Среди методов математического

Джалилова Р.К.
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ФИЛЬТРАЦИИ
Среди методов математического моделирования теоретических и прикладных задач
различной природы особое значение приобретает подходы, использующие аппарат
теории групп Ли (1).Задачи теории фильтрации при этом не являются исключениями и
эти
подходы расширяются .При разработке нефтяных и газовых месторождений, а также в
многочисленных исследованиях проблем подземных продуктивных пластов, возникает
необходимость в достоверном анализе вступающих в силу неньютоновских законов
фильтрации, т.е. появляющихся неравновесных эффектов, обусловленных, в частности,
в проектировании разработки продуктивных нефтегазовых месторождений с помощью
различных технологий интенсификации и воздействий вторичными или третичными
методами. Возникает необходимость в исследовании вступающих в силу
неньютоновских законов фильтрации(2), т.е. появляющихся неравновесных эффектов,
обусловленных в том числе итерацией скорости, изменениям градиента давления и его
релаксацией. При фильтрации в неоднородной пористой среде следует ожидать наличия
множества одновременно идущих процессов с весьма различными временами релаксации
(3), соответствующим молекулярным взаимодействиям различных масштабов и
неоднородностям геометрии пор.
Рассмотрим фильтрацию трех фаз( нефтяной, водной и газовой) в неоднородном по
проницаемости пласте (4), с учетом того, что в призабойной зоне, в областях больших
скоростей, возможно проявление операционных эффектов, не учитываемых линейным
законом Дарси. При этом уравнение движения можно записать в виде обобщенного
уравнения Эйлера-Жуковского. Фактор запаздывания скорости v или давления р в
реологических уравнениях учитывают с помощью их замены на   v и      ,
где  и   время релаксации скорости давления. Тогда вместо закона Дарси будем
иметь в линейном приближении
  

k  p
2 p 
 , аналогичное уравнению жидкости Фрелиха и Сакка
     p

  x
xt 
(3).
В областях малых градиентов давления нелинейность закона фильтрации связана с
проявлением вязкопластических (неньютоновских) свойств жидкостей.
Рассмотрим осесимметричную фильтрацию трехфазной смеси к скважине.
 RKK b

P 
0
 pb mSb   1  
pb
t
R R   b
R 
 RKK b

P 
0
 pr mSr   1  
pr
t
R R   r
R 
 RKK н

P 
0
 pн mSн   1  
pн
t
R R   н
R 
При условиях
t  0; p  p 0 ; s  s 0
1

K
p K 
P
R  0;2   p1 1  2 2  KHR
 G(t )



R
1
2 

R  Rx ;
P
0
R
Здесь, Р – давление, s i - объемная насыщенность пор i- ой фазой, s  s1 ;  -вязкость,
р – плотность, К –проницаемость, m-пористость, K(S)-фазовая проницаемость,H
мощность пласта, G-массовый расход, смеси на стенке скважины, R x -радиус контура
пласта.
Применяя теорию Ли, найдем группу допустимых преобразований для
постановленной задачи, что позволяет выделить определенные классы решений,
отыскание которых в некотором смысле проще, чем нахождение общего решения.
Инфинитезимальный оператор задаем в виде:







X  1  2  3  




2 p
11 p
12 p
t
r
p 1 p
t
r
tt
tr










22 p
111 p
112 p
122 p
222 p
rr
ttt
ttr
trr
rrr
Применяя инфинитезимальный оператор к задаче, и учитывая, что давление и его
производные являются независимыми переменными в продолженном пространстве
алгебры Ли, можно выписать следующую систему, позволяющую определить
аналитический вид неизвестных координат.
2a 2 a 2  2 3pt  22 rt2   2 3p   2 3  0
2 rr2  21 t2  22 3pr  0
 2 rp3  1 tt/  21 tp3   p4   t/  0
1/  1  21 t/   3p  0
2
  2// 3   2/  3p   2 r2   t2  1 tt2  2 2 3pr   2 rrt
 2 2 3prt  0
 2 3p   2/  3  0
 /2 /  2 3p  2 2 r2  0
 p/  0
 p2  0
 3p  0
 3pp  0
 r/  0
 rr2  0
Чтобы определить вид функций, необходимо расценить определяющее уравнения ,
которые являются дифференциальными относительно неизвестных координат.
Следует отметить, что если не воспользоваться инфинитезимальным критерием
инвариантности дифференциальных уравнений подставить в уравнение формулы
преобразований, то полученная система будет нелинейной, если первоначальное
уравнение нелинейно, и задача нахождения группы может оказаться достаточно сложной
и громоздной. Определяющие же уравнения всегда линейны, т.е. применение
инфинитезимальным критерием инвариантности фактически линеаризует задачу
2
отыскания группы преобразований, допускаемой заданной системой дифференциальных
уравнений.
Критерий инвариантности системы относительно оператора позволяет определить:
  c1t  c 2
  c3t  c 4 r  f (t )
3  (c1  c5 ) p  f / (t )
.Где f (t ) -произвольная гладкая функция, ci -постоянная.
Мы получили бесконечномерное пространство алгебры Ли. Для параметров
релаксации определим классифицирующую систему
(c5  c1 )1 (t )  (c1t  c2 )
1 (t )
0
t
Пространство Ли, порожденное группами переноса и растяжений, позволяет выделить
определенные классы для функций 1 , 2 , при этом обязательно учитывать
преобразование эквивалентностей (1). Случай 1  2  const соответствует
равновесной системе с ньютоновскими свойствами. При ci  0 и мы рассматриваем
более общий случай, соответствующий реальному процессу. Значения для параметров
s
релаксации определяют из класс степенных функций i (t )  t i ( S i  0)
Групповая теория дифференциальных уравнений позволила определить допустимые
классы для классификации функций релаксаций, что имеет немаловажное значение для
определения инвариантных решений при изучении неравновесных систем.
Литература
1.Ovsiannikov L. V. On the optimal systems of subalgebras //J. Lie Groups and
their.Appl.V.1.№2,1994.Celal Beyaz Univ.p.18-26
2.Горбунов Л.Т.Разработка аномальных нефтяных месторождений.М,1091
3.Молокович Ю.Н., и др. Релаксационная фильтрация. Изд-во КГУ,1980
4.Методы математического моделирования объектов и процессов месторождений.
ВНИИИ 106,Москва,1991
3