Тема: «Касательная к графику функции» Цели: научиться находить угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке; составлять уравнения касательных к графику функции по заданным условиям. Краткая теоретическая справка. Строгое определение касательной: Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, - это прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо). Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой. Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс: k = tg α= f ′(xо). Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой. Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1). Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2). Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3). Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4). Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо: y = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x): 1. Вычислить f(xо). 2. Вычислить производные f ′(x) и f ′(xо). 3. Внести найденные числа xо, f(xо), f ′(xо) в уравнение касательной и решить его. Порядок выполнения работы. 1. Внимательно изучите теоретическую справку по теме. 2. Решите следующие задания. Пример1. Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2x2 + 1 в точке с абсциссой 2. Решение. Следуем алгоритму. 1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо): f(xо) = f(2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1 2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит: f ′(x) = 3х2 – 2 ∙ 2х = 3х2 – 4х. Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо): f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4. 3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение: у = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7. Ответ. у = 4х – 7. Пример 2. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абcцисcой x0 . Найдите значение производной функции в точке x0 . Значение производной функции y=f(x) в точке x0 равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами А и В - эти точки выделены на касательной: Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В - параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC. Угол А треугольника АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Длины катетов считаем по количеству клеточек Ответ. 0,25. Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х0=1. Решение. Находим производную функции Тогда при x0=1 значение производной равно Отсюда получаем, что угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0=1 равен Ответ. 1. Пример 4. Прямая y= 8x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2 +7x +7. Найдите абсциссу точки касания. Решение. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, следовательно k=8 . Угловой коэффициент касательной – это есть значение производной функции в точке x0. f ´(x0) = 2x0+7 =8, 2x0 = -1, x0 = -0,5. Ответ. -0,5. 3. Выполните самостоятельную работу по вариантам. Самостоятельная работа. Задание №1. Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x 0. 11 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 2 , 𝑥0 = 2 𝑦 = 5𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥0 = −2 12 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥0 = 1 𝑦 = 6 + 2𝑥 − 𝑥 3 , 𝑥0 = 1 𝑦 = 3𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑥 2 , 𝑥0 = −1 13 𝑦 = 3𝑥 4 − 4 + 2𝑥 2 , 𝑥0 = −1 14 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1, 𝑥0 = 3 𝑦 = 6𝑥 2 − 𝑥 + 5, 𝑥0 = 3 15 𝑦 = −2𝑥 2 + 𝑥, 𝑥0 = −2 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 1, 𝑥0 = −3 16 𝑦 = 7𝑥 − 5 − 2𝑥 3 , 𝑥0 = 1 𝑦 = 7 − 5𝑥 2 − 2𝑥 3 , 𝑥0 = 1 𝑦 = 2𝑥 − 3𝑥 2 + 𝑥 4 , 𝑥0 = −1 17 𝑦 = 2 + 3𝑥 2 + 𝑥 4 , 𝑥0 = 1 1 8 18 𝑦 = 5𝑥 3 − 3𝑥, 𝑥0 = 2 𝑦 = 𝑥 3 − 3, 𝑥0 = 2 3 9 19 𝑦 = 0,5𝑥 2 − 5𝑥, 𝑥0 = −2 𝑦 = 0,5𝑥 4 − 5𝑥 2 𝑥, 𝑥0 = −1 1 1 10 20 𝑦 = 𝑥 4 − 3𝑥, 𝑥0 = 1 𝑦 = 𝑥 4 − 3, 𝑥0 = 1 4 8 Задание №2. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке x0. y=x3+4x2-11, x0=3 y=3-x-2tgx, x0=0 1 11 𝜋 y=6x-tgx, x0=0 y=6x+4sinx, x0= 2 12 3 y=3e x +2,5x, x0=0 y=9-3x2-2x3, x0=-1 3 13 y=2x+7lnx, x0=14 y=5x+4x2+3e x, x0=0 4 14 𝜋 𝑦 = 4√𝑥 − 3𝑥 + 1, 𝑥0 = 1 y=6x-4cosx, x0= 5 15 6 1 3 y=4x-3lnx, x0=6 𝑦 = 𝑥 − 7𝑥 +1, x0=6 6 16 1 2 3 4 5 6 7 3 𝜋 2 𝑦 = 𝑥 3 − 7𝑥 2 , x0=-2 7 17 2 3 y=3x-x2, x0=1 y=6sinx-3x, x0=0 8 18 y=4x2-2e x, x0=0 9 19 𝑦 = 2√𝑥 − 3𝑥 2 , 𝑥0 = 4 y=9x-4x3, x0=1 10 y=2-5x-lnx, x0=1 20 Задание №3. Прямая параллельна касательной к графику функции y=f(x). Найдите абсциссу точки касания. y=5x+3, y = x2-7x+2 1 11 , y=4-3x, y = 2x2-x-12 2 12 , y=x+1, y = x2-5x+3 3 13 , y=-5x+2, y = 3x2+7x+1 4 14 , y=2-5x, y = x2-6x+2 5 15 , y = -3x+5, y = 2x2 -2x-1 y=-x+1, y = -x2+4x 6 16 y = 3x - 2, y = -x2 -12x+5 y=5x, y = 2x2-8x-3 7 17 y = -x+5, y = x2 -7x-1 y=4-x, y = x2+2 8 18 y = -6x-2, y = 3x2 -12x+7 y=12x, y = 3x2-1 9 19 y=-3x -2, y =2 x2-11x+2 10 y = -3x-5, y = 2x2 -2x-1 20 y=2x+ctgx, 𝑥0 =
