Разработка урока по теме «Иррациональные уравнения» для 11

Шибанова Татьяна Павловна
Методы решения иррациональных уравнений.
Цели:



Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения
иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах
решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений
классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить
применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического
мышления.
Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным
уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.
Задачи урока:
1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;
2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений;
формировать умение выбирать рациональные пути решения;
3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений,
закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных
методов и алгоритмов решения;
5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и
между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

Тип урока: комбинированный
Методы обучения:





Информационно- иллюстративный;
репродуктивный;
проблемный диалог;
частично-поисковый;
системные обобщения.
Формы организации учебной деятельности:





Фронтальная,
групповая,
самопроверка,
взаимопроверка,
коллективные способы обучения.
Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.
Продолжительность занятия: 2 урока по 45 минут.
1
Шибанова Татьяна Павловна
План урока:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.
Изучение нового материала.
Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного,
связанного с новым.
Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
Задание на дом.
Конспект урока.
I Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
II Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по
лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной
презентации. Проверка домашнего задания.
 Определение иррационального уравнения.
Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени,
называется иррациональным.
Назовите иррациональные уравнения:
11х  1  2  х 2  2
2  х  х2  
3 х  3х 4  7
1
х3  х  5  0
 Что значит решить иррациональное уравнение?
Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение
превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не
существует.
 Основные методы решения иррациональных уравнений.
1. Уединение радикала. Возведение в степень.
a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны
два пути:
1) использование равносильных преобразований
для уравнения вида
f ( x)  g ( x) :
2
Шибанова Татьяна Павловна
 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0
2
для уравнения вида
f ( x)  g ( x ) :
 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  
или 
 g ( x)  0
 f ( x)  0
2) после возведения в степень выполнение проверки, так как
возможно появление посторонних корней
b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени
возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к
равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.
Пример 1:
3x  3  x  1
3  3x   x  1
 x2  x  2  0
 x  2; x2  1

3x  3  x  1  

 1
x  1

x  1
x 1  0
2
Ответ: x=1
Пример 2:
7  5x2  2 x  0
7  5x 2  2 x
5 x 2  2 x  7  0  x1  1, 4; x2  1
7  5x2  2 x  


x  0
2 x  0
x  0
Ответ: x=1
Пример 3:
x 1  3  x
x 1  3  x
x 1  3  x 
2
x 1  9  6 x  x2
x 2  7 x  10  0
Проверка: x=2
D  49  40  9
2 1  3  2
1  1 верно 
x=5
5 1  3  5
2  2  ложно 
73
2
2
73
x2 
5
2
x1 
x  5 - посторонний корень
Ответ: x=2
3
Шибанова Татьяна Павловна
Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить
неоднократно.
3  2x  5  x  5
Пример 4:
3  2x  5  x  5
3  2x  5  5  x

3  2x
  5 
2
5 x

2
3  2 x  25  10 5  x  5  x
10
5 x

2
  27  x 
2
x 2  154 x  229  0
x1  77  10 57
x2  77  10 57
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ:
x1  77  10 57
x2  77  10 57
2. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены
Пример 5:
2 x2  6 x  x2  3x  6  2  0
2  x 2  3x   x 2  3x  6  2  0
Сделаем замену
x 2  3x  6  y причём y  0 тогда
y 2  x 2  3x  6
x 2  3x  y 2  6
2  y2  6  y  2  0
2 y 2  y  10  0
1  9 5

4
2
1  9
y2 
2
4
y1 
не удовлетворяет условию y  0
Возвращаемся к замене:
4
Шибанова Татьяна Павловна
x  3x  6  2
2
x  3x  6  4
2
x 2  3x  2  0
Проверка показывает, что оба корня подходят.
x1  1
x2  2
Ответ:1;2
Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.
Пример 6:
3
9 х 3 7 х  4.
Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение
3
9 х  a ,
3
7 х b.
9  x  a3 ,
Тогда,
7  x  b3.
Выполним почленное сложение обеих частей уравнения
a  b  4
Имеем систему уравнений  3 3
a  b  16
16  a 3  b 3 .
a  b  4

2
2
(a  b)(a  ab  b )  16
a  b  4
 2
2
a  ab  b  4
Т.к. а + в = 4, то (a  b) 2  16, a 2  b 2  16  2ab,
a  b  4

16  2ab  ab  4
Значит:
a  b  4

16  3ab  4
 3 9  x  2
3
 7  x  2
a  2

b  2
a  b  4

ab  4
9 – x = 8 , х = 1.
Ответ : х = 1
3. Метод разложения на множители или расщепления.
 Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в
него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
Пример 7:
16  x 
2
3 x  0
16  x 2  0  x1  4; x2  4
2
16

x
3

x

0





x  3
3  x  0
Ответ: -4;3
5
Шибанова Татьяна Павловна
Изучение нового материала.
III
Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.
4. Умножение на сопряжённое выражение.
5. Переход к модулю.
6. Использование свойств функции:






Область определения функции (ОДЗ)
Область значения функции
Свойство ограниченности функции (метод оценок)
Свойство монотонности
Использование суперпозиций функций
Умножение на сопряжённое выражение.
Воспользуемся формулой
 a  b  a  b   a2  b2
5  x  1 x  2
Пример 8:
Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение:

5  x  1 x
5  x 1 x  2


 
5  x  1 x  2
5  x  1 x

5  x  1 x
5  x  1 x

5  x  1 x  2
2 5 x  4
5 x  2
5 x  4
x 1
Проверка показывает, что число является корнем.
Ответ: x  1

Переход к модулю.
Для этого метода воспользуемся тождеством:
Пример 9:
a2  a
x2  2 x  1  x2  2 x  1  6
6
Шибанова Татьяна Павловна
x  2x 1  x  2x 1  6
2
2
 x  1
2

 x  1
2
6
x 1  x 1  6
Рассмотрим случаи:

Если x  1, то x  1  0 , тогда x  1   x 1,
x  1  0, тогда x  1   x  1
x 1 x  1  6
2 x  6
x  3
 Если 1  x  1 , тогда x  1  x  1 ,а x 1   x  1
x 1 x 1  6
2=6( ложно)
 Если x  1 , тогда x  1  x  1 , а x 1  x  1
x 1  x 1  6
2x  6
x3
Ответ: -3;3

Использование свойств функции:

Область определения функции (ОДЗ)
Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение,
существенно облегчает его решение.
Пример 10:
x2  x  2  x  x2  x  1
 x2  x  0
 x  1, x  0


2
ОДЗ: 2  x  x  0  2  x  1
x  0

x  0

Проверка показывает, что только
ОДЗ: x=0 и x=1
x=1 является корнем.
Ответ: x  1
7
Шибанова Татьяна Павловна
x  x  7  3x  2
Пример 11:
x  0 , тогда
Тогда
7  3x  0  x  x  7  3 x  x  x  7  3 x
x  x  7  3x  2 невозможно.
Ответ: корней нет.
 Область значений функции
Пример 12:
x  3  1
Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция y  x  3
может принимать только неотрицательные значения.
Ответ: корней нет
Пример 13:
x3  3x 2  16 x  2  1  1  2 x 2
Учитывая то, что левая часть уравнения – функция y  x3  3x 2  16 x  2  1 может
принимать только неотрицательные значения, решим неравенство: 1  2 x 2  0
1  2 x 2  0  2 x 2  1  0  2 x 2  1 неравенство решений не имеет, тогда и исходное
уравнение тоже.
Ответ: корней нет
 Свойство ограниченности функции (метод оценок)

 f  x   A
Если f ( x)  A и g ( x)  A , то f ( x)  g ( x)  
 g  x   A
Пример 14:
x2  4  x 2  1  3  5x 2
Заметим, что
x2  4  x2  1  4  1 , т.е.
x2  4  x2  1  3 , а 3  5 x 2  3
2

3  5 x  3
x  4  x  1  3  5x  
2
2

 x  4  x 1  3
2
2
2
3  5x2  3
5 x 2  0 Проверка показывает, что это значение является и корнем
x0
второго уравнения.
Ответ: x  0
8
Шибанова Татьяна Павловна

Свойство монотонности
 Пусть y  f  x  - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке
I. Тогда уравнение f  x   a имеет на промежутке I
не более одного корня.
 Пусть y  f  x  - функция, возрастающая на некотором промежутке
I , а функция
y  g  x  - убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение f  x   g  x  имеет на
промежутке I. не более одного корня
. 3 x  3 x
Пример 15:
Рассмотрим функции f ( x)  3  x и g  x   3  x .
f ( x)  3  x монотонно возрастает, а g  x   3  x - убывает, следовательно,
уравнение имеет не более одного корня.
Значение корня легко найти подбором: x  1
Ответ: x  1
Пример 16:
3
2x 1  3 x 1  1
Функция f  x   3 2 x  1  3 x  1 возрастает на своей области определения,
как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение f  x   1 имеет
не более одного корня. Так как f 1  1, то x  1 - единственный корень .
Ответ: x  1

 Использование суперпозиций функций
Если f  x  - монотонно возрастающая функция, то уравнения f  x   x
f  f  x    x равносильны.
Пример 17:
и
1 x  x 1
Запишем уравнение в виде 1  1  x  x
Рассмотрим функцию f  x   1  x - монотонно возрастающую, тогда
уравнение имеет вид
Сделаем замену
f  f  x    x . Оно равносильно уравнению 1  x  x
x  t, t  0
9
Шибанова Татьяна Павловна
t  t 1  0
2
D  1 4  5
1 5
2
1 5
t2 
2
t1 
не удовлетворяет условию t  0
1 5
2
62 5
x
4
3 5
x
2
x
Ответ: x 
IV.
3 5
2
Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее
пройденного, связанного с новым.
Решение уравнений в группах по 6 человек.
Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе,
записывают его.
После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются
заданиями с решениями по кругу:
1
6
5
2
3
4
Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.
Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для
обсуждения вклада каждого в решение проблемы.
Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель
контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.
V.
VI.
Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
Задание на дом:
Решить уравнения:
1)
x 1  x 1
10
2)  x  1 16 x  17   x  18x  23
3) 5  x  x  1  2
4)
5
Шибанова Татьяна Павловна
16 x 5 x  1

 2,5
x 1
16 x
5) 1  2 x  x 2    x  1   0
2
6) 10  x  x  10  2
7) x2  2x  x  x2  x  0
8) * x2  ax  2a  x  1
Используемая литература.
1. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в
школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический
университет «Первое сентября», 2006.
2. Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый
государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд,
2006 –Ч.1,2
3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение
задач. – М.: Просвещение, 1989
4. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс
подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.
5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и
контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11
классов. – М.: Илекса, 2006.
11
Шибанова Татьяна Павловна
Задания для работы в
группах:
Вариант 1(1,3,5 группы).
Вариант 2( 2,4,6 группы)
Решите уравнения,
Решите уравнения,
используя подсказку:
используя подсказку:
1. Возведи обе части в квадрат:
1. Возведи обе части в квадрат:
х2  2 x  10  2 x 1
2. Выполни замену:
24 x  x  3
3. Найди ОДЗ:
x 1  x  2  x 1
4. Умножай на сопряжённое выражение:
15  x  3  x  6
5. Переходи к модулю:
x2  10x  25  x2 10x  25  2x
6. Используй свойства функций:
x  3  x 1  2
7. Реши любым способом:
3x2  2 x  15  3x2  2 x  8  7
9 х2  3x  6  6 x  24
2. Выполни замену:
x2  3x  x2  3x  2
3. Найди ОДЗ:
3x  15  2 x 2  3  5  x
4. Умножай на сопряжённое выражение:
4 x  x 5  3
5. Переходи к модулю:
4 x2  4 x  1  4 x2 12 x  9  4 x  2
6. Используй свойства функций:
x 1  2  x  1
7. Реши любым способом:
5  x2  5  x2  4
12
Проверочная работа по теме: «Методы
Шибанова Татьяна Павловна
решения иррациональных уравнений»
Вариант 1
Вариант 2
Решите уравнения,
Решите уравнения,
используя подсказку:
используя подсказку:
1. Возведи обе части в квадрат:
1. Возведи обе части в квадрат:
x  8  7 x  9  1
2. Выполни замену:
x2
x 2 x2
x2
3. Найди ОДЗ:
x  1  3х 2  2 x  7
2. Выполни замену:
x2
 2 x  5x  2 x
2x  5
3. Найди ОДЗ:
3x  3  x  1
4. Разложи на множители:
 x  2
x2  x  20  6 x  12
5. Умножай на сопряжённое выражение:
5  x  7  x  2 x  15  2
4. Разложи на множители:
 x  3
5. Умножай на сопряжённое выражение:
x  2  x 1  1
6. Переходи к модулю:
5 x  x 4  3
6. Переходи к модулю:
x2  12x  36  x2  14x  49  2x  1
7. Используй свойства функций:
49 14 x  x2  32 x  4 x2 15  x  7
7. Используй свойства функций:
3x  1  x  4  1
8. Реши любым способом:
2 x2  3x  2 x2  3x  9  33
x 2  5x  4  2 x  6
x 1  x  1  2
8. Реши любым способом:
3
x  2  x 1  3
13