений   xi   и   x i   . Первое слагаемое в левой части (5.25)
2
2


соответствует взятому с обратным знаком потоку от i -го элементарного
h
h

объема через границу xi  т.е.  q i   xi   , второе – потоку от i -го
2
2

h
h

элементарного объема через границу xi  , т.е. q i   xi   . Соотношение
2
2

i 1
54
(5.25) записано для элементарного объема с центром в точке xi . Для
соседнего левого элементарного объема с центром в точке xi 1 оно будет
иметь вид
    u  u  
    u  u 

(5.26)
 i 1  i i 2  i 1 i 2   i 1  i i 2  i i 1  q h .
4 
h
4 
h


Аналогично (5.25) первое слагаемое в левой части соответствует
взятому с обратным знаком потоку, от i  1 -го элементарного объема через
h
границу xi 1  , второе - потоку от i  1 -го элементарного объема через
2
h
h

границу xi 1  , т.е. q i 1  xi 1   . Видно, что для схемы (5.25) не
2
2

выполняется условие согласования тепловых потоков, т.к. значение потока
h
h
через границу xi   xi 1 
из (5.25) не совпадает с соответствующим
2
2
значением из (5.26):
    u  u  
  i2  ui  ui1 

  i  i1 i1  i i1   i1  i

4
h
4 
h



в общем случае произвольной функции  x  . Следовательно, разностная
схема (5.22) не является консервативной.
Очевидно, что условие согласования для тепловых потоков будет
h
выполнено, если тепловой поток на границе x  записать так:
i 2
h
h
h  u  ui 1 



q i 1  xi1    q i   xi      xi   i
.
(5.27)
2
2
2
h



Представляя аналогичным образом поток на правой границе i -го
элементарного объема, получим вместо (5.25) разностное уравнение
h  u  u  
h  u  u 

(5.28)
  xi   i i1    xi   i1 i  q h .
2
h
2
h


Запишем это уравнение иначе
1  
h
h   
h
h   (ui  ui 1 )



x



x



x



x













i
i
i
i
2  
2
2   
2
2  
h


1  
h
h   
h
h   (u  u )


    xi      xi        xi      xi    i 1 i  q h,
2  
2
2   
2
2  
h


откуда
55
1 
h
h  (u  ui )  (ui  ui 1 )

   xi      xi   i 1

2 
2
2 
h

1 
h
h  (u  ui )  (ui  ui 1 )

   xi      xi   i 1
 q h,
2 
2
2 
h

теперь окончательно получаем
h
h


 x     x   u
 2u  u
 i 2
 i 2   i 1
i
i 1 
2
h
h
h


 x     x   u
i 2
i 2  i  1  ui  1




 q .
(6.29 )

h
2h
Таким образом, вместо схемы (5.22) получили схему (5.29), обладающую
свойством консервативности.
Рассмотренный пример показывает, что консервативность схемы не
обеспечить без принятия специальных мер. Поэтому в большинстве
случаев разностные уравнения получают не из аппроксимации операторов
дифференциального уравнения, а из непосредственной аппроксимации
самих соотношений теплового баланса, записанных для элементарных
объемов. При этом для тепловых потоков на границах используются
выражения, обеспечивающие выполнение условий согласования. Этот
способ построения консервативных разностных схем называется интегроинтерполяционным методом или методом баланса.
Покажем методику построения разностной схемы с помощью
интегро-интерполяционного метода для уравнения (5.20). Уравнение


теплового баланса для внутренней элементарной i-й ячейки  x 1 , x 1  , где
 i 2 i 2 
h
x 1  xi  , имеет вид
i
2
2
 qi1/ 2  qi1/ 2  q h,
(5.30)
du
где qi 1 / 2   ( x)
– тепловые потоки на границах.
dx xi 1 / 2
Рассмотрим способы приближенного вычисления потоков qi1 / 2 . Один
из них, удовлетворяющий условию согласования, был уже рассмотрен
выше, см. (5.28).
u  ui 1
u  ui
(5.31)
qi 1 / 2    xi 1 / 2  i
, qi 1 / 2    xi 1 / 2  i 1
.
h
h
Это приближение основано на предположении о малом изменении
56
du
на соответствующих интервалах. Действительно, из
dx
du
du
q ( x)
закона Фурье имеем q( x)   ( x)
или
. Интегрируя это

dx
dx
 ( x)
равенство по отрезку xi1 ; xi , получим
xi
xi
du
q x 
x dx dx  ui  ui1   x  x  dx .
i 1
i 1
du
; x , то мало изменяется и
Если
мало изменяется на отрезке x
i 1 i
dx
q 1
i
q x 
q x 
отношение
, поэтому положив
 2 на этом отрезке, получим
 x   1
 x 
производной


i
q
ui  ui 1  
i

i
1
2
,
откуда
q
1
i
2
1
2
 
1
i
2
2
ui  ui 1
,
h
что
соответствует
приближению (5.31).
Приближение (5.31) неприменимо в случае резкого изменения
коэффициента теплопроводности  x  , например, при наличии точки
разрыва у  x  на рассматриваемом интервале. Поэтому целесообразно
строить приближение для потока, исходя из предположения о малом
изменении потока q  x  на соответствующих интервалах.
Очевидно, что при малых h поток q  x  мало изменяется даже в
случае разрыва функции  x  . Из закона Фурье имеем
xi
xi
q x
du


dx .
dx

u

u


i
i 1




x
dx
xi  1
xi 1


Предполагая, что q x мало меняется на отрезке xi 1 ; xi , положим
q( x)  q 1 , тогда получим
i
2
ui  u
i1
 q
xi
1
i
2
dx
.

x  x 
i 1
Таким образом, тепловые потоки через границы внутренней
элементарной i -й ячейки запишутся как
u
~ u
~ u  ui1
q 1   1 i1 i , q 1   1 i
,
(5.32)
i
i
i
i
h
h
2
2
2
2
где
57
1
1
xi
xi 1




dx
dx
~
~
 ,  1  h 

 1  h 
i
i





x

x




x
x
2
2
 i

 i 1

– эффективные теплопроводности отрезков
и
xi 1; xi
xi ; xi 1
соответственно. Очевидно, что приближение (5.32) удовлетворяет
условию согласования потоков. Подставляя выражения (5.32) в уравнение
теплового баланса (5.30), получим следующее разностное уравнение
~ u  u ~ u  ui 1
 1 i 1 i   1 i
 q h.
i
i
h
h
2
2
Разностные уравнения для элементарных объемов, прилегающих к
границам, строятся с учетом заданных граничных условий.




6.4. Явная и неявная разностные схемы для уравнения теплопроводности.
Устойчивость разностных схем
Рассмотрим,
следую
краевую
задачу
для
уравнения
теплопроводности. В области 0  x   , 0  t  T требуется найти
решение уравнения
u  2 u

,
(5.33)
t x 2
удовлетворяющее начальному условию


x
,
0

x


2
(5.34)
u  x,0   u 0  x   

  x,  x  

2
и граничным условиям
u 0, t   u , t   0.
(5.35)
Выпишем явную разностную схему – совокупность разностных
уравнений, аппроксирующих основное дифференциальное уравнение
(5.33) во внутренних узлах сетки и начальное (5.34) и граничные условия
(5.35) – в граничных узлах сетки:
ui ,k 1  ui ,k ui 1,k  2ui ,k  ui 1,k


h2

T

(5.36)
 i  1,2,..., N  1; k  0,1,..., P  1; h  ;    ;
N
P

u0,k  0, u N ,k  0 k  1,2,..., P  ;
ui , 0  u0 xi  i  0,1,..., N .
Эта схема представляет собой систему  N  1   P  1 линейных
алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу
58
неизвестных. Решение такой системы находится по слоям. Решение на
нулевом слое задано начальными условиями ui , 0  u0 xi . Если решение
ui ,k ; i  0,1,..., N на k -м слое уже найдено, то решение ui ,k 1 на k  1-ом
слое находится по явной формуле
(5.37)
ui ,k 1    ui1,k  2ui ,k  ui1,k   ui ,k
i  1,2,..., N  1 ,
а значения u0,k 1 ; u N ,k 1 доопределяются из граничных условий:
u0,k 1  0, u N ,k 1  0.
Неявная разностная схема, аппроксирующая краевую задачу (5.33)–
(5.35), имеет вид
ui ,k 1  ui ,k ui 1,k 1  2ui ,k 1  ui 1,k 1


h2
i  1,2,..., N  1; k  0,1,..., P  1; 
(5.38)
u0,k 1  0, u N ,k 1  0 k  0,1,2,..., P  1,
ui ,0  u0 xi , i  0,1,..., N .
Решение системы (5.38) находится, как и в случае явной схемы, по
слоям, начиная с k  0 . Однако теперь, в отличие от явной схемы, для
нахождения ui ,k 1 по известным значениям ui ,k требуется решить систему
уравнений
ui1,k 1  1  2 ui ,k 1  ui1,k 1   Fi ,k
(5.39)
i  1,2,..., N  1
uo,k 1  0, u N ,k 1  0,
где величины Fi ,k  ui ,k – считаются известными: при k  0 – из
начальных условий, при k  1 – из решения системы на предыдущем слое.
Эта система, содержащая N  1 уравнение с N  1 неизвестными
u0,k 1 ,...,u N ,k 1 , решается последовательно по слоям P раз для
k  0,1,..., P  1 .
Система (5.39) представляет собой частный случай систем линейных
алгебраических уравнений – систему с трехдиагональной матрицей, т.е. с
матрицей, все элементы которой, не лежащие на главной и двух побочных
диагоналях, равны нулю. Для численного решения таких систем
применяется эффективный вариант метода последовательного исключения
неизвестных – метод прогонки.
Проведем анализ устойчивости разностных схем (5.36) и (5.38). Для
этого воспользуемся так называемым методом гармоник, применимым к
разностным схемам с постоянными коэффициентами и позволяющим
легко находить необходимые условия устойчивости разностных схем.
Рассмотрим разностное уравнение, входящее в явную схему (5.36).
Будем искать частные решения этого уравнения, имеющие вид
59
ui ,k    q k e jih ,
(5.40)
где j – мнимая единица,  – любое действительное число, q – число,
подлежащее определению. Подставляя (5.40) в разностное уравнение
схемы (5.36) и сокращая на e jih , получим:
jh
 jh
q 1 e
2e

,
2

h
откуда найдем
h
 e jh  e  jh

(5.41)
q  1  2 
 1  1  2 cos h  1  1  4 sin 2
.
2
2


Начальные условия u    e jih , соответствующие решениям вида
i,0
(5.40) (их называют гармониками), ограничены, т.к.
   e jih  cosih  j sin ih  1.
i,0
Если для некоторого  множитель q станет по модулю больше единицы,
то решение вида (5.40) будет неограниченно возрастать при k   . В
этом случае разностное уравнение называется неустойчивым. Если же
q  1 для всех  , все решения вида (5.40) ограничены при любом k и
разностное уравнение называется устойчивым.
Для разностного уравнения схемы (5.36) неравенство q  1
1
выполняется согласно (5.41) при всех  тогда и только тогда, когда   ,
2
1
т.е., когда   h 2 . Разностные схемы, устойчивые лишь при выполнении
2
некоторого условия на отношение шагов по пространственным
координатам
и
времени,
называются
условно
устойчивыми.
Следовательно, явная схема (5.36) условно устойчива, причем условие
 1
 1
устойчивости имеет вид
явная схема (5.36)
 . При

2
h
2
h2 2
неустойчива и в этом случае найти решение по формулам (5.37)
практически невозможно, так как погрешности, внесенные в начальный
момент времени, будут неограниченно возрастать со временем.
Недостатком условно устойчивых схем является то, что для
обеспечения условия их устойчивости шаг по времени  приходится
брать слишком малым.
Рассмотрим теперь разностное уравнение, входящее в неявную
схему (5.38). Будем искать частные решения уравнения, имеющие вид
1

2 h 
(5.40). Тогда получим, q  1  4 sin
 , откуда вытекает, что q  1
2 

u
60
при любых  ,  , h . Следовательно, схема (5.38) устойчива при любых
шагах  и h . Такие схемы называются абсолютно устойчивыми. Таким
образом, неявная схема (5.38) абсолютно устойчива, что является
основным преимуществом неявных схем. Теперь уже нет необходимости
брать шаг  слишком малым – величина шагов сетки  , h определяется
теперь необходимой точностью расчетов, а не соображениями
устойчивости.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Можно ли получить разностную аппроксимацию для производной
 2 u  x, t 
имеющую погрешность Oh 3 , используя лишь значения
2
i ,k 
x
ui ,k , ui 1,k , ui 2,k , ui 3,k .
2. Найти порядок апроксимации производной
u  x, t 
t
i ,k 
разностным
 11ui ,k  18ui ,k 1  9ui ,k  2  2ui ,k 3
.
6
Какие разностные схемы относятся к явным схемам, неявным схемам?
В чем состоят основные преимущества и недостатки явных и неявных
схем?
T
T  2T
V

Записать явную и неявную схему для уравнения u
, где
t
x x 2
u x, t  , V  x, t  заданные функции.
ui ,k 1  12 ui 1,k  ui 1,k 

Установить, является ли разностная схема
выражением
3.
4.
5.
6.

ui 1,k  ui 1,k
 0 условно устойчивой, абсолютно устойчивой или
2
неустойчивой.
7. Какие разноликие схемы называются консервативными. В чем
заключается преимущество использования консервативных схем.
8. Записать консервативную разностную схему для уравнения
T
T  
T 
u
V
   x   , где u x, t  , V  x, t  ,  x  – известные
t
t x 
x 
функции.

61
Тесты
1.В чем заключается сущность моделирования ?
а) – Это замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью) и
фиксация или изучение ,,свойств оригинала путем исследования свойств
модели.
б) – Моделирование-это процесс физического познания реальной системы.
в) – Моделирование-это процесс описания реальной системы с
использованием средств вычислительной техники.
г) – Моделирование- это познание физических процессов.
2. Что понимается под математической моделью ?
а) – Математическая модель-это описание реального объекта с помощью
дифференциальных ,,уравнений.
б) – Математическая модель это модель разработанная математиком.
в) – Представление изучаемого явления, процесса или объекта с помощью
математических ,,соотношений и формул.
г) – Математическая модель-это описание объекта с помощью систем
уравнений.
3. С чего начинается процесс моделирования
а) – Процесс моделирования начинается с разработки программы.
б) – Процесс моделирования начинается с формализации объекта.
в) – Моделирование начинается с выбора средств моделирования.
г) – Правильных ответов нет.
4. Какие виды математических моделей Вы знаете ?
а) – Обобщенные, агрегативные, кусочно-линейные, стохастические сети,
62
системы массового ,,обслуживания, непрерывно-детерминированные,
случайные
б) – Стохастические, автоматные, дискретно-детерминистические,
системы,массового ,,обслуживания.
в) – Стохастические, временные, табличные, автоматные; системы
массового обслуживания.
г) – Массовые, табличные, электрические
5. Какие методы используются для исследования математической модели.
а) – Аналитические, численные, дифференциальные, графические.
б) – Аналитические, имитационные, визуальные, графические.
в) – Аналитические, численные, имитационные, качественные
г) – Интегральные и асимптотические.
6. Что понимается под аналитическим методом исследования
математической модели ?
а) – Исследования объекта с помощью математического анализа
б) – Преобразование математической модели к виду явных аналитических
зависимостей между характеристиками и параметрами объекта и внешних
воздействий.
в) – Формульное описание структуры объекта.
г) – Этот- метод статического моделирования.
7. Сущность численных методов исследования математической модели.
а) – Математическая модель, т.е.система уравнений или
дифференциальные уравнения ,,решаются численными (итерационными)
методами.
б) – Результатом исследования систем численными методами являются
множества значений искомых ,,величин для конечного набора значений
параметров системы и входных переменных.
в) – Метод для анализа больших систем.
г) – Реальный объект имитируется на вычислительной машине.
8. Уравнение Эйлера для функционала
J ( y )   y 2  12 xydx
1
0
имеет вид:
а) y   6 x  0 ;
б) 2 y   12 x ;
в) y   12 x  0
63
г) y   12 x  0
9. Уравнение Эйлера-Пуассона для функционала
1
J ( y )   (240 xy  y 2 )dx
0
имеет вид:
а) y 4   120 x ;
б) 2 y 4   120 x  0 ;
в) 2 y 4   240 x  0
г) y ( 4)  12 x  0
.
10. Система уравнений Эйлера для функционала
 /2
J ( y1 , y 2 ) 
 y 
1
2

 y 2  2  2 y1 y 2 dx .
2
0
имеет вид:
а) 2 y2  y1 , y1  y2  0 .
б) y2  y1  0 , y1  2 y2  0 .
в) y2  y1  0 , y1  y2  0 ?
г) y2  y1  0 , y1  2 y 2  0 ?
11. Условие трансверсальности задачи с подвижными границами:
J ( y) 
x1

1  y 2 dx; y ( x0 )  x02  2 , y( x1 )  x1 .
x0
имеет вид:

а)  1  y 2  (2 x  y )


б)  1  y 2  (2 x  y )


в)  1  y 2  ( x  y )


г)  1  y 2  ( x  y )


0,

1  y 2  x x
0
y

y
2
 1  y   ( 2  y )
1  y 2


 0.

 x x
1


y 
 0 ,  1  y 2  (1  y )
 0.


1  y 2  x x
1  y 2  x  x

0
1
y

 0,

1  y 2  x  x
0

y
2
 1  y   (1  y )
1  y 2


 0.

 x  x
1

 0,

1  y 2  x  x

y
 1  y  2  (1  y )

1  y 2

 0.

 x  x
1
y
y
0
12. Условие трансверсальности задачи с подвижными границами:
 /2
J ( y) 
 ( y
2
 y 2 )dx  y 2 (0)  2 y( / 2) .
0
имеет вид:
64
а) 2 y (0)  2 y (0)  0 , 2 y (0)  2 y (0)  0 ;
б) y (0)   y (0)  0 , y (0)   y (0)  0 ;
в) 2 y (0)  y (0)  0 , 2 y (0)  2 y (0)  0 ?
г) 2 y (0)  y (0)  0 , 2 y (0)  2 y (0)  0 ?
13. Функция Лагранжа данной задачи
1


2
2
J ( y1 , y 2 )   y1  y 2 dx; y1 (0)  y2 (0)  0 , y1 (1)  2ch1, y2 (1)  2sh1 , y1  y2  0 имеет
0
вид:
а). L  y12  y 2 2   ( y1  y 2 ) ;.
б). L  y12  2 y 2 2   ( y1  y 2 ) ;.
в). L  2 y12  y 2 2   ( y1  y 2 ) ?
г). L  2 y12  y 2 2   ( y1  y 2 ) ?
14. Решение вариационной задачи
J ( y )   y 2  12 xydx  min , y (0)  y (1)  0
1
0
а)
б)
в)
в)
имеет вид:
y  x3  x ;
y  x3  x ;
y  x3  x ;
y  x3  x.
65
Список литературы
1. Аминов Н.М., Гараев К.Г., Овчинников В.А. Элементы теории поля и
уравнений математической физики. –Казань: КАИ, 1991. –56 с.
2. Ардова Л.В., Кирпотина Н.В. Вариационное исчисление в задачах и
упражнениях. М: Изд-во МАИ, 1975, 47 с.
3. Ашманов С.А. Линейное программирование. -М.: Наука, 1981. 340 c.
4. Аэромеханика сверхзвукового обтекания тел вращения степенной
формы. // Под редакцией Г.Л. Гродзова: М.: Машиностроение, 1975.
184 с.
5. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М., Л.:
Физматгиз, 1961. 228 с.
6. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование
развивающихся систем. -М.: Наука, 1983. - 350 с.
7. А.В Дульнев, Г.Н. Парфенов, В.Г. Сигалов. Применение ЭВМ для
решения задач теплообмена. –М.: Высшая школа, 1990. -207 с.
8. Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. Математическое описание
элементов экономики. -М.: Физматлит, 1994. 416 с.
9. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. -М.:
Мир, 1982. 216 с.
10. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. -М.: Энергия,
1972. 376 с.
11. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. – М.:
Изд-во МГУ, 1983 г.
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6.
Гидродинамика. -М.: Наука,1986.-735 с.
13. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.–М.: Наука,1978.-736 с.
14. Ляшко И.И., Макаров В.Л. Методы вычислений. –Киев: Вища школа,
1977. –408 с.
66
15. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. -М.:
Наука, 1981. 488 с.
16. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М.: Наука,
1971. 312 с.
17. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Наука.
–1994.
18. Пешель М. Моделирование сигналов и систем. М.: Мир, 1981.
19. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. -М.: Сов.
радио, 1977. 304 с.
20. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. –М.: Наука, 1989. 616 с.
21. Слойер К. Математические фантазии. -М.: Мир, 1993. 184 с.
22. Снапелев Ю.М., Старосельский В.А. Моделирование и управление в
сложных системах. М.: Сов. радио. 1974.
23. Тумашев Г.Г., Филатов Е.И. Гидромеханика. Ч.1. – Казань: КГУ,
1975. –108 с.
24. Хейз У.Д. Формула давления Ньютона. // Теория оптимальных
аэродинамических форм. М.: Мир, 1969. С. 216-240.
25. Эндрюс Дж., Мак-Лоун Р. (ред.) Математическое моделирование. М.: Мир, 1979. 278 с.
26. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. Качественная теория с приложениями. -М.: Мир, 1986. 244
с.
27. Дивяков О.Г., Сиразетдинов Т.К. Об оптимальном управлении
пограничным слоем. - Известия вузов. Авиационная техника, 1969,
№3.
28. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными
параметрами. -М.: Наука, 1977. 480 с.
29. Гараев К.Г. К задаче оптимального управления трением в
ламинарном пограничном слое несжимаемой жидкости. - Известия
вузов. Авиационная техника, 1981, №2.
30. Гараев К.Г., Соловьев В.В. Об одной оптимальной задаче
аэродинамики пограничного слоя. - Межвузовский сб.: Гидрогазодинамика летательных аппаратов и их систем, Куйбышев, КуАИ, 1984.
41-46 с.
31. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т.1. - М.:
Мир, 1991. 504 с.
32. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т.2. - М.:
Мир, 1991. 552 с.
33. Основы научных исследований : учебник для вузов / под ред.
В. И. Крутова и В. В. Попова. – М. : Высшая школа, 1989. – 400 с.
34. Комашинский, В. И. Системы подвижной радиосвязи с пакетной
передачей информации. Основы моделирования / В. И. Комашинский,
А. В. Максимов. – М.: Горячая линия – Телеком, 2007. – 176 с.
67
35. Сизиков, В. С.
Устойчивые
методы
обработки
результатов
измерений : учебное пособие / В. С. Сизиков. – СПб. : СпецЛит, 1999.
– 240 с.
36. Тихонов, А. Н. Вводные лекции по прикладной математике : учебное
пособие / А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров. – М. : Наука, 1984. – 190 с.
37. Математическое моделирование систем связи : учебное пособие/ К. К.
Васильев, М. Н. Служивый. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 170 с.
Введение………………………………………………………………...3
1. Понятие математической модели и требования, предъявляемые
к ним ………………………………....……………………………..7
1.1. Понятие математической модели…….…………………….……..7
1.2.Общая схема применения математики.............................................8
1.3 Множественность и единство моделей…………………………...9
1.4. Адекватность и простота математической модели……………...10
Контрольные вопросы………………………………………………….11
2.Типы математических моделей и их построение………………......13
2.1. Структурные и функциональные модели……………………......13
2.2. Дискретные и непрерывные модели………………………..........14
2.3. Линейные и нелинейные модели. Линеаризация моделей…......16
2.4. Детерминированные и вероятностные модели…………….........18
2.5. Построение математической модели……………………….........19
2.6. Понятие о вычислительном эксперименте………………………23
Контрольные вопросы…………………………………………………25
3.Введение в вариационное исчисление………………………..........26
3.1. Простейшая задача вариационного исчисления…………...........27
3.2. Основная лемма вариационного исчисления……………............28
3.3. О достаточном условии существования слабого экстремума.....29
3.4. Простейшая задача с незакрепленными (подвижными)
концами..................................................................................................33
3.5. Вариационные задачи с несколькими независимыми
68
переменными…………………………………………………………...36
3.6. Прямые методы вариационного исчисления…………….......…..37
3.7. Понятие о методе Канторовича………………………......…........39
3.8.Обратная задача вариационного исчисления.................................40
Контрольные вопросы…………………………………………………42
4. Вариационные принципы…………………………………………...43
4.1. Принцип Гамильтона. …………………………………....…….....43
4.2. Принцип Дирихле (принцип минимума потенциальной
энергии)....................................................................................................47
Контрольные вопросы……………………………………………….....49
5. Разностные модели.............................................................................68
5.1. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов......68
5.2. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений.......69
5.3. Методы построения конечно-разностных схем............................70
5.3.1. Разложение функций в ряд Тейлора...........................................71
5.3.2.Интегральный метод.....................................................................72
5.3.3. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса)................73
5.4. Явная и неявная разностные схемы для уравнения
теплопроводности. Устойчивость разностных схем…………...........79
Контрольные вопросы…………………………………………………82
Тесты…………………………………………………………………..123
Список литературы...............................................................................127
69