Теорема Менелая | 16 Теорема Менелая -- без доказательства на ЕГЭ Для чего нужна данная теорема? Данная теорема нужна для решения заданий №16 на сложную планиметрию. Можно обойтись и без нее, если вы отлично умеете доказывать подобные треугольники и быстро видеть их в задаче. Чаще всего легче воспользоваться теоремой Менелая, чем сидеть и доказывать подобие треугольников, особенно в условиях ограниченности времени на реальном экзамене. Пусть прямая пересекает произвольный треугольник ABC, причем C1 – точка ее пересечения со стороной AB, A1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B1 – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда выполняется равенство: 2 В В 3 C1 C1 1 4 A1 А A1 С 5 B1 B1 С А 6 Могут быть разные формы фигур, главное что из продолжения третьей стороны треугольника выходит прямая, аересекающая две другие стороны 1 3 АС1 BA1 2 4 5 CB1 = 1 ⋅ ⋅ С1В A1C B1A 6 Как запомнить? Как запомнить? Есть много разных способов, но я расскажу о самом “топорном”. Важно понять, что прямая, пересекающая 2 стороны треугольника, пересекает продолжение третьей и как будто берет начало из этого продолжения. Здесь остановитесь на минутку. Осознали? Идем дальше. 1) Сторона, которую пересекли последней, разделилась на два кусочка: 1 и 2, делим тот кусочек, который ближе к стороне, которую не пересекли, на второй. 2) Дальше смотрим на первую пересеченную сторону и “собираем” наши кусочки в формулу, делим одно на другое по очереди: 3 разделим на 4. 1 3) Вот мы дошли до “подножья горы”. Делим маленький отрезок, который выходит за треугольник, на ВСЮ длину отрезка, на котором он лежит: 5 делим на 6. Практика на опорных задачах Пример 1. В треугольнике АВС АК - медиана, точка Н делит медиану в отношении 3 : 2. Прямая ВН пересекает сторону АС в точке О. Найдите отношение AO : OC. B Запишем теорему Менелая для треугольника AKC и прямой BO. BK . CO . AH = 1. Так как сторона BC разделена медианой, BC OA HK то отношение BK = 0,5: 0,5 . CO . 3 = 1 OA 2 BC CO . 4 , откуда OA = 3 = 0,75. OA 3 CO 4 Ответ: 0,75. K H A C O Пример 2. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке D. Найдите отношение DA/BD. По условию задачи MA = AC, NC = 3BN Обозначим MA = AC = b, BN = k, значит, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника ABC и продолжение третьей. По теореме Менелая: CN . BD . AM = 1, откуда 3k . BD . b = 1 k DA 2b NB DA MC BD . 3 = 1, откуда DA = 3 . BD 2 DA 2 M Ответ: 1,5. B k N D b A 3k b C 2 Пример 3. На стороне BC треугольника ABC взята точка N, а на стороне АВ - точка M, причем NC = АМ. Точка пересечения отрезков МC и AN делит MC в отношении m : n , считая от точки C. Найдите отношение АВ и BN. C По условию NC = АМ. CF = m ; FM = kn. Обозначим NC = АМ = а, СF = km, FM n Прямая AN пересекает две стороны треугольника a BCM и продолжение третьей. По теореме Менелая: km BN . CF . AM = 1, откуда BN . km . a = 1, откуда N a kn AB NC FM AB AB = m. BN n B Ответ: m/n. F M a A Рельсы Евклида Площади двух треугольников равны, если у них общая сторона и равные высоты, как расстояние между двумя паралллельными прямыми. S1 = S2 тогда и только тогда, когда a ‖ BC. A1 h A2 a S2 S1 B общая сторона h SA1BC = SA2BC C Даже, если мы добавим 3 треугольник с общей стороной ВС, мы получим то же самое: A1 h A3 S1 a A2 S2 B общая сторона C h SA1BC = SA2BC = SA3BC 3 Пример 4. Даны два треугольника ABC и AMC, высоты треугольников к основанию АС равны: h1 = h2. Найдите площадь треугольника АFC, если его высота h3 , опущенная к АС, равна h2, АС = 3, а h1 = 2. M B A h2 h1 C Да, вы все поняли верно, у нас три высоты и одно основание. Значит площадь третьего треугольника будет равна площади треугольника ABC, а она равна: SAFC = SABC = 3 • 2 : 2 = 3. Ответ: 3. Чевиана Чевиана -- это любой отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположнойстороне. Частные случаи чевианы: биссектрисса, медиана, высота. A K M V T B BK - чевиана BM - биссектрисса BV - медиана BT - рандомный отрезок -- Чевианы С 4 Лемма о площадях 1 -- Без доказательства на ЕГЭ Чевиана разбивает сторону треугольника на два отрезка, образуя при этом два треугольника. Площади данных треугольников относятся, как: S1 = 0,5 • a • h = a S2 0,5 • b • h b B S1 A Bl -- чевиана S2 h l a C b Чевиана -- медиана Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Равновеликие треугольники — это треугольники, имеющие равные площади. То есть медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (или медиана делит площадь треугольника пополам). S1 = 0,5 • a • h = 1 S2 0,5 • a • h S1 = S2 B BM - медиана S1 A a S2 h K M a C 5 Лемма о площадях 2 -- С доказательством на ЕГЭ Если на чевиане взять произвольную точку M, то она разделяет треугольник на 4 треугольника. Площади двух треугольников, не прилежащих к стороне, к которой провели чевиану, относятся, как S1 = a S2 b B S1 A M S2 S3 a S4 L b C Доказательство: Рассмотрим треугольник AMC и чевиану ML, по лемме 1: S3 = ab S4 BM S 2 = Рассмотрим треугольник BCL и чевиану CM, по лемме 1: S4 ML Рассмотрим треугольник LAB и чевиану AM, по лемме 1: SS13 = BM ML Заметим: S1 = S2 , выразим S1 : S1 = S3 = a S2 S2 S4 b S3 S4 Пример 5. В треугольнике ABK на стороне AB расположена точка О так, что AO : OB = 1 : 4. На стороне AK взята точка L так, что AL = 2LK. Известно, что прямые BL и KO пересекаются в точке Н. Найдите площадь треугольника АВK, если площадь треугольника BHK равна 60. Запишем теорему Менелая для треугольника ABL и прямой OK. LK • AO • BH = 1, AK OB HL 1 • 1 • BH = 1, откуда BH = 12. 3 4 HL HL Площадь ABK в 3 раза больше площади LBK (так как АК в 3 раза больше LK, треугольники 6 имеют общую высоту). В то же время площади треугольников BLK и BHK относятся как BL : BH (так как имеют общую высоту). B O H A K L SBHK = BH = 12 , откуда SLBK = 13SBHK = 13 • 60 = 65. SLBK BL 13 12 12 SABK = 3SLBK = 3 • 65 = 195. Ответ: 195. Пример 6. В треугольнике АВК на продолжении прямой АК за точку К расположена точка С так, что АК : КС = 4 : 1 В треугольнике ABK на стороне АВ расположена точка L так, что AL = LB. Известно, что прямые LK и ВС пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВK, если площадь треугольника BOK равна 16. B L A K C O Запишем теорему Менелая для треугольника ABC и прямой LO. BL • AK • CO= 1, LA KC OB 1 • 4 • CO= 1, откуда CO = 1 . 1 OB OB 4 7 Заметим, что площадь ABK больше площади BKC в 4 раза (общая высота и их основания относятся 4 к 1). Общую высоту имеют также треугольники BKC и BKO. SBKС = BC = 3 , откуда SBKС = 3 • 16 = 12. 4 SBKO BO 4 Тогда площадь треугольника ABK равна 12 • 4 = 48. Ответ: 48. Задание уровня ЕГЭ Пример 7. В треугольнике ABC на сторонах AB и AC отмечены точки D и L соответственно, причём BD : AD = 1 : 3; AL : CL = 2 : 5 Прямые BL и CD пересекаются в точке О. а) Докажите, что площадь треугольника BOC в десять раз больше площади треугольника BOD. б) Найдите площадь четырёхугольника ALOD, если площадь треугольника LOC равна 180. а) Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника CO AL CO DB B = 1, откуда ACD и прямой BL. Получим: • • = 10. DO LC DO AB Отсюда и следует нужное утверждение: поскольку z D высоты у данных треугольников совпадают, O площади треугольников с одинаковыми высотами соотносятся так же, как их основания. 3z б) Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника ABL и прямой CD. Получим: AD • BO • LC = 1, откуда BO = 7 . BD OL AC OL 15 A 1 7 2x L 5x Тогда: SBOC = SLOC = 84, SBOD = 10 • 84 = 8,4. 15 AL = 2 , откуда SABL = 2(180+84)/5 = 105,6. Далее имеем: SSABL = LBC LC 5 C Тогда SALOD = 105,6 - 8,4 = 97,2. Ответ: 97,2. 8 Ответы 1) 0,75 5) 195 2) 1,5 6) 48 3) m/n 7) 97,2 4) 3 9
