СД.Р.2. Мат теория поля
advertisement
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет» (МГПУ) УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙКОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ СД.Р.2 – МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности 050201.00 – Математика с дополнительной специальностью «Информатика» Утверждено на заседании кафедры математического анализа и методики преподавания математики физико-математического факультета (протокол №___от_________200_ г.) Зав. кафедрой _______________________________ 1.1 Автор программы: доцент Мартынов О.М. 1.2 Рецензенты: доцент, кандидат физ.-мат. наук Зотиков С.В., к.т.н., профессор кафедры естественно-математического образования МОИПКРО Бродский И. Л. 1.3 Пояснительная записка: Цели и задачи: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения математических методов. Все эти методы должны базироваться на прочной основе математических дисциплин. В профессиональной подготовке физика курс занимает особое положение. Данным курсом предусматривается изучение дифференциального и интегрального исчислений функции одной переменной, дифференциального и интегрального исчислений функций многих переменных, элементов теории поля, теории рядов, обыкновенных дифференциальных уравнений, функций комплексного переменного, элементов функционального анализа, вариационного исчисления и оптимального управления и применение изученного на практике, используя методы математического моделирования. Данный курс дает основу для дальнейшего изучения таких дисциплин, как теория вероятностей, математическая статистика, линейная алгебра и аналитическая геометрия, методы математической физики, теоретическая физика. Данный курс знакомит студентов с прикладными аспектами математики, позволяет показать связь математики с решением физических задач. Главная цель курса – научить студента основам математической культуры, необходимой для научного обоснования курса физики, сформировать практические навыки решения задач. Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами уравнений математической физики, информатики, физики. Программа курса составлена на основе Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 050201.00 – Математика с дополнительной специальностью «Информатика». В результате изучения курса студенты должны знать: основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины, доказательства теорем. должны уметь: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели физических задач, приводить их к нужному виду, выбирать и реализовывать наиболее рациональный метод решения поставленной задачи. 1.4. Извлечение из ГОС ВПО векторный анализ и элементы теории поля; гармонический анализ; дифференциальные уравнения; уравнения математической физики; функции комплексного переменного; численные методы; основы вычислительного эксперимента; элементы функционального анализа; вероятность и статистика: теория вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных; вариационное исчисление и оптимальное управление. 2 800 1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы № п/п 1. Шифр и наименование специальности 050201.00 – Математика с дополнительной специальностью «Информатика» Курс Семестр 3 5 Виды учебной работы в часах Трудоем Всего ЛК ПР/ ЛБ Сам. кость аудит. СМ Работа 100 50 30 – 20 Вид итогового контроля (форма отчетности) Экзамен 50 1.6. Содержание дисциплины. 1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени: № п/п Наименование раздела, темы Количество часов Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (ФНП) 2. Интегральное исчисление ФНП. 3. Элементы теории поля. 4. Ряды. ВСЕГО: 1. Всего ауд. ЛК ПР ЛБ Сам.раб. 12 8 4 – 12 12 14 12 50 8 8 6 30 4 6 6 20 – - 12 14 12 50 1.6.2. Содержание разделов дисциплины. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (ФНП).Определение функции двух и более переменных. Графическое изображение функций двух переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные ФНП. Понятие дифференцируемости ФНП, необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Производные сложных функций. Производные функций, заданных неявно. Дифференциал функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функции двух переменных. Условные экстремумы функции двух переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области. Метод наименьших квадратов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному (случаи прямоугольной и криволинейной областей). Замена переменных в двойном интеграле. Геометрические приложения двойных интегралов (вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Определение и вычисление тройных интегралов. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройных интегралов. Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Приложения криволинейных интегралов первого рода. Определение и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути 3 интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов. Некоторые приложения криволинейных интегралов 2-ого рода. Элементы теории поля. Поверхностные интегралы 1-ого и 2-ого рода. Применение поверхностных интегралов 1-го рода в физике (вычисление массы, статических моментов, координат центра масс, моментов инерции материальной поверхности). Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Скалярные и векторные поля. Дивергенция векторного поля. Поток векторного поля через поверхность. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Интегральные формулы. Классификация векторных полей. Основная теорема векторного анализа. Ряды. Понятие числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Теоремы сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда. Ряд Дирихле. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда. Формулы Адамара-Даламбера-Коши. Теоремы дифференцирования и интегрирования степенных рядов. Обобщенный степенной ряд. Теорема о единственности разложения в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Маклорена. Разложение в степенные ряды функций sin x, cos x, e x , shx, chx , ln x, ln(1 x), ln 1 x , (1 x) m , 1 x arctgx. Применения степенных рядов. Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды с комплексными членами. Степенные ряды с комплексными членами. Формулы Эйлера. Тригонометрический ряд и его основные свойства. Единственность разложения в ряд Фурье. Определение и сходимость ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье с периодом 2l . Комплексная форма ряда Фурье. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье. Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция. Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье. Дельтафункция. 1.6.3. Темы для самостоятельного изучения. № п/п 1 Наименование раздела Дисциплины. Тема. Дифференциальное исчисление ФНП. Условные экстремумы функции двух переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области. Метод наименьших квадратов. Форма самостоятельной работы Форма контроля выполнения самостоятельной работы Количество Часов Вопросы для самостоятельного изучения Вопрос выносится на коллоквиум 12 4 2 3 4 Интегральное исчисление ФНП. Геометрические приложения двойных интегралов (вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Элементы теории поля. Интегральные формулы. Классификация векторных полей. Основная теорема векторного анализа. Ряды. Применения степенных рядов. Свертка и преобразование Фурье. Дельта-функция. Вопросы для самостоятельного изучения Вопрос выносится на экзамен 12 Вопросы для самостоятельного изучения Вопрос выносится на экзамен 14 Вопросы для самостоятельного изучения Вопрос выносится на экзамен 12 1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины. 1.7.1. Тематика и планы практических занятий по изученному материалу Практические занятия по теме «Дифференциальное исчисление ФНП». Вычисление частных производных, нахождение полного дифференциала, вычисление производных сложных и неявных функций, вычисление производной по направлению и градиента, нахождение производных и дифференциалов высших порядков, исследование на экстремум, нахождение наибольших и наименьших значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области. Литература: 1. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1. М., Дрофа, 2001. 2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М, Наука, 1990. 3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу (функции нескольких переменных). М., 1994 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, части 1, 2, М., 1971 Практические занятия по теме «Интегральное исчисление функций нескольких переменных». Вычисление двойных, тройных и криволинейных интегралов. Замена переменных в кратных интегралах. Геометрические и физические приложения кратных и криволинейных интегралов. Литература: 1. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1. М., Дрофа, 2001. 2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М, Наука, 1990. 3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу (функции нескольких переменных). М., 1994 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 5 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, части 1, 2, М., 1971 Практические занятия по теме «Элементы теории поля». Вычисление поверхностных интегралов. Геометрические и физические приложения поверхностных интегралов. Вычисление потока векторного поля через поверхность. Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Литература: 1. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1. М., Дрофа, 2001. 2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М, Наука, 1990. 3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу (функции нескольких переменных). М., 1994 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, части 1, 2, М., 1971 Практические занятия по теме «Ряды». Исследование числовых знакоположительных рядов на сходимость с помощью признаков Коши, Даламбера, теорем сравнения, интегрального признака. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Исследование функциональных и степенных рядов на сходимость и равномерную сходимость. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена. Приближенное вычисление значений функций и интегралов с помощью степенных рядов. Литература: 1. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 2., М., Дрофа, 2001. 2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М, Наука, 1990. 3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М., Наука, 1986. 4. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 6. Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, части 1 и 2, М., 1971 1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины. 1.8.1. Рекомендуемая литература: Основная литература 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992 Шипачев В.С. Основы высшей математики, М., 1989 Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1990 Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1964 Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А., Матвеев И.В., Смолянский М.Л., Цветков А.Т. Задачник по курсу математического анализа, часть 1 и часть 2, М., 1971 Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М., 1988 Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М., Просвещение, 1977. 6 9. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1999. 10. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Вышейшая школа, Минск, 1967. 11. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М., 2001. 12. Боярчук А.К. Функции комплексного переменного: теория и практика (справочное пособие по математике). М., 2001 13. Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. М., Просвещение, 1981. 14. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу, М., Дрофа, 2003. 15. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979. 16. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М., Наука, 1984. 17. Цлаф Л.Я Вариационное исчисление и интегральные уравнения, Лань, 2005. 18. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2005. 19. Вуколов Э.А., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990. 20. Посицельская Л. Н. Теория функций комплексной переменной в задачах и упражнениях. М, Физматлит, 2007 21. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. М., URSS, 2006 Дополнительная литература 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М, Наука, 1990. 2. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. М., 2001. 3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М., Наука, 1984. 4. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М., Наука, 1986. 5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу (функции нескольких переменных). М., 1994. 6. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М., 1973 7. Рыб К.А., Бодрякова Н.О. Физические задачи на экстремум функции, МШ № 3, 1993, с. 15 – 20. 8. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Начала анализа., М., Наука, 1990. 9. Ветрова В.Т. Сборник физических задач по общему курсу высшей математики. Минск, Вышейшая школа, 1997. 10. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. ЛГУ, 1955. 11. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М., Наука, 1978. 12. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965. 13. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1952. 14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1950. 15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1951. 16. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного. М., Наука, 1976. 17. Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. М., 1958. 18. Соломенцев Е.Д. Функции комплексного переменного и их применения. М., 1988. 7 19. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука, 1965. 20. Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. Сборник задач по теории аналитических функций. М., 1969 21. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М., 1975 22. Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Коган С.М., Лунц Г.Л., Поспелов А.С., Фролов С.В., Шостак Р.Я., Янпольский А.Р. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа. М., Наука, 1986. 23. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. СПб, ЛГУ, 1980. 24. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965. 25. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М. Высшая математика, Киев, Выща школа,1989 26. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989. 1. 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины. Не предусмотрено учебным планом. 1. 10. Примерные зачетные тестовые задания. Вариант № 1 1. Найти области определения следующих функций а) z 4x y 2 ln(1 x y ) 2 2 ; б) z arcsin x y arcsin . 4 5 x du ? 2. а) u arcsin , z x 2 1, z dx z z xy 0, ?, ? (двумя способами). б) z ln( x z ) z x y 3. Найти все частные производные 2-ого порядка следующей функции y z ln tg . x 2 2 z z 0. 4. z e x ( x cos y y sin y). Показать, что x2 y2 5. Исследовать на экстремум функцию z x 3 xy 2 6 xy. 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции xy x y x y z (1 ) в области x 0, y 0, 1. 2 3 3 3 4 Вариант № 2 1 1 1 ... ... 1 4 4 7 (3n 2)(3n 1) 2. Исследовать ряд на сходимость 3n 1 1 n 5n (n 1)! n 1 , e 1 , г) а) в) , б) (2n)! n3 n 2 2n 3 n 1 n 1 1. Найти сумму ряда 8 ( n 1 3 n 3 1 n), д) n 1000n 1 . n 1 1 tg . n n 1 4. Проверить, что данный ряд сходится и вычислить приближенное значение его суммы с точностью 1 1 1 до 0,01: 1 4 4 4 ... 2 3 4 5. Установить сходимость или расходимость указанного ряда с помощью интегрального признака: 2 1 n2 3 . n 1 1 n 3. Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость ( 1) n Вариант № 3 n 3x 2 1. Найти S n ( x), S ( x ) и область сходимости ряда . n0 4 x 1 n 1 2. Найти область сходимости функционального ряда xn n 1 x . 3. Найти радиус, интервал и область сходимости степенного ряда: 5n ( x 4) 2 n а) 2 2 n ; б) n 0 ( n 2) 2 (3n 1) x n 1 . 2 (n!) n 1 4. Написать первые три ненулевых члена разложения функции в ряд Тейлора по степеням ( x a ): f ( x) e 2 x 1, a 0. 5. Разложить функцию в степенной ряд по степеням x (до x 3 включительно), используя известные разложения элементарных функций в степенные ряды: f ( x) cos x 1 6. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию ряда 1 (2n 1) n0 2 x 2 . x , если 0 x 1, f ( x) и найти сумму 2 x , если 1 x 2. . Вариант № 4 1 x 2 2 x 0 0 1 0 1. Изменить порядок интегрирования: dx f dy dx 2. Вычислить: (3x 2 f dy . y 2 503 x 4 y 4 ) dxdy , где D : x 1, y 3 x , y x 3 . D 3. Вычислить интеграл с помощью полярных координат: x 2 y 2 9dxdy. 9 x 2 y 2 25 y x z 8 3 5 1, 4. Вычислить: , где V : y x z 6 V (1 8 3 5 ) x 0, y 0, z 0. 5. Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты: y 2 dxdydz ; V : y 0, y 3x , z 3( x 2 y 2 ), z 3. 2 2 3 (x y ) (V ) dxdydz 9 6. С помощью двойного интеграла вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями (x2 y2 )3 a2 x2 y2 . 7. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями z x 2 , x 2 y 2 0, x y 7 0, z 0. Вариант № 5 1. Вычислить криволинейные интегралы: dl а) , где LAB - отрезок прямой, соединяющий точки A 0, 0 и B 1, 2 ; x2 y 2 4 LAB б) ye dl , где x x L - окружность x 2 y 2 3 ; в) 2 2 xy dx y 2 2 xy dy , где LAB : y x 2 от точки LAB L A 1, 1 до B 1, 1 ; г) xdy ydx , где LAB : x a t sin t , y a 1 cos t . LAB 2. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом функции u u x, y . Найти эту функцию. Результат проверить. y x x 2 dx y dy 1 x2 y 2 1 x2 y 2 3. С помощью формулы Грина вычислить интеграл x y 2 dx x 2 y 2 dy , где L - пробегаемый в L ABC с вершинами A 1, 1 , B 3, 2 , C 2, 5 . положительном направлении контур 4. Вычислить поверхностный интеграл по поверхности S , где S - часть плоскости p , отсеченная координатными плоскостями: 2 x 3 y 2 z dS , p : x 3 y z 3 . S 5. Определить координаты центра масс однородной поверхности: x u cos v, y u sin v, z v, u [0, 1], v [0, ] 6. Вычислить поверхностный интеграл: yzdydz xzdzdx xydxdy , где S - верхняя сторона S плоскости x y z 4 , отсеченной координатными плоскостями. 7. Вычислить с помощью теоремы Остроградского – Гаусса: x dydz y dzdx z dxdy , 2 2 2 где S - S x2 y 2 z 2 , 0 z c. a 2 b2 c 2 8. Вычислить интеграл, используя формулу Стокса: x2 y 2 L , где эллипс 1, z c , ориентированный отрицательно x z dx x y dy xdz L a 2 b2 внешняя сторона полной поверхности относительно вектора 0, 0, 1 . Вариант № 6 1. Найти производную функции u (x, y, z) в точке M по направлению l , если u = x ( ln y - arctg z ), l = 8 i + 4 j + 8 k , M(-2, 1, -1). 2. Вычислить поток векторного поля a (M) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение 10 потока; б) с помощью формулы Остроградского - Гаусса, если a (M) = 3x i + ( y + z ) j + ( x - z ) k , (p): x + 3y + z = 3. 3. Вычислить циркуляцию векторного поля a (M) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): 2x + y + 2z = 2 с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости (p) двумя способами: а) использовав определение циркуляции; б) с помощью формулы Стокса, если a (M) = z i + ( x + y ) j + y k . 4. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля a (M) = x 2 i - xy 2 j + z 2 k в точке M 0 (0, 1, -2). 5. Выяснить является ли векторное поле a (M) = x 2 y i - 2xy 2 j + 2xyz k соленоидальным. 1.11. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену). МАТЕМАТИКА: ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3-й семестр). ТЕОРИИ ПОЛЯ И 1. Определение функции двух и более переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. 2. Предел функции двух переменных. 3. Непрерывность функции двух переменных. 4.Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. 5. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. 6. Дифференциал функции. Касательная и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. 7.Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных 2-ого порядка. 8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 9. Производные сложных функций. 10. Производные функции, заданной неявно. 11. Производная по направлению. Градиент. 12. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. 13. Условные экстремумы функции двух переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области. 14. Метод наименьших квадратов. 15. Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. 16. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). 17. Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). 18. Замена переменных в двойном интеграле. 19. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). 20. Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). 21. Определение и вычисление тройных интегралов. 22. Замена переменных в тройном интеграле. 23. Приложения тройных интегралов. 24. Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. 25. Приложения криволинейных интегралов первого рода. 26. Определение и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. 27. Формула Грина. 28. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. 11 29. Интегрирование полных дифференциалов. Некоторые приложения криволинейных интегралов 2ого рода. 30. Поверхностный интеграл 1-го рода. 31. Применение поверхностных интегралов 1-го рода в физике. 32. Поверхностный интеграл 2-го рода (определение поверхностного интеграла 2-го рода, вычисление поверхностных интегралов 2-го рода (1-й способ)). 33. Поверхностный интеграл 2-го рода (связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, вычисление поверхностных интегралов 2-го рода (2-й способ), случай поверхности, заданной параметрически). 34. Формула Остроградского- Гаусса. 35. Формула Стокса. 36. Скалярные и векторные поля. 37. Поток векторного поля через поверхность. 38. Дивергенция векторного поля. 39. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. 40. Оператор Гамильтона. 41. Дифференциальные операции второго порядка. Интегральные формулы. 42. Классификация векторных полей. 43. Понятие числового ряда. Примеры. 44. Свойства сходящихся рядов. 45. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. 46. Лемма. Теоремы сравнения. 47. Признак Даламбера. 48. Признак Коши. 49. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда. Ряд Дирихле. 50. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. 51. Абсолютная и условная сходимость рядов. 52. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема о существовании числа R. 53. Радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда. 54. Формула Адамара-Даламбера-Коши. 55. Теоремы дифференцирования и интегрирования степенных рядов. Обобщенный степенной ряд. 56. Теорема о единственности разложения в степенной ряд. Ряд Маклорена. 57. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Маклорена. 58. Разложение в степенные ряды функций sin x,cos x, e x , shx, chx. 1 x , (1 x) m , arctgx. 59. Разложение в степенные ряды функций ln x, ln(1 x), ln 1 x 60. Применения степенных рядов. 61. Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды с комплексными членами. 62. Степенные ряды с комплексными членами. Формулы Эйлера. 63. Тригонометрический ряд и его основные свойства. 64. Единственность разложения в ряд Фурье. Определение и сходимость ряда Фурье. 65. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. 66. Ряд Фурье с периодом 2l. 67. Комплексная форма ряда Фурье. 68. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье. 69. Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция. 70. Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье. 71. Дельта-функция. 1.12. Комплект экзаменационных билетов 12 МАТЕМАТИКА: ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3-й семестр). ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ И Билет № 1 1. Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. 2. Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Примеры. 3. Найти координаты центра масс тела с плотностью : 0 x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0, . 2 x y2 Билет № 2 1. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). Пример. 2. Приложения криволинейных интегралов первого рода. Примеры. 3. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл x 2 ydx xy 2 dy , где Г - Г окружность x y R , пробегаемая против хода часовой стрелки. 2 2 2 Билет № 3 1. Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). Пример. 2. Определение и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Примеры. 3. Найти координаты центра масс тела с плотностью : R 2 x 2 y 2 z 2 4 R 2 , y 0, 0 ( z 2 x 2 y 2 ) . Билет № 4 1. Замена переменных в двойном интеграле. Примеры. 2. Формула Грина. Пример. 3. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость xOy : z 0, z 4 x y, x 2 y 2 4 . указанными Билет № 5 1. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Примеры. 2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пример. 3. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a 0) : x 2 y 2 a2 x2 4x2 3 y 2 . 3 Билет № 6 1. Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Примеры. 2. Интегрирование полных дифференциалов. Примеры. 3. Найти координаты центра масс тела с плотностью : R 2 x 2 y 2 z 2 4 R 2 , y 0, 0 ( z 2 x 2 y 2 ) . 13 Билет № 7 1. Определение и вычисление тройных интегралов. Примеры. 2. Некоторые приложения криволинейных интегралов 2-ого рода (вычисление площади с помощью формулы Грина, работа силы), примеры. 3. Найти момент инерции I y окружности x 2 y 2 2 Rx; 1. Билет № 8 1. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры. 2. Формула Грина. Пример. 3. Найти массу, распределенную с линейной плотностью ( x, y) 2 x y по дуге АВ плоской кривой Г, если Г - отрезок АВ, А(1; 1), В(2; 3). Билет № 9 1. Приложения тройных интегралов. Примеры. 2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пример. 3. Показать, что криволинейный интеграл ( 3x 2 y y )dx ( x 3 x )dy , где A(1; 2), B(2; 3), не AB зависит от пути интегрирования и вычислить этот интеграл. Билет № 10 1. Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. 2. Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Примеры. 3. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл x 2 ydx xy 2 dy , где Г - Г окружность x y R , пробегаемая против хода часовой стрелки. 2 2 2 Билет № 11 1. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). Пример. 2. Приложения криволинейных интегралов первого рода. Примеры. 3. Используя криволинейный интеграл 2-ого рода вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x a cos3 t , y a sin 3 t , 0 t 2 . Билет № 12 1. Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). Пример. 2. Определение и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Примеры. 3. Найти моменты инерции относительно координатных осей и относительно начала координат однородной ( =1) плоской фигуры: r a (1 sin ). Билет № 13 1. Замена переменных в двойном интеграле. Примеры. 2. Формула Грина. Пример. 3. Найти координаты центра масс однородной плоской ( =1) фигуры, ограниченной петлей декартова листа x 3 y 3 3axy. 14 Билет № 14 1. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Примеры. 2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пример. 3. Найти координаты центра масс однородной плоской ( =1) фигуры: y2 x 2a y , a 0. a Билет № 15 1. Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Примеры. 2. Интегрирование полных дифференциалов. Примеры. 3. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного ( =1) тела: x2 y2 z 1. a 2 b2 c Билет № 16 1. Определение и вычисление тройных интегралов. Примеры. 2. Некоторые приложения криволинейных интегралов 2-ого рода (вычисление площади с помощью формулы Грина, работа силы), примеры. 3. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного ( =1) тела: 0 Rz H ( R x 2 y 2 ). Билет № 17 1. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры. 2. Формула Грина. Пример. 3. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного ( =1) тела: x 2 y 2 R 2 , 0 z H. Билет № 18 1. Приложения тройных интегралов. Примеры. 2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пример. 3. Найти координаты центра масс тела с плотностью : x 2 y 2 z h, 0 z 2 . 1.13. Примерная тематика рефератов. Не предусмотрено учебным планом. 3. Содержательный компонент теоретического материала. МАТЕМАТИКА: ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3-й семестр). ТЕОРИИ ПОЛЯ И Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (ФНП) Лекция № 1. Определение функции нескольких переменных и основные понятия, связанные с ней. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 15 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 275 - 284. Лекция № 2. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 284 – 288, 291 - 293. Лекция № 3. Производные сложной функции. Производные функции, заданной неявно. Материал этой лекции можно найти в следующих учебниках: 1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992, 230 - 233; 2. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 288 - 291. Лекция № 4. Частные производные высших порядков. Формула Тейлора. Экстремумы функции нескольких переменных. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 296 – 304. Лекция № 5. Производная по направлению. Градиент. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 293 – 295. Интегральное исчисление функции нескольких переменных Лекция № 6. Определение двойного интеграла. Условия существования и свойства двойного интеграла. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 307 – 310. Лекция № 7. Вычисление двойного интеграла. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 310 – 314. Лекция № 8. Замена переменных в двойном интеграле. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 314 – 317. Лекция № 9. Тройной интеграл. Замена переменных в тройном интеграле. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 346 – 352. Лекция № 10. Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 317 – 324, 352 - 353. Элементы теории поля Лекция № 11. Криволинейные интегралы. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 334 - 344. 16 Лекция № 12. Формула Остроградского – Грина. Поверхностные интегралы первого рода. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 324 - 334, 344 – 346, 353 - 356. Лекция № 13. Поверхностные интегралы второго рода. Формула Остроградского – Гаусса. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 356 - 365. Лекция № 14. Скалярные и векторные поля. Поток векторного поля через поверхность. Формула Стокса. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 365 - 372. Лекция № 15. Ротор векторного поля. Дивергенция. Оператор Гамильтона. Циркуляция векторного поля. Классификация векторных полей. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 372 - 378. Ряды Лекция № 16. Основные определения и понятия. Необходимые и достаточные условия сходимости числового ряда. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 379 - 388. Лекция № 17. Знакопеременные ряды. Функциональные последовательности и ряды. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 389 - 391. Лекция № 18. Степенные ряды. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 389 - 391. Лекция № 19. Ряды Фурье. Материал этой лекции можно найти в следующем учебнике: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1998, с. 410 - 416. Лекция № 20. Ряд Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Материал этой лекции можно найти в следующих учебниках: 1. Баврин И.И. Курс высшей математики, М., 1992, 323 – 324, 329 – 333. 4. Словарь терминов (глоссарий). Абсцисса – первая из декартовых координат точки. Анализ: Векторный анализ – раздел векторного исчисления, в котором изучаются векторные и скалярные поля; Гармонический анализ – 1. Раздел математики, в котором изучаются свойства функций с помощью представления их в виде рядов или интегралов Фурье; 2. Метод решения задач с помощью представления функций в виде рядов или интегралов Фурье; Математический анализ – 1. Часть математики, в которой методом пределов изучаются функции и их обобщения; в нее входят дифференциальное и интегральное исчисления, теория функций 17 действительного и комплексного переменного, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и ряд других математических дисциплин. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления, их обоснование и непосредственные приложения; Функциональный анализ – раздел математики, в котором изучаются функционалы, линейные операторы и другие обобщения функций на бесконечномерных векторных пространствах. Антье – целая часть действительного числа, то есть наибольшее целое число, не превосходящее данное; обозначается x . Аппликата – третья из декартовых координат точки в трехмерном пространстве. Аппроксимация – приближенное выражение математических объектов через другие более простые. Аргумент: Аргумент комплексного числа – угол между радиусом-вектором точки, изображающей комплексное число на плоскости, и осью абсцисс; Аргумент функции – независимая переменная, от значений которой зависят значения функции. Арккосинус – многозначная функция, обратная косинусу; обозначается Arccos x . Арккотангенс - многозначная функция, обратная котангенсу; обозначается Arc c tg x . Арксинус – многозначная функция, обратная синусу; обозначается Arcsin x . Арктангенс - многозначная функция, обратная тангенсу; обозначается Arctg x . Асимптота – такая прямая, что расстояние от точки данной кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по бесконечной ветви кривой. Астроида – плоская алгебраическая кривая 6-го порядка; ее описывает точка окружности радиуса r , катящаяся по внутренней стороне окружности радиуса R 4r ; в прямоугольных декартовых координатах уравнение астроиды имеет вид x 2 3 y 2 3 R 2 3. Аффикс – точка комплексной плоскости, соответствующая данному комплексному числу; ее координаты равны действительной и мнимой частям заданного числа. Базис – множество элементов, порождающих все математические объекты заданного вида с помощью определенных операций. Базис векторного пространства – система линейно независимых векторов, линейными комбинациями которых можно представить любой вектор пространства. Ортонормированный базис – базис векторного пространства, образованный единичными попарно ортогональными векторами. Бесконечная десятичная дробь – выражение 0 k 9, k 1, 2,... , 0, 1` 2 ... n ... 0 . Бесконечные аналитического выражения действительных чисел. Бесконечно большая последовательность – , 1` 2 ... n ... ; вида десятичные 0 дроби xn , последовательность целое, служат для для которой 0, N N , такое, что n, n N xn . Для Б.б.п. пишут lim xn или xn при n n . Бесконечно большая функция: функция f , определенная в проколотой окрестности U a точки a , называется б.б.ф. в окрестности точки a, если 0, 0 , такое, что x, 0 x a f x . Для б.б.ф. пишут lim f x или f x при x a и говорят, x a что в точке a функция имеет бесконечный предел. Бесконечно малая последовательность: последовательность n называется б.м.п., если 0, N N , n, n N n . Из определения вытекает, что б.м.п. сходится и lim n 0 . n 18 Бесконечно малая функция: функция f , определенная в проколотой окрестности U a точки a , называется б.м.ф. в окрестности точки a , если lim f x 0 , т.е. 0, 0 , такое, что x a x, 0 x a f x . Бесконечное произведение: С помощью заданной последовательности an , an 0, n , образуем новую последовательность Pn , где Pn a1a2 ...an , которую символически можно записать в виде бесконечного произведения a1a2 ...an ... или Pn P , где P 0 - число, то б.п. ak . Если nlim k 1 называется сходящимся (в противном случае - расходящимся), а число P - значением б.п. Запись: ak P . Исследование сходимости б.п. сводится к исследованию сходимости числового ряда, а k 1 именно б.п. ak сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд k 1 1 Бета-функция – эйлеров интеграл первого рода B a, b x a 1 1 x ф. служит множество a, b ln ak . k 1 b 1 dx . Областью определения б.- 0 a 0, b 0 на котором она является и непрерывной. Биекция – взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Бином – сумма или разность двух одночленов. Бином Ньютона (формула Ньютона): если n , то a b n Cn0an Cn1an1b ... Cnk ank bk ... Cnnbn . Коэффициенты Cnk , k n , биномиальными коэффициентами. Они могут быть вычислены по формулам: n n 1 ... n k 1 n! Cnk , 0! 1 . k ! n k ! k! Биномиальный дифференциал: интегралы вида m n x a bx p называются dx, m, n, p , n 0, ab 0 , рационализируются лишь в трех случаях: а) p , подстановка x t k , k - общий знаменатель m и m 1 m 1 , подстановка a bxn t k , где k - знаменатель дроби p ; в) p , подстановка n ; б) n n axn b t k , k - знаменатель дроби p . Указанными тремя случаями исчерпываются все случаи, когда биномиальный дифференциал интегрируется в элементарных функциях. Бинарная операция на множестве X - закон, по которому каждой упорядоченной паре x, y элементов этого множества ставится в соответствие единственный элемент z этого же множества. Этот элемент называют композицией элементов x и y . Брахистохрона – кривая, соединяющая вышележащую точку A и нижележащую точку B , двигаясь по которой под действием силы тяжести, материальная точка достигнет B из A в наикратчайшее время. По форме б. полностью совпадает с циклоидой. 19 Вариация – малое смещение функционала или его аргумента. Вектор – 1. Направленный отрезок; 2. Элемент линейного пространства. Векторное поле – определяется векторной функцией точки a a P ax x, y, z i a y x, y, z j az x, y, z k , где P x, y, z - точка пространства, r xi yj zk - ее радиус-вектор. Векторное произведение двух векторов a и b - вектор c , обозначаемый символом a b и удовлетворяющий следующим условиям: 1) c a b sin , где - угол между векторами a и b ; 2) вектор c ортогонален векторам a и b ; 3) вектор c направлен так, что тройка векторов a , b , c является правой. Векторное пространство – то же, что линейное пространство. Вектор-функция скалярных аргументов - Пусть U - множество точек на прямой, плоскости или в пространстве. Говорят, что на множестве U задана в.-ф. скалярных аргументов, если каждой его точке M сопоставлен вектор r M . Запись: r r M . Если в пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат Oxyz , то в.-ф. можно представить в виде: r M x M i y M j z M k . Таким образом, задание одной в.-ф. r r M равносильно заданию трех скалярных функций: x x M , y y M , z z M . Аналогично на плоскости r M x M i y M j , на прямой r M x M i . Верхний предел последовательности наибольший частичный (частный) предел последовательности xn , обозначаемый lim xn . Для того, чтобы число a было в.п.п. xn , необходимо и достаточно n выполнение двух условий: 1) 0 n , n n xn a ; 2) 0 n0 , n ' , n0 , n ' n0 xn ' a . У любой последовательности xn существует в.п.п. Если xn не ограничена, то lim xn . Если последовательность xn сходится, то lim xn lim xn . n n n Верхняя грань числового множества E - число B , удовлетворяющее условию x, x E x B . Если множество имеет в.г., то его называют ограниченным сверху. Ветвь функции: однозначная непрерывная функция z , которая в каждой точке z некоторого множества совпадает с одним из значений многозначной функции f z , называется однозначной непрерывной в.ф. f z на данном множестве. Ветвь кривой - 1. Связная часть кривой, не содержащаяся в другой ее связной части. 2. Одна из частей, на которые разбивается кривая какой-либо ее точкой. Вещественной число – то же, что действительное число. Взаимно обратные теоремы – совокупность прямой теоремы вида P Q и обратной теоремы вида Q P . Если обе в.о.т. верны, то есть справедливо P Q , то они вместе называются критерием или необходимым и достаточным условием. 20 Вихрь (ротор) – вектор, обозначаемый rot a и характеризующий локальное вращательное движение в данной точке векторного поля a . Взаимно однозначное отображение – отображение называют взаимно однозначным, есои каждому элементу множества X соответствует только один элемент множества Y и наоборот. Отображение множества X в себя, при котором для каждого элемента x следует f x x , называют тождественным отображением. Винтовая линия – линия, описываемая точкой M , которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси Oz и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью v вдоль этой оси. Параметрические уравнения винтовой линии можно задать в виде x a cos t , y a sin t , z v t . Внутренняя точка множества – точка, принадлежащая множеству вместе с некоторым шаром (кругом в 2 ) с центром в этой точке. Возрастающая последовательность – если при каждом n xn1 xn , то последовательность называют возрастающей; если xn1 xn - строго возрастающей; при xn1 xn - убывающей; xn1 xn - строго убывающей. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными, а строго возрастающие и строго убывающие – строго монотонными. Гамма-функция – эйлеров интеграл второго рода Г e dx . Функция Г определена 1 x x 0 (интеграл сходится) при всех 0 и является непрерывной функцией в области своего определения. Гармоническая функция – функции u x, y, z , являющиеся решениями уравнения Лапласа 2u 2u 2u 0 , называют гармоническими. x 2 y 2 z 2 Гармонический ряд – ряд 1 n . Г.р. расходится (хотя n -й член его стремится к нулю). Обобщенным n 1 Г.р. называют ряд 1 n , который сходится при 0 и расходится при 0 . n 1 Геометрический смысл производной – производная f ' x0 функции f в точке x0 представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции f в точке x0 , f x0 , то есть f ' x0 равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ox . Уравнение касательной имеет вид y f x0 f ' x0 x x0 . Двойной интеграл – двойной интеграл функции f , заданной на квадрируемом множестве D есть предел интегральных сумм 2 , n f M k Dk k 1 при диаметре разбиения 0 . Если lim I существует, конечен и не зависит ни от разбиения 0 множества D , ни от выбора точек M k Dk , то функцию f называют интегрируемой в смысле 21 Римана на множестве D , а число I называют двойным интегралом от функции f по множеству D и обозначают f x, y dxdy . D Дивергенция (расходимость векторного поля) – пусть a a P ax i a y j az k -векторное поле. Тогда дивергенция в координатной форме: div a ax a y az . x x x Дифференциал функции – если f дифференцируема в точке x a, b , т.е. для f имеет место f f ' x x o x при x 0 , то произведение f ' x x называют дифференциалом функции f в точке x , отвечающим приращению аргумента x , и обозначают df x , то есть df x f ' x x . Так как dx x , то df f ' x dx . представление Дифференциальное уравнение – уравнение для определения функции, связывающее независимые переменные, искомые функции и их дифференциалы или производные. 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 Примечание. При составлении глоссария использовалась следующая литература: 1. Микиша А.М., Орлов В.Б. Толковый математический словарь. М., «Русский язык», 1989. 5. Практикум по решению задач по темам лекций. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в следующей литературе: 1. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В трех частях. Под редакцией проф. А.П. Рябушко. Часть 2. Минск, Вышэйшая школа, 1991, с. 208 - 242. 35 Кратные интегралы Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в следующей литературе: 1. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В трех частях. Под редакцией проф. А.П. Рябушко. Часть 3. Минск, Вышэйшая школа, 1991, с. 126 - 188. Криволинейные интегралы Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в следующей литературе: 1. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В трех частях. Под редакцией проф. А.П. Рябушко. Часть 3. Минск, Вышэйшая школа, 1991, с. 189 - 223. Элементы теории поля Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в следующей литературе: 1. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В трех частях. Под редакцией проф. А.П. Рябушко. Часть 3. Минск, Вышэйшая школа, 1991, с. 224 - 279. Ряды Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в следующей литературе: 1. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В трех частях. Под редакцией проф. А.П. Рябушко. Часть 3. Минск, Вышэйшая школа, 1991, с. 9 - 125. 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы. Характер изменений в программе Номер и дата протокола заседания кафедры, на котором было принято данное решение Подпись заведующего кафедрой, утверждающего внесенное изменение Подпись декана факультета (проректора по учебной работе), утверждающего данное изменение 7.Учебные занятия по дисциплине ведут: Ф.И.О., ученое звание и степень преподавателя ст. преподаватель Побойкин В.Я. Учебный год Факультет 2008-2009 ФМФ Специальность 050201.00 – Математика с дополнительной специальностью «Информатика» 36
