Задача 6 вариант
У с л о в и е з а д а ч и . В цепи источники ЭДС Е заданы в
вольтах, сопротивления в омах.
Требуется определить:
1) потенциалы узлов;
2) токи ветвей − методами контурных токов и узловых потенциалов;
3) ток - методом эквивалентного источника;
4) проверить баланс мощностей
Решение
1) Находим потенциалы узлов
Для этого расставим на схеме индексы на источниках ЭДС и
сопротивлений в соответствии с заданными индексами токов.
𝑅1 = 5 Ом, 𝑅2 = 5 Ом, 𝑅3 = 2 Ом, 𝑅5 = 10 Ом , 𝑅6 = 10 Ом ,
𝐸1 = 40 𝐵, 𝐸2 = 10 𝐵, 𝐸3 = 4 𝐵, 𝐸4 = 20 𝐵,
𝐸3
𝐸1
𝐼1
0
𝐼3
𝐸4
𝐼4
𝑅3
𝑅5
𝐼5
2
𝑅1
𝑅2
𝐸2
𝐼2
3
1
𝑅6
𝐼6
В данной схеме: узлов - 4, ветвей - 6, из них особых ветвей − 1. Под особыми
ветвями понимаются ветви, в которых имеется только источники ЭДС.
Количество уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов,
равно Nу−1−Ne, где Nу - число узлов, Ne - число особых ветвей. Для данной
схемы количество уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов,
равно 4 - 1 - 1 = 2.
Так как в исходной схеме имеются особые ветви, то примем потенциал одного
из узлов, к которой присоединена одна из этих ветвь, равным нулю:
𝜑0 = 0 В, тогда потенциал узла №2 равен 𝜑2 =𝜑0 +𝐸4 =0+20=20 В.
Составим уравнения для определения потенциалов остальных узлов.
Уравнение для узла №1:
1
1
1
1
1
1
1
𝜑1 ⋅ (
+
+
) − 𝜑0 ⋅
− 𝜑2 ⋅
− 𝜑3 ⋅
= 𝐸3 ⋅
𝑅3
𝑅5 𝑅6
𝑅3
𝑅5
𝑅6
𝑅3
Уравнение для узла №3:
1
1
1
1
1
1
1
1
𝜑3 ⋅ ( +
+ ) − 𝜑0 ⋅
− 𝜑2 ⋅
− 𝜑1 ⋅
= 𝐸1 ⋅
+ 𝐸2 ⋅
𝑅1 𝑅2 𝑅6
𝑅1
𝑅2
𝑅6
𝑅1
𝑅2
Перенесём все известные слагаемые в правую часть и объединим полученные
уравнения в систему. Получим:
1
1
1
1
1
1
1
+
+
) − 𝜑3 ⋅
= 𝜑0 ⋅
+ 𝜑2 ⋅
+ 𝐸3 ⋅
𝑅3
𝑅5 𝑅6
𝑅6
𝑅3
𝑅5
𝑅3
1
1
1
1
1
1
1
1
𝜑3 ⋅ ( +
+ ) − 𝜑1 ⋅
= 𝜑0 ⋅
+ 𝜑2 ⋅
+ 𝐸1 ⋅
+ 𝐸2 ⋅
𝑅1 𝑅2 𝑅6
𝑅6
𝑅1
𝑅2
𝑅1
𝑅2
{
𝜑1 ⋅ (
Подставим в полученную систему уравнений численные значения и получим:
0.7 ⋅ 𝜑1 − 0.1 ⋅ 𝜑3 = 4
{
−0.1 ⋅ 𝜑1 + 0.5 ⋅ 𝜑3 = 14
Решим систему уравнений и получим искомые потенциалы узлов:
𝜑1 =10 В, 𝜑3 =30 В
2) Рассчитаем схему по методу контурных токов.
22
𝐼11
33
В данной схеме: узлов - 4, ветвей без источников тока - 6, независимых
контуров - 3.
Количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно
Nв−Nу+1, где Nв - число ветвей без источников тока, Nу - число узлов.
Для данной схемы количество уравнений, составляемых по методу контурных
токов, равно 6 - 4 + 1 = 3.
Составим уравнения по методу контурных токов.
Составим уравнение для контура №1:
𝐼11 ⋅ (𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝐼22 ⋅ 𝑅2 = 𝐸1 − 𝐸2 − 𝐸4
Составим уравнение для контура №2:
𝐼22 ⋅ (𝑅2 + 𝑅5 + 𝑅6 ) − 𝐼11 ⋅ 𝑅2 + 𝐼33 ⋅ 𝑅5 = 𝐸2
Составим уравнение для контура №3:
𝐼33 ⋅ (𝑅3 + 𝑅5 ) + 𝐼22 ⋅ 𝑅5 = 𝐸3 − 𝐸4
Объединим полученные уравнения в одну систему, при этом перенесём
известные величины в правую сторону, оставив в левой стороне только
составляющие с искомыми контурными токами. Система уравнений по методу
контурных токов для исходной цепи выглядит следующим образом:
𝐼11 ⋅ (𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝐼22 ⋅ 𝑅2 = 𝐸1 − 𝐸2 − 𝐸4
{𝐼22 ⋅ (𝑅2 + 𝑅5 + 𝑅6 ) − 𝐼11 ⋅ 𝑅2 + 𝐼33 ⋅ 𝑅5 = 𝐸2
𝐼33 ⋅ (𝑅3 + 𝑅5 ) + 𝐼22 ⋅ 𝑅5 = 𝐸3 − 𝐸4
Подставим в полученную систему уравнений значения сопротивлений и
источников и получим:
10 ⋅ 𝐼11 − 5 ⋅ 𝐼22 = 10
{−5 ⋅ 𝐼11 + 25 ⋅ 𝐼22 + 10 ⋅ 𝐼33 = 10
10 ⋅ 𝐼22 + 12 ⋅ 𝐼33 = −16
Решим систему уравнений и получим искомые контурные токи:
𝐼11 =2 А, 𝐼22 =2 А, 𝐼33 =−3 А
Рассчитаем токи в ветвях исходя из полученных контурных токов.
𝐼1 =𝐼11 =2 А, 𝐼2 =−𝐼11 +𝐼22 =−2+2=0 А, 𝐼3 =−𝐼33 =−(−3) =3 А,
𝐼4 =−𝐼11 −𝐼33 =−2−(−3) =1 А, 𝐼5 =−𝐼22 −𝐼33 =−2−(−3) =1 А, 𝐼6 =I22=2 А.
Исходя из узловых потенциалов вычисленных выше находим токи ветвей.
Определим токи во всех ветвях, кроме особых, по закону Ома для участка
цепи:
𝜑0 − 𝜑3 + 𝐸1
0 − 30 + 40
𝐼1 =
=
=2А
𝑅1
5
𝜑2 − 𝜑3 + 𝐸2 20 − 30 + 10
𝐼2 =
=
=0А
𝑅2
5
𝜑0 + 𝜑1 + 𝐸3
0 + 10 − 4
𝐼3 =
=
=3А
𝑅3
2
𝜑2 − 𝜑1
20 − 10
𝐼5 =
=
=1А
𝑅5
10
−𝜑1 + 𝜑3
−10 + 30
𝐼6 =
=
=2А
𝑅6
10
Определим по первому закону Кирхгофа ток 𝐼4 в особой ветви.
Составим уравнение для узла №2:
−𝐼2 + 𝐼4 − 𝐼5 = 0
Перенесём известные слагаемые в правую часть и получим искомый ток:
𝐼4 = 𝐼2 + 𝐼5 = 1 А
3) Рассчитаем ток I1 в ветви с элементами E1, R1 по методу эквивалентного
генератора.
Для этого рассчитаем напряжение холостого хода на выводах разомкнутой
ветви с искомым током и эквивалентное сопротивление пассивной цепи
относительно ветви с искомым током.
Рассчитаем напряжение холостого хода. На рисунке ниже приведена
рассчитываемая схема. Напряжение холостого хода 𝑈𝑥𝑥 сонаправлено с
искомым током. Принятое направление искомого тока приведено на схеме
выше.
𝐸3
𝑈𝑥𝑥
𝐸4
К1
𝐼1
𝑅3
𝑅5
2
𝑅2
𝐼3
𝐸2
𝐼2
1
К2
𝑅6
Рассчитаем схему по законам Кирхгофа.
В данной схеме: узлов − 2, ветвей − 3, независимых контуров − 2.
Составим уравнения по первому закону Кирхгофа.
Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно
Nу−1, где Nу − число узлов. Для данной схемы количество уравнений по
первому закону Кирхгофа равно 2 − 1 = 1.
Составим уравнение для узла №1:
𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = 0
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа.
Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно
Nв−Nу+1, где Nв - число ветвей без источников тока. Для данной схемы
количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно 3 − 2 + 1 = 2.
Составим уравнение для контура №1:
𝑅3 ⋅ 𝐼1 + (𝑅2 + 𝑅6 ) ⋅ 𝐼2 = −𝐸3 + 𝐸4 + 𝐸2
Составим уравнение для контура №2:
(𝑅2 + 𝑅6 ) ⋅ 𝐼2 − 𝑅5 ⋅ 𝐼3 = 𝐸2
Объединим полученные уравнения в одну систему, при этом перенесём
известные величины в правую сторону, оставив в левой стороне только
составляющие с искомыми токами. Система уравнений по законам Кирхгофа
для исходной цепи выглядит следующим образом:
𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = 0
{𝑅3 ⋅ 𝐼1 + (𝑅2 + 𝑅6 ) ⋅ 𝐼2 = −𝐸3 + 𝐸4 + 𝐸2
(𝑅2 + 𝑅6 ) ⋅ 𝐼2 − 𝑅5 ⋅ 𝐼3 = 𝐸2
Подставим в полученную систему уравнений значения сопротивлений и
источников и получим:
𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = 0
{ 2 ⋅ 𝐼1 + 15 ⋅ 𝐼2 = 26
15 ⋅ 𝐼2 − 10 ⋅ 𝐼3 = 10
Решим систему уравнений и получим искомые токи:
𝐼1 = 2,5 А, 𝐼2 = 1,4 А, 𝐼3 =1,1 А
Определим искомое напряжение холостого хода. Рассмотрим контур,
проходящий в указанном порядке через элементы 𝑈𝑥𝑥 , 𝐸2 , 𝑅2 , 𝐸4 , и составим
для него уравнение по второму закону Кирхгофа. Получим:
𝑈𝑥𝑥 − 𝑅2 ⋅ 𝐼2 = −𝐸2 − 𝐸4
Определим напряжение холостого хода. Получим:
𝑈𝑥𝑥 = 𝑅2 ⋅ 𝐼2 − 𝐸2 − 𝐸4 = 1.4 ⋅ 5 − 10 − 20 = −23 В
Рассчитаем внутреннее сопротивление цепи 𝐸э относительно ветви с искомым
током. Для этого из исходной схемы уберём ветвь с искомым током, при этом
оставим концы этой ветви. Все источники ЭДС закоротим.
𝑅э
𝑅3
𝑅5
𝑅2
𝑅6
Рассчитаем эквивалентное сопротивление цепи относительно ветви с искомым
током.
Ветвь с элементами 𝑅3 параллельна ветви с элементами 𝑅5 . Эквивалентное
сопротивление этих ветвей равно:
𝑅3 ⋅ 𝑅5
2 ⋅ 10
𝑅35 =
=
= 1.6667 Ом
𝑅3 + 𝑅5 2 + 10
Ветвь с элементами 𝑅6 последовательна ветви с элементами 𝑅35 .
Эквивалентное сопротивление этих ветвей равно:
𝑅356 = 𝑅6 + 𝑅35 = 10 + 1.6667 = 11.6667 Ом
Ветвь с элементами 𝑅2 параллельна ветви с элементами 𝑅356 . Эквивалентное
сопротивление этих ветвей равно:
𝑅2 ⋅ 𝑅356
5 ⋅ 11.6667
𝑅э =
=
= 3.5 Ом
𝑅2 + 𝑅356
5 + 11.6667
Определим искомый ток:
𝑈𝑥𝑥 + 𝐸1
−23 + 40
𝐼1 =
=
=2А
𝑅э + 𝑅1
3.5 + 5
3) Проверим баланс мощностей
Определим мощность, потребляемую приёмниками:
𝑃пр = 𝑅1 ⋅ 𝐼1 2 + 𝑅2 ⋅ 𝐼2 2 + 𝑅3 ⋅ 𝐼3 2 + 𝑅5 ⋅ 𝐼5 2 + 𝑅6 ⋅ 𝐼6 2 .
Подставим числовые значения и получим:
Pпр𝑃пр =5⋅22 +5⋅0+2⋅32 +10⋅12 +10∙22 =88.
Определим мощность , отдаваемую источниками ЭДС:
Pист 𝑃ист =𝐸1 ⋅𝐼1 +𝐸2 ⋅𝐼2 +𝐸3 ⋅𝐼3 +𝐸4 ⋅𝐼4 .
Подставим числовые значения и получим:
𝑃ист = 40 ⋅ 2 + 10 ⋅ 0 + 4 ⋅ (−3) + 20 ⋅ 1 = 88.
Итак,𝑃пр = 88, 𝑃ист = 88. Баланс мощностей сходится.
