Федеральное агентство по образованию ___________________________________ Санкт-Петербургский государственный

Федеральное агентство по образованию
___________________________________
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет «ЛЭТИ»
_______________________________________
Методы решения задач: техника вычисления производных.
Методические указания
к решению задач
Санкт-Петербург
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2009
УДК 517.22 (077)
Методы решения задач: техника вычисления производных: Методические указания к решению задач / Сост.: М. Н. Абрамова, К. Г. Межевич, Е. А.
Толкачева. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. 32 с.
Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Производная функции».
Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний
© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2009
Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших
курсов самостоятельно научиться решать задачи по теме «Производная
функции». Освоение этого раздела математического анализа на первый
взгляд не вызывает затруднения у студентов. Но без четкого овладения
именно техникой дифференцирования и понятием производной практически
невозможно дальнейшее продвижение в освоении курса математического
анализа. Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению понятия «производная функции» и основных правил дифференцирования. Во второй части указаний рассматривается применения производной к решению ряда наиболее часто встречающихся задач.
Данные методические указания, хоть и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Производная
функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» Д. Т. Письменного
[1].
1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
1.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
Пусть функция y  f ( x) определена в интервале (a;b) и непрерывна в
точке x0 , и пусть y0  f ( x0 ) . В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Тогда разность x  x  x0 называется приращением аргумента в точке x0 . А разность  y  f ( x)  f ( x0 ) – приращением функции. На
рисунке рассмотрим секущую, проведенную через точки M и N. Угол 
называется углом
y = f(x)
Y
наклона секущей, а tg 
{
.N
.T
.P
f(x)
y
.M
f(x0)


{
ее угловым коэффициентом.
Из прямоугольного
треугольника MPN
NP y
. Если
tg  

MP x
точка N будет стремиться к M вдоль данной ли-
x0
O
3
x
z
x
X
нии, то есть  x  0 , то секущая MN в пределе перейдет в касательную l , а
угол наклона секущей –  , в угол наклона касательной –  .
Определение:
Производной функции y  f ( x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний
f ( x0   x)  f ( x0 )
y
стремится к нулю, т.е f ( x0 )  lim
.
 lim
x
x 0
x0  x
Геометрический смысл производной.
Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции
y  f ( x) при x  x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику
данной функции в точке M ( x0 , f ( x0 )) , т.е f ( x0 )  tg  .
Физический смысл производной.
Если x  f (t ) – закон прямолинейного движения точки, то x  f (t ) –
скорость этого движения в момент времени t.
Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.
Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением:
dp
 p
dt
Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника,
определяет силу тока:
F
dq
 q
dt
В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением:
I
E
d
  
dx
y
при x  x0 имеет предел справа (или слева), то он
x
называется производной справа (соответственно производной слева). Такие
пределы называются односторонними производными. Односторонние производные в точке x0 обозначаются соответственно f  ( x0 ), f  ( x0 ) :
Если отношение
f ( x0   x)  f ( x0 )
y
– производная слева;
 lim
x
x 0
x0  x
f  ( x0 )  lim
4
f ( x0   x)  f ( x0 )
y
– производная справа.
 lim
x
x0
x0  x
f  ( x0 )  lim
Очевидно функция, определенная в некоторой окрестности точки x0 ,
имеет производную f ( x0 ) тогда и только тогда, когда односторонние произf  ( x0 ), f  ( x0 ) существуют и равны между собой, причем
f  ( x0 )  f  ( x0 )  f ( x0 ) .
Если для некоторого значения x выполняется одно из условий
y
y
lim
 , lim
  , то говорят, что в точке x существует бесx0  x
x0  x
водные
конечная производная, равная соответственно ,   .
Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Пример 1.1. Пользуясь определением производной найти производную
функции y  x 2 .
Решение: Зададим аргументу данной функции приращение  x . Тогда
приращение функции  y  f ( x   x)  f ( x)  ( x   x)2  x 2 . Воспользуемся
определением производной:
y
( x   x) 2  x 2
x2  2 x   x   x2  x2
f ( x)  lim
 lim
 lim

x
x
 x0  x  x0
 x0
 x (2 x   x)
2 x   x   x2
 lim
 lim
 lim (2 x   x)  2 x .
x
x
 x 0
 x 0
 x 0
Ответ: f ( x)  2 x .
1.2. Техника дифференцирования основных элементарных функций.
В первом пункте данных методических указаний был разобран пример,
показывающий технику нахождения производной с помощью определения.
Процесс этот достаточно трудоемкий и поэтому в дальнейшем будут использоваться найденные ранее формулы производных основных элементарных
функций. Эти формулы представлены таблицей, которую также необходимо
5
знать наизусть. Для удобства в таблице, кроме производных элементарных
функций представлены и производные сложных функций.
Таблица производных:
f ( x)
f ( x)
u ( f ( x))
u ( f ( x ))
x
1
xm
mx m 1
f m ( x)
ax
a x  ln a
a f ( x)
a f ( x) ln a  f ( x)
ex
ex
e f ( x)
e f ( x)  f ( x)
log a x
1
x ln a
log( f ( x))
1
 f ( x)
f ( x)ln a
ln( f ( x))
ln x
1
x
m  f ( x) 
m1
 f ( x)
sin x
cos x
sin( f ( x))
1
 f ( x), f ( x)  0
f ( x)
cos( f ( x))  f ( x)
cos x
 sin x
cos( f ( x))
 sin( f ( x))  f ( x)
arcsin x
1
arcsin( f ( x))
( x  0)
1 x
arccos x
arccos( f ( x))
1 x
arctgx
arctg( f (x))
1
1 x
arcctg(f(x))
2
1
1   f ( x) 
2
2
1
1   f ( x) 
2
2
1
1   f ( x) 
2
1
1 x
arcсtgx
1   f ( x) 
2
1
1
2
 f ( x)
 f ( x)
 f ( x)
 f ( x)
1.3. Основные правила дифференцирования.
Для того чтобы дифференцировать функции, обычно встречающиеся на
практике, пользуются рядом простых и важных формул, которые обязательно
знать наизусть.
Правила дифференцирования:
Пусть f ( x) и g ( x) – дифференцируемые функции. Тогда верны следующие формулы:
6
1. (c)  0 , если c – постоянная величина (константа).
2.
 c  f ( x)   c  f ( x)
(1.1)
Пример 1.2. Найти производную y  4ln x .
Решение: Пользуясь таблицей производных и правилом (1.1) находим:
1 4
y  (4ln x)  4  (ln x)  4  
x x
3.
 f ( x)  g ( x)   f ( x)  g( x)
(1.2)
2 1
.

x x2
Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна
сумме производных от каждой функции, то можем записать:
Пример 1.3. Найти производную функции y  3x2  5x  6 
y  3  ( x 2 )  5  ( x)  (6)  2  ( x 1)  ( x 2 ) .
Продифференцируем выражения, стоящие в скобках, пользуясь таблицей производных.
( x 2 )  2  x21  2  x1  2 x ,
x  ( x1)  1  x11  1  x0  1  1  1 ,
(6)  0 , так как 6 – константа ,
( x1)  1  x11  1  x2 
1
2
,
x
2
.
( x2 )  2  x21  2  x3 
x3
В итоге получим:
 1   1 
2
1
y  3  2 x  5  1  0  2        6 x  5 
 .
x 2 x3
 x 2   x3 
y  6 x  5 
2
x
2

1
x
3
.
Пример 1.4. Найти производную функции
1 6
1
3
.
y  2 x  3 x5 
 x
5x
3x
Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна
сумме производных от каждой функции, то можем записать:
7
y  2

1 
3 5   1   6

x  3 x   
  x  3  .

 5x 
x
 

Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности, для удобства
записав функции в виде степени с дробным показателем.
1
1
1
1 1 
1
1 1
( x )  ( x 2 )  x 2  x 2  

2
2
2
x
1
2 x
.
5
5
2
1 5
5
53 2
3 5
( x )  ( x 3 )  x 3  x 3 
x .
3
3
3
1
6
 1

1
 1 
1
1
5 )   x 5   x 5   1 .
 5   (x
5
5
5
 x
5 x6
7
 1  1   1  1    1 


6
1   6
1
3  6 3 x 6   x 6  1 .
 x 3  x x  x
6
 

6
x

6 x7

 
 

В итоге получим:
1
53 2
1
1
.
y 

x 

5 6
6 7
2 x 3
5 x
6 x
4.
 f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)  f ( x)  g( x)
(1.3)
Пример 1.5. Найти производную функции y  ( x3  x)arctg x .
Решение. Воспользуемся правилом (1.3) для дифференцирования произведения двух функций.
y  ( x3  x) ctg x  ( x3  x)(ctg x)  (3x 2  1)ctg x 
 x3  x
2
.
sin x
y  (3 x  1)ctg x 
2
x3  x
sin 2 x
.
 f ( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
5. 
 
 g ( x) 
 g ( x) 2
(1.4)
8
2 x2  1
Пример 1.6. Найти производную функции y 
.
x  2
Решение. Воспользуемся правилом (1.4) для дифференцирования частного двух функций.
y 

(2 x 2  1)  ( x  2)  (2 x 2  1)  ( x  2)
( x  2)2
4 x 2  8 x  2 x 2  1
( x  2)2

2 x 2  8 x  1
( x  2) 2

4 x( x  2)  (2 x 2  1)(1)
( x  2)2

.
В итоге:
y 
2 x 2  8 x  1
( x  2) 2
.
6. Если y  f ( z ) , а z  u ( x) то функция y  f (u ( x)) называется сложной
функцией и, если обе функции дифференцируемы, то дифференцируема и сложная функция, а ее производную можно найти по формуле:
f (u ( x))  f (u )  u( x)
(1.5)
Таким образом, производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по
независимой переменной. Коротко можно сказать так: производная сложной
функции равна произведению производных всех ее составляющих.
Пример 1.7. Найти производную функции y  (2 x 2  1)3 .
Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию, составленную из кубической функции y  f (u )  u3 и квадратичной u  g ( x)  2 x 2  1 .
Тогда по правилу (1.5) производная сложной функции находится следующим
образом:



y  (2 x 2  1)3  f (u ( x))  f (u )  u( x)  (u 3 )(2 x 2  1)  3u 2  4 x .
Вспомним, что функция u( x) – промежуточная и введена нами для удобства нахождения производной от сложной функции, теперь нам надо вер-
9
нуться обратно, подставив вместо этой промежуточной функции ее выражение: u  g ( x)  2 x 2  1 .
y  3(2 x2  1)2  4 x  12 x(2 x2  1)2 .
В дальнейшем промежуточная функция явно вводиться в решение не
будет, но надо иметь в виду, что мысленно мы ее обязательно обозначаем.
Пример 1.8. Найти производную функции y  cos(3x 2  2) .
Решение: Для того, чтобы найти производную данной функции надо
воспользоваться правилом (1.5), так как эта функция является сложной.
Промежуточной функцией в данном примере будет функция y  cos u



y  cos(3x 2  2)   sin(3x 2  2)  (3x 2  2)   sin(3x 2  2)  6 x .
y   sin(3x 2  2)  6 x .
Пример 1.9. Найти производную функции y  (5 x3  x)4 .
Решение: В данном случае промежуточная функция – степенная, применяя таблицу производных, получаем:



y  (5 x3  x)4  4(5 x3  x)3  (5 x3  x)  4(5 x3  x)3  (15 x 2  1) .
y  4(5 x3  x)3  (15 x 2  1) .
Пример 1.10. Найти производную функции y  sin 2 x .
Решение: И в данной сложной функции промежуточная функция тоже
степенная:
y  2  sin x  (sin x)  2sin x  cos x .
y  2sin x cos x .
Пример 1.11. Найти производную функции y  ln cos(3  x) .
Решение: Данная сложная функция состоит из двух промежуточных
функций. Дифференцируем, применяя правило (1.5).
1
1
y 
 (cos(3  x)) 
 ( sin(3  x))  (3  x) 
cos(3  x)
cos(3  x)
 sin(3  x)
sin(3  x)
(1) 
 tg(3  x) .
cos(3  x)
cos(3  x)
y  tg(3  x) .

10
1.4. Дифференцирование показательно – степенной функции.
Для того, чтобы найти производную показательно – степенной функции
y  f ( x) g ( x) , где f(x) и g(x) – дифференцируемые функции от х, ее удобно
предварительно прологарифмировать.
y  f ( x) g ( x) , тогда ln y  ln f ( x) g ( x) . [воспользуемся свойствами логарифма
и запишем] ln y  g ( x)  ln f ( x) . [теперь найдем производные от обеих частей
равенства.]
(ln y)   g ( x)  ln f ( x)  .[для нахождения производной правой части воспользуемся правилом (1.3), а для левой части – правилом дифференцирования
сложной функции (1.5)].
1
1
 y  g ( x)  ln f ( x)  g ( x) 
 f ( x) . [выразим из данного равенства y ]
y
f ( x)

f ( x) 
g ( x)
y   g ( x)  ln f ( x)  g ( x) 
.
  f ( x)
f
(
x
)


Запоминать такую громоздкую формулу нет необходимости, так как правильнее, при необходимости найти производную показательно – степенной
функции, каждый раз применять данный прием.
Пример 1.12. Найти производную функции y  x x .
Решение. Прологарифмируем обе части равенства:
ln y  ln x x . [воспользуемся свойствами логарифма]
ln y  x  ln x . [найдем производные от обеих частей равенства]
1
1

 y  1  ln x  x   . [выразим из данного равенства y ]
y
x

y   ln x  1 x x
2
Пример 1.13. Найти производную функции y   x  1 x .
Решение. Прологарифмируем обе части равенства:
2
ln y  ln( x  1) x .
ln y 
2
 ln( x  1) . [найдем производные от обеих частей равенства]
x
11
2

(ln y)    ln( x  1)  .
x

 2
1
2 1 
 y   ln( x  1)  
.
2
y
x
x

1
x


2
 2
2 1 
x.
y   ln( x  1)  

(
x

1)

2
x x 1
x
1.5. Дифференцирование неявно заданных функций и функций,
заданных параметрически.
Если зависимость между x и y задана в форме уравнения F(x, y)=0, то говорят, что функция задана неявно. В этом случае для нахождения производных y x и xy следует продифференцировать уравнение F(x, y)=0 по x, считая
y функцией от x , или по y , считая x функцией от y и выразить из полученного уравнения производную y x или xy .
Пример 1.3. Найдите производную y x функции, заданной неявно
x4  y 4  x2 y 2 .
Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая y функцией
от x . Дифференцируя левую часть уравнения, необходимо воспользоваться
правилом (1.5), а правую – правилом (1.3).
4 x3  4 y3  yx  2 x  y 2  x 2  2 y  yx . [выразим из данного равенства y x ]
4 y3  yx  2 x 2 y  yx  2 xy 2  4 x3 .
(4 y3  2 x 2 y) yx  2 xy 2  4 x3 .
yx 
2 xy 2  4 x3
3
2
4 y  2x y
.
Пример 1.14. Найдите производную xy заданной неявно функции
e4 xy  y  5  arctg xy  0 .
Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая y функцией от x.
Второе слагаемое в уравнения является сложной функцией, первое - произведением двух функций, одна из которых – экспонента сама является слож12
ной. Поэтому продифференцируем каждое слагаемое отдельно, а потом запишем производную всей функции целиком.
e4xy  y   e4xy  (4 y  xy  4x)  y  e4xy 1 .
 arctg


xy 
1
1
 ( xy) 2  (1  xy  y  x  1).
1  ( xy )2 2
1
В итоге получаем:
e4 xy  (4 y  xy  4 x)  y  e4 xy 
xy  y  x
2 1  xy  xy
 0 . [раскрываем скобки и груп-
пируем слагаемые, содержащие производную xy ]
4 ye4 xy  xy 
xy  y
2 1  xy  xy
 e4 xy (4 xy  1) 
x
 0.
2 1  xy  xy
[выражаем
из
получившегося уравнения xy ]


y
x
.
xy  4 ye4 xy 
 e4 xy (4 xy  1) 



2
1

xy
xy
2
1

xy
xy






xy  
x  2e4 xy (4 xy  1) 1  xy  xy
y  8 ye4 xy 1  xy  xy
.
1.6. Производные высших порядков.
Производной второго порядка, или второй производной, функции
y  f ( x) называется производная от ее производной y  f ( x) (которую
называют первой производной).
Обозначения второй производной:
 dy 
  .
dx 2  dx 
Механический смысл второй производной.
Если y  f ( x) – закон прямолинейного движения точки, то y  f ( x) –
y  ( y),
f ( x)  ( f ( x)),
d2y
ускорение этого движения в момент времени x.
13
Аналогично определяются производные третьего, четвертого и более
высоких порядков:
y  ( y),
y (4)  ( y),..., y (n)  ( y (n1) ) .
Производная n –ого порядка обозначается и так:
d nx
n
 y (n) .
dx
Если функция задана параметрически: x  x(t ), y  y(t ) , то ее вторая
производная определяется формулой:
y 
d2y
dx
2

x(t ) y(t )  y(t ) x(t )
( x(t ))
3
.
Пример 1.15. Найти f (1) для функции f ( x)  x 4  5 x3  6 x 2  7 x  9 .
Решение. Для того, чтобы вычислить значение третьей производной
функции y  f ( x) в точке x  1 , необходимо найти первую и вторую производные этой функции.
y  4 x3  15x 2  12 x  7 .
y  12 x 2  30 x  12 .
y  24 x  30 . [Подставляем в найденное выражение третьей производ-
ной значение x  1 ]
f (1)  24  1  30  6 .
Ответ: {-6}.
Пример 1.16. Найти вторую производную функции, заданной параметрически: x  t  sin t , y  1  cos t .
Решение. Найдем первую и вторую производные для функций x(t ), y(t ) .
x(t )  1  cos t ,
x(t )  ( x(t ))  (1  cos t )  sin t .
y(t )  sin t , y(t )  ( y(t ))  (sin t )  cos t .
Воспользуемся формулой, приведенной выше:
d2y
dx 2

(1  cos t )cos t  sin t sin t
(1  cos t )3

cos t  cos 2 t  sin 2 t
(1  cos t )3
[воспользуемся тождеством, cos2 t  sin 2 t  1]
cos t  1
(1  cos t )
1
.



3
3
2
(1  cos t )
(1  cos t)
(1  cos t)
14

cos t  (cos 2 t  sin 2 t )
(1  cos t )3

Ответ:
d2y
dx 2

1
(1  cos t ) 2
.
2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
2.1. Дифференциал функции.
Пусть функция y  f ( x) , определенная в некотором промежутке (a, b)
имеет производную в точке x.
y
lim
 f ( x) .

x
 x0
Тогда можно записать
y
 f ( x)   , где   0 при  x  0
x
Следовательно:
 y  f ( x) x  o( x) , где o( x) – бесконечно малая высшего порядка
по сравнению с  x .
Определение: Дифференциалом функции y  f ( x) в точке x называется
главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.
dy  f ( x) x или df ( x)  f ( x) x .
Вычислим: dx  ( x)   x  1   x   x . Следовательно
dy  f ( x)dx (2.1)
Пример 2.1. Найти дифференциал данной функции:
a) y  x3  3x ,
3
 
b) F ( )  cos    sin  
3
 
Решение: Находим производную данной функции и, умножив ее на
дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал
данной функции:
a) dy  ydx  ( x3  3x )dx  (3x2  3x ln3)dx ;
b) dF ( )  d (cos

3

3
 sin )  (cos  sin )d 
3

3

15
3  3 
1  3
3
 ( sin     cos    )d  ( sin 
cos )d .
3 3
  
3
3 2

   
Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к
графику функции в соотy = f(x)
Y
ветствующей точке, когда
аргумент получает приращение  x .
Действительно на рисунке PN это приращение
функции, а PT это приращение по касательной,
или дифференциал.
Отметим, что может
быть dy   y ,или dy   y
.
T.
.P
f(x + x)
N
.M
f(x)
x
O
x
z
dy
y
x + x
X
– это зависит от направления выпуклости функции. dy   y тогда когда
f ( x)  const , т.е функция равна постоянной.
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.
2.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Формулу можно записать так:  y  dy  o( x) и при достаточно малых
значениях  x приращение функции может быть заменено ее дифференциалом с как угодно малой относительной ошибкой:
 y  dy или f ( x0   x)  f ( x0 )  f ( x0 ) x , откуда
f ( x0   x)  f ( x0 )  f ( x0 ) x (2.2)
Это приближенное равенство применяется для приближенных вычислений , так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем
вычисление ее приращения.
Пример 2.2. Вычислить приближенное значение arctg0,98 .
Решение: Пусть arctg0,98 есть частное значение функции y  arctg x при
x  0,98  x1 . Пусть x0  1, тогда
16
f ( x0 )  arctg1 

4
,
f ( x0 )  (arctg x) x 1 
0
1
1
1
 ,
1  x 2 x0 1 1  1 2

 x  dx  x1  x0  0,02 .
Подставляя найденные значения в формулу (2.2) получаем:
 1
arctg0,98  f ( x0 )  f ( x0 )dx    (0,02)  0,77 .
4 2
Ответ: 0,77.
2.3. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
Уравнение касательной к линии y  f ( x) в точке M 0 ( x0 , y0 ) имеет вид
y  y0  f ( x0 )( x  x0 ) . (2.3)
Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к
касательной в той же точке. Если f ( x0 )  0 , то уравнение нормали к линии
y  f ( x) в точке M 0 ( x0 , y0 ) запишется так:
1
y  y0  
( x  x0 ) . (2.4)
f ( x0 )
Если в точке M 0 ( x0 , y0 ) производная функции y  f ( x) бесконечна, то
y
  , или не существует, то касательная в таком случае паралесть lim
 x  0 x
лельна оси OY.
Y
O
Y
X
Y
O
X
O
X
Угол между двумя пересекающимися кривыми y  f ( x) и y  g ( x)
определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения M 0 ( x0 , y0 ) по формуле:
tg  
f ( x0 )  g ( x0 )
. (2.5)
1  f ( x0 )  g ( x0 )
17
Пример 2.3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y  ln(2 x  1) в точке с абсциссой x0  0 .
Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную дан1
2
ной функции: y 
.
2 
2x  1
2x  1
Найдем значение производной в точке x0  0 :
2
 2.
2  0 1
Ответ: 2.
Пример 2.4. Найти угол между касательной к графику функции
2
f ( x)  x x в точке с абсциссой x0  3 и осью OX.
3
Решение. Тангенс угла между касательной к графику функции
2
f ( x)  x x в точке с абсциссой x0  3 и осью OX это значение производ3
ной этой функции в данной точке. Найдем производную функции
2
f ( x)  x x .
3
y(0) 
1
1
 1 1 
 3 
2
2
2
3
y   x 2    x 2    x 2  x 2 .
3
 3  3 2


 
1
y(3)  3 2 
3 . Значит tg   3 . Следовательно угол между касатель-
ной к графику функции и осью OX равен

или 600 .
3
Ответ: 600 .
Пример 2.5.
Записать уравнение касательной к графику функции
y  sin 2 x в точке с абсциссой x0  

.
6
Решение. Найдем производную заданной функции и ее значение в данной точке:
y  cos 2 x  (2 x)  2cos 2 x .
18



1
y( )  2cos(2  ( ))  2cos( )  2   1 .
6
6
3
2
Найдем значение заданной функции в точке x0  

6
:


3
.
y0  sin(2  ( ))  sin( )  
6
3
2
По формуле (2.3) запишем уравнение касательной:
y  (
y
3

)  1  ( x  ( )).
2
6
3

 x .
2
6
y x

6

3
.
2
Пример 2.6. Составить уравнение касательной и нормали к параболе
y  x 2  4 x в точке, где x  1 .
Решение: Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу касания
x  1 , найдем ее ординату: y0  f ( x0 )  12  4 1  1  4  3 .
Для определения углового коэффициента касательной f ( x0 ) найдем
производную данной функции и ее значение при x  1 .
f ( x0 )  ( x 2  4 x)
x0 1
 (2 x  4) x 1  2 1  4  2 .Подставляя найденные
0
значения в уравнения (2.3) и (2.4) запишем уравнения касательной и нормали:
y  3  2( x  1) – уравнение касательной;
1
y  3  ( x  1) – уравнение нормали.
2
Пример 2.7. Найти угол, под которым
пересекаются
прямая
x  y  4  0 и парабола 2 y  8  x 2 .
Решение: Для того, что бы найти точку в которой пересекаются кривые
надо совместно решить уравнения параболы и прямой:


 x  y  4  0, 
 y  4  x,
 y  4  x,




 2
2
2
2 y  8  x .
2(4  x)  8  x . 
 x  2 x  0.


19
x 2  2 x  0,
x1  0, x2  2 . Подставляем найденные значения в систе-
му: y1  4  0  4,
y2  4  2  2 . Следовательно, прямая и парабола пересе-
каются в двух точках: M1(0;4), M 2 (2;2) .
Далее находим угловые коэффициенты касательных к прямой и параболе:
x  y  4  0, y  4  x  y1  1 ;
1
1
y  4  x2  y2    2 x   x .
2
2
Подставляя в найденные производные координаты точек пересечения,
получаем угловые коэффициенты касательных:
y1 M  1, y1 M  1.
2 y  8  x2 ,
1
2
y2 M  0,
y2 M  2 .
1
2
Согласно формуле (2.5) получим:
0  (1)
tg M1 
 1. M1  450 .
1  0  (1)
tg M 2 
1  2
1
 . M 2  18,50 .
1  (1)  2 3
Ответ: 450 , 18,50 .
2.4. Правило Лопиталя – Бернулли.
При исследовании функций может появиться необходимость нахождеf ( x)
ния предела дроби
, числитель и знаменатель которой при x  a стре ( x)
мятся к нулю или бесконечности. Для нахождения таких пределов бывает
удобно воспользоваться следующим правилом:
Теорема. Если функции y  f ( x) и y   ( x) дифференцируемы в
окрестности точки x  a , обе или обращаются в нуль в этой точке, или стреf ( x)
мятся к бесконечности и существует предел отношения
при x  a , то ( x)
гда существует предел отношения самих функций, равный предел отношения
производных.
f ( x)
f ( x)
.
lim
 lim
x a  ( x) x a  ( x)
20
Замечание 1. Теорема верна и в том случае, когда функции y  f ( x) и
y   ( x) не определены в точке x  a , но lim f ( x)  0,
x a
lim f ( x)  ,
x a
lim  ( x)  0 или
x a
lim  ( x)   .
x a
Замечание 2. Теорема верна и в случае a   ,
lim f ( x)  0, lim  ( x)  0 или lim f ( x)  , lim  ( x)  
x 
x 
x 
т.е.
когда
x 
Другими словами правило Лопиталя – Бернулли применяется для рас 0
крытия неопределенностей типа
и .
 0

0
С помощью тождественных преобразований к основному виду
и
0

можно
свести
неопределенности
других
видов,
таких
как
0  ,   , 1 , 00 , 0 .
При выполнении соответствующих условий правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз.
Пример 2.8. Найти lim
x 1
x3  2 x 2  6 x  3
2 x2  5x  3
.
Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе
при x  1 :
f (1)  13  2 12  6 1  3  1  2  6  3  0 .
 (1)  2 12  5 1  3  2  5  3  0 .
Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки x  1 , то применим правило Лопиталя – Бернулли.
lim
x 1
x3  2 x 2  6 x  3
2 x2  5x  3
( x3  2 x 2  6 x  3)
3x 2  4 x  6
0
    lim
 lim
 [Под4x  5
x 1
 0  x 1 (2 x 2  5 x  3)
ставим x  1 в получившиеся в числителе и знаменателе функции
f (1)  3  4  6  1 ,  (1)  4  5  1 ] = –1.
Ответ: {–1}.
Пример 2.9. Найти lim
x 1
x3  5 x 2  7 x  3
2
x  2x  1
21
.
Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при
x  1:
f (1)  (1)3  5  (1)2  7  (1)  3  1  5  7  3  0 .
 (1)  (1)2  2  (1)  1  1  2  1  0 .
Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки x  1 , то применим правило Лопиталя – Бернулли.
x3  5 x 2  7 x  3
2
3x  10 x  7
0
lim
    lim
; [ Подставим x  1 в полу2x  2
x 1
 0  x 1
x2  2 x  1
чившиеся в числителе и знаменателе функции f (1)  3  10  7  0 ,
0
сохранилась, и функции полу0
чившиеся в числителе и знаменателе опять удовлетворяют условиям теоремы
(2.1), то можно применить правило Лопиталя – Бернулли еще раз.
 (1)  2  2  0 ]. Так как неопределенность
3x 2  10 x  7  0 
6 x  10 6  ( 1)  10
    lim

 2.
2x  2
0
2
2
x 1
x

1
 
Ответ: {2}.
lim
ex 1
Пример 2.10. Вычислить lim
.
x 0 sin 3 x
Решение. Проверкой убеждаемся, что функции, стоящие в числителе и в
знаменателе обращаются в нуль при x  0 . Так ак они обе непрерывно дифференцируемы, то применяем правило Лопиталя – Бернулли:
ex 1  0 
ex
e0
1
    lim

 .
x 0 sin 3 x  0  x 0 3cos3 x 3cos(3  0) 3
lim
1 
Ответ:   .
3
2.5. Формула Тейлора.
Одной из важнейших формул математического анализа несомненно является формула Тейлора, которая широко применяется и как инструмент теоретического исследования и как средство решения многих практических задач.
22
Формула Тейлора позволяет приближенно представить произвольную
функцию в виде многочлена и вместе с тем позволяет оценить возникающую
при этом погрешность Rn , которая может быть сделана сколь угодно малой.
Вычисление значений функции при этом сводится к вычислению значений многочлена, что можно сделать, производя только простейшие арифметические действия.
Теорема Тейлора. Функция f ( x) , дифференцируемая n  1 раз в некотором интервале, содержащем точку x  a , может быть представлена в виде
суммы многочлена n-ой степени и остаточного члена Rn , а именно:
f (a)
f (a)
f ( n) ( a )
2
f ( x)  f (a ) 
( x  a) 
( x  a)  ... 
( x  a)n  Rn , где
1!
2!
n!
Rn  o(( x  a)n ) – остаточный член в форме Пеано, бесконечно малая вели-
чина по сравнению с ( x  a)n .
Напомним, что операция факториал определяется следующим образом:
n!  1  2  3  ...  (n  1)  n ;
(2n)!  2  4  6  ...  (2n  2)  2n ;
(2n  1)!  1  3  5  ...  (2n  3)  (2n  1) ;
0!=1
Если a  0 , то формула принимает вид:
f (0)
f (0) 2
f (n) (0) n
x
 x  ... 
x  Rn и называется фор1!
2!
n!
мулой Маклорена, однако для многих функций она неприменима, так как сами функции или их производные не существуют при x  0 (например:Ф
f ( x)  f (0) 
ln x, x, ctg x ).
Напомним, что частный случай замены функции многочленом был уже
рассмотрен в п (1.5), где рассматривалось применение дифференциала к приближенным вычислениям. Именно там функция заменялась многочленом
первой степени, т.е линейной функцией. Однако эти результаты носят очень
ограниченный характер, так как не дают возможность оценивать точность такой замены.
23
Остаточный член в формуле Тейлора можно записывать и в других формах, например Коши или Лагранжа. И выбор формы его записи обычно диктуется условиями конкретной задачи.
Пример 2.11. Разложить в ряд Маклорена функцию y  e x .
Решение. Вычислим значение данной функции и ее производных при
x  0:
y  ex;
y  y  y  ... 
Формула Тейлора для некоторых элементарных функций.
24
Список литературы
1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.:
Айрис Пресс, 2006. Ч. 1.
2. Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ
«ЛЭТИ», 2008.
25
Содержание
1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ............................................................................ 3
1.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. ............... 3
1.2. Техника дифференцирования основных элементарных функций. ............. 5
1.3. Основные правила дифференцирования........................................................ 6
1.4. Дифференцирование показательно – степенной функции. ....................... 11
1.5. Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных
параметрически. ............................................................................................. 12
1.6. Производные высших порядков. .................................................................. 13
2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ................................................................. 15
2.1. Дифференциал функции. ............................................................................... 15
2.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. .................. 16
2.3. Уравнения касательной и нормали к графику функции. ........................... 17
2.4. Правило Лопиталя – Бернулли. .................................................................... 20
2.5. Формула Тейлора. .......................................................................................... 22
Список литературы ............................................................................................... 25
Редактор И. Г. Скачек
__________________________________________________________________
Подписано в печать
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 2.0.
Гарнитура «Times». Тираж 250 экз. Заказ
__________________________________________________________________
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
197376, С.-Петербург, Проф. Попова, 5