Системы счисления

Министерство образования Кузбасса
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Ленинск-Кузнецкий горнотехнический техникум
Системы счисления: двоичная,
десятичная, шестнадцатеричная.
Обзор и характеристика
Ленинск-Кузнецкий 2022
Содержание
Введение в системы счисления
Позиционные системы счисления
Двоичная система счисления
Десятичная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления
2
Введение в системы счисления
говорили
древнегреческие
философы,
ученики
Пифагора,
подчеркивая важную роль чисел в
практической деятельности.
Система счисления - это совокупность приемов и
правил, в которой числа записываются с помощью
символов некоторого алфавита, называемых
цифрами.
3
Введение в системы счисления
Системы счисления принято делить на
позиционные и непозиционные. В позиционных
системах значение цифры зависит от ее
положения в числе, в непозиционных значение цифры не зависит от ее положения в
числе. Классификация систем счисления с
наиболее известными видами представлена на
схеме ниже.
4
Введение в системы счисления
Системы счисления
непозиционные
позиционные
единичная (унарная)
древнеегипетская
XVIII
ã
римская
древневавилонская
999910
ABCn
десятичная (арабская))
c основанием n
алфавитная
5
Позиционные системы счисления
Вавилонская система
Первая позиционная система счисления была
придумана еще в древнем Вавилоне (во втором
тысячелетии до н. э.), причем вавилонская
нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней
использовалось шестьдесят цифр!
Числа составлялись из знаков двух видов:




Единицы –прямой клин
Десятки – лежачий клин
Сотни
10 + 1 = 11
6
Позиционные системы счисления
Арабская система счисления
Хотя десятичную систему счисления принято
называть арабской, но зародилась она в Индии, в V
веке.
В Европе об этой системе узнали в ХII веке из
арабских научных трактатов, которые были
переведены на латынь.
Этим и объясняется название «Арабские цифры».
Однако широкое распространение эта система
счисления получила только в XVI веке и оно дало
мощный толчок развитию математики.
7
Позиционные системы счисления
Системы счисления с основанием N
Количество
используемых
цифр
называется
основанием позиционной системы счисления. За
основание позиционной системы можно принять
любое натуральное число больше единицы.
Позиция цифры в числе называется разрядом,
а количество цифр в числе
2
1
0
555=5·10 +5·10 +5·10 его разрядностью.
Разряды нумеруются справа налево от 0.
8
Позиционные системы счисления
Системы счисления с основанием N
Если основание десятичной системы счисления 10
заменить на натуральное число N, то можно
построить позиционную систему счисления с
основанием N.
Основание
Система
Алфавит
n=2
двоичная
01
n=10
десятичная
0123456789
n=16
шестнадцатеричная 0123456789ABCDEF
9
Позиционные системы счисления
Запись чисел в каждой из систем счисления
означает сокращенную запись выражения:
a m 1 p m 1  am  2 p m  2  ...  a1 p1  a0 p 0  a1 p 1  ...  a s p  s
где p – основание системы счисления,
m – количество позиций или разрядов,
отведенное для изображения целой части числа,
s – количество разрядов, отведенное для
изображения дробной части числа,
n=m+s – общее количество разрядов в числе,
ai – любой допустимый символ в разряде.
10
Двоичная система счисления
Алфавит: 0, 1
Основание (количество цифр): 2
Перевод целых чисел
19 = 100112
10  2 19 2
18 9 2
система
1 8 4 2
счисления
1 4 2 2
0 2 1
2  10
0
43210
разряды
100112 = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19
11
Двоичная система счисления
Перевод дробных чисел
10  2
0, 875 х 2
1 750 х 2
1 500 х 2
1 000 х 2
0,875 = 0,1112
система
счисления
2  10
разряды
0-1-2-3
0,1112= 1·2-1 + 1·2-2 + 1·2-3 = 0,5 + 025 + 0,125 = 0,875
12
Переведите число 21310 в двоичную
систему счисления и выберите
правильный ответ:
11010110
11010101
11010111
10110101
13
Ваш ответ верный
21310= 110101012
14
Переведите число 13410 в двоичную
систему счисления и выберите
правильный ответ:
10001100
10000110
10000010
10011001
15
Ваш ответ верный
13410= 100001102
16
Переведите число 101101000112 в
десятичную систему счисления и
выберите правильный ответ:
1441
1403
1443
1043
17
Ваш ответ верный
101101000112 = 144310
18
Десятичная система счисления
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
разряды
543210
570361 = 5·105 + 7·104 + 0·103 + 3·102 + 6·101 + 1·100
= 500000 + 70000 + 300 + 60 + 1 = 570361
19
Шестнадцатеричная система счисления
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Основание (количество цифр): 16
Перевод целых чисел
107 = 6B16
10  16 107 16
96 6 16
система
11 0 0
счисления
B 6
16  10
разряды
C
1C516 = 1·162 + 12·161 + 5·160=
=256 + 192 + 5 = 453
210
20
Шестнадцатеричная система счисления
Перевод в двоичную систему счисления
16  2
• трудоемко
• 2 действия
10
16
2
16 = 24
0111
1111
0001
10102
{
{
7F1A16 =
{
Каждая шестнадцатеричная цифра может быть
записана как четыре двоичных (тетрада)!
{
!
7
F
1
A
21
Шестнадцатеричная система счисления
Перевод из двоичной системы счисления
2  16
10010111011112
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной
шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
10010111011112 = 12EF16
22
Переведите число F5A16 в двоичную
систему счисления и выберите
правильный ответ:
111101011010
111101011011
11110101111
01110101101
23
Ваш ответ верный
F5A16 = 1111010110102
24
Переведите число 1000 1110 01012 в
шестнадцатеричную систему
счисления и выберите правильный
ответ:
8E3
9E5
8F5
8E5
25
Ваш ответ верный
1000 1110 01012 = 8E510
26
Переведите число C4D216 в десятичную
систему счисления и выберите
правильный ответ:
50376
50386
50378
50388
27
Ваш ответ верный
C4D216 = 5038610
28
Переведите число 127310 в
шестнадцатеричную систему
счисления и выберите правильный
ответ:
4F9
4F7
4F8
4F6
29
Ваш ответ верный
127310 = 4F916
30