Тестовые задания по электродинамике

Казанский государственный университет.
Физический факультет.
Шапошникова Т.С., Царевский С.Л.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ.
(Учебно-методическое пособие)
Казань 2009.
1
Публикуется по решению Редакционно-издательского совета
физического факультета.
УДК 530.1: 51 - 72; 531.
Шапошникова Т.С., Царевский С.Л. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ. Учебно-методическое пособие.
Под ред.
Царевского С.Л. Казань. 2009. - 12 с.
В данном учебно-методическом пособии приведены тестовые задания
по курсу «Электродинамика и основы электродинамики сплошных
сред», которые обычно используются при определении «остаточных
знаний» на следующих курсах теоретической физики. Такие задания
могут быть использованы студентами для самоподготовки и
самостоятельной проверки знаний. Предназначено в качестве учебнометодического пособия для студентов III – IV курсов физического
факультета.
Рецензент: Тагиров Л.Р., д.ф.м.н., проф., зав. каф. физики твердого тела
Казанского rocуниверситета.
Авторы благодарны Министерству образования и науки РФ за
частичную поддержку (грант №2.1.1/2985 по программе "Развитие
научного потенциала высшей школы").
Физический факультет Казанского госуниверситета, 2008.
2
Тестовые задачи по курсу "Электродинамика".
1. Заряд q равномерно распределен по поверхности шара радиуса R.
Записать выражение для поверхностной σS и ρ объемной плотности
заряда.
Ответ:
σS =
q
;
4π R 2
ρ = σδ (r − R) =
q
δ (r − R).
4π R 2
G
2. Пусть n – вектор единичной длины, все направления которого в
пространстве
равновероятны.
Найти
усредненные
значения
G
произведений ni и ni n j , где ni - проекция вектора n на ось i.
Ответ:
1
3
ni = 0, ni n j = δ ij .
3. Найти распределение заряда ρ ( r ) и полный заряд системы Q,
потенциал которой равен:
ϕ (r ) = ( A r ) exp(− r b ).
Ответ:
ρ (r ) = Aδ (r ) −
A
r
exp(
−
),
4π b 2 r
b
Q = 0.
4. Найти потенциал системы φ из трех заряженных частиц (до
квадрупольного приближения включительно) на больших расстояниях r
>> a ~ b от нее. Первая частица имеет заряд 2q и расположена в точке
(a,0,0), вторая частица имеет заряд q и расположена в точке (0,b,0),
третья частица имеет заряд -3q и расположена в точке (-a,0,0).
Ответ:
ϕ=
q (5ax + by )
q
 2a 2 + b 2 ) x 2 − ( a 2 + 2b 2 ) y 2 − (a 2 − b 2 ) z 2  .
−
3
5 (

r
2r
5. Два коаксиальных равномерно заряженных кольца из тонкой
круглой проволоки, с радиусами a и b зарядами +q и -q , расположены
3
в одной плоскости. Найти скалярный потенциал
расстояниях r>>b>a от такой системы зарядов.
Ответ:
φ
на больших
q (b 2 − a 2 )
2
(3
Cos
ϕ=
θ − 1).
4r 5
G
6. Найти энергию взаимодействия Uint двух точечных диполей p1 и
G
p 2 , расположенных на расстоянии r друг от друга.
Ответ:
JJGJJG
JJGG JJGG
U int =
p1 p2 − 3( p1 r )( p2 r )
.
r5
7. Найти векторный потенциал и магнитное поле шара радиуса R ,
равномерно заряженного по объему зарядом q и вращающегося с
постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через центр,
на больших расстояниях r, r>>R.
Ответ:
JG G
JG  m × r 
A=
,
r3
JGG G
JG
JJG 3(mr )r − r 2 m
H=
,
r5
JG qr 2 JG
m=
ω.
5c
8. Найти силу F и вращательный момент N, приложенные к
электрическому диполю с моментом p в поле точечного заряда q.
G GG
G
G G
G
3qr ( pr ) qp G q[ p × r ]
+ 3 ,N =
.
Ответ: F = −
r5
r
r3
G
G
9. Найти векторный потенциал A и магнитное поле H , создаваемые
двумя прямолинейными параллельными токами I , текущими в
противоположных направлениях. Расстояние между токами 2a.
G
I
c
Ответ: A (0,0,A), A = ln
G
H (Hx,Hy,0),
Hx =
4
(a + x )2 + y 2 ;
(a − x )2 + y 2
∂A
∂y
,Hy = −
∂A
.
∂x
10. Плотность тока, создаваемого в атоме водорода спиновым
магнитным
моментом
электрона, описывается функцией
G
G
G
j = c ⋅ rot (ρ (r )a ), где a -постоянный вектор, c – электродинамическая
постоянная, а ρ – объемная плотность распределения заряда в атоме;
G
величина ρ зависит только от абсолютной величины радиуса-вектора r
и обращается в нуль на бесконечности. Показать, что магнитное поле в
начале координат равно
−
G
8π
ρ (0) ⋅ a .
3
11. Заряд e совершает гармонические колебания вдоль оси z с
амплитудой a и частотой ω, ( a << c/ω ). Найти полную интенсивность
и угловое распределение излучения, усредненные по периоду.
Исследовать поляризацию.
Ответ:
dI e 2 a 2ω 4
=
Sin 2θ ,
3
dΩ
8π c
e 2 a 2ω 4
I=
, поляризация линейна
3c 3
12. Заряд e движется с постоянной угловой скоростью ω по
окружности радиуса R . Найти угловое распределение и полную
интенсивность излучения.
Ответ:
dI e 2 R 2ω 4
(1 + Cos 2θ ),
=
3
dΩ
8π c
2e 2 R 2ω 4
I=
.
3c 3
G
13. Электрический диполь p гармонически колеблется вдоль своей оси
(оставаясь параллельным самому себе) с амплитудой a и частотой ω .
Найти частоту излучения и энергию, излучаемую за период.
2π a 2 p 2ω 5
Ответ: Частота излучения равна ω, ∆W =
.
5
15c
14. Найти напряженности электрического и магнитного полей плоской
монохроматической
электромагнитной
волны
частоты
ω,
распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х в среде
с диэлектрической
ε
и магнитной
µ
проницаемостями и
поляризованной по кругу влево.
5
Ответ:
Ey = -
µ
H z = A sin (ωt + kx ) ,
ε
Ez =
k=
µ
H y = Acos(ωt + kx ) ,
ε
где
ω
εµ .
c
15. Найти фазовую vϕ и групповую vg скорости распространения
волнового пакета в среде, диэлектрическая проницаемость которой
равна
ω p2
ε (ω ) = 1 + 2 2 ,
ω0 - ω
на больших ω >> ω0 и малых ω << ω0 частотах.
Ответ:
при ω << ω0 :

ω p2ω 2

vϕ =
1ε (0)  2ε (0)ω 04
c
 3ω p2ω 2 
1  < c,
vg =
ε (0)  2ε (0)ω 04 

<c,


c
при ω >> ω0 :

ω p2 
>c,
v ϕ = c 1 +
 2ω 2 


 ω p2 
 < c.
v g = c 1  2ω 2 


G
16. Найти потенциалы ϕ , Α , точечного заряда e, движущегося вдоль
оси z равномерно со скоростью V .
JG
Ответ:
ϕ=
e
( x 2 + y 2 )(1 − β 2 ) + ( z − Vt ) 2
,
JG V
A = ϕ.
c
17. Учитывая преобразования Лоренца и используя закон
преобразования
тензора второго ранга, найти формулы преобразования
G G
компонент E , H при переходе от одной инерциальной системы отсчета к
другой, движущейся относительно первой вдоль оси x со скоростью V.
Ответ:
6
Ex′ = Ex ,
E ′y =
Ez′ =
H x′ = H x ;
Ey − β H z
1− β
2
Ez + β H y
1− β
2
,
H ′y =
,
H z′ =
H y + β Ez
1− β
2
H z − β Ey
1− β
2
;
.
G
G
18. Обобщить закон преобразования векторов E и H при
преобразовании Лоренца Gна случай произвольного направления вектора
относительной скорости V .
Ответ:
G
G
G
G
E||′ = E|| ,
H ||′ = H || ;
G G
G G
G
G



+
×
−
× E 
β
β
E
H
H
G
G
⊥
⊥



E⊥′ =
, H ⊥′ =
.
2
2
1− β
1− β
19. В лабораторной
системе координат угол между напряженностями
G
G
полей E и H равен φ. Найти систему координат, в которой они
параллельны. Всегда ли задача имеет решение? Единственно ли оно?
Ответ:
G G
G
G G H 2 − E 2 − ( H 2 − E 2 ) − 4( E , H ) 2
V = c  E × H  ⋅
.
G G 2
2  E × H 
20. Частица с массой m1 и скоростью v1 поглощается частицей массы
m2 , первоначально покоившейся. Найти массу M и скорость V
образовавшейся частицы.
Ответ:
G
V=
G
m1v1
m1 + m2 1 − v / c
2
1
2
M 2 = m12 + m22 +
,
7
2m1m2
1− v / c
2
1
2
.
21. Квант света с частотой ω0 рассеивается на покоящемся свободном
электроне. Найти зависимость частоты ω рассеянного фотона от угла
рассеяния θ.
Ответ:
ω=
ω0
=ω
1 − 02 (1 − Cosθ )
mc
.
22. Покоящееся свободное возбужденное ядро (масса возбужденного
ядра m, энергия возбуждения ∆ε) излучает γ-квант. Найти частоту γкванта.
Ответ:
ω=
∆ε 
∆ε 
1 
=  2mc 2  .
23. Найти массу системы, состоящей из двух фотонов одинаковой
частоты ω, если угол между их волновыми векторами равен θ.
Ответ:
M=
2=ω
Sin(θ / 2).
c2
24. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется
с
G
релятивистской скоростью в однородном электрическом поле E (E,0,0).
При t = 0 частица находилась в начале координат и имела импульс
G
G
p0 (0,p0,0).. Найти закон движения частицы - явную зависимость r (t ) и
G
v (t ) .
G
G
Ответ: v (vx (t ), v y (t ),0),
r ( x(t ), y (t ),0);
vx (t ) =
v y (t ) =
c 2 eEt
m c + c p + (ceEt )
2 4
2
2
0
2
c 2 p0
m c + c p + (ceEt )
2 4
2
2
0
8
2
,
;
x(t ) =
1
eE
(
)
m 2 c 4 + c 2 p02 + (ceEt ) 2 − m 2 c 4 + c 2 p02 ,

cp0
ceEt
y (t ) =
Arsh 
 m2c 4 + c 2 p 2
eE
0


.


25. Точечный заряд q находится на расстоянии a от центра
заземленного проводящего шара радиуса R . Найти потенциал φ,
плотность поверхностных зарядов
σS и полный заряд Q,
индуцированный на шаре, энергию Uint и силу взаимодействия F
точечного заряда с шаром.
Ответ:
ϕ=
q
r + a − 2arCosθ
R
R2
e′ = −e , a′ =
;
a
a
2
2
+
q′
r + a′ − 2a′rCosθ
2
2
,
q(a 2 − R 2 )
σS = −
; Q = −qR / a;
4π R(a 2 + R 2 − 2aRCosθ )3/2
q2 R
q 2 Ra
U int = −
; F =− 2
.
2(a 2 − R 2 )
(a − R 2 ) 2
26. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок a и b
диэлектрическая проницаемость меняется по закону
ε(r) ={
ε1 = const при a ≤ r<c ,
ε2 = const при c<r<b.
где a<c<b. Найти емкость C конденсатора, распределение связанных
зарядов σсв и полный связанный заряд в диэлектрике.
9
Ответ:
 1  1 1  1  1 1 
C =   −  +  − 
 ε 1  a b  ε 2  c b 
−1
.
Связанные заряды находятся в местах неоднородности диэлектрика,
т.е. на сферах радиусов a, b, c:
σ a ,св = −
q ε1 − 1
q ε 2 −1
q
, σ b ,св =
, σ c ,св =
2
2
4πa ε 1
4πb ε 2
4πc 2
 1
1 
 −  ,
 ε 2 ε1 
где q – заряд внутренней обкладки конденсатора. Полный
внутренний заряд конденсатора равен 0.
27. Проводящий шар радиуса R разрезан на два полушария,
соединенные между собой, и помещен во внешнее однородное поле E0 ,
направленное перпендикулярно плоскости разреза. Найти силу,
действующую на каждое из полушарий.
Ответ:
F=
9 2 2
R E0 .
16
G
28. Заряд q расположен в точке a (0,0,a) на расстоянии a от плоской
границы раздела z=0 двух полупространств с диэлектрическими
проницаемостями
ε1 (при z>0) и ε2 (при z<0). Найти потенциал φ и силу
G
F , действующую на заряд.
Ответ:
ϕ = ϕ1 =
(ε − ε )
q
q
+ 1 2 ⋅
, z > a,
ε1r1 ε1 (ε1 + ε 2 ) ε 2 r2
ϕ = ϕ2 =
G G
2
q
⋅ , z < a, r1 = r − a ,
ε1 + ε 2 r1
G
F (0,0,F),
29.
G G
r2 = r + a ;
ε −ε
q2
F= 2⋅ 1 2 .
4a ε1 (ε1 − ε 2 )
Диэлектрический
шар
радиуса
10
a
с
диэлектрической
проницаемостью ε .помещен в однородное внешнее электрическое поле
E0 . Найти потенциал.
Ответ:
G G
3
ϕ = ϕ1 = −
⋅ ( E0 r ) (r < a ),
ε +2
GG
G G ( pr
) G ε −1 3 G
⋅ a E0 ( r > a );
ϕ = ϕ2 = −( E0 r ) + 3 , p =
ε +2
r
30. Собственные емкости двух проводников, находящихся в
однородном диэлектрике с проницаемостью ε, равны C1 и C2 , их
потенциалы V1 и V2, расстояние между проводниками r много больше
их размеров. Найти действующую между ними силу F.
Ответ: F =
ε ⋅ C1C 2 (ε ⋅ rV1 − C 2V2 )(ε ⋅ rV2 − C1V1 )
(ε
2
r 2 − C1C 2
)
2
.
31. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b
находится коаксиальный провод радиуса a, магнитная проницаемость
которого µ0. Пространство между проводом и оболочкой заполнено
веществом с магнитной проницаемостью µ. Найти коэффициент
самоиндукции L такой линии на единицу длины.
1
2
b
a
Ответ: L = µ 0 + 2µ ln .
32. Найти взаимную индукцию тонких коаксиальных колец с
радиусaми a и b , лежащих в параллельных плоскостях. Расстояние
между плоскостями h . Рассмотреть случай h >> a ~ b >> r, где rтолщина провода.
Ответ:
33. Плотность электронного облака в атоме водорода описывается
функцией
G
ρ (r ) = −
 2r 
e0
exp −  , где a0 – постоянная. Вычислить
3
π ⋅ a0
 a0 
поляризуемость β атома в слабом внешнем поле, пренебрегая
деформацией электронного облака. Как изменится поляризуемость,
11
если считать, что электронное имеет постоянную плотность внутри
сферы a0?
Ответ:
3
4
β = a 03 . Если заряд электрона распределен равномерно
внутри сферы с радиусом a0, то β = a03 .
34. Атом со сферически симметричным распределением заряда
помещен в однородное магнитное поле H. Показать, что добавочное
поле около ядра, обусловленное
диамагнитным током, равно:
G
G
eH
∆H = −
ϕ (0),
3mc 2
где ϕ (0) - электростатический потенциал, создаваемый около ядра
атомными электронами, e и m – заряд и масса электрона.
35. Две молекулы в газе имеют дипольные моменты p1 и p2 и
находятся на расстоянии R друг от друга. Вследствие столкновений с
другими молекулами их ориентации будут меняться. Вероятность
данной взаимной ориентации определяется
больцмановским
множителем, в котором U следует считать энергией взаимодействия
двух диполей. Предполагая выполненным условие U<<kT, показать,
что величина U, усредненная по распределению Больцмана, имеет вид:
U (R ) = −
2 p12 p 22
.
3kTR 6
Литература.
1. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. "Сборник задач по электродинамике".
Москва. РХД. 2002, 640 стр.
2. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Современная электродинамика,
часть 1. Микроскопическая теория: Учебное пособие. — МоскваИжевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 736 стр.
12