Иррациональные неравенства
Неравенство называется иррациональным, если в него входит функция под
знаком корня.
Решение иррациональных неравенств стараются свести к решению
рациональных неравенств, используя основные свойства числовых
неравенств и корня n-ой степени. При этом необходимо следить за тем,
чтобы преобразования неравенства были равносильными, то есть исходное
заменялось таким, которое имеет то же множество решений, поскольку
проверка полученных решений подстановкой, в случае решения неравенств,
весьма затруднительна.
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений
равны.
Свойство 1.
Если обе части неравенства возвести в нечётную степень, то получим
неравенство, равносильное данному.
5
Пример 1. √2𝑥 − 7 > −1
Решение:
Возведем обе части уравнения в пятую степень
5
5
(√2𝑥 − 7) > (−1)5
2𝑥 − 7 > −1
2𝑥 > 6
𝑥>3
Определение
Неравенство является следствием данного неравенства, если его множество
решений содержит в себе множество решений данного неравенства.
Свойство 2.
Если обе части неравенства возвести в чётную степень, то получим
неравенство, являющееся следствием данного.
4
Пример 2. √15 − 2𝑥 < 2
Так как обе части данного неравенства неотрицательны при всех значениях x,
4
для которых выражение √15 − 2𝑥 определено, то, возведя обе части
неравенства в четвёртую степень, необходимо написать условие 15 − 2𝑥 ≥ 0,
тогда преобразование будет равносильным. Таким образом, получаем:
4
√15 − 2𝑥 < 2 ⇔ {15 − 2𝑥 < 2
15 − 2𝑥 ≥ 0
4
Решим полученную систему неравенств:
𝑥 > −0,5
15 − 2𝑥 < 16
⇔{
⇔ 𝑥𝜖(−0,5; 7,5]
{
𝑥 ≤ 7,5
15 − 2𝑥 ≥ 0
К простейшим иррациональным неравенствам относятся неравенства
вида:
√𝑓(𝑥) ∨ 𝑔(𝑥), √𝑓(𝑥) ∨ √𝑔(𝑥), где знак ∨ означает один из знаков >, <, ≤, ≥
Среди простейших рациональных неравенств можно выделить несколько
видов, каждый из которых будет решаться путем определенных утверждений
о равносильности. Далее для упрощения записи будем большими буквами
A,B,C и т.д. обозначать целые выражения, содержащие переменную.
1. Неравенства вида √𝐴 ≥ √𝐵
𝐴≥𝐵
√𝐴 ≥ √𝐵 ⟺ {
𝐵≥0
Или
𝐴>𝐵
√𝐴 > √𝐵 ⟺ {
𝐵≥0
2
Пример 3. √𝑥 − 𝑥 + 2 > √𝑥 + 1
Поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать
неотрицательности только второго:
2
√𝑥 2 − 𝑥 + 2 > √𝑥 + 1 ⇔ {𝑥 − 𝑥 + 2 > 𝑥 + 1
𝑥+1≥0
2
2
𝑥≠1
(𝑥 − 1)2 > 0
⇔{
{𝑥 − 𝑥 + 2 > 𝑥 + 1 ⟺ {𝑥 − 2𝑥 + 1 > 0 ⇔ {
𝑥 ≥ −1
𝑥+1≥0
𝑥 ≥ −1
𝑥 ≥ −1
𝑥 ∈ [−1; 1) ∪ (1; +∞)
2. Неравенство вида √𝐴 ≤ √𝐵
𝐴≤𝐵
√𝐴 ≤ √𝐵 ⇔ {
𝐴≥0
или
𝐴<𝐵
√𝐴 < √𝐵 ⇔ {
𝐴≥0
2
Пример 4. √𝑥 − 4𝑥 + 4 ≤ √𝑥 + 10
Запишем систему, эквивалентную заданному неравенству
𝑥 2 − 4𝑥 + 4 ≤ 𝑥 + 10 ⟺ 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 ≤ 0 ⇔ (𝑥 + 1)(𝑥 − 6) ≤ 0
{
{
{
(𝑥 − 2)2 ≥ 0
(𝑥 − 2)2 ≥ 0
𝑥 2 − 4𝑥 + 4 ≥ 0
Первое неравенство системы справедливо для всех действительных
значений x, а второе решим методом интервалов
-1
6
Таким образом, решение системы будет числовой промежуток [−1; 6].
3. Неравенство вида √𝐴 ≥ 𝐵
𝐵≤0
𝐴≥0
√𝐴 ≥ 𝐵 ⇔ [
𝐵>0
{
𝐴 ≥ 𝐵2
{
или
𝐵<0
√𝐴 > 𝐵 ⇔ [ 𝐴 ≥ 0
𝐵≥0
{
𝐴 > 𝐵2
{
Пример 5. √10 − 𝑥 2 > 3𝑥
Тут возможны два варианта. Если 𝑥 ≤ 0, неравенство выполнится при всех
допустимых 𝑥, ведь корень неотрицателен, значит, он автоматически больше
(или равен) неположительного числа. Если же правая часть положительна
(𝒙 > 0), имеем право возводить в квадрат. Важно, что прежде чем возводить
в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны.
3𝑥 < 0
𝑥<0
{
{
2
√10 − 𝑥 2 > 3𝑥 ⇔ [ 10 − 𝑥 ≥ 0 ⇔ [ −√10 ≤ 𝑥 ≤ √10 ⇔
3𝑥 ≥ 0
𝑥≥0
{
{
10 − 𝑥 2 ≥ (3𝑥)2
−1 < 𝑥 < 1
⇔ [−√10 ≤ 𝑥 < 0 ⇔ [−√10; 1)
0≤𝑥<1
4. Неравенство вида √𝐴 ≤ 𝐵
𝐴≥0
√𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ { 𝐵 ≥ 0
𝐴 ≤ 𝐵2
Или
𝐴≥0
√𝐴 < 𝐵 ⇔ { 𝐵 > 0
𝐴 < 𝐵2
Пример 6. √5𝑥 − 𝑥 2 < 𝑥 − 2
Поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства
должна быть неотрицательной:
5𝑥 − 𝑥 2 ≥ 0
𝑥(𝑥 − 5) ≤ 0
√5𝑥 − 𝑥 2 < 𝑥 − 2 ⇔ {
⇔{
⇔
𝑥−2>0
𝑥>2
2
2
2
5𝑥 − 𝑥 < (𝑥 − 2)
2𝑥 − 9𝑥 + 4 > 0
0≤𝑥≤5
𝑥>2
⇔{
2(𝑥 − 0,5)(𝑥 − 4) > 0
0≤𝑥≤5
0≤𝑥≤5
𝑥>2
𝑥>2
⇔{
⇔{
⇔
(2𝑥 − 1)(𝑥 − 4) > 0
𝑥 ∈ (−∞; 0,5) ∪ (4; +∞)
⇔ 𝑥 ∈ (4; 5]
5. Неравенства вида 𝐴√𝐵 > 0 или 𝐴√𝐵 < 0
𝐵>0
𝐴√𝐵 > 0 ⇔ {
𝐴>0
Или
𝐵>0
𝐴√𝐵 < 0 ⇔ {
𝐴<0
Пример 7. 𝑥√𝑥 + 5 > 0
Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому он влияет на
это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень,
чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением A, в нашем
примере - 𝑥.
И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно
неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго
больше нуля:
𝑥+5>0
𝑥 > −5
𝑥√𝑥 + 5 > 0 ⇔ {
⇔{
⇔𝑥>0
𝑥>0
𝑥>0
6. Неравенства вида 𝐴√𝐵 ≥ 0 или 𝐴√𝐵 ≤ 0
𝐵=0
𝐴√𝐵 ≥ 0 ⇔ [ 𝐴 ≥ 0
{
𝐵≥0
Или
𝐵=0
𝐴√𝐵 ≤ 0 ⇔ [ 𝐴 ≤ 0
{
𝐵≥0
Пример 8. 𝑥√𝑥 − 1 ≥ 0
В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не
равно нулю теперь лишнее. Но при этом выражение A может быть любым.
Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю:
𝑥−1=0
𝑥=1
𝑥√𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ [ 𝑥 ≥ 0 ⇔ [
⇔𝑥≥1
{
𝑥≥1
𝑥−1≥0
Корни степени больше 2
Если же корень в неравенстве не квадратный, важна четность его степени.
Корни чётной степени
Корни 2, 4, 6 и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения
уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной
степени можно всегда привести к квадратному.
𝟐𝒌
𝒌
√𝒙 = √ √𝒙
𝐴≥0
√𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ { 𝐵 ≥ 0
𝐴 ≤ 𝐵4
4
Корни нечётной степени
С нечетными степенями (3, 5, …) все намного проще, ведь дело в том, что
корень нечетной степени можно извлекать из любого числа. Теперь никаких
дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в
нужную степень и решаем. Например,
3
√𝐴 > 𝐵 ⇔ 𝐴 > 𝐵3
5
√2 − 𝑥 > −2 ⇔ 2 − 𝑥 > (−2)5 ⇔ 2 − 𝑥 > −32 ⇔ 𝑥 < 34
