Document 669325

ТЕОРЕМА О СЕРЕДИНЕ ИНТЕРВАЛА ДИСКОНТИРОВАНИЯ
В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННОСТИ
И ПРИ РАСЧЁТЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ
Зимин А.И., профессор, доктор технических наук
robinzon@birulevo.net
Как известно, деньги в любой экономической системе со временем дешевеют,
т.е. будущие деньги имеют меньшую ценность, чем деньги текущего момента. Мерой
уменьшения ценности денег может служить, например, годовая ставка дисконтирования r , а сам процесс уменьшения ценности денег во времени t может быть описан
известной дисконтирующей функцией 1 /(1  r) t . Данная функция позволяет привести компоненты денежного потока, генерируемого инвестиционным проектом в любой момент времени, к текущему (современному) моменту, что даёт возможность
корректно сравнивать денежные величины с разным происхождением во времени.
Рассмотрим для определённости инвестиционный проект продолжительностью
один год, непрерывно генерирующий денежный поток с интенсивностью q(t )
руб./год. Тогда такой инвестиционный проект за год создаст стоимость (в номинальном исчислении, недисконтированную) величиной
t 1
Q   q (t )dt .
(1)
t 0
Эта же стоимость, пересчитанная в масштабе цен начала года, т.е. дисконтированная, причём дисконтированная непрерывно – с учётом того, что с позиции наблюдателя, находящегося в начале года, январские деньги подешевеют значительно
меньше, чем например, декабрьские, корректно может быть определена из выражения
t 1
q(t )dt
.
(2)
t
t  0 (1  r )
Здесь PV – текущая (современная, приведённая к временной точке 0) стоимость
PV  
(present value) доходов от реализации проекта за год. Если считать, что все доходы
Q от инвестиционного проекта генерируются импульсно, одномоментно – в конце года (что, вообще говоря, является экзотикой, но так фактически и принимается во
всех известных автору пособиях по курсу «Инвестиции»), то текущую стоимость доходов можно было бы рассчитать по общепринятой формуле
Q
,
(3)
(1  r )T
Здесь T – координата точки на оси времени, соответствующая моменту, в котоPV 
ром как бы собраны все денежные потоки, генерируемые инвестиционным проектом
за весь год. Эта точка, конечно же, строго говоря, не совпадает с концом года, т.е.
T  1.
Докажем, что при стремлении ставки дисконтирования к нулю, величина T
стремится к 0,5.
Из уравнений (1), (2) и (3) следует
t 1
q(t )dt
q(t )dt t 0
,


t
(1  r )T
t  0 (1  r )
t 1
откуда получаем уравнение для расчёта величины T :
t 1
(1  r ) 
T
 q (t )dt
t 0
t 1
q (t )dt
 (1  r ) t
t 0
.
(4)
Пусть для определённости скорость генерирования доходов инвестиционным
проектом постоянна, т.е. q (t )  q0  const ., тогда уравнение (4) существенно упростится:
(1  r )T 
1
(1  r )  ln(1  r )

 (1  1 / r )  ln(1  r )  ln(1  r ) (11 / r ) .
dt
r
 (1  r ) t
t 0
t 1
(5)
Логарифмируя компоненты уравнения (5), получим:
ln[ln( 1  r ) (11 / r ) ] ln(1  1 / r )  ln[ln( 1  r )] ln(1  r )  ln r  ln[ln( 1  r )]
T


.
ln(1  r )
ln(1  r )
ln(1  r )
(6)
Пользуясь соотношением (6), рассчитаем для ориентира несколько значений величины T при разных значениях годовой ставки дисконтирования r . В результате
(как вариант) получим следующую таблицу:
50
20
10
5%
1%
%
%
%
0,48
0,49
0,49
0,49
0,4
31
24
60
80
996
Докажем следующую теорему: при стремлении ставки дисконтирования r к нулю равномерно генерируемые инвестиционным проектом компоненты номинального
денежного потока концентрируются для последующего дисконтирования в середине
интервала дисконтирования.
Доказательство. Известно, что при стремлении r к нулю величина ln(1  r )
стремится к величине r  r 2 / 2 . Тогда при малых значениях r выражение (6) примет
вид:
r  r 2 / 2  ln r  ln[ r (1  r / 2)] r  r 2 / 2  ln r  ln r  r / 2  r 2 / 4
T


r (1  r / 2)
r (1  r / 2)
r / 2  3r 2 / 4 1 / 2  3r / 4
1


 .
r (1  r / 2)
1 r / 2
2
Итак, при стремлении ставки дисконтирования к нулю (при r  0 ) стартовая
точка дисконтирования (из будущего к настоящему) стремится к середине временного интервала дисконтирования (он же является и интервалом генерирования компонентов денежного потока инвестиционного проекта): T  1 / 2 .
Таким образом, для корректного расчёта чистой текущей стоимости инвестиционного проекта в качестве стартового момента дисконтирования компонентов денежного потока следует выбирать не конец года, а его середину (тем самым учитывается
то, что инвестиционный проект генерирует доходы непрерывно, а не только в конце
расчётного периода – в данном случае, в конце года). Тогда, используя доказанную
теорему, формулу для расчёта чистой текущей (современной, приведённой) стоимости NPV инвестиционного проекта преобразуем к следующему модифицированному
виду:
M
IC j
j 0
(1  i ) j
NPV   
FVk
RV

.
k  0,5
(1  r ) N
k 1 (1  r )
N

(7)
В соотношении (7) использованы следующие обозначения: IC j  капитал, инвестированный в начале года с номером j в течение M лет; i – прогнозируемый средний годовой уровень инфляции в течение M лет; FVk  величина годового дохода
(номинального денежного потока), генерируемого в результате реализации инвестиционного проекта в течение k-го года на протяжении N лет; RV  ликвидационная,
остаточная стоимость проекта (реверсия).
Ясно, как отразилась теорема на выражении (7): показатели степени в знаменателе слагаемых второй суммы стали дробными, а не целочисленными, как обычно
принято. Отметим, что дисконтирование величины остаточной стоимости проекта
осуществляется при помощи целочисленного показателя степени, поскольку совершенно оправданно предполагается, что остаточная стоимость проекта проявляется
практически импульсно – в конце последнего года N осуществления проекта. Кроме
того, в формуле (7) учтено также то, что инвестиции обычно также осуществляются
импульсно – в начале каждого расчётного периода (года).
Если же инвестиции производятся не импульсно, а непрерывно с постоянным
темпом в течение каждого года с номером j, то выражение (7) несколько видоизменится (поскольку инвестиционный капитал перед тем, как быть продисконтированным по ставке, равной среднегодовому уровню инфляции, так же, как и доходы от
проекта, должен быть смещён к середине соответствующего года):
M
NPV   
j 1
IC j
(1  i )
j  0,5
FVk
RV

.
k  0,5
(1  r ) N
k 1 (1  r )
N

(8)
Итак, корректное определение важнейшего показателя эффективности инвестиций – чистой текущей стоимости инвестиционного проекта NPV – должно производиться на основе следующей процедуры: прежде чем дисконтировать величину денежного дохода за какой-либо год реализации проекта, необходимо мысленно сдвинуть эту величину из конца этого года к его середине, и только из этой стартовой точки на оси времени дисконтировать данную денежную величину к моменту начала реализации инвестиционного проекта.