С-5. Уравнения с параметрами. C 5 . Найдите

С-5. Уравнения с параметрами.
C5.
Найдите
все
значения a,
при
ние
шений.
каждом
из
которых
уравне-
либо имеет единственное решение, либо не имеет реРешение.
Введём обозначения:
,
,
В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид
Заметим, что
при
Покажем, что при
решений.
уравнение
Действительно, если
Если
.
.
при
,
.
либо имеет единственное решение, либо не имеет
, то
.
, то
причём равенство достигается только при
При
верны неравенства
уравнение
имеет решение.
и
и
.
, так как
и
. Значит,
Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число
также является его
решением, поскольку функции
и
— чётные. Значит, если уравнение
имеет
единственное решение, то это решение
.
Решим уравнение
относительно :
,
значит,
является решением уравнения
при
или
.
Случай, когда |b| = 2, уже был разобран.
При
уравнение принимает вид
и имеет три различных решения:
,
.
Таким образом, уравнение
при
и
, то есть при
Ответ:
;
имеет единственное решение или не имеет решений
и
.
.
C5.
Найдите все значения
при каждом из которых уравне
ние
шений.
либо имеет единственное решение, либо не имеет реРешение.
Введём обозначения:
ходное уравнение принимает вид
В этих обозначениях ис-
Заметим, что
при
при
Пусть
покажем, что в этом случае уравнение
ние, либо не имеет решений.
Действительно, если
Если
при
либо имеет единственное реше-
то
то
причём равенство достигается только
и
При
верны неравенства
и
так как
и
Значит,
уравнение
имеет решение.
Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число
также является его
решением, поскольку функции
и
— чётные. Значит, если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет
единственное решение, то это решение
Решим уравнение
относительно
значит,
является решением уравнения
при
или
Случай, когда
уже был разобран.
При
уравнение принимает вид
и имеет три различных решения:
Таким образом, уравнение
имеет единственное решение или не имеет решений
при
и
и
то есть при
Ответ:
C 5.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение.
Сделаем замену
значения
поэтому
при каждом из которых уравнение
Задачу можно сформулировать так: найдите
имеет хотя бы одно решение, удо
влтеворяющее условию
Перейдем к системе:
Заметим что ни при одном значении
число
не является корнем уравнения.
Рассмотрим функцию
Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:
1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0;
1])(см.рис. 1), то есть
2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0;
1])(см.рис. 2), то есть
3) Трёхчлен имеет два корня,возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке (0; 1])(см.рис.
3), то есть
Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции
Решим систему 1:
Решим систему 2:
Решим систему 3:
:
Ответ:
C5.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби на
Сделаем замену
.
, поэтому
Задачу можно сформулировать так: найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию
Перейдем к системе:
Заметим, что ни при одном значении
число
не является корнем уравнения.
Рассмотрим функцию
Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:
Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0; 1)
(см.рис. 1), то есть
2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0;
1])(см.рис. 2), то есть
3) Трёхчлен имеет два корня,возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке (0; 1])(см.рис.
3), то есть
Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции
Решим систему
:
Решим систему:
Решим систему:
откуда
Ответ:
C5.
Найдите все значения
на промежутке
Решение.
Рассмотрим функции
на промежутке
при каждом из которых уравнение
имеет больше двух корней.
и
Исследуем уравнение
При
все значения функции
на промежутке
функции
&mdash неотрицательны, поэтому при
ний на промежутке
При
функция
уравнение
возрастает. Функция
отрицательны, а все значения
уравнение
не имеет реше-
убывает на промежутке
поэтому
имеет не более одного решения на промежутке
будет существовать тогда и только тогда, когда
причем решение
откуда получаем
то есть
На промежутке
уравнение
принимает вид
Это урав-
нение сводится к уравнению
Будем считать, что
чай
был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения
при
это уравнения не имеет корней; при
ный 1; при
поскольку слупоэтому
уравнения имеет единственный корень, рав-
уравнение имеет два корня.
Если уравнение имеет два корня
и
то есть
то больший корень
поэтому он принадлежит промежутку
Меньший корень
принадлежит промежутку
тогда и только тогда, когда
то есть
Таким образом, уравнение
межутке
:
·
нет корней при
·
один корень при
·
два корня при
·
имеет следующее количество корней на про-
и при
и при
три корня при
Ответ:
C5.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
ний.
Решение.
Неравенство
не имеет реше-
задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с грани-
цей
а уравнение
при
― окружность с цен-
тром
и радиусом
(см. рисунок).
Окружность и полуплоскость не имеют общих точек тогда и только тогда, когда радиус окружности
да
меньше
При
половины
диагонали PO квадрата APBO,
т.
е.,
отку-
уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при
нием уравнения является пара
реше
которая не удовлетворяет неравенству
Ответ:
C5.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
ное решение.
Решение.
имеет единствен-
Неравенство
цей
тром
задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с граниа уравнение
при
и радиусом
― окружность с цен-
(см. рисунок).
Окружность и полуплоскость имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда радиус
окружности равен половине диагонали PO квадрата APBO, т. е.,
да
При
уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при
нием уравнения является пара
которая не удовлетворяет неравенству
откуреше
Ответ:
C5.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Запишем
уравнение
в
виде
Рассмотрим
две
функ-
ции:
и
Графиком функции
является полуокружность радиуса 2 с центром в точке (−1;0), лежащая в верхней полуплоскости. При
каждом значении графиком функции
является прямая с угловым коэффициентом
проходящая через точку М(4; 2).
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций
и
имеют единственную
общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная МС, проведённая из точки M к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный
нулю, то есть при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
прямая не
имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая МА, заданная уравнением
довательно, её угловой коэффициент
проходит через точкиМ(4; 2) и A(−3;0), сле
При
прямая, заданная уравнением
имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой МА, и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
полуокружностью.
прямая не имеет общих точек с
Ответ:
C5 .
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Если x0 является корнем исходного уравнения, то и −x0 является его корнем. Значит, исходное
уравнение имеет единственный корень, только если x0 = −x0, то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:
откуда либо |a − 3| = 0 ⇔ a = 3, либо |a − 3| = 2 ⇔ a = 1, или a = 5.
При a = 3 исходное уравнение принимает вид: x2 = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа
−2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При a = 1 и при a = 5 уравнение принимает вид: x2 + 4 = |x − 2| + |x + 2|.
При x < − 2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.
При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x2 = 0, которое имеет единственный корень.
При x > 2 получаем уравнение x2 − 2x + 4 = 0, которое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.
О т в е т : 1; 5.
C5.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Запишем
уравнение
в
виде
Рассмотрим
две
функции:
и
Графиком функции
является
полуокружность радиуса 4 с центром в точке (3;0).лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.).
При каждом значении графиком функции
является прямая с угловым коэффициентом
проходящая через точку
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций
и
имеют единственную
общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная
проведённая из точки
к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
прямая
не имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая
заданная уравнением
проходит через точки
и
следовательно, её угловой коэффициент
При
прямая, заданная уравнением
имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая
заданная уравнением
проходит через точки
и
следовательно, её угловой коэффициент
При
прямая, заданная уравнением
циент больше, чем у прямой
и не больше, чем у прямой
имеет угловой коэффии пересекает полуокружность в
единственной точке. Получаем, что при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Ответ:
C5.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Если является корнем исходного уравнения, то и
уравнение имеет единственный корень, только если
ние
в исходное уравнение:
является его корнем. Значит, исходное
то есть
Подставим значе-
откуда либо
При
числа
либо
или
исходное уравнение принимает вид:
и
то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При
и при
При
это уравнение сводится к уравнению
При
При
При
Корнями этого уравнения являются
уравнение принимает вид:
получаем уравнение
получаем уравнение
и при
которое не имеет корней.
которое имеет единственный корень.
которое не имеет корней.
исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ:
C5.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
единственный корень.
Решение.
Запишем
уравнение
в
виде
имеет
.
Рассмотрим
две
функ-
ции:
и
Графиком функции
является полуокружность радиуса 2 с центром в точке
лежащая в верхней полуплоскости
(см. рис.). При каждом значении графиком функции
является прямая с угловым коэффициентом
, проходящая через точку
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций
и
имеют единственную
общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная
, проведённая из точки
к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
прямая
не имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая
, заданная уравнением
проходит через точки
и
следовательно, её угловой коэффициент
При
прямая, заданная уравнением
окружностью. Прямая
заданная уравнением
имеет две общие точки с полузаданная уравнением
и
следовательно, её угловой коэффициент
. При
прямая, заданная
уравнением
имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой
и не больше, чем у прямой
, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что
при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
имеет общих точек с полуокружностью.
прямая не
Ответ:
C5.
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
единственный корень.
Решение.
Запишем уравнение в виде
и
имеет
. Рассмотрим две функции:
Графиком функции
ется полуокружность радиуса с центром в точке
рис.). При каждом значении а графиком функции
том —а, проходящая через точку
.
явля
, лежащая в верхней полуплоскости (см.
является прямая с угловым коэффициен-
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций
и
имеют единственную
общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная МС, проведённая из точки М к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный
нулю, то есть при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
прямая не
имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая MA, заданная уравнением
, проходит через точки
и
следовательно, её угловой коэффициент
При
прямая, заданная уравнением
имеет две общие точки с полу
окружностью. Прямая MB, заданная уравнением
и
следовательно, её угловой коэффициент
проходит через точки
При
прямая, заданная
уравнением
имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что
при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
общих точек с полуокружностью.
прямая не имеет
Ответ:
C5.
Найдите
все
значения a,
ние
при
каждом
из
которых
уравне-
имеет хотя бы один корень.
Решение.
Рассмотрим
ку
две
функции:
и
Посколь-
получаем:
Функция
является кусочно-линейной, причём при
угловой коэффициент равен либо 3, либо 9, а при
угловой коэффициент равен либо –3, либо –9. Значит,
функция
возрастает при
и убывает при
поэтому
Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда
Значит, либо
откуда
либо
откуда
Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при
имеет корней при других значениях
и при
и не
Ответ:
C5.
Найдите
все
значения a,
ние
при
каждом
имеет хотя бы один корень.
Решение.
Рассмотрим две функции:
Поскольку
из
, получаем :
и
которых
уравне-
Функция
является кусочно-линейной функцией, причем при
угловой коэффициент равен либо либо
а при
угловой коэффициент равен либо -4, либо 12. Значит, функция
возрастает при
и убывает при
, поэтому
Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда
Значит,
либо
либо
Исходное
уравнение
имеет
при
хотя
бы
один
корень
при
и
и не имеет корней при других значениях a
Ответ:
C5.
Найдите все значения a, при которых уравнение
на промежутке
имеет
единственный корень.
Решение.
Рассмотрим два случая. Первый случай:
Исходное уравнение примет вид
Последнее уравнение имеет на промежутке
куда
Подставив
чим:
единственный корень при
в
неравенство
полу-
откуда
В этом случае уравнение
при условии
ке
единственный корень
ке
корней при
Второй случай:
имеет на промежут
при
и не имеет на промежут
и при
Исходное уравнение примет вид
от-
Последнее уравнение имеет на промежутке
вив
единственный корень
в неравенство
получим:
В этом случае уравнение
межутке
Подстаоткуда
при условии
единственный корень
при
имеет на прои не имеет на промежутке
корней при
Уравнение
на промежутке
• при
не имеет корней;
• при
имеет единственный корень
• при
имеет два различных корня
• при
и
имеет единственный корень
Ответ:
C5.
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет на промежутке
единственный корень.
Решение.
Первый случай:
Тогда
Последнее уравнение имеет на промежутке
единственный корень при
отку-
да
Подставив
в неравенство
В этом случае уравнение
при условии
ке
единственный корень
ке
корней при
Второй случай:
получим:
при
имеет на промежути не имеет на промежут-
и при
Тогда из исходного уравнения получаем:
Последнее уравнение имеет на промежутке
Подставив
в неравенство
чим:
полу
откуда
В этом случае уравнение
межутке
ке
единственный корень
при условии
единственный корень
имеет на про
при
и не имеет на промежут-
корней при
Ответ:
,
C5.
Найдите все значения a, при которых уравнение
принадлежащий промежутку (−1; 1].
имеет хотя бы один корень,
Решение.
Уравнение
равносильно системе
Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку
ние
либо промежутку
если уравне-
имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку
Поскольку графиком функции
является парабола, ветви которой направлены
вверх, а вершина находится в точке
уравнение
надлежащий промежутку
при условии
имеет хотя бы один корень, при-
(рис. 1).
Уравнение
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку
при условии
(рис. 2).
Уравнение
ку
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежут
при
и при
Ответ:
C5.
Найдите все значения a, при которых уравнение
рень, принадлежащий промежутку (-1; 2].
имеет хотя бы один ко-
Решение.
Уравнение
равносильно системе
Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку
ние
промежутку
, если уравне-
имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку
либо
Поскольку графиком функции
является парабола, ветви которой направлены
вверх, а вершина находится в точке
надлежащий промежутку
да
Уравнение
имеет хотя бы один корень, при
, при условии
отку
(рис.1).
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку
откуда
Уравнение
при
уравнение
, при условии
(рис.2).
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку
и при
Ответ:
,
C5.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Запишем уравнение в виде
Если является корнем исходного уравнения, то и
уравнение имеет нечётное число корней, только если
ние
в уравнение:
откуда либо
является его корнем. Значит, исходное
то есть
Подставим значе-
либо
или
При
уравнение принимает вид
Корнями этого уравнения являются числа
и то есть уравнение имеет ровно три корня.
При
При
и при
это уравнение сводится к уравнению
При
При
уравнение принимает вид
получаем уравнение
которое имеет единственный корень.
получаем уравнение
Таким образом, при
и при
Ответ:
которое не имеет корней.
которое не имеет корней.
исходное уравнение имеет единственный корень.
и
C5.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Запишем уравнение в виде
Если является корнем исходного уравнения, то и
уравнение имеет нечётное число корней, только если
значение
в уравнение:
является его корнем. Значит, исходное
то есть х0 = 0.
Подставим
откуда либо
либо
или
При
уравнение принимает вид
Корнями этого уравнения являются числа
и то есть уравнение имеет ровно три корня.
При
и при
При
это уравнение сводится к уравнению
При
При
уравнение принимает вид
получаем уравнение
которое имеет единственный корень.
получаем уравнение
Таким образом, при
которое не имеет корней.
и при
Ответ:
которое не имеет корней.
исходное уравнение имеет единственный корень.
и
C5.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение.
Запишем исходное уравнение в виде
Пусть t = cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение
имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком
функции
вверх,
следовательно, уравнение
либо при условии
вии
(рис. 2)
является
парабола,
ветви
которой
направлены
имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1],
(рис. 1)
откуда
либо при услооткуда
Ответ:
C5.
Найдите все значения параметра
при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Найдите это решение для каждого значения
Решение.
Пусть число — решение данного уравнения при некотором значении параметра Тогда
число
есть его решение при том же значении Если решение единственно, то решения
и совпадают, то есть
Подставив это решение в исходное уравнение, получим:
откуда
Пусть
Тогда исходное уравнение примет вид
Отсюда следует, что
следовательно,
Исходное уравнение принимает вид
творяющее условию
и оно имеет единственное решение
Следовательно,
О т в е т : при
удовле
удовлетворяет условию задачи.
единственное решение
C5.
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Найдите это решение для каждого значения
Решение.
Пусть число — решение данного уравнения при некотором значении параметра Тогда
число
есть его решение при том же значении Если решение единственно, то решения
и совпадают, то есть
Подставив это решение в исходное уравнение, получим:
откуда
Пусть
Тогда исходное уравнение примет вид
Отсюда следует, что
следовательно,
Исходное уравнение принимает вид
удовлетворяющее условию
дачи.
О т в е т : при
и оно имеет единственное решение
Следовательно,
удовлетворяет условию за-
единственное решение
C5.
Найдите все значения
при которых неравенство
выполняется для всех действительных значе-
ний
Решение.
Заметим, что
Пусть
ния
Ввиду того, что
при
является промежуток
множеством значений выраже
Значит, неравен
ство
выполняется для всех действительных значений
тогда и только тогда, когда на промежутке
выполняется неравен
ство
Далее имеем:
1) если
то неравенство
не имеет решений на промежутке
межутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
так как на этом про-
2) если
, то неравенство
равносильно неравенству
Функция
должна быть положительна на промежутке
значит, ее график
должен быть расположен выше интервала
оси абсцисс, то есть, должно выполняться условие
(см.рисунок). Решая неравенство
с учетом условия
окончательно
получаем
.
Ответ:
Замечание.
Пункт 2) можно выполнить иначе с помощью следующих рассуждений:
Поскольку вершина параболы
имеет координаты
, функция
возрастает на промежутке
и, значит множеством ее значений на этом промежутке является промежуток
, то есть промежуток
Таким образом, неравенство
для всех из промежутка
в том и только в том случае, когда выполняется условие
куда с учетом условия
, окончательно получаем
C5.
Найдите все значения
при которых неравенство
не имеет решений.
Решение.
Заметим, что
Положим
ния
Ввиду того, что
при
является промежуток
множество значений выраже
Значит, неравенство
верно
, от-
не имеет решений тогда и только тогда, когда на промежутке
не имеет решений неравенство
Имеем:
1) при
неравенство
не имеет решений на промежутке
так как на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
2) при
неравенство
равносильно неравенству
.
Функция
должна быть неположительна на промежутке
значит, её график
должен быть расположен не выше интервала
оси абсцисс, то есть, должно выполняться условие
Решая неравенство
получаем
Ответ:
Замечание.
Пункт 2) можно выполнить иначе с помощью следующих рассуждений:
Поскольку вершина параболы
имеет координаты
, функция
возрастает на промежутке
и, значит, множеством ее значений на этом промежутке является промежуток
, то есть промежуток
Таким образом, неравенство
для всех из промежутка
в том и только в том случае, когда выполняется условие
неверно
C5.
Найдите все значения при каждом из которых уравнение
корней.
Решение.
имеет более двух
Рассмотрим функции
и
Исследуем уравнение
На промежутке
функция
возрастает. Функция
убывает на этом промежутке, поэтому уравнение
имеет не более одного решения на промежутке
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда,
то есть при
При
уравнение
принимает вид
уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При
ратному
го
при
корня.
уравнению
При
левая часть этого
это уравнение сводится к кваддискриминант
поэтому при
— уравнение имеет единственный корень, равный
которо-
это уравнение не имеет корней,
при
— уравнение имеет два
Пусть
уравнение
имеет
два
корня,
и
Тогда меньший корень
а больший корень
не превосходит
если
то есть
при
По теореме Виета
поэтому знаки корней
и
зависят от зна-
ков выражений
и
Значит, при
оба корня отрицательны, при
один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при
оба корня неотрицательны.
Таким образом, при
уравнение
один корень при
и
не имеет корней при
имеет
имеет два корня при
Таким образом, уравнение
— нет корней при
— один корень при
и
имеет следующее количество корней:
и
— два корня при
и
— три корня при
Ответ:
C5.
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
корней.
Решение.
Рассмотрим функции
и
имеет более двух
. Исследуем уравнение
.
На промежутке
функция
возрастает. Функция
убывает на этом промежутке, поэтому уравнение
имеет не более одного решения на промежутке
, причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда,
, то есть при
.
При
уравнение
принимает вид
. При
левая часть этого
уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При
это уравнение сводится к квад
ратному
дискриминант
го
уравнению
, поэтому при
которо
это уравнение не имеет кор-
ней; при
два корня.
уравнение имеет единственный корень, равный
; при
уравнение имеет
Пусть уравнение имеет два корня,
и
Тогда меньший корень
то есть при
.
всегда меньше , а больший корень
не превосходит , если
,
.
По теореме Виета:
,
,
поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений
и
. Значит, при
оба корня отрицательны, при
один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при
оба корня неотрицательны.
Таким образом, при
уравнение
имеет один корень при
и
не имеет корней при
, имеет два корня при
Таким образом, уравнение
— нет корней при
— один корень при
— два корня при
— три корня при
.
имеет следующее количество корней:
;
и
;
и
;
.
Ответ:
.
и
,
C5.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
три различных решения.
Решение.
Запишем уравнение в виде
и
.
имеет ровно
и рассмотрим графики функций
График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а.
Уравнение будет иметь три различных решения в следующих случаях.
1. Вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1).
2. Одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).
В первом случае
, и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6. Рассмотрим второй случай. Пусть
правая сторона угла касается параболы. Уравнение
ное решение.
, а должно иметь единствен-
Приведём уравнение к стандартному виду:
.
Из равенства нулю дискриминанта получаем
,
откуда
.
Если параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение
;
Оно имеет единственное решение, только если
Ответ: 3,5; 4; 4,5.
.
.
C5.
При каких
уравнение
имеет ровно три корня?
Решение.
Запишем уравнение в виде
Построим графики левой и правой частей уравнения (см. рис.) Из рисунка видно, что подходящих
значений ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку
при
другом — касается отраженного участка параболы.
Первое происходит при
, а второе — когда уравнение
имеет един-
ственный корень. Приравнивая дискриминант к нулю, находим
Ответ:
C5.
Найдите все значения , при которых уравнение
ровно два корня.
Решение.
Рассмотрим
ке
При
функции
ке
функции
и
на промежутке
Исследуем
на
имеет
промежут-
все значения функции
на промежутке
неположительны, а все значения
— положительны, поэтому при
уравнение не имеет решений на промежут-
При
функция
возрастает на промежутке
, Функция
убывает на этом промежутке, поэтому уравнение
всегда имеет ровно одно решение на промежутке
,
поскольку
На промежутке
уравнение
дится к уравнению
был
рассмотрен
принимает вид
Будем считать, что
Дискриминант
ранее.
ния
поэтому при
при
корня.
Это уравнение сво, поскольку случай
квадратного
уравне-
это уравнение не имеет корней;
уравнение имеет единственный корень, равный 2; при
Пусть уравнение имеет два корня, то есть
значения функции
уравнение имеет два
Тогда оба корня меньше 5, поскольку при
неположительны, а значения функции
положительны. По теоре-
ме Виета сумма корней равна 4, а произведение равно
Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку
, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда,
когда
.
Таким образом, уравнение
ке
:
имеет следующее количество корней на промежут-
1) Нет корней при
2) Один корень при
3) Два корня при
и
4) Три корня при
Ответ:
;
C5.
Найдите все значения , при которых уравнение
ровно два корня.
Решение.
Рассмотрим
ке
функции
и
на промежутке
Исследуем
на
имеет
промежут-
При
все значения функции
на промежутке
неположительны, а все значения
функции
— положительны, поэтому при
уравнение не имеет решений на промежутке
При
функция
возрастает на промежутке
, Функция
убывает на этом промежутке, поэтому уравнение
всегда имеет ровно одно решение на промежутке
,
поскольку
и
На промежутке
уравнение
дится к уравнению
был
рассмотрен
принимает вид
Будем считать, что
Дискриминант
ранее.
ния
поэтому при
при
корня.
Это уравнение сво-
это уравнение не имеет корней;
уравнение имеет единственный корень, равный ; при
Пусть уравнение имеет два корня, то есть
значения функции
, поскольку случай
квадратного
уравне-
уравнение имеет два
Тогда оба корня меньше 4, поскольку при
неположительны, а значения функции
положительны. По теоре-
ме Виета сумма корней равна 3, а произведение равно
Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку
, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда,
когда
.
Таким образом, уравнение
ке
:
имеет следующее количество корней на промежут-
1) Нет корней при
2) Один корень при
3) Два корня при
и
4) Три корня при
Ответ:
;
C5.
Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение
на промежутке
имеет более двух корней.
Решение.
Рассмотрим функции
жутке
.
и
. Исследуем уравнение
При
все значения функции
на промежутке
ции
— неотрицательны, поэтому при
уравнение
межутке
.
При
функция
нение
возрастает. Функция
отрицательны, а все значения функне имеет решений на про-
убывает на промежутке
имеет не более одного решения на промежутке
существовать тогда и только тогда, когда,
есть
, причем решение будет
, откуда получаем
уравнение
сводится к уравнению
принимает вид
. Будем считать, что
уравнение не имеет корней; при
, поскольку случай
был
, поэтому при
это
уравнение имеет единственный корень, равный 2;
уравнение имеет два корня.
уравнение
имеет
два
рень
рень
, то
. Это уравнение
рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения
Если
, поэтому урав-
.
На промежутке
при
на проме-
корня
и
,
то
есть
,
то
, поэтому он принадлежит промежутку
принадлежит промежутку
больший
ко-
. Меньший ко-
тогда и только тогда, когда
то есть
Таким образом, уравнение
ке
:
имеет следующее количество корней на промежут-
- нет корней при
;
- один корень при
и
- два корня при
и
- три корня при
;
;
.
Ответ:
.
C5.
Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение
на промежутке
имеет более двух корней.
Решение.
Рассмотрим функции
жутке
.
и
. Исследуем уравнение
При
все значения функции
на промежутке
ции
— неотрицательны, поэтому при
уравнение
межутке
.
При
функция
нение
возрастает. Функция
имеет не более одного решения на промежутке
, поэтому урав-
, причем решение будет
, откуда получаем
, то
.
На промежутке
уравнение
сводится к уравнению
принимает вид
. Будем считать, что
рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения
уравнение не имеет корней; при
при
отрицательны, а все значения функне имеет решений на про-
убывает на промежутке
существовать тогда и только тогда, когда,
есть
на проме-
уравнение имеет два корня.
. Это уравнение
, поскольку случай
был
, поэтому при
это
уравнение имеет единственный корень, равный 2;
Если
уравнение
имеет
два
рень
рень
корня
и
,
то
есть
,
то
, поэтому он принадлежит промежутку
принадлежит промежутку
больший
ко-
. Меньший ко-
тогда и только тогда, когда
то есть
Таким образом, уравнение
ке
:
- нет корней при
;
- один корень при
- два корня при
- три корня при
имеет следующее количество корней на промежут-
и
и
;
;
.
Ответ:
.