07.02.20024 Занятие №41 Понятие функции, ее свойства, способы задания

Группа 1ЗУ-23/11
Дата 07.02.2024
Учебная дисциплина: ОП.01 Математические методы решения прикладных
профессиональных задач.
Занятие № 41
Тип занятия: лекция.
Тема: Понятие функции, ее свойства, способы задания.
Цели и задачи:
- изучить определение функции, способы её задания и свойства;
- воспитывать устойчивый интерес к математике; математическую культуру;
развивать самоорганизацию обучающихся.
Задание для студентов:
1. Оформить конспект лекции (основные понятия и определения, решение задач).
2. Выполнить домашнее задание с.4
3. Выполненное задание выслать (графический файл (фото) на проверку:
E-mail: levche2020@mail.ru
Определение
Функция — соответствие между элементами двух множеств — правило, по
которому каждому элементу первого соответствует один и только один элемент второго
множества. Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о
том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение
переменной x однозначно определяет значение выражения x2, также значение месяца
однозначно определяет значение следующего за ним месяца. «Житейский» пример
функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его
ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач группа 1ЗУ-23/11
2
биологического отца. Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то
есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно
представлять в виде графиков.
История
Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые
использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к
Лейбницу придал этому термину смысл, более близкий к современному.
Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического
представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751
год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее
определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было
дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).
К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала
понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл
логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано
(1911) сформулировали современное универсальное определение.
Способы задания функции
Аналитический способ
Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например,
формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства.
Примеры:
Функция, заданная одной формулой:
Кусочно-заданная функция:
Неявно заданная функция:
ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач группа 1ЗУ-23/11
3
Табличный способ
Табличный способ — это способ задания функции с помощью таблицы со
значениями.
Графический способ
Функцию можно также задать с помощью графика. Графический способ — это
способ задания функции с помощью графика. В этом случае аргумент является абсциссой
точки, а значение функции, соответствующее данному аргументу, ординатой.
Элементарные функции
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью
конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных
элементарных функций:
•
•
•
степенная функция с любым действительным показателем;
показательная и логарифмическая функции;
тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором
конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все
элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и
обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные
выше основные элементарные функции.
Свойства элементарных функций
ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач группа 1ЗУ-23/11
4
Свойства основных элементарных функций:
область определения функции;
•
поведение функции на границах области определения, вертикальные
асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва
функции);
•
четность и нечетность;
•
область значений функции;
•
промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;
•
промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости
вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции,
направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
•
наклонные и горизонтальные асимптоты;
•
особые точки функций;
•
особые свойства некоторых функций (например, наименьший
положительный период у тригонометрических функций).
•
Домашнее задание.