Муниципальное Автономное Общеобразовательное Учреждение Средняя Образовательная Школа №10 Индивидуальный проект: «То, что вы не знали про число ПИ» Автор работы: Ученик 11Б класса Горбенко Станислав Игоревич. Научный руководитель: Учитель алгебры и геометрии Пирогова Татьяна Николаевна. 2024 год Стр Содержание: Вступление …3 Глава 1: Гонка за числом 1.1 Но сначала пи-цца 1.2 Вычисления Архимеда 1.3 Гонка значений 1.4 Ньютон меняет мир 1.5 Число ПИ в современном мире …4 …4 …4 …5 …7 Глава 2: Использование ПИ 2.1 Применение числа ПИ в современном мире …8 2.2 Теория хаоса …9 Глава 3: Необычный способ вычисления числа ПИ 3.1 Метод иглы Бюффона …10 Выводы …12 Заключение …13 Литература …14 2 Вступление В нашем мире существует огромное количество формул, используемых в науке и обычной жизни. В некоторых из них люди сталкиваются с математическими постоянными. Одним из таких является уникальное в своем роде число ПИ. В простой жизни мы знаем, что его значение приблизительно равно 3,14. Этого достаточно для решения геометрических задач и в целом любых вычислений. Но ведь это не его конечное значение. Тысячелетия учёные старались вычислить более точное значение. Но как именно смогли найти такое значение числа? Зачем учёные начали гонку вычислений с большим количеством знаков после запятой и как в жизни мы используем это загадочное ПИ? Цель работы: - Найти в исторических источниках упоминания о числе ПИ и о методах его нахождения. - Подробно изучить способы вычисления числа ПИ. - Показать трудолюбие и стремление учёных вычислить точнейшее значение числа ПИ. Задачи: 1) Понять, что такое число ПИ 2) Выяснить историю вычисления ПИ 3) Узнать последние новости про число ПИ 4) Провести простой эксперимент для неточного вычисления числа ПИ. Методы изучения: - Анализ - Сбор информации - Практика 3 Глава 1: Гонка за числом 1.1 Но сначала пи-цца Возьмём пиццу и отрежем у неё бортики. Выложим их в длину и заметим, что длина бортиков будет равна примерно чуть больше, чем 3 пиццы. Это и есть число ПИ. Также ПИ используется при вычислении площади круга. Но почему получается такое соотношение? Разрежем пиццу на мелкие кусочки и получим прямоугольник со стороной ПИ*R и R. Площадь единичной окружности –ПИ. Очень легко доказать, что ПИ больше 3, но меньше 4. Для этого впишем в окружность с радиусом 1 шестиугольник. Его можно разделить на 6 равносторонних треугольника. Периметр шестиугольника 6, а длина окружности очевидно больше. Значит пи больше 6/2 = 3. Опишем квадрат около окружности. Периметр квадрата равен 8. Получается пи меньше 8/2=4 1.2 Вычисления Архимеда[2] Метод Архимеда вычисления числа ПИ заключается в вписывании и описывании правильных n-угольных фигур. Чем больше сторон будет иметь фигура, тем точнее будет значение. Архимед описывал и вписывал в окружность шести-, двенадцати- и так далее до 96-угольника.В результате Архимед смог получить очень точное значение для того времени числа ПИ 1.3 Гонка точных значений Результата, полученного Архимедом, было достаточно, чтобы использовать число ПИ при вычислениях и определенных использованиях числа ПИ в жизни. Ещё 2000 лет учёные из различных стран мира вычисляли ПИ по методу Архимеда. 4 Но, дальше учёные решили устроить гонку вычислений, чтобы добиться самого точного. Так, Птолемей рассматривал 720-угольник, через полторы тысячи лет Франсуа Виет использовал 393216-угольник, получив 10 знаков, а в конце 17 века Людольф Ван Цейлен находит 35 верных знаков числа π , оперируя чудовищным 32.515.254.720 - угольником, потратив на эти расчеты более (!!!) 10 лет. На могиле Ван Цейлена выпишут число ПИ, вычисленное им и ставшее самым точным значением 17 века! Самое интересное, что все расчеты были сделаны вручную без использования вычислительных приборов. Люди тратили свою жизнь ради вычисления этого удивительного числа. Данная гонка вычислений могла продолжаться еще долгое время, но в эту игру решил вступить Ньютон. 1.4 Ньютон меняет мир[3] Ньютон очень любил игру с формулами. Данная идея является не очень хорошей, поскольку есть формулы, где происходит сбой работы формулы при определенных условиях. Используя формулу возведения в n-ную степень сумму двух чисел, Ньютон выстроил Треугольник Паскаля*1. Кажется, что на этом можно остановиться, но, нет. Ньютон решил возводить сумму чисел в отрицательную степень. (1 + 𝑥 ) 𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 1! + 𝑛(𝑛−1)𝑥 2 2! +⋯ Как итог, коэффициенты, получаемые Ньютоном, вставали в Треугольник Паскаля, но повернутого в угол. Дальше Ньютон решил возводить сумму в дробную степень. Это позволило доказать, что между натуральными коэффициентами может находиться бесконечное количество коэффициентов, которые в теории не имеют своего предела. Это означает, что Ньютон смог расширить область треугольника Паскаля до нового уровня. *1 Треугольник Паскаля – это арифметический треугольник. Он служит для возведения двучлена в любую степень. Состоит треугольник из коэффициентов одночленов, входящих в состав формулы n-степени сумм двух чисел. 5 Больше всего Ньютон интересовался формулой (1 + x)1/2, поскольку для единичной окружности x2 + y2 = 1 Если в левой части оставить y, то получится y = √(1 – x2) = (1 – x2)1/2 Подставляя в ранее названную биноминальную теорему вместо (1 – x) (1 – x2) получается формула для получения полуокружности, только теперь вместо положительного x мы имеем отрицательный x2 Зная формулу интегральных уравнений, Ньютон знал, что можно вычислить площадь 1 𝜋 1 1 1 2 4 6 = [1 − 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 … ]𝑑𝑥 ∫ 0 4 2 8 16 Для упрощения вычислений, Ньютон решает интегрировать от 0 до ½. Тогда площадь сектора будет равна будет равна 𝜋 √3 + 8 12 𝜋 12 Подставляя, мы получаем: 𝜋 1/2 1 √3 1 1 1 2 4 6 + = [ − 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 … ]𝑑𝑥 ∫ 0 12 8 2 2 8 16 𝒚= √𝟑 𝟐 √3 8 Вычисляя интеграл и выражая число 𝜋, мы получаем X = 1/2 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟖 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝝅 = 𝟏𝟐[ − ∗ ( ) − ∗ ( ) − 𝟏 𝟏 𝟕 𝟓 𝟕 𝟐 𝟏𝟐𝟖 ∗ ( ) − 𝟏 𝟏 𝟗 √𝟑 𝟗 𝟐 𝟖 ∗ ( ) −…– ] В результате, метод Ньютона позволяет упростить вычисления его предшественников. Теперь не нужно тратить года на построение фигур и нахождение их периметра. То, на что раньше требовались года, теперь можно вычислить за пару дней. 6 1.5 Число ПИ в современном мире В 2021 году Ученые из Высшей школы прикладных наук в швейцарском Граубюндене установили мировой рекорд по вычислению числа ПИ. Как отмечается в официальном заявлении университета, число ПИ теперь насчитывает 62,8 триллионов цифр после запятой, и последние 10 из них — это 7817924264. Новое математическое достижение уже зарегистрировано и включено в книгу рекордов Гиннеса. Хотя число является иррациональным, математики продолжают уточнять его значение с использованием мощных компьютеров. Опыт, полученный при вычислениях, полезен в других областях науки, в том числе при анализе РНК, гидродинамическом моделировании и текстовом анализе. Скорость вычислений была почти в два раза быстрее, чем при достижении рекорда, установленного Google с использованием своего облака в 2019 году (более 31 триллиона знаков), и в 3,5 раза быстрее предыдущего мирового рекорда в 2020 году, когда в числе Пи было рассчитано более 50 триллионов цифр после запятой. Официально, число Пи имеет свой праздник. 14 марта отмечается Международный день ПИ. В некоторых датах пишут 3.14. личности особо скрупулезные, дабы соблюсти максимальное соответствие, начинают официально праздновать в 1:59 после полудня (3.14.1:59). 7 Глава 2: Использование числа ПИ 2.1 Применение числа ПИ в современном мире[5] - Путешествия на автомобиле Для начала ПИ позволяет нам точно рассчитывать и создавать окружности. Представьте, что колёса вашей машины немного отличаются друг от друга, одно будет больше другого. Вы не только будете постоянно тратить кучу денег на механика, но и поездки у вас также будут менее удобными. - Путешествия по воздуху ПИ играет важную роль в расчёте времени и расстояния путешествия на самолёте. Когда самолёты летают на большие расстояния, они летят по округлой дуге потому что, Земля круглая. - Ни телевизора, ни радио, ни телефонов Инженеры используют ПИ для расчёта и оптимизации звуковых волн. - Казино Всеми любимая формула нормального распределения (также называемая распределением Гаусса) считается с помощью ПИ. Проще говоря: пи играет ключевую роль в формулах по теории вероятности и статистике — поэтому с ПИ азартные игры становятся намного более предсказуемыми. И с этими расчётами люди открывают казино, зная наверняка, какой процент их клиентов будет выигрывать и проигрывать. - Игры Не было бы многих игр, ведь футбольные, баскетбольные, теннисные и другие мячи должны быть абсолютно круглыми. 8 2.2 Теория хаоса Данная теория является всего лишь догадкой. В ней заключен принцип, что при вычислении числа ПИ нельзя получить конечный результат. При этом нет повтора чисел после запятой в определенном порядке. Значит, внутри числа ПИ творится хаос, в котором можно найти все что угодно. Так, можно попытаться найти дату своего рождения, закодированную строчку из поэмы «Руслан и Людмила». К сожалению, это всего лишь догадка. Точного подтверждения данной теории нет. Но, я смог найти свою дату рождения.[1] Я родился 21 августа 2006 года. У меня получилось найти сайт с 4 миллионами чисел после запятой и найти 5 совпадений с 21.08.06 9 Глава 3: Необычный способ вычисления числа ПИ 3.1 Метод иглы Бюффона В 18 веке французский математик Карл Бюффон открыт новый метод вычисления числа пи. В основе метода — бросание иглы случайным образом на ткань. Общую идею можно рассказать так: 1. Берём ткань и рисуем на ней параллельные линии на расстоянии X друг от друга. 2. Берём иглу длиной L, но так, чтобы её длина была меньше или равна расстоянию между линиями, то есть L <= X. 3. Случайным образом бросаем иглу на ткань и смотрим, попала ли игла на одну из линий или нет. 4. Считаем, сколько раз мы бросили иглу и сколько раз она попала на одну из линий. 5. Отношение этих двух чисел даст нам число, похожее на пи. Чем больше бросков — тем результат будет ближе к пи. . Бюффон доказал, что вероятность того, что игла попадёт на одну из линий, равна 2L/Xπ. Чтобы улучшить результат, нужно взять иглу с длиной X = L/2, то есть в два раза короче расстояния между линиями. Если так сделать, то вероятность броска иглы на линию становится равна 1/π. 1. Возьмите коробок спичек и измерьте длину одной спички — пусть это будет L. 2. На листе бумаги нарисуйте параллельные линии с расстоянием 2L между собой. 3. Высыпьте спички из коробка и распределите их равномерно на листе. 4. Забирайте спички по одной с листа, откладывая в отдельную кучку те, что попали на линию. 10 5. Посчитайте, сколько получилось спичек в отдельной кучке и сколько их было всего. 6. Разделите большее число на меньшее — вы получите число, близкое к π (3,1415926…). 7. Можно взять лист А3 или А2 и несколько коробков — так результат будет точнее. 11 Выводы Проведя свою исследовательскую работу, я выяснил, что число ПИ – уникальное в своем роде число, которое можно высчитывать очень долго и, используя разные методы, пытаться найти более точное значение. В современном мире вычислениями занимаются машины. Теперь не нужно тратить года на вычисления более 30 чисел в ПИ после запятой. Ученые, посвятившие свою жизнь изучению математики и, в частности, числу ПИ, с течением времени находили новые методы решений, чтобы упростить нахождение более точного значения ПИ. Каждый из нас может сам попробовать вычислить значение числа ПИ, используя определенные формулы. 12 Заключение В завершении своей работы, я хочу сказать о том, что в математике существует множество тайн и загадок, которые пока что нельзя решить. Одной из таких загадок является число ПИ. Я надеюсь, что когда-нибудь человечество сможет найти то самое последнее число, которое завершит полное значение числа ПИ. А пока можно только мечтать и догадываться о том, что скрывает за собой это загадочное число. 13 Литература: 1) https://sanstv.ru/pi 2) Кымпан Ф. История числа π. — 1971 3) https://www.youtube.com/watch?v=A3PL61fHzjs 4) https://www.kp.ru/edu/shkola/chislo-pi/ 5) https://blog.skillfactory.ru/chislo-pi-istoriya-i-interesnye-fakty/ 6) https://www.youtube.com/watch?v=A2r8GZve8wA 14
