Вопросы к экзамену для 1-го курса по математике в весеннем

Вопросы к экзамену для 1-го курса по математике в весеннем семестре.
Для студентов всех специальностей АФ и ФПМиТФ.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
1. Функция двух переменных. Ее геометрическое изображение. Линии уровня.
2. Функция трех переменных. Поверхности уровня.
3. Поверхности второго порядка.
4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Точки разрыва. Свойства функций,
непрерывных в ограниченной замкнутой области.
5. Частные производные I-го порядка и их геометрический смысл.
6. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования
смешанных производных (без доказательства).
7. Полный дифференциал функции и его приложение к приближенным вычислениям.
Дифференциалы более высоких порядков.
8. Дифференцирование сложной функции. Полная производная. Инвариантность формы полного
дифференциала.
9. Дифференцирование неявной функции.
10. Скалярное поле. Производная по направлению.
11. Градиент скалярного поля и его связь с производной по направлению.
12. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
13. Формула Тейлора для функции двух переменных.
14. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия.
15. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.
16. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Неопределенный и определенный интегралы
1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
2. Основные методы интегрирования: методы разложения, подведения под знак дифференциала,
замены переменной, интегрирования по частям.
3. Интегрирование рациональных дробей. Выделение целой части в неправильной дроби, разложение
правильной дроби на простейшие методом неопределенных коэффициентов, интегрирование простейших
рациональных дробей.
4. Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы от функций вида sinmx.sinnx,
sinmx*cosnx, cosmx*cosnx. Универсальная тригонометрическая подстановка.
5. Интегрирование иррациональных функций вида R( x, ax  b ), R( x, (ax  b) /(cx  d ) ).
Использование тригонометрических подстановок при интегрировании выражений
 R( x,
a 2  x 2 dx ,  R( x, a 2  x 2 )dx,  R( x, x 2  a 2 )dx,
 R( x,
ax 2  bx  c )dx.
6. Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Теорема существования (без
доказательства). Свойства определенного интеграла, теорема о среднем.
7. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена
переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегралы от четных и нечетных
функций.
8. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Вычисление площади
плоской фигуры в декартовых и полярных координатах. Объем тела с заданным поперечным сечением.
Длина дуги кривой. Площадь поверхности вращения.
9. Несобственные интегралы (от разрывных функций и с бесконечными границами). Признаки
сходимости несобственных интегралов. Интегральный признак сходимости числовых знакопостоянных
рядов.
10. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Методы прямоугольников,
трапеций, парабол (Симпсона). Вычисление интегралов с помощью рядов.
Кратные и криволинейные интегралы
1. Двойной интеграл как предел интегральной суммы. Теорема существования. Геометрический
смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Среднее значение функции в области.
2. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах. Замена переменных в
двойном интеграле.
3. Приложения двойного интеграла к решению геометрических и физических задач. Нахождение
объемов тел и площади поверхности. Вычисление статических моментов, моментов инерции и центра
тяжести плоской фигуры.
4. Тройной интеграл и его свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
5. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и
сферических координатах. Приложения тройного интеграла: моменты инерции тела, центр тяжести и
статические моменты.
6. Векторное поле. Задача о работе. Криволинейный интеграл 2-го рода. Теорема существования,
свойства и вычисление. Применение криволинейных интегралов 2-го рода.
7. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования (на
плоскости). Отыскание первообразной по полному дифференциалу. Криволинейный интеграл по длине
дуги (1-го рода).
Элементы теории векторного поля
1. Векторное поле. Векторные линии и трубки. Поток вектора через поверхность. Дивергенция
вектора. Формула Остроградского-Гаусса.
2. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса. Потенциальное поле. Независимость
криволинейного интеграла от пути интегрирования. Определение потенциала по заданному векторному
полю.