Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя школа №14" г. Арзамас. РЕФЕРАТ по геометрии на тему: «Признаки параллельности двух прямых» Выполнил: ученик 7 «В» класса Филиппов Степан Проверила: Смыслова Т.С. 2024 год Определение для параллельности Параллельность – очень полезное свойство в геометрии. В реальной жизни параллельные стороны позволяют создавать красивые, симметричные вещи, приятные любому глазу, поэтому геометрия всегда нуждалась в способах эту параллельность проверить. Выделим определения, которые необходимо знать для доказательства признаков параллельности двух прямых. Прямые называют параллельными, если они не имеют точек пересечения и лежат в одной плоскости. Кроме того, в решениях обычно параллельные прямые идут в связке с секущей прямой. Секущей прямой называется прямая, которая пересекает обе параллельные прямые. В этом случае образуются накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Накрест лежащими будут пары углов 1 и 4; 2 и 3; 8 и 6; 7 и 5. Соответственными будут 7 и 2; 1 и 6; 8 и 4; 3 и 5. При правильном оформлении пишется: «Накрест лежащие углы при двух параллельных прямых а и b и секущей с», потому что для двух параллельных прямых может существовать бесконечное множество секущих, поэтому необходимо указывать, какую именно секущую, вы имеете в виду. Также для доказательства понадобится теорема о внешнем угле треугольника, которая гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним. Признаки Все признаки параллельности прямых завязаны на знание свойств углов и теоремы о внешнем угле треугольника. Признак 1 Две прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны. Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Накрест лежащие углы 1 и 4 равны. Предположим, что прямые не параллельны. Значит прямые пересекаются и должна быть точка пересечения М. Тогда образуется треугольник АВМ с внешним углом 1. Внешний угол при вершине В должен быть равен сумме углов 4 и АМВ, как несмежных с ним, по теореме о внешнем угле в треугольнике. Но тогда получится, что угол 1 больше угла 4, а это противоречит условию задачи, значит, точки М не существует, прямые не пересекаются, то есть параллельны. Признак 2 Две прямые параллельны, если соответственные углы при секущей равны. Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Соответственные углы 7 и 2 равны. Обратим внимание на угол 3. Он является вертикальным для угла 7. Значит, углы 7 и 3 равны. Значит, углы 3 и 2 также равны, так как <7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать. Признак 3 Две прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна 180 градусам. Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Сумма односторонних углов 1 и 2 равна 180 градусов. Обратим внимание на углы 1 и 7. Они являются смежными. То есть: <1+<7=180<1+<7=180<1+<7=180 <1+<2=180<1+<2=180<1+<2=180 Вычтем из первого выражения второе: (<1+<7)−(<1+<2)=180−180(<1+<7)−(<1+<2)=180−180 (<1+<7)−(<1+<2)=0(<1+<7)−(<1+<2)=0 <1+<7−<1−<2=0<1+<7−<1−<2=0 <7−<2=0<7−<2=0 <7=<2<7=<2 – а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.
