Казанский государственный университет.
Физический факультет.
Шапошникова Т.С., Царевский С.Л.
ТЕСТОВЫЕ
ЗАДАНИЯ
ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ.
(Учебно-методическое пособие)
Казань 2009.
Публикуется по решению Редакционно-издательского
совета
физического факультета.
УДК 530.1: 51 - 72; 531.
Шапошникова
Т.С.,
Царевский
С.Л.
ТЕСТОВЫЕ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ.
Учебно-методическое
Царевского С.Л. Казань. 2009. - 12 с.
ЗАДАНИЯ
пособие.
Шод
ПО
ред.
В данном учебно-методическом пособии приведены тестовые задания
по курсу «Электродинамика и основы электродинамики сплошных
сред». которые обычно используются при определении «остаточных
знаний» на следующих курсах теоретической физики. Такие задания
могут
быть
использованы
студентами
для
самоподготовки
и
самостоятельной проверки знаний. Предназначено в качестве учебнометодического пособия для студентов Ш - ПУ курсов физического
факультета.
Рецензент: Тагиров Л.Р., д.ф.м.н., проф., зав. каф. физики твердого тела
Казанского госуниверситета.
Авторы
благодарны
Министерству
образования и науки РФ
за
частичную поддержку (грант №2.1.1/2985 по программе "Развитие
научного потенциала высшей школы").
г
Физический факультет Казанского госуниверситета, 2008.
Тестовые задачи по курсу "Электродинамика".
1. Заряд
Записать
заряда.
Ответ:
4 равномерно распределен по поверхности шара радиуса К.
выражение для поверхностной оз и р объемной плотности
<
==:
°
=©д(и-Ю)
4лЕ?
р=09('Е)
=
а
<
-0(и-РЮ).
тв?
)
2. Пусть п - вектор единичной длины, все направления которого в
пространстве
— равновероятны.
Найти
усредненные
значения
произведений п, Ин,
‚где и, - проекция вектора п на ось г.
о
И, = 0, пп, =—0..
ее
Ответ:
3.
Найти
распределение
заряда
Ю(Г) и
полный
заряд
системы
О,
потенциал которой равен: Ф(Г) = (9) ехр(- 7/,)
Ответ:
Атех),
и
р)
= 48)
—
050
4. Найти потенциал системы Ф из трех заряженных частиц (до
квадрупольного приближения включительно) на больших расстояниях г
>> а - Бот нее. Первая частица имеет заряд 24а и расположена в точке
(а,0,0),
вторая частица имеет заряд а и расположена в точке (0,Ь,0),
третья частица имеет заряд -З4 и расположена в точке
(-а, 0,0).
Ответ:
р-Ч64
+8)
|
3
_
Ч
(2ай +6?)
(а
+25)’
(В)
|.
2х
5. Два коаксиальных равномерно
круглой проволоки, с радиусами а иб
заряженных кольца из тонкой
зарядами +4 и-4 ‚расположены
в
одной
плоскости.
расстояниях
Найти
скалярный
потенциал
Ф
на
больших
7>>Ь>а от такой системы зарядов.
Ответ:
Р
_ а -а”) (3Со5'0-1.
47°
6. Найти энергию взаимодействия Ох: двух точечных
р›. расположенных на расстоянии г друг от друга.
Ответ:
диполей
р,
И
г _ РР. -ЗРр.).
ии
7. Найти
—
г 5
векторный
потенциал
и магнитное
поле
(тт
2
—
Э(тки-гт
Н =
)
и
т
шара
радиуса
К,
равномерно заряженного по объему зарядом 4 и врашающегося с
постоянной угловой скоростью ® вокруг оси, проходящей через центр,
на больших расстояниях г, 7>>А.
Ответ:
[тхх
—
А==— =,
|
5
г „2 —
97,
5с
—
2
8$. Найти силу Е и вращательный момент № приложенные
электрическому диполю с моментом р в поле точечного заряда 4.
-
Заг(рг
векторный
потенциал
Ответ:
9.
Найти
двумя
Ё =-
прямолинейными
противоположных
Ответ:
в
+.
Аи
р
-
я-ЧР,
магнитное
параллельными
направлениях.
А (0.0.4).
Расстояние
А= Г
Н,
поле
—
су
токами
—
н, у
‚
между
А
|
Н
1
(а-ху+у
—^
|
токами
(ах) +,
с
—
Н(Н.Н,,0),
рхи
—
вы
ры]
к
создаваемые
текушими
2а.
В
10. Плотность
тока, создаваемого
в атоме водорода
спиновым
магнитным
моментом
электрона,
описывается
функцией
1=с-тоКр(")а)., где а -постоянный вектор, с — электродинамическая
постоянная, а р — объемная плотность распределения заряда в атоме:
величина р зависит только от абсолютной величины радиуса-вектора г
и обращается в нуль на бесконечности. Показать, что магнитное поле в
начале координат равно
8л
_
-^^< 20).а
р(0).а.
11]. Заряд е совершает гармонические колебания вдоль оси 2
с
амплитудой а и частотой ©, (а << с/о). Найти полную интенсивность
и
угловое
распределение
излучения,
усредненные
по
периоду.
Исследовать поляризацию.
Ответ:
22:
Ч
_ е'а`в
40
8лс
2
51-0,
224
г’а`@
1 Зв,
..
поляризация линейна
эс
12. Заряд е
движется с постоянной угловой скоростью
окружности радиуса К . Найти угловое распределение и
интенсивность излучения.
Ответ:
АГ (+050),
_ ев
АО
®Фх
по
полную
2е? К?
1== И.
— 8лс
Зс
13. Электрический диполь р гармонически колеблется вдоль своей оси
(оставаясь параллельным самому себе) с амплитудой а и частотой ®.
Найти частоту излучения и энергию, излучаемую за период.
2,25
Ответ: Частота излучения равна ®.
АИ’ =
2лар’о
5с
14. Найти напряженности электрического и магнитного полей плоской
монохроматической
электромагнитной
волны
частоты
©,
распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х в среде
с диэлектрической
5
и магнитной
поляризованной по кругу влево.
и
проницаемостями
и
Ответ:
=
ин.
:
= Азш(оЕ + Ах).
Е, =. Е:
|
„= Асоз(ст + Ах) ,
0
где
|
К=—/5И.
[@
15.
Найти
фазовую
волнового
пакета
У›
в
И групповую
среде.
у.
скорости
диэлектрическая
распространения
проницаемость
которой
равна
=(о)=1+-—
на больших
@>>
Фо
ималых
[о
Ро,
©, - ©”
© << о
частотах.
Ответ:
при
© << в:
У,
при
® >>
с
=—
7
5/20)
оо”
2=(0)0
=
|< с
”
У,
=—
*
с
/2(0)\
(1
[1-
3050”
=
2=(0) }
|< с
”
0%:
У
16.
(1
г1-
Найти
=С
|
потенциалы
©,
+?
Ф.А,
>С.
у. =С
точечного
|
@,
-50
заряда
< с.
е, движущегося
вдоль
оси 2 равномерно со скоростью У
Ответ:
Фф=
е
2
уе 2 +уаВ?)2 +(2-И) 2
‚
-
И
А=- д.
с
17.
Учитывая
преобразования
Лоренца
и
используя
закон
преобразования тензора второго ранга, найти формулы преобразования
компонент Е.Н при переходе от одной инерциальной системы отсчета к
другой, движущейся относительно первой вдоль осих со скоростью У.
Ответ:
Е'=Е,,
Е’
=
|
Е’
Н'=Н,;
Е,-ВН,
у
РР.
Н'
1- В.
=
Е,
2
р
=
|
+РВН,
>,
Н,+рЕ,
у
р,
1-р.
Н'’
Н,-РВЕ
=
2
В
у
18.
Обобщить
закон
преобразования
векторов
Е
и
Н
при
преобразовании Лоренца на случай произвольного направления вектора
относительной скорости 7.
Ответ:
ВЕ,
й'-Й;
_ Вкй] ‚ Н!=
„ Я, ЛР
[Е]
Е' =—
19. В лабораторной системе координат угол между напряженностями
полей Е и Н равен ф. Найти систему координат, в которой они
параллельны. Всегда ли задача имеет решение? Единственно ли оно?
Ответ:
_
ГЕЯ]. — Е? УГ
РЕ’ -ЖЕ,НУ |
2] ЕхН |
20. Частица
с массой
т;
и скоростью
т›
, Первоначально покоившейся.
образовавшейся частицы.
Ответ:
ту
т
т, +т. Лу,
>
/с
2_
поглощается
Найти
5
‚
массу
>
М
5
М=т+т+
=
-
Г =
у,
частицей массы
и
скорость
2тт.
Е
У
21. Квант
света с частотой
о
рассеивается
электроне. Найти зависимость частоты
рассеяния 6.
‹
на покоящемся
рассеянного
свободном
фотона
от угла
Ответ:
@ =
|9)
о
1 “% (1— Соз6)
тс
22. Покоящееся
ядра
т.
энергия
свободное
возбужденное ядро (масса возбужденного
возбуждения
ДЕ)
излучает
\у-квант.
Найти
частоту
7-
кванта.
Ответ:
@ =
23.
Найти
ДА5
ДЕ
1-
Йй
массу
2тс
-
системы,
состоящей
из
двух
фотонов
одинаковой
частоты ©, если угол между их волновыми векторами равен 6.
Ответ:
2йо
м==— 50/2).
Гб
24.
Релятивистская
частица
с
зарядом
е
и
массой
т
движется
с
релятивистской скоростью в однородном электрическом поле Е(ЁЕ.0.0).
При { = 0 частица находилась в начале координат и имела импульс
Ро(0.ро.0).. Найти закон движения частицы - явную зависимость Г(Р) и
70.
Ответ:
У(у, (1), (1,0),
у, (®) =
тс
РО, У(@),0);
се!
РИ
=
+ ср. +(сеЕГ)”
>
с
У,
(1)
—
тс
)
4
+ с рь + (сеЕ”
7
Ро
7
х(г) = ут
е
+с ру
|
^
7
се!
СРо
=——^
и Агуй
уУ(Р)
(В)
7
7
+(сеЕй` — \т-с* +с р. }
7
7
р
1
\/т
2
4
2.2
со+с
р
25. Точечный
заряд 4 находится
на расстоянии а от центра
заземленного проводящего шара радиуса К . Найти потенциал ф,
плотность
поверхностных
зарядов
05
и
полный
заряд
О,
индуцированный на шаре, энергию И; и силу взаимодействия ЕР
точечного заряда с шаром.
Ответ:
=
+
\/-2 +а’‘—2агСо59
\/-2 ча“ —-2атСо5@
К
‚_
е=-е—,
а
=-
9;
В
а=-—;
а
_
а? В?
р,
)
94а
4лК(а` + В` -2аКСо50)`^
р
ИИ
Ч
К
5
Е
2(а-В°)
—
ИО
(а -Ю)
26. Внутри сферического конденсатора с радиусами
диэлектрическая проницаемость меняется по закону
(5) =
&1= сои5Ё
приа<г<с,
&2=
при с<г<Ь.
с0п$
,
О=—аК/а;
обкладок
аи
где а<с<Б. Найти емкость С конденсатора, распределение связанных
зарядов
буи
полный
связанный
заряд
в
диэлектрике.
Ответ:
Связанные
с]
заряды находятся в местах неоднородности
т.е. на сферах радиусов а, Ь, с:
асе
а
4ла`
а,
2
=
2“
рев—
чем,
4лЬ”
2
5.
2
ссв —
а
2
4 лс”
где
4 — заряд
внутренней
обкладки
внутренний заряд конденсатора равен 0.
(2,
Е
Е)
диэлектрика,
2
конденсатора.
Полный
27. Проводяший
шар радиуса
К разрезан
на два полушария,
соединенные между собой, и помещен во внешнее однородное поле Ёу,
направленное
перпендикулярно
плоскости
разреза.
Найти
силу,
действующую на каждое из полушарий.
Ответ:
ЕВЕ.
16
28. Заряд Ч расположен в точке а(0,0,а) на расстоянии а от плоской
границы
раздела
2=0 двух полупространств
с диэлектрическими
проницаемостями =: (при 7>0) и => (при 7<0). Найти потенциал ф и силу
ЕК, действующую на заряд.
Ответ:
& —5,
о-о--9
+_@
="
ф=ф,
=
Е (0.0.Е))
29.
&(8
2
+=,
Е=
Диэлектрический
2.9
+85.)
а
-—,
Г,
5>а,
5,
2<а,
_
пЕг-а,
в
о
=и+а]
2
= —&,
ИНЬ
4а*
&в(в-в,)
шар
радиуса
10
а
с
диэлектрической
проницаемостью = помещен
Ед. Найти потенциал.
в однородное
внешнее
электрическое
поле
Ответ:
3
=
_
=-——.(Е!г)
(<а,),
+2
ФФ,
= (ВР)_ +,р)и
30.
Собственные
емкости
_
=-1
БЕТ
ФЕ (и>а)
+2
двух
проводников,
находящихся
в
однородном диэлектрике с проницаемостью &, равны Ср и С2 ,‚ их
потенциалы Г) и Г, расстояние между проводниками г много больше
их размеров. Найти действующую между ними силу Р.
Ответ:
=: С.С. (Е-ГИ, — С.Г, Х=-гИ, - СУ.)
Е =
—
(2
-сс,}
>
31. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса Б
находится
коаксиальный провод радиуса а, магнитная проницаемость
которого 1.
Пространство между проводом и оболочкой заполнено
веществом с
магнитной проницаемостью и. Найти коэффициент
самоиндукции Г такой
линии на единицу длины.
1
Ь
Ответ: Е = -
%+2иш-.
2
32.
а
Найти
радиусами
а
взаимную
и
Б
индукцию
‚ лежащих
между плоскостями
толшина провода.
в
тонких
параллельных
И . Рассмотреть
случай
коаксиальных
колец
плоскостях.
Расстояние
Йй >>
а -
>>
г, где
с
г-
Ответ:
[= этача
13‘
33.
Плотность
>.
функцией
электронного
_
е
р(е)= _—°
л
поляризуемость
деформацией
В
.
облака
2
Е |->
а
Я
атома
электронного
в
в
атоме
‚ где
слабом
облака.
11
Как
ао
-
водорода
описывается
постоянная.
Вычислить
внешнем
поле.
изменится
пренебрегая
поляризуемость,
если считать, что электронное
сферы
имеет постоянную плотность внутри
ао?
3
Ответ:
В=т а.
Если
заряд
электрона
внутри сферы с радиусом ау. то
34.
Атом
помещен
в
поле
около
со
сферически
однородное
ядра,
где
Ф(0)-
симметричным
обусловленное
е
электронами,
е И и
поле
Н.
распределением
Показать.
диамагнитным
током,
что
заряда
добавочное
равно:
©(0).
Зтс
электростатический
атомными
равномерно
В=а.
магнитное
АН =-
распределен
потенциал,
- заряд
и масса
создаваемый
около
ядра
электрона.
35.
Две молекулы в газе имеют дипольные моменты р! и ри
находятся на расстоянии К друг от друга. Вследствие столкновений с
другими молекулами их ориентации будут меняться. Вероятность
данной
взаимной
ориентации
определяется
больцмановским
множителем, в котором И следует считать энергией взаимодействия
двух
диполей.
Предполагая
выполненным
условие
(И<<АТ,
что величина 0, усредненная по распределению Больцмана,
показать,
имеет вид:
_2р:>
Е) = ррке
Литература.
1. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. "Сборник задач по электродинамике".
Москва. РХД. 2002, 640 стр.
2. Батыгин
часть
В.
В.,
Топтыгин
1. Микроскопическая
И.
Н.
Современная
теория:
Учебное
электродинамика,
пособие.
—
Москва-
Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 736 стр.
